Phân thức đại số 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (314.9 KB, 43 trang )
RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1:
Rút gọn
A
( a 2 b 2 c 2 )( a b c) 2 (ab bc ca )
(a b c ) 2 (ab bc ca)
Lời giải
Có:
( a b c) 2 ( ab bc ca) a 2 b 2 c 2 ab bc ca MS a 2 b 2 c 2 ab bc ca
TS (a 2 b2 c 2 )(a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac ) (ab bc ca ) 2 (a 2 b 2 c 2 )(MS ab bc ca )
(ab bc ca ) 2 (a 2 b 2 c 2 ).MS (a 2 b 2 c 2 )(ab bc ca ) (ab bc ca ) 2
(a 2 b 2 c 2 ).MS (ab ac bc)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca ) MS .(a 2 b 2 c 2 ab bc ca ) MS 2
A
TS MS 2
MS
MS MS
Bài 2:
Rút gọn các biểu thức sau
x 2 yz
y 2 zx
z 2 xy
A
yz
zx
x y
1
1
1
x
y
z
a)
a (a b) a (a c ) b(b c) b(b a ) c(c a ) c (c b)
a c b c
b a c a
c b
B a b
2
2
(b c )
(c a )
( a b) 2
1
1
1
(a b)(a c )
(b c )(b a )
(c a)(c b)
b)
Lời giải
x 2 yz
y 2 zx
z 2 xy x ( x 2 yz ) y ( y 2 yz ) z ( z 2 xy ) x 3 y 3 z 3 3xyz
A
yz
zx
x y
x
y
z
x
y
z
x
y
z
xyz
1
1
1
x
y
z
a)
A
( x y z )( x 2 y 2 z 2 xy yz zx)
x 2 y 2 z 2 xy yz zx
x yz
a (a b) a (a c ) b(b c) b(b a ) c(c a ) c (c b)
a
b
a
c
b
c
b
a
c
a
c b
B
2
2
(b c )
(c a )
( a b) 2
1
1
1
(a b)(a c )
(b c )(b a )
(c a)(c b)
b)
1
a (a b ) a (a c )
b(b c ) b(b a )
c (c a ) c(c b)
a c ;B b c
b a ;B c a
c b
B1 a b
2
3
2
2
(b c )
(c a )
( a b) 2
1
1
1
(a b)(a c )
(b c)(b a )
(c a )(c b)
Đặt
2
2
a (a b)(a c) a(a c)(a b) a a ab ac bc a ab ac bc a (2a 2 2bc )
B1
(a b)( a c)
(a b)( a c)
( a b)(a c)
Tử số
Mẫu số
B1 1
(b c ) 2
(a b)(a c) (b c) 2 a 2 b 2 c 2 ab bc ca
(a b)(a c)
(a b)(a c)
(a b)(a c )
2a 3 2abc
B1 2 2 2
a b c ab bc ca
2b3 2abc
2c 3 2abc
B2 2 2 2
; B3 2 2 2
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
Tuơng tự:
2(a 3 b3 c3 3abc)
B 2 2 2
2(a b c )
a b c ab bc ca
Bài 3:
Rút gọn
A
(a 2b)3 ( a 2b)3 3a 4 7 a 2b 2 4b 4
:
(2a b)3 (2a b)3 4a 4 7 a 2b 2 3b 4
Lời giải
3
3
2
2
+) (2a b) (2a b) 2b(12a b )
+)
3a 4 7 a 2b 2 4b 4 ( a 2 b2 )(3a 2 4b 2 );4a 4 7 a 2b 2 3b 4 (a 2 b 2 )(4a 2 3b 2 ) A 2
Bài 4:
Thực hiện phép tính sau
A
a b 2c
b c 2a
c a 2b
3
3
(a b) (c a )(c b) (b c) (a b)(a c) (c a ) (b a)(b c)
2
2
2
a 3 b3
a ab b 2
b3 c3
b bc c 2
c3 a3
c ca a 2
3
Lời giải
A1
Đặt
a b 2c
(a b) (c a )(c b)
2
a 3 b3
a ab b 2
3
(a b)3 (c a )(c b) ( a b) 2 (c a)(c b)
(a b 2c)(a 2 ab b 2 )
A1 3 3 2
A1 2
a b
a ab b 2
a 2 ab b 2
a b 2 c 2 ab bc ca
MS:
2
(b c 2a)(b 2 bc c 2 )
(c a 2b)(c 2 ca a 2 )
A2 2
; A3 2
a b 2 c 2 ab bc ca
a b 2 c 2 ab bc ca
Tương tự:
Tử số của
A (a c) (b c ) (a 2 ab b 2 ) (b a) (c a ) (b 2 bc c 2 ) (c b) (a b) (c 2 ca a 2 )
(a c)(a 2 ab b 2 ) (b c )(a 2 ab b 2 ) ........
