File đáp án CHUYÊN ĐỀ TOÁN

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARITT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARITNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

Chuyên đề 20

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ-GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM
DẠNG 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng các phương pháp giải phương trình logarit đã đưa ra tại Chuyên đề 19. Phương trình
mũ – logarit để giải
Câu 1.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm của bất phương trình
 1;3
 3;5
 1;3
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: 1  x  5 .

2log 2  x  1 log 2  5  x   1
D.

2

là

 1;5

2

2log 2  x  1 log 2  5  x   1  log 2  x  1 log 2  2  5  x     x  1 10  2 x
Ta có
 x 2  9 0   3  x 3 . Vậy tập nghiệm của bpt là S  1;3 .
Câu 2.

(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Tìm tập nghiệm

2 log3  4 x  3 log 3  18 x  27 
 3 
S   ;3
 8 .
A.

S

của bất phương trình

.

3 
S  ;3
4 .
B.

2 log 3  4 x  3  log 3  18 x  27   *

3


S  ;   
4
.
C.
Lời giải

D.

S  3;   

.

.

4 x  3  0
3
 x

4.
Điều kiện: 18 x  27  0

 *  log 3  4 x  3
Với điều kiện trên,

2

log 3  18 x  27 

2

  4 x  3 18 x  27



3
 x 3
8
.

3 
S  ;3
4 .
Kết hợp điều kiện ta được

Câu 3.

log 22  2 x   log 2

(THPT Yên Khánh - Ninh Bình -2019) Tập nghiệm của bất phương trình
chứa tập hợp nào sau đây?
3 
1 
 ;6 
 ;2
0;3
1;5
 .
 .
A.  2  .

B.
C.
D.  2  .

x
9
4

Lời giải
+ Điều kiện: x  0 .
+ Ta có:
Trang 1


x
2
 9   1  log 2 x   log 2 x  2  9  log 22 x  3log 2 x  10  0
4
1
  5  log 2 x  2  5  x  4
2

log 22  2 x   log 2

.
 1 
x  5 ;4
2
 chứa tập
Vậy

Câu 4.

1 
 ;2
2 .

(Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A.

  ; 4 .

B.

 1; 4 .

log 1  x  1  log 3  11  2 x  0
3

 11 
 4; 2 
.
D. 

 1; 4  .
C.
Lời giải

Chọn D

ĐK:

x  1  0


11  2 x  0

Ta có

x 1

 11 

11  x   1; 
 2
 x  2

log 1  x  1  log 3  11  2 x  0  log 3
3

11  2 x
11  2 x
 11 
0 
0  x  1; 
x 1
x 1
 2

 11 
 11   11 
x   1; 
x   4;    1; 
 2  . Vì
 2   2  . Ta chọn đáp án D
Kết luận:
Câu 5.

(Sở Phú Thọ 2019) Tập nghiệm của bất phương trình
A.

  ; 4

B.

 1; 4

log 1  x  1  log 3  11  2 x  0
3

là

 11 
 4; 2 
D.

 1; 4 
C.
Lời giải

Chọn B
1 x 

11
2 .

Điều kiện xác định:
log 1  x  1  log 3  11  2 x  0
 log 3  11  2 x  log 3  x  1  11  2 x  x  1  0
3
Khi đó ta có:
x 1

 x   1; 4
 x 4
.
Câu 6.

(Sở Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm của bất phương trình
A.

S    ; 4 

.

B.

S  1; 4 

log 1  x  1  log 3  11  2 x  0
3

Trang 2

.

log 1  x  1  log 3  11  2 x  0
3

S  1; 4
C.
.
Lời giải

 log 3  11  2 x   log 3  x  1 0

là:

 11 
S  3; 
 2 .
D.


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

11  2 x  x  1

 log3  11  2 x  log3  x  1

x  1  0
 1  x 4 .
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 7.

S  1; 4

.

(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình
2 log 2 x  1 2  log 2  x  2 

bằng

B. 9

A. 12

C. 5
Lời giải

D. 3

Chọn D
 x 1  0


x

2


0

Điều kiện

x   1
 x2

x  2

2 log 2 x  1 2  log 2  x  2   log 2  x  1 log 2

4
4
 x 1 
 x  2
 x  2

x2  x  2  4
x2  x  6

0 
0  x    ;  2   2;3
x 2
x 2
x   2;3
Suy ra nghiệm của bất phương trình là:
.
Nghiệm nguyên là: x 3 . Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên là 3
Câu 8.

(Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình
log  2 x 2  3  log  x 2  mx  1

có tập nghiệm là  .

B. m  2 2 .

A.  2  m  2 .

C.  2 2  m  2 2 . D. m  2 .
Lời giải

Ta có

log  2 x 2  3  log  x 2  mx  1

2
2
 x  mx  1  0
 x  mx  1  0
 2

 
 2
2
2 x  3  x  mx  1
 x  mx  2  0

Để bất phương trình

là 

log  2 x 2  3  log  x 2  mx  1


có tập nghiệm là  thì hệ   có tập nghiệm

2
 1 m  4  0

2
 2 m  8  0   2  m  2 .

