File đáp án CHUYÊN ĐỀ TOÁN

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARITT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARITNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

Chuyên đề 20

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM
DẠNG 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Câu 1.

(Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho a là số thực dương, a 1 . Biết bất phương trình
2 log a x  x  1 nghiệm đúng với mọi x  0 . Số a thuộc tập hợp nào sau đây?
A.

 7;8

B.

 3;5

 2;3
C.
Lời giải

D.

 8; 

Chọn A
Ta có: với x 1 thì 2 log a 1 0 1  1
Ta sẽ tìm a để đường thẳng y x  1 nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2 log a x tại điểm

x 1
2
2
y 
 y 1 
x lna
ln a
Có
Phương trình tiếp tuyến

y

2
 x  1
ln a

Vậy để đường thẳng y x  1 nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2 log a x thì
2
1  ln a 2  a e 2
ln a

2 log e2 x  x  1  ln x x  1
2
 f  x  ln x  x  1 0 x  0
Thử lại a e ta sẽ chứng minh
1
1 x
f  x    1 
 f  x  0  x 1
x

x
Có

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra
Câu 2.

f  x  0  ln x x  1 x  0

a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn

(THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho





3log3 1  a  3 a  2 log 2 a
A. 19 .

Từ giả thiết
Đặt

. Giá trị của

log 2  2017a 

B. 26 .





3log 3 1  a  3 a  2 log 2 a

C. 25 .
Lời giải

xấp xỉ bằng:
D. 23 .

.

log 2 a 3x  a 64 x .
Trang 1


3log 3  1  8x  4 x   6 x  1  8 x  4 x  9 x
.

Ta được bất phương trình:
x

x

x

 1  8  4
       1

 9  9  9
x

.

x

x

 1  8  4
f  x         
 9  9  9 .
Đặt
x

x

x

1
1 8
 8  4
 4
f  x    ln      ln      ln    0
9
9 9
 9  9
9

, x   .

Vậy

f  x

f 2 1
là hàm số nghịch biến trên  . Và ta lại có  
.

x

x

x

1 8  4
         1  f  x   f  2
 x  2.
Từ  9   9   9 
2
Suy ra a  64 4096 mà a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn suy ra a 4095 .
log 2  2017a  log 2  2017 4095  22.97764311 23
Vậy
.

Câu 3.

(Chuyên Hưng Yên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình





log 0,02 log 2  3x  1  log 0,02 m
A. m 1.

x    ;0 
có nghiệm với mọi
B. 0  m  1.
C. m  1.
Lời giải

D. m  2.

Đk: x  R;; m  0 .





log 0,02 log 2  3x  1  log 0,02 m , x    ;0  .
Ta có:
 log 2  3x  1  m , x     ; 0  .

 3x  1  2m , x     ;0  .
f  x  3x  1
   ;0  . Ta có f  x  3x.ln 3  0, x     ;0  .
Xét hàm
trên
Bảng biến thiên:

x

∞

0

y'

+
2

y
1

Để phương trình có nghiệm với mọi
Câu 4.

m
ta phải có 2 2  m 1 .

(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để
bất phương trình
A. S 14 .
Chọn C
Ta có:

Trang 2

x    ;0 

ln  7 x 2  7  ln  mx 2  4 x  m 

B. S 0 .

nghiệm đúng với mọi x thuộc  . Tính S .
C. S 12 .
D. S 35 .
Lời giải


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2

2

7 x  7 mx  4 x  m
 7  m  x 2  4 x  7  m 0  1


 2
 2
ln  7 x 2  7  ln  mx 2  4 x  m 
mx  4 x  m  0
 mx  4 x  m  0  2 

 1 ,  2  đúng với
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x   khi và chỉ khi các bất phương trình
mọi
x.
 7  m  x 2  4 x  7  m 0  1 .

Xét

 1 trở thành  4 x 0  x 0 . Do đó m 7 khơng thỏa mãn.
+ Khi m 7 ta có
 1 đúng với mọi x  
+ Khi m 7 ta có
m  7
7  m  0
m  7



2
  ' 0
m 5  m 9  m 5   .
4   7  m  0
2
 2 .
Xét mx  4 x  m  0
 2  trở thành  4 x  0  x  0 . Do đó m 0 khơng thỏa mãn.
+ Khi m 0 ta có
 2  đúng với mọi x  
+ Khi m 0 ta có
m  0
m  0
m  0




2
 '  0 4  m  0 m   2  m  2  m  2   .