(a c )(a 2 ab b 2 b 2 bc c 2 ) (b c )(a 2 ab b 2 c 2 ca a 2 ) (b a )(b 2 bc c 2 c 2 ca a 2 )
(a c)(a c)(a b c ) (b c)(b c)(a b c ) (b a )(b a)(a b c )
(a b c ) (a c) 2 (b c ) 2 (c a ) 2 (a b c ).2.(a 2 b 2 c 2 ab bc ca )
MS
A
TS
2( a b c)
MS
Bài 5:
Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào
x:
Sx
( x a)( x b) ( x b)( x c) ( x c)( x a )
(c a)(c b) ( a b)( a c) (b c)(b a)
Lời giải
Sx
x 2 (a b) x ab x 2 (b c ) x bc x 2 (a c ) x ac
(c a)(c b)
(a b)(a c )
(b c)(b a )
( a b)
1
1
1
(b c)
(a c)
Sx x2
x
(c a)(c b) ( a b)( a c) (b c)(b a)
(c a)(c b) (a b)( a c ) (b c)(b a)
ab
bc
ac
S x A.x 2 Bx C
(c a )(c b) (a b)(a c ) (b c )(b a )
+)
+)
A
1
1
1
a b b c c a
0
(c a)(c b) ( a b)( a c) (b c )(b a) ( a b)(a c)(b c)
B
( a b)
b c
ac
0
(c a)(c b) ( a b)( a c ) (b c)(b a)
S x C
ab
bc
ac
(c a )(c b) (a b)( a c) (b c )(b a )
Bài 6:
3
Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc
vào a, b, c
a)
b)
S
a 2 2a 3
b 2 2b 3
c 2 2c 3
S 2 2 S1 3S0
(a b)(a c ) (b c )(b a ) (c a )(c b)
A
a 2 bc
b 2 ca
c 2 ab
A 0
( a b)( a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
Lời giải
a2
b2
c2
a 2 (c b) b 2 (a c ) c 2 (b a )
S2
1
(
a
b
)(
b
c
)
(
b
c
)(
b
a
)
(
c
a
)(
c
b
)
(
a
b
)(
b
c
)(
c
a
)
a) +)
+)
+)
S0
S1
A
b)
1
1
1
c b a c b a
0
(a b)(a c ) (b c)(b a ) (c a )(c b) (a b)(b c )(c a )
a
b
c
a (c b) b (a c ) c (b a )
0 S 1
( a b)(b c) (b c)(b a) (c a )(c b)
(a b)(b c )(c a )
a 2 bc
b 2 ca
c 2 ab
A 0
( a b)( a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
Bài 7:
A
Cho a.x b.y c.z 0 . Rút gọn
a.x 2 b.y 2 c.z 2
2
2
bc y z ac x z ab x y
Lời giải
2
bc y z ac x z x y y z ab x y x y
Mẫu thức
2
bc y z ac x z x y ac x z y z ab x y
2
c y z b y z a x z a x y c x z b x y
c y z by bz ax az a x y cx cz bx by
c y z by bz ax az a x y cx cz bx by
(1)
ax by cz
ax by cz 0
ax by cz thay vào (1) ta được:
Mà
4
2
(1) c y z az bz cz a x y ax bx cx
cz y z a b c ax x y a b c a b c ax 2 axy cyz cz 2
a b c ax 2 cz 2 axy cyz
(2)
2
2
Mà ax by cz 0 axy by cyz 0 axy cyz by thay vào (2) ta được:
(2) a b c ax 2 by 2 cz 2
Bài 8:
1 1 1
1
1
1
0
A 2
2
2
a
,
b
,
c
a 2bc b 2ac c 2ab
Cho
khác nhau đôi 1 và a b c
. Rút gọn:
Lời giải
1 1 1
0 ab bc ca 0 a 2 2bc a 2 bc ab ca a b a c
Ta có: a b c
Tương tự:
b 2 2ac b a b c , c 2 2ba c a c b
A
Khi đó
1
1
1
a b a c b a b c c a c b
5
c ba c b a
0
a b b c c a
C. CHỨNG MINH PHÂN SỐ TỐI GIẢN
- Có hai cách cơ bản chứng minh tử số và mẫu số có ƯCLN bằng 1