Câu 9.

log 22 x  5log 2 x  4 0 .
(Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
A. S (   ;1]  [4 ; ) B. S [2  ;16]
C. S (0  ; 2]  [16 ; ) D. (   ; 2]  [16 ; )
Lời giải
Chọn C
Điều kiện x  0

 log 2 x 4


log 2 x 1

Bpt

 x 16

 x 2
Trang 3


S  0; 2    16;  

Kết hợp điều kiện ta có
Câu 10.

.

(Mã 105 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

log 22 x  2 log 2 x  3m  2  0 có nghiệm thực.
A. m  1

B. m 1

C. m  0
Lời giải

D.

m

2
3

Chọn.A
t log 2 x  x  0 

2
, ta có bất phương trình : tt  2m 3  2  0 .
Để BPT ln có nghiệm thực thì  3  3m  0  m  1 .

Đặt

Câu 11.

(THPT

Đoàn

Thượng

-

Hải

Dương

2019)

Biết

rằng

bất

phương

log 2  5 x  2   2.log 5x 2 2  3

trình

S  log a b;  
có tập nghiệm là
, với a , b là các số nguyên
 1 . Tính P 2a  3b .
dương nhỏ hơn 6 và a 
A. P 7 .
B. P 11.
C. P 18 .
D. P 16.
Lời giải





log 2 (5x  2) t . Do 5 x  2  2 với mọi x nên log 2 (5x  2)  log 2 2 1 hay t  1 .
 t 1
2

t   3  t 2  3t  2  0
t  2.
t
Bất phương trình đã cho trở thành:

(do t  1 )
Đặt

Đối chiếu với t  1 ta lấy t  2 .
Khi đó

log 2 (5 x  2)  2  5 x  2  x  log 5 2 .

Vậy bất phương trình có nghiệm là

S (log5 2; ) , ta có a 5, b 2  2a  3b 16 .

2
Câu 12. Tập nghiệm S của bất phương trình log 2 x  5log 2 x  6 0 là
 1
1

S  0; 
S  ; 64 
 2 .
2
.
A.
B.

C.

S  64;  

.

 1
S  0;    64; 
 2
D.
.
Lời giải

log 22 x  5log 2 x  6 0  1

ĐK:
Đặt

 1

x  0  *
t log 2 x  2 

thành

t  5t  6 0   1 t 6   1 log 2 x 6 

*  1 
So với   :

1

S  ; 64
2
.

Vậy
Trang 4

 2

2

1
 x 64
2

1
 x 64
2


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 13.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Kí hiệu

max  a; b

là số lớn nhất trong hai số a, b. Tìm tập nghiệm S



max log 2 x; log 1 x   1.
3 


của bất phương trình
 1
1 
S  ;2  .
S  0;  .
S

0;2
.


3 
 3
A.
B.
C.

D.

S  2;   .

Lời giải
Chọn A

y log 2 x  log 1 x log 2 x  log 3 x
3

y' 

1
1

 0, x  0
x ln 2 x ln 3
nên phương trình y 0 có nghiệm duy nhất

Mà phương trình y 0 có nghiệm x 1 do đó
TH1:

x  1: log 2 x  log 1 x
3



1
max log 2 x; log 1 x   1.  log 1 x  1  x 
3
3 
3

Ta có
1
 x 1
Do đó 3

TH2:

x 1: log 2 x log 1 x
3



max log 2 x; log 1 x   1.  log 2 x  1  x  2
3 

Ta có
Do đó 1  x  2
1 
S  ; 2  .
3 
Vậy
1 
S  ;2  .
3 

Câu 14.

(Sở Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm của bất phương trình





log 2 x x 2  2  4  x 2  2 x  x 2  2 1



a ;  b 
.

Khi đó a.b bằng

là

15
A. 16 .

Ta có:
Ta có:

12
B. 5 .

x x 2  2  x2



x





x2  2  x 



16
C. 15 .
Lời giải

2x

5
D. 12 .

x2  2  x .



log 2 x x 2  2  4  x 2  2 x  x 2  2 1  log 2 x

 

x 2  2  x  4  2 x  x 2  2 1
Trang 5






2 3x  2 x 2  2


2x
2
 log 2 
 4   2 x  x  2 1  log 2
 2 x  x 2  2 1,  1
2

2
x 2  x
 x 2  x

Ta có

x 2  2  x  0 , x   .

 x 0

  x  0
8
 2
,  *
2  x 

2
2
5
 4 x  8  9 x
Điều kiện: 3x  2 x  2  0  2 x  2   3 x
 * , ta có
Với điều kiện

 1  log 2  3x  2
Xét hàm số
Hàm số





x 2  2  3 x  2 x 2  2 log 2

f  t  log 2 t  t

f  t  log 2 t  t

với t  0 . Có



f  t  

 0;  ,
đồng biến trên



x 2  2  x  x 2  2  x,  2 
1
 1  0 t   0;  
t.ln 2
,
.