Từ
Câu 5.

 

và

 

m   3; 4;5
ta có 2  m 5 . Do m  Z nên
. Từ đó S 3  4  5 12 .

(Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình
log 2  7 x 2  7  log 2  mx 2  4 x  m 

A. 5

B. 4

nghiệm đúng với mọi x .
C. 0

D. 3

Lời giải
Chọn D

Cách 1:
2
2
7 x  7 mx  4 x  m

 2
log 2  7 x 2  7  log 2  mx 2  4 x  m 
 mx  4 x  m  0

Bpt:
 f  x   m  7  x 2  4 x  m  7 0

2
 g  x  mx  4 x  m  0
 f  x  0 , x  

 g  x   0 , x  
Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x  
 Trường hợp 1: m 7
4 x 0
 f  x  0
 2

 g  x   0
7 x  4 x  7  0
Vậy m 7 khơng thỏa u cầu bài tốn.


Trường hợp 2: m 0

Trang 3


  7 x 2  4 x  7 0
 f  x  0



 g  x   0
4 x  0
Vậy m 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
 Trường hợp 3: m 0; m 7

a f  0

 f 0


 f  x  0, x  
 ag  0

   0
 g  x   0, x  
 g

m  7  0
m  7

2
 m 5  m 9

4   m  7  0



m

0

m  0
4  m2  0
 m   2  m  2  2  m 5


Khi đó:
Do m   nên
Cách 2:

m   3; 4;5

.

7 x 2  7 mx 2  4 x  m

 2
log 2  7 x 2  7  log 2  mx 2  4 x  m 
 mx  4 x  m  0

7 x 2  4 x  7 m  x 2  1
 m  7  x 2  4 x  m  7 0




2
2
m  x  1   4 x
 mx  4 x  m  0
 4x
 7 x2  4x  7

m
 x 2  1
7  x 2  1 m



m   4 x
m   4 x
x2 1

x2 1


 4x

m  7  x 2  1

m   4 x
x2 1

(*)

 4x
x 2  1 trên  .
Xét hàm số
 4( x 2  1)  4 x( x 2  1) 4 x 2  4
g '( x) 
 2
( x 2  1) 2
( x  1)2
g ( x) 

 x  1
g '( x) 0  
 x 1
Bảng biến thiên

m  7  2

 2  m 5
m

2

Vậy đk (*)
m   3; 4;5
Do m   nên
.
Câu 6.

(Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất

phương trình

Trang 4

log 1 ( x - 1) > log 1 ( x 3 + x - m)
2

2

có nghiệm.


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. m £ 2 .
C. m < 2 .

B. m Ỵ  .
D. Khơng tồn tại m .
Lời giải

Chọn A

ìï x >1
ïí
ï x3 + x - m > 0
Điều kiện ïỵ
.
Phương trình tương đương

log 1 ( x - 1) > log 1 ( x3 + x - m) Û x - 1 < x3 + x - m Û x 3 +1 > m
2

2

Khi đó ta có
f ( x ) = x 3 +1 > m, ( x >1) Û m < min f ( x )
( 1;+Ơ )

Ta cú

f Â( x ) = 3x 2 = 0 Þ x = 0 Ï ( 1; +¥ )
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đề bài hỏi “có nghiệm” nên ta chọn m Ỵ  .
Câu 7.

(THPT Chun Thái Bình - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương
trình

log 2  x 2  mx  m  2  log 2  x 2  2 

A. 2 .

B. 4 .

nghiệm đúng với mọi x   .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải

Chọn D
2
Ta thấy x  2  0 x  
Do đó bất phương trình

log 2  x 2  mx  m  2  log 2  x 2  2   x 2  mx  m  2 x 2  2  mx  m 0
log 2  x  mx  m  2  log 2  x  2 
2

Bất phương trình

2

.

nghiệm đúng với mọi x   khi và chỉ khi

mx  m 0 x    m 0
Câu 8.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp
số

 x; y 

A.

thỏa mãn
S   5;  1;1;5

C.

S   5;5

.

log x2  y 2 2  4 x  4 y  6  m 2  1
.

B.
D.

2
2
và x  y  2 x  4 y  1 0 .