+) Cách 1: Giả sử d a, b , sau đó chỉ ra d 1
+) Giải sử d 1 d 2
- Gọi p là ước nguyên tố của d
- Chỉ ra rằng p 1 (vô lý)
- Kết luận d 1
Bài 1:
3n 1
Chứng minh rằng phân số 5n 2 là phân số tối giản với n N
Lời giải
3n 1d
(3n 1,5n 2) d (d N * )
5
n
2
d
Giải sử
5(3n 1)d
3(5
n
2)
d
15n 5d
1d d 1
15
n
6
d
3n 1
Vậy phân số 5n 2 là phân số tối giản n N
Bài 2:
12n 1
Chứng minh rằng phân số 30n 2 là phân số tối giản với n N
Lời giải
12n 1d d : le 5(12n 1)d
(12n 1,30n 2) d ( d N * )
1d d 1
30n 2d
2(30n 2)d
Gọi
6
Bài 3:
2n 1
2
Chứng minh rằng phân số 2n 1 là phân số tối giản với n N
Lời giải
2n 2d
(2n 1, 2n 2 1) d ( d N * ) n(2n 1) (2n 2 1)d n 1d
1d d 1
2n 1d
Gọi
Bài 4:
n 3 2n
4
2
Chứng minh rằng phân số n 3n 1 là phân số tối giản n N
Lời giải
n3 2nd
n(n3 2n)d
(n 2n, n 3n 1) d (d N ) 4
4
2
2
n
3
n
1
d
n 3n 1d
Gọi
3
4
2
*
n( n3 2n) ( n 4 3n 2 1) d ( n 2 1)d n 2 1d
n(n 2 1) nd
n 4 d
n 4 3n 2 d
n 2n 2
nd 2 4
1d d 1
2
n
1
d
3
n
d
n
3
n
d
Ta có:
3
Bài 5:
n 3 2n 2 1
A 3
n 2n 2 2 n 1
Cho
a. Rút gọn A
b. Chứng minh rằng nếu n Z thì giá trị tìm được ở câu a là phân số tối giản.
Lời giải
n 3 2n 2 1
(n 1)(n 2 n 1) n 2 n 1
A 3
n 2n 2 2n 1 ( n 1)( n 2 n 1) n 2 n 1
a.
n 2 n 1d
( n 2 n 1, n2 n 1) d ( d N * ) 2
2d d 1; d 2
n
n
1
d
b. Gọi
Lại
có
n 2 n 1 n(n 1) 1(le) d 2 d 1
2
7
Bài 6:
Cho phân số
A
n2 4
(n N )
n 5
. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A
chưa tối giản
Lời giải
A
n 2 4 n 2 25 29
29
n 5
n 5
n 5
n 5
29
Để A là phân số chưa tối giản thì n 5 là phân số chưa tối giản n 529 n 29k 5
Ta có:
0 29k 5 2009
5
2014
k
1 k 69 69 : giatri
29
29
8
RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ
- Tìm điều kiện xác định: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Phương pháp:
+ So sánh P với m : Xét hiệu P m , rồi so sánh với số 0
Chú ý:
A 0
A
B 0
0
A 0
B
B 0
hoặc:
A 0
A
B 0
0
A 0
B
B 0
A
P Z B U A
B
+ Tìm x nguyên để P nguyên
+ Tìm x để P nguyên: Chặn miền giá trị của P hoặc đặt bằng k (k Z )
+ Tìm Min, Max của
P
A
B
Nếu bậc của tử bậc của mẫu: Chia xuống (chú ý dấu bằng xảy ra)
+ Chú ý: Sử dụng bất đẳng thức
a b 2 ab
Bài 1: HSG Yên Phong, năm học 2015
y
x x 2 y xy 2
A 2
. 2
x 0, y 0, x y
2
2
x
xy
xy
y
x
y
Cho biểu thức
9
a. Rút gọn A
2
2
b. Tính giá trị của A khi x y 0 và thỏa mãn 2 x 2 y 5 xy
Lời giải
a. Rút gọn được
A
( x y)
x y
2 x y 0(loai )
2 x 2 2 y 2 5 xy (2 x 2 xy ) (2 y 2 4 xy ) 0 (2 x y )( x 2 y ) 0
x 2 y 0(tm)
b.
