Đề thi HSG Toán 8 Nga Sơn (10-11)

Trờng THCS nga thái
K THI CHN HC SINH GII cấp trờng
LP 8 thcs NM HC 2009-2010
Mụn Toỏn
Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao
thi cú 01 trang

Câu 1: (4 im) Cho biểu thức : A =
2
2
1 3 3 4 4
.
2 2 1 2 2 5
x x x
x x x
+ +

+
ữ
+

1) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
2) Rút gọn A ?
Câu 2 : (4 im)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1)
2 2
2 15x xy y+
2)
3 3 3
3a b c abc

+ +
Câu 3 : (3 im)
a) Chứng minh rằng A = (2
n
- 1)(2
n
+ 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n
2
n + 13 là số chính phơng ?
Câu 4 : (2 im)
Cho hai số thực x, y thoả mãn :
3 2
3 10x xy =
và
3 2
3 30y x y
=
.
Tính giá trị biểu thức P =
2 2
x y+
.
Câu 5 : (2 im)
Cho ba số x, y, z thoả mãn:

x y z 2010
1 1 1 1
x y z 2010
+ + =

+ + =


Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( )
2007 2007 2009 2009 2011 2011
P x y y z z x= + + +

Câu 6 : (5 im)
Cho tam giác ABC (AB < AC), đờng phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho
ã
ã
CDx BAC=
(tia Dx
và A cùng phía đối với BC ), tia Dx cắt AC ở E. Chứng minh rằng :
1) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEC.
2) DE = DB.
CHNH THC
Trờng THCS nga thái
K THI CHN HC SINH GII cấp trờng
LP 8 thcs NM HC 2009-2010
Mụn Toỏn
Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao
Ngày thi: 07/04/2010. thi cú 01 trang
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức

+
+








+=
3
1
327
:
3
3
3
1
2
2
2
x
x

x
xx
A
a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (3 điểm) Giải phơng trình:
a)
1 2 6 7x x + =
.
b)
0)106()1()96(
33232
=+++ xxxx
Bài 3 : (3 điểm)
a) Chứng minh rằng với x, y Z thì
4
)4)(3)(2)(( yyxyxyxyxP +++++=
là một số chính phơng.
b) Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn:
)(3)(
2
cabcabcba ++=++
.
Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ?
Bài 4 : (2 điểm)
Cho đa thức f(x) =
cbxax ++
2
với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá
trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.

Bài 5: (6điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn
CD (E khác D). Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE tại A cắt CD tại K.
1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK.
2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:
JA = JB = JF = JI.
3) Đặt DE = x (a

x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.
4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất.
Bài 6 : (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1 2 3 4 .P x x x x= + + +
CHNH THC
TRNG THCS NGA THI
THI HC SINH GII CP TRNG
NM HC: 2009 2010
Mụn: Toỏn - Thi gian: 150 phỳt.
Bi 1: (4 im) Cho biu thc
( )
2
3 3
2
1
1 1
:
1 1 1
x x
x x
x x

x x x
A



+
+

ữ ữ
+ +


=
.
( )
1x
1) Rỳt gn A
2) Tỡm x 2A = 1.
Bi 2: (4 im)
Gii phng trỡnh :
1)
4
1
a b x a c x b c x x
c b a a b c
+ + +
+ + + =
+ +
2)
2 2

4 4 4 5 1 0x y xy y+ + + =
Bài 3: (4 điểm)
1. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2009x x x x+ + + + +
cho đa thức
2
10 16x x+ +
.
2. CMR : S
( )
4
4
1 1A n n= + + +
chia ht cho mt s chớnh phng khỏc 1 vi mi s
n nguyờn dng.
Bi 4: (2 im)
Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc :

2
2
3 6 10
2 3
x x
P
x x
+ +
=
+ +
Bi 5: (6 im)

Trên các cạnh góc vuông CA và CB của tam giác vuông cân ABC ta lấy các điểm D và E
sao cho CD = CE. Những đờng vuông góc hạ từ D và C xuống AE cắt cạnh huyền AB tại K
và L. Gọi F là giao điểm của KD và BC kéo dài.
1. Chứng minh rằng hai tam giác FCD và ACE bằng nhau.
2. Chứng minh : KL = LB.
Phòng GD&Đt bỉm sơn kỳ thi học sinh giỏi lớp 8 cấp thị xã
Năm học 2008-2009
T chc thi thỏng 4/2009
đề thi môn toán
(Thời gian 150phút - Không kể giao đề)
Câu 1 : (3 điểm) Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử:
a/
2
7 6x x
+ +
b/
4 2
2009 2008 2009x x x
+ + +
Câu 2: (4 điểm) Chứng minh rằng :
a/
1
111
=
++
+
++
+
++
cac

c
bbc
b
aab
a
biết abc = 1
b/
c
a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
Câu 3: (4 điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a/ B =
2
2623

2
234
+
+++
n
nnnn
có giá trị là một số nguyên.
b/ A = n
3
- n
2
+ n - 1 là số nguyên tố.
Câu 4: (4 điểm) Giải các phơng trình sau:
a/
6
82
54
84
132
86
214
=

+

+

xxx
b/ x
2

- y
2
+ 2x - 4y - 10 = 0 với x, y nguyên dơng.
Câu 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC, các đờng phân giác BD, CE, AK cắt nhau tại I.
Biết AB = 4cm ; AC = 5cm ; BC = 6cm.
a/ Tính tỉ số: DI/BD ; BE/BA ; AD/AC
b/ Tính tỉ số diện tích các tam giác DIE và ABC
c/ Chứng minh rằng :
1
KI ID EI
AK BD EC
+ + =


TRƯỜNG THCS NGA THÁI
THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2009 – 2010
Môn: Toán - Thời gian: 150 phút.
Bài 1 :( 4 điểm)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 2 2 2
1 1 1 1 1
5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x
+ + + =
− + − + − + − +

b) Tìm giá trị nguyên của x để A
M
B biết

A = 10x
2
– 7x – 5 và B = 2x – 3 .
Bài 2 : (2 điểm) Cho x + y = 1 và x y
≠
0 . Chứng minh rằng

( )
3 3 2 2
2
0
1 1 3
x y
x y
y x x y
−
− + =
− − +
Bài 3 : ( 4 điểm)
a) Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn

0=++
z
c
y
b
x
a
và
2

x y z
a b c
+ + =
. Tính giá trị biểu thức
2 2 2
2 2 2
x y z
Q
a b c
= + +
b) Cho a
2
– 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
P =
4 2
2
1a a
a
+ +

Bài 4 : ( 2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
Bài 5 : (6 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC,
vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm
của EF
c) Chứng minh S
2
FDC

≥
16 S
AMC
.S
FNA
Bài 6 : ( 2 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng:

2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
a b c
+ + ≤
+ + +
Hết