 3x  2



x 2  2   0;  

và



x 2  2  x   0;  

 2 



 

f 3x  2 x2  2  f

x2  2  x



Nên

 2 x 0
 x 0
2
 2
 2
 x 
2
2

2
2
 3x  2 x  2  x  2  x  x  2  2 x
3.
 x  2 4 x
3 x 2
 8
2
16
;
 

a.b 
5
3

 hay
15 .
Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là
Chọn đáp án
C.
Câu 15.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Bất phương trình
nguyên?
A. 4.
B. 7.
C. 6.
Lời giải
Chọn C

Điều kiện: x   5 .

x

3

 x  3
 x 0
 x  9 x 0
3
 x  9 x  ln  x  5 0   ln  x  5 0   x 3


 x  4 .
Cho
Bảng xét dấu:
3

  4  x  3
f  x  0  
 0  x 3 .
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
Trang 6

 9 x  ln  x  5  0

có bao nhiêu nghiệm

D. Vô số.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

x    x    4;  3;0;1; 2;3
Vì
.
x
Vậy có 6 giá trị ngun của thỏa bài tốn.
Câu 16.

(THPT

Đồn

Thượng

–

Hải

Dương

log 2  5x  2   2.log 5x 2 2  3



2019)

Biết

S  log b; 



rằng

bất

phương

trình

, với a , b là các số ngun

a
có tập nghiệm là
 1 . Tính P 2a  3b .
dương nhỏ hơn 6 và a 
A. P 7 .
B. P 11.
C. P 18 .

D. P 16.

Lời giải
Chọn D

log 2 (5 x  2) t . Do 5 x  2  2 với mọi x nên log 2 (5x  2)  log 2 2 1 hay t  1 .
 t 1
2


t   3  t 2  3t  2  0
t  2.
t
Bất phương trình đã cho trở thành:
(do t  1 )
Đặt

Đối chiếu với t  1 ta lấy t  2 .
Khi đó

log 2 (5x  2)  2  5x  2  x  log 5 2 .

Vậy bất phương trình có nghiệm là
Câu 17.

S (log5 2; )

, ta có a 5, b 2  2a  3b 16 .

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình

log 2  x 2  3  log 2 x  x 2  4 x 1 0

.

B. 6 .

A. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn B
Điều kiện: x  0 .
Ta có

log 2  x 2  3  log 2 x  x 2  4 x 1 0  log 2  x 2  3   x 2  3 log 2 4 x  4 x  *

.

f  t  log 2 t  t
D  0;   
Xét hàm số
trên
. Ta có
1
f  t  
 1  0 t  D 
t ln 2
hàm số f đồng biến trên D .
Suy ra

 * 

f  x 2  3  f  4 x   x 2  3 4 x  1 x 3

.

 1; 2; 3 .
Vậy tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình là
Nhận xét: Với cách hỏi và đáp án của câu này ta chỉ cần mở MODE 7 của máy tính cầm tay, nhập
vế trái của bất phương trình và cho biến chạy từ 1 đến 6 là tìm được đáp án ngay.
Câu 18.

 x2  x 1 
log 2 

16 x  3 

(HKI-NK HCM-2019) Biết bất phương trình
là

S  a; b  .





2

x  2  x 1
có tập nghiệm

Hãy tính tổng T 20a  10b.

A. T 45  10 2 .

B. T 46  10 2 .

C. T 46  11 2 .

D. T 47  11 2 .

Lời giải:
Chọn A
Trang 7


Điều kiện: x 0 .

 x 2  x 1 
log 2 

 16 x  3 





2

x  2  x 1  log 2  x 2  x 1  log 2  16 x  3   2 x  4 x  3 0

2

1 3


1 3

 log 2   x      2   x     log 2  2 x


2 4
2 4








2

3
3

   2 2 x  
4
4


3

 3
f  t  log 2  t 2    2  t  
4


 4  với t 0 có
Xét hàm số

nên

f t

Suy ra
 a

Câu 19.

đồng biến trên khoảng

f  t  

2t
2 0
 2 3
t

ln
2


4

, t 0

 0;  .

1 3
3
1

 x    2 x   2 x x  
2 4
4
2


 x 0
3 2 2
32 2


x 
 2
1
2
2
 x  3x  4 0

3 2 2
32 2
;b 
 T 20a  10b 45  10 2
2
2

log 3 ( 10 - 3x+1 ) ³ 1- x
(THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Tập nghiệm của bất phương trình
chứa
mấy số nguyên.
A. 3 .
B. 5 .
C. 4 .
D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
3
log 3 ( 10 - 3x+1 ) ³ 1 - x Û 10 - 3 x+1 ³ 31- x Û 3.3 x + x - 10 £ 0
3
Ta có
(*).

1
£ 3x £ 3 Û - 1 £ x £ 1
3
Giải (*) ta có
. Vậy có 3 số nguyên thuộc tập nghiệm của bất phương
trình.
Câu 20.

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2018) Số nghiệm nguyên của bất phương trình
log 2 x  log 3 x 1  log 2 x.log 3 x là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .

D. Vô số.
Lời giải
Điều kiện xác định: x  0 .
log 2 x  log 3 x 1  log 2 x.log 3 x   log 2 x  1  log 3 x  1 0
Ta có:
 log 2 x  1 0

log 3 x  1 0


 log x  1 0
 2
 log 3 x  1 0

 0  x 2

  x 3
 2  x 3
  x 2

 0  x 3

Do đó có 2 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Trang 8

.