Thay x 2 y vào A , ta được:
A
(2 y y)
3
2y y
Bài 2: HSG Long Biên, năm học 2014
2
x2
A
3
x
x
1
Cho
2
2 4 x 3x 1 x
3 :
3x
x 1
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi 2014 2 x 1 2013
c. Tìm x để A 0
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là số nguyên
Lời giải
1
x 1
x 1; x 0; x A
2
3
a. ĐKXĐ:
x 1 A 0
2014 2 x 1 2013
x 0(loai )
b.
x 1
A 0 x 1 0
1
x 0, x 1, x 2
c.
d. A có giá trị nguyên khi x 1 3 x 3k 1 k
Bài 3: HSG Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức
A
2x2 4x 6 x 2
3
2
2
x 2x 3 x 1 x 3
, với x 1; x 3
Rút gọn A và tìm tất cả các giá trị nguyên của
x
10
để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Lời giải
Ta có:
A
2x2 4x 6 x 2
3
2
2
x 2x 3 x 1 x 3
3 x 1
2 x 1 x 3
2 x 2 4 x 6 x 2 x 3
x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3
x 1 x 3 x 1
2 x 2 4 x 6 x2 x 6 3x 3 2 x 2 4 x 6
x2 4 x 3
x 1 x 3
x 1 x 3 x 1 x 3 x 1
Ta có
A nhận giá trị nguyên A
x 1
2
Z 1
Z
x 1
x 1
x 1 2; 1;1; 2 x 1;0; 2;3
Bài 4: HSG Thường Tín, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức
A
x 2 1 x3 1 x 4 x3 x 1
2
, x 0; x 1
x
x x
x x3
a) Rút gọn A
2
b) Tính A biết x thỏa mãn x x 12
c) Chứng minh rằng A 4 . Từ đó tìm x để
B
6
A nhận giá trị ngun
Lời giải
a) Rút gọn A
Với x 0, x 1
A
x 2 1 x3 1 x 4 x3 x 1
2
x
x x
x x3
x2 1 x2 x 1 x2 1 x
x
x
x
x 2 2 x 1 x 1
x
x
2
11
2
b) Tìm A biết x thỗ mãn: x x 12
x 3
2
2
x 4 loai
Ta có: x x 12 x x 12 0
16
A
3.
Khi x 3 thì
c) Chứng minh rằng: A 4 . Từ đó tìm x để
x 1
x
Vì x 0 nên
B
Ta có
Vì
2
6
A nhận giá trị ngun
4x
4 A 4
x
6
6x
0
A x 1 2
A4
B
vì x 0
6 6
1,5
A 4
Suy ra 0 B 1,5 mà B nhận giá trị nguyên nên B 1
6x
B 1 khi
x 1
Vậy B 1 khi
2
x 2 3
2
1 6 x x 1 x 2 4 x 1 0
x 2 3
x 2 3
x 2 3
Bài 5: HSG Kinh Môn, năm học 2019 - 2020
x 1
2x 1
x2
Q 2
2
: 3
2
x 2 x 1 x x 2 x 2 x x với x 0, x 1, x 2, x 0,5
Cho biểu thức
a) Rút gọn Q
b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
Lời giải
x 1
2x 1
x2
Q 2
2
: 3
2
x 2 x 1 x x 2 x 2 x x với x 0, x 1, x 2, x 0,5
a) Biểu thức
12
x 1
2x 1
x2
Q 2
2
: 3
2
x 2 x 1 x x 2 x 2 x x với x 0, x 1, x 2, x 0,5
x 1
2x 1
x2
Q 2
2
: 3
2
x 2 x 1 x x 2 x 2x x
2
2
2
x2
2 x 1
x 2 x 1 x x 1
x 1
x2 4 x 4 x2 2 x 1 x
:
2
2
2
x 1 x 2 x x 1
x 1 x 2 2 x 1
x 1
x2
2 x 1
6x 3
x
3(2 x 1)
x
3x
.
