ĐÁP ÁN và ĐỀ TOÁN KSCL đầu năm L.12

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài 90 phút.
ĐỀ :
Bài 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
2
x
4x x 1
lim
x 1
→−∞
− +
+
; b)
x
x
x
−
→
1
2
cos
lim
1
π
Bài 2: (2,0 điểm) Cho hàm số:
3
2
3 - x

x+6 - 3
f(x)
1
m x - 5m
3

≠


=




nÕu x
nÕu x = 3
Tìm m để hàm số liên tục tại x = 3
Bài 3: (1,0 điểm) Cho hàm số :
3 2
y x 3x 1= − +
có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng (-3)
Bài 4: (1,0 điểm) Tìm các điểm cực trị của hàm số sau trên khoảng
( )
0;2
π
:

sinx+cosx+xy =
Bài 5: (1,0 điểm) Giải phương trình :

3
2 12 2 0x x x+ − + − =
.
Bài 6: (3,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a SB
⊥
(ABCD)
và
a 6
SB
2
=
a) Chứng minh tam giác SAD vuông.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD)
c) Tính khỏang cách giữa hai đường thẳng AC và SD
---------------------------------Hết------------------------------------
1 Nguyễn Công Mậu
HƯỚNG DẪN CHẤM :
Bài 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: (Mỗi câu 1 điểm).
a)
2
x
4x x 1
lim
x 1
→−∞
− +
+
=
2

x
1 1
x 4
x x
lim
1
x(1 )
x
→−∞
− +
+
=
2
x
1 1
x 4
x x
lim
1
x(1 )
x
→−∞
− − +
+
(0,5 đ)
=
2
x
1 1
4

x x
lim 2
1
1
x
→−∞
− − +
= −
+
(0,5 đ)
b) + Đặt t = 1-x (x = 1-t). Khi
1x →
thì
0t
→
(0,25 đ)
+
1 0 0
os
sin
2 2
2 2
lim lim lim
1
x t t
t
x t
c
x t t
π π

π π
→ → →
 
−
 ÷
 
= =
−
(0,5 đ)
=
0
sin
2
lim
2 2
2
t
t
t
π
π π
π
→
=
(0,25 đ)
Bài 2: (2,0 điểm) Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x = 3
+
2
(3) 5f m m= −
(0,5 đ)

+
( )
3 3 3
(3 )( 6 3)
lim ( ) lim lim 6 3 6
3
x x x
x x
f x x
x
→ → →
− + +
= = − + + = −
−
(1 đ)
+ f(x) liên tục tại x = 3
2
3
3
(3) lim ( ) 5 6
2
x
m
f f x m m
m
→
=

⇔ = ⇔ − = − ⇔


=

(0,5 đ)
Bài 3: (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến:
+ Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm thì tiếp tuyến với (C) tại điểm M có hệ số góc:

2
0 0 0
'( ) 3 6f x x x= −
(0,25 đ)
+
2
0 0 0 0 0
'( ) 3 3 6 3 1 1f x x x x y= − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ = −
(0,5 đ)
+ PTTT : y = -3x + 2 (0,25 đ)
Bài 4: (1,0 điểm) Tìm các điểm cực trị của hàm số :
+
' osx-sinx+1; y'=0 2 sin 1
4
y c x
π
 
= ⇔ − =
 ÷
 

2
sin sin
2
4 4
2
x k
x
x k
π
π
π π
π π

= +
 

⇔ − = ⇔
 ÷

 
= +

(0,25 đ)
+ vì
( )
0;2 ;
2
x x x

π
π π
∈ ⇒ = =
(0,25 đ)
+
" 2 os x- " 1 0 ; "( ) 1 0
4 2
y c y y
π π
π
   
= ⇒ = > = − <
 ÷  ÷
   
(0,25 đ)
1 Nguyễn Công Mậu
+ Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số lần lượt là
;
2
x x
π
π
= =
(0,25 đ)
Bài 5: (1,0 điểm) Giải phương trình :
3
2 12 2 0x x x+ − + − =
.
+ ĐK :
2x

≥
. Xét hàm số :
3
( ) 2 12 2 , 2f x x x x x= + − + − ∀ ≥
(0,25 đ)
+
2
1
'( ) 3 2 0 ; 2
2 2
f x x x
x
= + + > ∀ >
−
. (0,25 đ)
+ Hàm số f(x) đồng biến với mọi x > 2 và f(2)=0
( ) (2)f x f⇒ >
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 (0,5 đ)
Bài 6: (3,0 điểm)
a) Chứng minh tam giác SAD vuông. (0,75 điểm)
+
( )
( )
SB ABCD SB AD
AD SAB
AB AD
⊥ ⇒ ⊥

⇒ ⊥


⊥

(0,5 đ)
AD SA⇒ ⊥

SAD⇒ ∆
vuông (0,25 đ)
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) (1 điểm)
+ Góc
α
giữa hai mặt phẳng là
·
SOB
(0,25 đ)
+
0
1 2 6
tan ; ; tan 3 30
2 2 2
SB a a
OB OD SB
OB
α α α
= = = = ⇒ = ⇒ =
(0,75 đ)
c) Tính khỏang cách giữa hai đường thẳng AC và SD (1,25 điểm)
+ Trong (SBD) dựng OH vuông góc với SD

&

( )
AC BD AC SB
AC SBD AC OH
⊥ ⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
+ OH là khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC và SD.
+
DHO DBS
∆ ∆
:
OH SB
OD SD
⇒ =
.OD SB
OH
SD
⇒ =
+ Trong đó :
2 6
;
2 2
a a
OD SB= =
2 2
14
2
a
SD SB BD= + =
+ Tính được

3
14
OH a=
------- Hết------
1 Nguyễn Công Mậu

S
B C
O H
A D