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 21.


3x  7 
log 2  log 1
 0
x 3 
3

(THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Bất phương trình
có tập nghiệm
là

 a; b  . Tính giá trị

A. P 5 .

P 3a  b .

C. P 10 .
Lời giải

B. P 4 .

D. P 7 .

 3x  7

 3x  7

0
x

3

 x 3  0


3x  7
 3x  7
 3x  7
 log 1
 0   3x  7  1
 x 3  0
0



 3 x 3
 x 3

 x 3



8  x  3

3x  7
3x  7 
 3x  7 1

3x  7 1

0

1
log 2  log 1
log 1
 0

 x  3 3
 3  x  3
 3 x  3
 x  3 3
3 x 3 



7

 x    ;  3   3 ;   



7 

 x   ;3
3 
 8  x  3  0 x    3;3
 3  x  3
.

a
Suy ra
Câu 22.

7
7
P 3a  b 3.  3 4
3 ; b 3 . Vậy
3
.

log 1   log 2 x   0
3
(THPT Ngơ Quyền - Hải Phịng - 2018) Tập nghiệm của bất phương trình
là
1 
 1
;4

 0; 
0;5
 1; 2  .
A.   .
B.
C.  4  .
D.  2  .

Lời giải

x  0


 log 2 x  0

Điều kiện xác định:

x  0
 0  x 1

x 1

log 1   log 2 x   0   log 2 x  1  log 2 x   1  x 
3

1
2

 1
S  0; 
 2 .
So sánh điều kiện, suy ra

Câu 23.

(THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
log 2 5 x 5  25 log

5

A. 70 .

x 2  75 0

là
B. 64 .

C. 62 .
Lời giải

D. 66 .

Điều kiện x  0 .
log 2 5 x 5  25 log

5

1
3
x 2  75 0  4 log52 x  4 log5 x  3 0   2 log5 x  2 

1
 x  125
5
. Nghiệm nguyên của bất phương trình là: 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11 .
Trang 9


11.  11  1
S 1  2  ...  11 

66
2
.
Câu 24.

(THPT Lương Văn Can - 2018) Cho bất phương trình 
nguyên x thoả mãn bất phương trình trên.
A. 10000 .
B. 10001 .
C. 9998 .

log x  1  4  log x   0

. Có bao nhiêu số

D. 9999 .

Lời giải

 log x 1  4  log x   0  1
Điều kiện: x  0 .
Khi ấy

 1   1  log x  4 

1
 x  10000
x   1; 2;3;...;9999
10
. Vì x   nên

Vậy có tất cả 9999 số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên.
DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ đã đưa ra tại Chuyên đề 19. Phương trình mũ –
logarit để giải
Câu 1.

3x + 2)( 4 x+1 (
(THPT Trần Phú - 2019) Tập nghiệm của bất phương trỡnh:

ộ 1
ờ- ; +Ơ
ở 4
A. ờ

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

ổ
1ự
ỗ
- Ơ ;- ỳ
ỗ
ỗ
4ỳ
ỷ.
B. ố

( - ¥ ; 4]
C.
Lời giải

D.

82 x+1 ) £ 0

[ 4;+¥ ) .

Chọn A

( 3x + 2)( 4 x+1 -

82 x+1 ) £ 0 Û 4 x+1 - 82 x+1 £ 0
3

3

Û 4.22 x - 8.( 22 x ) £ 0 Û - 2.( 2 2 x ) + 22 x £ 0(*)

é 2
ê£t£ 0
ê
3
- 2.t + t £ 0 Û ê 2
ê
êt ³ 2
2x

ê
ë 2
Đặt 2 = t , t > 0 , suy ra bpt (*) trở thành:

Giao với Đk t > 0 ta được:

t³

2
22 x ³
2 Û

1
2
1
1
Û 22 x ³ 2 2 Û 2 x ³ - Û x ³ 2
2
4

é 1
T = ê- ; +¥
ê
ë 4
Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là

Câu 2.

2 x 1
x

(Lý Nhân Tơng - Bắc Ninh 2019) Bất phương trình 3  7.3  2  0 có tập nghiệm là
   ;  1   log 2 3;  .
   ;  2    log 2 3;  .
A.
B.
   ;  1   log3 2;  .
   ;  2    log 3 2;  .
C.
D.
Lời giải
Chọn C

2

2 x 1

Ta có 3
Trang 10

ư
÷
÷
÷
ø.

x
x
 7.3  2  0  3.  3   7.3  2  0 .
x

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

1

0t 

t  0

3

 2
x
3t  7t  2  0
t  2
Đặt 3 t  0 ta được 
.
1

x
0  3  3
 0  3x  3 1
x1


 x
 x
 x  log 2
3  3log3 2
3


2

3



Suy ra
.
   ;  1   log3 2;  .
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

Câu 3.

(Chuyên ĐH Vinh -2019) Biết tập nghiệm của bất phương trình
a  b bằng
A. 3 .

C. 0 .

B. 2 .

2x  3 

2
2 x là  a ; b  . Giá trị

D. 1 .

Lời giải

Chọn D
Ta có:

2x  3 

2
2
  2 x   3.  2 x   2  0  1  2 x  2  0  x  1
x
2
.