x 2 2 x 1
x 2 2x 1 x 2
b) Ta có
Q
3x
3x 6 6
6
3
x2
x2
x2
Để Q nhận giá trị nguyên thì 6 x 2
Suy ra x 2 U 6
x 2 6; 3; 2; 1;1; 2;3;6
x 8; 5; 4; 3; 1; 0;1; 4
Mà
x 0, x 1, x 2, x 0,5
Nên x 8; 5; 4; 3; 1; 4
Vậy x 8; 5; 4; 3; 1; 4 thì Q nhận giá trị nguyên.
Bài 6: HSG Quốc Oai, năm học 2016 - 2017
2
1
10 x 2
x
A 2
:
x
2
x2
x 4 2 x x2
Cho biểu thức
a) Rút gọn A
b) Tính A nếu
x
2
thỏa mãn 2 x 3x 14 0
Lời giải
a) TXĐ x 2
b) Rút gọn A
2
1
10 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 4 10 x 2
x
A 2
:
: x 2
x2
x2
x 2 x 2
x 4 2 x x2
13
6
x2
1
.
x 2 x 2 6 x 2
Vậy
A
1
x 2 với x 2
2
2
x 2 x 7 2 2 x 7 0 2 x 7 x 2 0
c) Ta có 2 x 3x 14 0 2 x 7 x 4 x 14 0
2 x 7 0
x 2 0
Với
x
7
2 ta có
7
x 2
x 2
A
1
1
2
7
3
3
2
2
2
Với x 2 không thoả mãn điều kiện xác định
2 x 2 3x 14 0
2
A
3 khi x 2
Vậy
Bài 7: HSG Chương Mỹ, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức
A
2x 9
x 3 2x 1
x 5 x 6 x 2 3 x (với x 2 và x 3)
2
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi 2 x 1 3;
x2 x 1
P
.A
x 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để
nhận giá trị nguyên;
d) Tìm các giá trị của x để
A
x
.
x2
Lời giải
2x 9
x 3 2x 1
x 3 2x 1
A 2
x 2 x 3 x 2 x 3
x 5x 6 x 2 3 x
a)
2x 9
2x 9 x 3 x 3 2x 1 x 2
x2 3x 2
x 3 x 2
x 2 x 3
b) Ta có
A
x 1
x 3 với x 2 và x 3
14
x 1
x 3
2x 1 3 2x 1 3
hoặc 2x 1 3
x 2 hoặc x 1
+ Với x 2 không thỏa mãn điều kiện không thay vào A.
+ Với x 1 thỏa mãn điều kiện thay vào A ta được
c)
P
P
A
1 1 1
.
1 3 2
x2 x 1
x2 x 1 x 1 x2 x 1
.A
.
x 1; x 2
x 1
x 1
x 3
x 3 (với
và x 3)
x2 x 1
7
x 2
x 3
x 3
Để P nguyên
7
x 3 nguyên x 3 là một ước của 7
x 3
x
7
4
Kết hợp với điều kiện xác định ta được
d) Từ điều kiện suy ra:
1
2
1
4
x 4;4;10
thỏa yêu cầu bài toán.