S   1;1

.
S   7  5;  1;1;5;7

.
Lời giải

Chọn A

Trang 5

y

m

2
I

-3

-1

J

O

1

2

x

2
2
Nhận thấy x  y  2  1 với mọi x, y   nên:

log x2  y2 2  4 x  4 y  6  m 2  1  4 x  4 y  6  m 2  x 2  y 2  2  x 2  y 2  4 x  4 y  8  m 2 0
2

2

  x  2    y  2  m 2

(*).

 x 2

2; 2 
Khi m 0 thì (*)  y 2 . Cặp 
không là nghiệm của phương trình
x 2  y 2  2 x  4 y  1 0 .
x; y 
J 2; 2 
m
Khi m 0 , tập hợp các điểm 
thỏa mãn (*) là hình trịn tâm 
, bán kính là
.
I  1; 2 
Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường trịn tâm 
, bán kính 2 và

hình trịn tâm

J  2; 2 

, bán kính

m

có đúng một điểm chung (hình vẽ)

 m 1
 m 1


m 5
 m 5 (thỏa mãn m 0 ).
Điều này xảy ra khi 
S   5;  1;1;5
Vậy
.
Câu 9.

(Bình Giang-Hải Dương 2019) Xét bất phương trình

log 22  2 x   2  m  1 log 2 x  2  0





. Tìm tất

2; 
cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng
.
 3 
 3

m    ;0 

m    ;  
m

0;

m



;
0




 4 .
 4
.
A.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình
Đặt t log 2 x , vì

log 22  2 x   2  m  1 log 2 x  2  0  log 22 x  2m log 2 x  1  0  1

x



1

2;   t   ;  
2
.



t2  1
t  2mt  1  0  2mt  t  1  2m 
 2
t
Bất phương trình tr thnh
.
2
ổ
ử
1
t - 1
tẻ ỗ
; +Ơ ữ
ữ
f ( t) =
ỗ
ữ
ỗ

ố2
ứ.
t với
Đặt
2

Trang 6

2

.


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

Bất phương trình

( 1) có nghiệm thuộc khoảng

1

 ;  
.
nghiệm thuộc khoảng  2
1
1

f  t  1  2  0 t   ;  
t
2


Ta có



2; 

 khi và chỉ khi bất phương trình ( 2) có

.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng
khi

2m >-



2; 



khi và chỉ

3
3
Û m >2
4.

Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m 2  x5  x 4   m  x 4  x3   x  ln x  1 0

m để bất phương trình

thỏa mãn với mọi x  0 . Tính tổng các giá trị trong

tập hợp S.
A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

D.  2 .

Chọn C
Đặt

f  x  m2  x5  x 4   m  x 4  x 3   x  ln x  1

 0;   

và

. Ta có

f  x  m 2  5 x 4  4 x 3   m  4 x 3  3 x 2   1 

f  x

liên tục, có đạo hàm trên

1
x.

f  x  0
y  f  x
Bất phương trình đã cho viết thành
. Giả sử
có đồ thị là (C).
f  x  0
với mọi x  0 khi và chỉ khi đồ thị (C) khơng nằm phía dưới trục Ox.
A  1;0 
Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là
. Nên điều kiện cần để đồ thị (C) khơng nằm phía
A  1; 0 
dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại
.
 m 0
f '  1 0  m 2  m  
 m 1 .
Suy ra,
f  x  x  ln x  1 0
Với m 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành
.
f  x  0  x 1

.
f  x
Bảng biến thiên của hàm số

Trang 7


f  x  0, x  0

. Suy ra m 0 thỏa mãn điều kiện.
f  x   x5  2 x 4  x 3  ln x  x  1 0
Với m 1 ta có bất phương trình đã cho trở thành
.
Dựa vào bảng biến thiên ta có

4
3
1
5 x 5  8 x 4  3 x3  x  1  x  1  5 x  3 x  1
f  x  5 x  8 x  3x   1 

x
x
x
4

3

2

2

2

2

3  
9 

 9 
5 x 4  3x 3  1  2 x 2  x    x 2 
 1     0
4  
32 

 32 
Ta có
.
f  x  0  x 1
f  x
Suy ra
. Bảng biến thiên của hàm số
như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có
Vậy

S  0;1

Câu 11.

f  x  0, x  0

. Suy ra m 1 thỏa mãn điều kiện.