Tập nghiệm của bất phương trình là:
Suy ra a 0 và b 1 nên a  b 1 .
Câu 4.

S  0;1

.

3 x 1
x 1
2x
(Chuyên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 3  9  3  9.3  0 là
  ;1 .
 3;   .
 1;   .
  ;3 .
A.
B.

C.
D.
Lời giải
Chọn C
3 x 1
x 1
2x
3x
x
2x
Ta có 3  9  3  9.3  0  3.3  9  3.3  9.3  0

Đặt

3x t  t  0 

.

3
2
Ta có bất phương trình 3t  9  3t  9t  0
 3t 3  9t 2  3t  9  0
 3t 2  t  3  3  t  3   0

  3t 2  3  t  3  0
 t 30
 t 3
x
Khi đó ta có 3  3  x  1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 5.

S  1;    .

x
x
x
(THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - 2019) Bất phương trình 6.4  13.6  6.9  0 có tập
nghiệm là?
S   ;  1   1;   .
S   ;  2    1;   .
A.
B.
S   ;  1   1;   .
S   ;  2   2;   .
C.
D.
Lời giải
Chọn C

Trang 11


  2 x 3
  
2x
x
2
x1

 3
 2
 2
x
x
x
6.4  13.6  6.9  0  6.    13.    6  0  

.
x
 2
 3
 3
 x 1
2


  
3
  3 
Ta có
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 6.

S   ;  1   1;   .

.

x2

x 2
x
(Kinh Mơn - Hải Dương 2019) Cho bất phương trình: 2.5  5.2  133. 10 0 có tập

S  a; b

nghiệm là:
A. 2021

. Biểu thức A 1000b  5a có giá trị bằng
B. 2020
C. 2019
Lời giải

D. 2018

Chọn B
2

2.5

x 2

 5.2

x 2

Ta có:

2

x x
 x
 x
 133. 10 0  50.  5 2   133.5 2.2 2  20.  2 2  0
 
 
x

x
x
x
x
x
x
x
2 




  x 2
  2.5 2  5.2 2   25.5 2  4.2 2  0   2.5 2  5.2 2   5 2  2 2  0







x

1
2
5



1
  2 
x
x
x
x
 2
  21
1

x
x
 2.5  5.2 2 0
 5 2 2
  5  2 2


  2  1 0

 x 2
x
x

x
2

1


 

 25.5 2  4.2 2 0
 5 2 2 2
  2 
  x  2 0




 
x
x
x
x
x
  2
1
 2
  21
2
2
  5  2  1


  x 2
 2.5  5.2 0
 5 2

1



x





x
x
x

 x 2
 1 0
2
  2 



  x  4
2
2
2
2


2
 25.5  4.2 0
 5 2

x

2
  x 2

x
  5  2 1



 2 0
  2 


  x  4

2


  4  x 2 . Suy ra S   4; 2 . Vậy A 1000b  5a 1000.2  5.   4  2020 .

Câu 7.

(Toán Học Tuổi Trẻ Năm 2019) Số nghiệm nguyên của bất phương trình:

( 17 - 12 2 ) ³ ( 3 + 8 )
x

x2

là:
B. 1 .

A. 3 .

( 17 - 12 2 ) ³ ( 3 + 8 )
Ta có:
x

(

Û 3+ 8

)

C. 2 .
Lời giải
x2

(

Û 3-

8

)

2x

(

³ 3+ 8

D. 4 .

)

x2

x 2 +2 x

£ 1 Û x 2 + 2 x £ 0 Û x Ỵ [- 2;0]
.
3
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm ngun.
Câu 8.

(Chun Lê Q Dơn Diện Biên 2019) Tìm tập nghiệm của bất phương trình
2  2 x 1 3x  3x  1 .
x

A.

Trang 12

 2;  .

B.

  ; 2  .

  ; 2 .
C.
Lời giải

D.

 2;   .


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x

2 2

x 1

x

3  3

x 1

x

 3.2 4.3

x 1

2

x 2

3

x 2

Ta có
 2
 
 3

x 2

1  x  2 0  x 2

.
2

Câu 9.

1

1

 1x
 1x
   3    12
S  a ; b 
 3
(Chuyên Hưng Yên 2019) Cho bất phương trình  3 
có tập nghiệm
.
Giá trị của biểu thức P 3a  10b là
A. 5 .

B.  3 .

C.  4 .
Lời giải

D. 2 .

1

 1x
t  
 3   t  0  . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
Đặt
t 2  t  12   t  3  t  4   0  t  3
(vì t  0 ).
1

1
 1x

   3    1  1 x  0
  1;0  .
x
Từ đó suy ra:  3 
. Tập nghiệm của bất phương trình là
Vậy a  1 và b 0 . Suy ra P 3a  10b  3 .
Câu 10.

(Chuyên Hạ Long 2019) Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên dương

9 x  4.3x  3  0 .
A. 3.