x 1 x 2 x x 3 x 21
(thỏa điều kiện)
Bài 8: HSG Tỉnh Bắc Ninh, năm học 2020 - 2021
a 1 2
1 2a 2 4 a
1 a 3 4a
M
:
2
a3 1
a 1 4a 2
3a a 1
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm giá trị của a để M đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
1. Điều kiện a 0, a 1
a 1 2
1 2a 2 4a
1 a 3 4a
M
:
2
a3 1
a 1
4a 2
3a a 1
a 1 2
1 2a 2 4a
1
4a 2
M 2
2
2
a a 1 a 1 a a 1 a 1 a a 4
15
7
10
M
a 1
3
1 2a 2 4a a 2 a 1
a 1 a
2
a 1
4a
2
a 4
M
a 3 3a 2 3a 1 1 2a 2 4a a 2 a 1 4a
2
a 4
a 1 a 2 a 1
M
a 3 1 4a
4a
2
2
3
a 1 a 4 a 4
M
2. Ta có
a 2
a 2 4 a 2 4a 4 1 a 2 2
4a
a2 4
a2 4
a2 4
2
2
Vì a 4
0
với mọi
a
nên
a 2
1
a 2
2
a2 4
1
với mọi
a.
2
2
Dấu " " xảy ra khi a 4
0 a 2
với mọi
a.
Vậy giá trị lớn nhất của M là 1 khi a 2 .
Bài 9: HSG Sầm Sơn, năm học 2020 - 2021
P
Cho biểu thức
x2 x x 1
1
2 x2
:
x 2 2 x 1 x
x 1 x2 x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên của
x
để P nhận giá trị nguyên.
Lời giải
1. ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1
P
x2 x x 1
1
2 x2 x2 x
:
x2 2 x 1 x
x 1 x 2 x ( x 1) 2
( x 1)( x 1) x 2 x 2
:
x( x 1)
x( x 1) x 2 1 x 2 x 2 x( x 1) x 1
x( x 1) x ( x 1)
:
:
.
2
2
( x 1)
x ( x 1)
( x 1) x( x 1) ( x 1) 2 x 1
Vậy
P
2. Ta có:
x2
x 1 với x 0; x 1; x 1
P
x2
x2 1 1
1
1
x 1
Z
Z x 1 1; 1 x 0;2
x 1
x 1
x 1
x 1
16
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được x 2 .
Bài 10: HSG Cẩm Thủy, năm học 2020 - 2021
P
Cho biểu thức
0,5 x 2 x 2 x3 8
2
:
1 0,5x
x 2 x 2 x
a) Rút gọn biểu thức P
1
P
.
1 x
b) Tìm x để
Lời giải
ĐKXĐ x 0, x 2
P
a) Khi đó:
b) Để
TH1:
TH2:
x2 2 x 4
x2
2
1
2
x 2
1
.
2
2x
x 2 x 2x 4 x x 2 x 2 x x 2 x x 2 x
1
1
1
1
1
2x 1
P
0
0
1 x
x 1 x
x x 1
x x 1
2 x 1 0
x x 1 0
1
1
x
2 x 1
2
0 x 1
2 x 1 0
x x 1 0
1
x
x0
2
x 0 x 1
1
x 0 x 1
2
Vậy
là giá trị cần tìm.
Bài 11: HSG Quảng Xương, năm học 2017 - 2018
2 x 2 2 x3 1 x3 1
P
2
x
x x x2 x
Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của
x
để P 2 .
Lời giải
a) Ta có:
2
2
2 x 2 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 x 2 2 x 2 x 1 x 2 x 1
P
x
x x 1
x x 1
x
x
x
17
2 x2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 x 2
x
x
b) Vì
2
2 x 2 2 x 2 x 2 x 1 1 0
với mọi giá trị của x
x 0
P 0
x 1
Suy ra
Bài 12: HSG Kiến Xương, năm học 2015 - 2016
x y x y x2 y 2 2 x2 y 2
A
: 1
1 xy 1 xy
1 x2 y 2
(với xy 1 )
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A
2x 1
1
2
b) Tính giá trị biểu thức A biết x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn x 1 .
c) Tìm các số ngun khơng âm x để A có giá trị là số nguyên.
Lời giải
2 x 2 xy 2 1 x 2 y 2 x 2 y 2
A
:
1 x2 y 2
1 x2 y2
a) Ta có
A
2x 1 y2
Vậy
1 x2 y2
A
.