B. 1.

C. 0.
Lời giải

D. 2.

x
Đặt t 3  0 .
2
x
Bất phương trình đã cho trở thành t  4.t  3  0  1  t  3  1  3  3  0  x  1 .
S  0,1
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
nên nó khơng có nghiệm ngun dương.

Câu 11.

x
x
x
(THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Bất phương trình 6.4  13.6  6.9  0 có tập nghiệm
là?
S   ;  1   1;   .
S   ;  2    1;  .
A.
B.
S   ;  1   1;   .
S   ;  2    2;   .
C.
D.
Lời giải

 2 x 3
  
2x
x
2
x 1
2
2
 3 
x
x
x
6.4  13.6  6.9  0  6.    13.    6  0  
 

.
x
x 1
 3
 3

2
2



  3   3

Ta có
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 12.

S   ;  1   1;   .

(THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tập nghiệm của bất phương trình



2

3



x 2  4 x  14

7  4 3

là:
Trang 13


A.

  6; 2 .

Ta có



2

B.



74 3  2 3
3



x 2  4 x  14

    6   2;  .

 6; 2 
C. 
.
Lời giải

2

 ,  2  3   2  3  1 và 2 


7  4 3  2 

3



x 2  4 x  14



 2

3



D.



3  2

3



1

  ;  6    2;   .



 74 3  2

3



2

.

2

 x 2  4 x  14  2  x 2  4 x  12 0   6  x 2 .

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm
Câu 13.

  6; 2 .

x
x 1
x
(Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 6  4 2  2.3
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0

Lời giải
Chọn C
6 x  4 2 x 1  2.3x  6 x  4  2.2 x  2.3x 0
 2 x  3x  2   2  2  3x  0
  3x  2   2 x  2  0

 x   log 3 2;1
Câu 14.

(Chuyên Thái Bình 2019) Tập nghiệm của bất phương trình

 a ; b  . Tính b 
2

9

B. 3 .

  x 2  9  .5x 1  1  1

Có 5

x 1

2

9

  x 2  9  .5x 1  1

là khoảng

a

A. 6 .
3x

3x

C. 8 .
Lời giải

D. 4 .

.

 0 x .

2

 1 30  0 1 (loại).
Xét x  9 0 , VT

3x

2

9

 30 1



x 2  9  .5x 1  0 
2

 1  1 (loại).
Xét x  9  0 
VT
3x

2

9

 30 1



x 2  9  .5x 1  0 


 1  1 luôn đúng.
Xét
VT
x 2  9  0  x    3;3
Có
.
 Tập nghiệm của bất phương trình là:   3;3  b  a 6 .
2

x  90

Câu 15.

(

Hsg

2  32 x
2  32 x 
A. Vô số.
Trang 14

2  32 x

Bắc

Ninh

2019)

Bất

phương

34 x  4  34 x  7
32 x  2


32 x
4  34 x  2  32 x có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.
D. 3

trình


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải
2x
Đặt t 3  0 , bất phương trình đã cho trở thành

2t
t2  4  t2  7
t 2


 1

t
2t  2 t
4  t2  2  t
Điều kiện: 0  t  2

 1 

2 t



2t  2  t
2t

 t

2

 4  t2  7
t 2

t
4  t2  2 t





  20; 20

của bất phương

2
t  3 4  t 2  2t 2  12
t 2
t  3 4  t 2  2t 2  12  t  2  4  t  2  t




2t
2t
 2t 2  4t
4  t2  2 t

 t  3 4  t 2  2t 2  12  4  t 2  2  t  4 4  t 2  2t 2  10 0
2
1
t  3  32 x  3  x  .
 4  t 2  1 0  t  3
4
. Với





Vậy bất phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
Câu 16.

(KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Số nghiệm nguyên thuộc đoạn
trình: 2
A. 38 .

2 x 1

 9.2 x  4 x 2  2 x  3 0 là
B. 36 .

Chọn

C. 37 .
Lời giải

D. 19 .

B.

2
 * .
Điều kiện: x  2 x  3 0  x  3 hoặc x 1
 20; 20 nên ta xét các trường hợp sau:
Vì x là số nguyên thuộc đoạn 

22 x 1  9.2 x 2 x  2 x 1  9   0
Trường hợp 1. 3  x 20 , khi đó dễ thấy
nên

22 x 1  9.2 x  4 x 2  2 x  3 0 , do đó trên  3; 20 bất phương trình có 18 nghiệm ngun.

Trường hợp 2. x 2 thay trực tiếp vào bất phương trình ta có: 4 5  4 0 (đúng).
Do đó x 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 3. x 1 thay trực tiếp vào bất phương trình ta có:  10 0 (sai).
Do đó x 1 khơng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
f  x  x 2  2 x  3
Trường hợp 4.  20  x  4 . Khi đó, xét hàm số:
, dễ thấy

min f  x   f   4  5

2
 a .
nên 4 x  2 x  3 4 5, x    20;  4 
x
2 x 1
 9.2 x 2t 2  9t ,  20  x  4  2  20 t 2  4 .
Mặt khác, đặt t 2 , khi đó 2
 20
4
g  t  2t 2  9t
Khi đó xét hàm số
với 2 t 2 , dễ thấy
71
min
g  t   g  2  4  

20

4
2 ; 2 

128  b 



  20; 4

 a  ,  b
Từ

suy ra





min h  x  22 x 1  9.2 x  4 x 2  2 x  3 h   4  4 5 

  20; 4

71
0
128
. Do đó

 20;  4 bất phương
bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi  20  x  4 , nên trên đoạn 
trình có 17 nghiệm ngun.
Trang 15

Trường hợp x  3 thay trực tiếp vào bất phương trình ta thấy khơng thỏa mãn.
Vậy số nghiệm ngun của bất phương trình là: 36.
Câu 17.

(Chuyên Thái Nguyên 2019) Tập hợp tất cả các số thực x không thỏa mãn bất phương trình

9x

2

4

  x 2  4  .2019 x  2 1

A. 5 .

là khoảng
B. 4 .

 a; b  . Tính b  a .
C.  5 .
Lời giải

D.  1 .

2
2
Xét hai trường hợp: x - 4 ³ 0 và x - 4 < 0
éx ³ 2
x2 - 4 ³ 0 Û ê

êx £ - 2
ë
TH1:
khi đó ta có:
2
ïìï 9 x - 4 ³ 90 = 1
2
Þ 9 x - 4 +( x 2 - 4) 2019 x- 2 ³ 1
í
x
2
0
ïï x - 2 ³ 0 Û 2019 ³ 2019 = 1
ỵ
ïìï x 2 - 4 = 0
Û í
Û x=2
ïï x - 2 = 0
ỵ
"
=
"
Dấu
xảy ra

2
TH2: x - 4 < 0 Û - 2 < x < 2 , khi đó ta có:
ìï 9 x2 - 4 < 90 = 1
x2 - 4
ï

Þ
9
+( x 2 - 4) 2019 x- 2 < 1
í
ïï x - 2 < 0 Û 2019 x- 2 < 2019 0 = 1
ợ
ị bt phng trỡnh vụ nghim

Vy tp hp tt c các số thực

x

khơng thỏa mãn bất phương trình là

(- 2; 2) Þ a =- 2; b = 2 Þ b - a = 4

Câu 18.

(THPT Chuyên Thái Bình - 2019) Tập nghiệm của bất phương trình
khoảng
A. 6.

3x

2

9

  x 2  9  .5x 1  1

 a; b  . Tính b  a .
B. 3.

C. 8.
Lời giải

D. 4.

Chọn A
2

3x  9 30 1
 x  3
2
 2
x  9 0  
,
x 1
x2  9
x

9
.5

0
3
  x 2  9  .5x 1 1




x

3


Với Với
ta có
nên
 khơng thỏa mãn bất phương trình đã cho, do đó bất phương trình vơ nghiệm.
2

3x  9  30 1
 2
2
x 1
2
3x  9   x 2  9  .5x 1  1
 x  9  .5  0
x

9

0


3

x

3,

Với Với
ta có
nên
 Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S   3;3 .
Khi đó, a  3; b 3 nên b  a 6 .
Trang 16

là


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 19.

0; 2020
(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn 
thỏa mãn bất
phương trình sau
16 x  25x  36 x 20 x  24 x  30 x .
A. 3 .

B. 2000 .

D. 1000 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C
x

x
x
x
x
x
2x
2x
2x
x x
x x
x x
Ta có 16  25  36 20  24  30  4  5  6 4 .5  4 .6  5 .6
2
2
2
 2   4 x    5 x    6 x     2.4 x.5 x  2.4 x.6 x  2.5 x.6 x  0



 4 x  5x 0

 4 x  6 x 0 
5x  6 x 0
2
2
2

  4 x  5 x    4 x  6 x    5 x  6 x  0

 4  x 1

 5 x
4
 6  1  x 0   0; 2020
 5 x
 6  1
.

0; 2020
Vậy có 1 giá trị nguyên của x trong đoạn 
thỏa mãn bất phương trình.
Câu 20.

(Hải

Hậu

(32 x  9)(3x 

-

Nam

Định

-

2020)

Tập

nghiệm

của

bất

phương

trình

1
) 3x1  1 0
27
chứa bao nhiêu số nguyên ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải
Chọn B
x 1
x 1
Điều kiện 3  1 0  3 1  x  1 .

Ta có x  1 là một nghiệm của bất phương trình.

Với x   1 , bất phương trình tương đương với

(32 x  9)(3x 

1
) 0
27
.

 t  3
 1
1
1
2

t 3
(t  9)(t 
) 0  (t  3)(t  3)(t 
) 0
x
27

t

3

0
27
27
Đặt

, ta có
. Kết hợp
1
1
t 3 
3x 3   3  x 1
t

3

0
27
27
điều kiện
ta được nghiệm
. Kết hợp điều
kiện x   1 ta được  1  x 1 suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm ngun.
x

Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm ngun.
Câu 21.

(THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Tập nghiệm của bất phương trình
9 x  2  x  5  .3x  9  2 x 1 0

A.

 0;1   2;   .

B.

là
  ;1   2;   

1; 2
.C.   .
Lời giải

D.

  ; 0   2;    .

x
Đặt 3 t , t  0 .