1 x2 y 2
2x
2
2
2
1 y x 1 x 1
2x
x 1
2
2 x 1
1
2
b) Giải bất phương trình x 1
2
2 x 1 x 2 1 (do x 1 0 x )
x 2 2 x 0
0 x 2
+ Do x là số nguyên lớn nhất nên x 2
Thay x 2 vào biểu thức A ta được:
A
2.2
4
2
2 1 5
2 x 1
4
1
A
2
5.
Vậy với x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn x 1
thì
18
c) Ta có
A
2x
x 1
2
2
+ Do x 0; x 1 0 nên A 0
(1)
2
x 2 1 x 2 2 x 1
x 1
2x
A 2
1 2
1
x 1
x2 1
x 1
+ Ta có
(2)
Từ (1) và (2) 0 A 1
A 0; 1
Do A là số nguyên nên
+ Với A 0 ; từ (1) ta được x 0 (tmđk)
+ Với A 1 ; từ (2) ta được x 1 (tmđk)
Vậy với
x 0; 1
thì A có giá trị là số nguyên.
Bài 13: HSG Vũng tàu, năm học 23/03/2021
x y
y2
2x2 y
x2
A
:
xy x y 2 x y x 2 y 2 2 x 2 y 2 x y
với xy 0 và x y
Cho biểu thức
a) Rút gọn A
x3 6 y 3 xy x y
b) Tính giá trị của A khi x, y thỏa mãn
.
Lời giải
1) Với xy 0 , x y , ta có:
A
x y
y2
2x 2 y
x2
:
xy x y 2 x y x 2 y 2 2 x 2 y 2 x y
A
x y
y2
2x2 y
x2
:
xy x y 2 x y x y 2 x y 2 x y x y 2
y2 x y
x2 x y
x y
2x2 y
A
:
xy x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 x y 2
A
x y xy 2 y 3 2 x 2 y x 3 x 2 y
:
2
2
xy
x y x y
19
A
x y xy 2 y 3 x 2 y x 3
:
2
2
xy
x y x y
2
x y x y y x
A
:
xy x y 2 x y 2
2
2
x y x y x y
A
.
xy x y 2 y x
A
x y
2
xy
2) Ta có:
x3 6 y 3 xy x y x3 6 y 3 x 2 y xy 2 0 x 3 8 y 3 xy 2 2 y 3 x 2 y 2 xy 2 0
x 3 8 y 3 xy 2 2 y 3 x 2 y 2 xy 2 0 x 2 y x 2 2 xy 4 y 2 y 2 x 2 y xy x 2 y 0
2
1 11 2
x 2 y x y y 0
x 2 y x 2 xy 3 y 2 0
2
4
x 2 y .
Thay x 2 y vào biểu thức
A
x y
xy
2
ta được
A
2y y
2y
2
2
1
2 .
Bài 14: HSG Vĩnh Bảo, năm học 2018 - 2019
A=
Cho biu thc
ổx +1
x2 + x
1
2 - x2 ử
ữ
ỗ
ữ
:
+
+
ỗ
2
2
ữ
ữ
ỗ
x - 2 x +1 è x
x - 1 x - xø
. Tìm GTNN của biểu thức A khi x >1
Lời gii
A=
Ta cú:
=
ổx +1
x2 + x
1
2 - x2 ử
ữ
ỗ
ữ
:
+
+
ỗ
ữ
ữ
x 2 - 2 x +1 ỗ
x - 1 x2 - x ứ
ố x
, với x >1
x ( x +1) x 2 - 1 + x + 2 - x 2 x ( x +1) x ( x - 1)
:
=
.
2
2
x ( x - 1)
x +1
( x - 1)
( x - 1)
æ
x2
x 2 - 1 +1
1
1 ử
ữ
=
=
= x +1 +
=ỗ
x - 1+
ữ
ỗ
ữ+ 2
ỗ
x- 1
x- 1
x- 1 è
x - 1ø
1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương x - 1 và x - 1 ta được
x - 1+
1
1
1
1
³ 2 ( x - 1) .
Û x - 1+
³ 2 Û x - 1+
+ 2 ³ 4 hay A ³ 4
x- 1
x- 1
x- 1
x- 1
20