Xét phương trình:
2

Ta có

t 2  2  x  5 t  9  2 x  1 0  1

.

  x  5   9  2 x  1  x 2  8 x  16  x  4 

2

nên phương trình

 1

ln có nghiệm.
Trang 17


1
Nếu x 4   0 thì phương trình   có nghiệm kép t  x  5 .
x
Do đó bất phương trình đã cho trở thành 3 x  5 (luôn đúng khi x 4 ).

 t 2 x  1

1
Nếu x 4    0 thì phương trình   có hai nghiệm phân biệt  t 9
.
x
x
x
1
2
Xét các phương trình 3 9  x 2   và 3 2 x  1  3  2 x  1 0   .
f x 3x  2 x  1
f  x 3x ln 3  2
Đặt  
; ta có  
là hàm số đồng biến trên  .
f 0  f  1 0
f  0  0 f  1  0
f x

Lại có  
và  
,
nên   đổi dấu một lần duy nhất trong
khoảng

 0;1 .
 2

có đúng hai nghiệm x 0 , x 1 .
1
2
S  0;1   2;   
Lập bảng xét dấu cho   và   ta được tập nghiệm của bất phương trình là:
.
Vậy phương trình

Câu 22.

x2
x 2
x
(Tốn Học Tuổi Trẻ Số 6) Tập nghiệm của bất phương trình 2.7  7.2 351. 14 có dạng

là đoạn
A.

 3;

S  a; b 

10

.

2.7 x 2  7.2 x 2

 49.

. Giá trị b  2a thuộc khoảng nào dưới đây?
B.



  4; 2  .

C.
Lời giải

7; 4 10

.

 2 49 
 ; 
D.  9 5  .

72 x
22 x
 49.
 28.

351
14 x
14 x
351. 14 x  49.7 x  28.2 x 351. 14 x

7x
2x
7x
28

28.

351
t

,t  0
49t  351
x
x
x
2
7
2
t
. Đặt
thì bpt trở thành

4
7x 7
4

7




t 
49
2 x 2   4  x 2 , khi đó S   4; 2 .
49
2
Giá trị b  2a 10
Câu 23.





7; 4 10

.

1
f  x   .52 x 1 g  x  5 x  4 x.ln 5
2
(Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho
;
. Tập nghiệm của bất
phương trình
A. x  0 .

f  x   g  x 

là
B. x  1 .

C. 0  x  1 .
Lời giải

D. x  0 .

1
f  x   .52 x 1.  2 x  1  .ln 5 52 x 1.ln 5
2
Ta có:
.
Và:

g  x  5 x.ln 5  4 ln 5  5 x  4  ln 5

Do đó:

f  x   g  x   5

.

.ln 5   5  4  ln 5  52 x 1  5x  4  5.52 x  5x  4  0

2 x 1

x

4
 x
5    VN 


5
 x
 5  1
 5x  1  x  0 .
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x  0 .
Trang 18


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 24.

x 2
x 2
x
(THPT Kinh Mơn - Hải Dương - 2018) Bất phương trình 2.5  5.2 133. 10 có tập

nghiệm là
A. 3992 .

S  a; b 

thì biểu thức A 1000b  4a  1 có giá trị bằng
B. 4008 .

C. 1004 .

D. 2017 .

Lời giải
x

x 2
x 2
Ta có: 2.5  5.2
.

x

 5
 2
 50. 
 20. 

  133 0

133. 10 x  50.5 x  20.2 x 133. 10 x
 2
 5

x

 5
4
5

t 


t 
2
2

 , t  0 , ta được bất phương trình: 50t  133t  20 0
25
2.
Đặt
x

4  5
5
4
5
x




t 
  2  1
 2
25
2


  4  x 2 .

2 , ta có:
2
 Với 25
S   4; 2   a  4 b 2
Tập nghiệm của bất phương trình là
,
.

 A 1000b  4a  1 1000.2  4   4   1 2017 .

Câu 25.

 0;12 
Số nghiệm nguyên thuộc khoảng
A. 7 .

B. 8 .

của bất phương trình
C. 5 .

3

1
x  1
x

2

3

11
x

log 2

2 x  11
x 2  x  1 là:

D. 11 .

Lời giải
Chọn C
Điều kiện

Khi đó

3

3

1
x  1
x

x

1
x  1
x

2

3

2

3

11
2 và x 0 .

11
x

11
x

1

log 2

11

x  1
2
1
 2 x 11 
2 x  11
 3 x  3 x  log 2  2


2
2
x  x 1
 x  x 1 

11 

2
1


x  1
1
1
1  211x 1
11 


x
x
 log 2 
3
 log 2  x  1   3  log 2  2  

2
2
x
2
x



 x  1 1 
x

.

1
1
f  t  3t  log 2 t
f  t  3t ln 3 
 0, t  0
2
2t ln 2
Xét hàm số
với t  0 . Khi đó
nên hàm số đã

cho đồng biến trên

 0;  .

Do đó

1

f  x  1   f
x

Vậy trên khoảng

11 
1
11
x 2  3 x  10

 11

2


x

1


2


0  x    ;  2    0;5


x
x
x
x

 2

.

 0;12 

có 5 nghiệm nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Trang 19