.

(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho bất phương trình

log 7  x 2  2 x  2   1  log 7  x 2  6 x  5  m 

 1;3 ?
Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng
A. 36 .
B. 34 .
C. 35 .
D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Ta có:

log 7  x 2  2 x  2   1  log 7  x 2  6 x  5  m  , x   1;3 
 log 7  7 x 2  14 x  14   log 7  x 2  6 x  5  m  , x   1;3 
2
 x 2  6 x  5  m  0, x   1;3
 m    x  6 x  5  , x   1;3  1
 2
 2
 6 x  8 x  9  m, x   1;3
6 x  8 x  9  m, x   1;3  2 

Xét

g  x    x 2  6 x  5  , x   1;3 

2

, có

2

g  x    x  3  4    1  3  4  12, x   1;3

 1  m  12 .
Do đó
h  x  6 x 2  8 x  9, x   1;3
h  x   6.12  8.1  9 23, x   1;3 
Xét
, có
.
 2   m 23 .
Do đó
m    12; 23
  12;  11;  10;...; 23 .
Do m   và
nên ta được tập các giá trị của m là
Vậy có tổng cộng 36 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
Trang 8

.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 12.

m
(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Gọi 0 là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình
x


1  log 2  2  x   2log 2  m   4 2  x  2 x  2   log 2  x  1
2


có nghiệm. Chọn đáp án
đúng trong các khẳng định sau
m    10;  9 
m    9;  8 
m  9;10 
m  8;9
A. 0 
.
B. 0   .
C. 0
.
D. 0
.
Lời giải
Chọn C

 1  x  2
 1  x  2



 *
x
x

m


4
2

x

2
x

2

0
m


4
2

x


2
x

2


2

2
+ Điều kiện xác định: 
.
+ Với điều kiện trên bất phương trình:
x


1  log 2  2  x   2log 2  m   4 2  x  2 x  2   log 2  x  1
2

















x


 log 2  2  2  x   x  1  log 2  m   4 2  x  2 x  2 
2


x
  2  x   2 x  2  m   4 2  x  2 x  2
2
x
 m    2  x   2 x  2   4 2  x  2 x  2  1
2
.



+ Ta thấy các nghiệm của
+ Đặt

 1







trong khoảng

Xét

f  x  2  x  2x  2

f  x  

  1;2 

x    1;2 

với

với

2





t  2  x  2x  2 , t  0



luôn thỏa mãn

 * .

.

x    1;2 

.

1
1
2 2  x  2x  2


2 2 x
2x  2 2  2  x   2x  2

f  x  0  2 2  x  2 x  2  x 1

.

.

Bảng biến thiên:

Suy ra khi
+ Ta có

t 2 4  x  2
m

+

 1

trở thành

+

 1

có nghiệm

x    1;2 

thì



3;3



x

2

t

 2  x   2x  2

.

 2  x   2x  2 

t2  4
2 .

t2  4
 4t  2m t 2  8t  4  2 
2
.

x    1;2    2 

có nghiệm

t



3;3

.
Trang 9


y g  t  t 2  8t  4
+ Xét hàm số
trên

Bảng biến thiên:

 2



+ Do đó bất phương trình
có nghiệm
19
m0 
   10;  9 
2
Suy ra
.
Câu 13.

3;3

t



.

3;3

khi và chỉ khi

2m  19  m 

19
2 .

M  x; y 
(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các điểm
trong đó x, y là

các số nguyên thoả mãn điều kiện

log x2  y 2 1  2 x  2 y  m  1,

với m là tham số. Có bao nhiêu số

 2020; 2019
nguyên m thuộc đoạn 
để tập S có khơng q 5 phần tử?
A. 1.
B. 2020.
C. 2021.
D. 2019.
Lời giải
Chọn C
log x2  y 2 1  2 x  2 y  m  1  2 x  2 y  m  x 2  y 2  1
2

2

  x  1   y  1 m  1

Để bất phương trình có 5 phần tử thì m  1  2  m  1

 2020; 2019
Vậy có 2021 số nguyên m thuộc đoạn 
để tập S có khơng q 5 phần tử.
Câu 14.

(Chuyên

Thái

Bình

-

Lần

log 7  x 2  2 x  2   1  log 7  x 2  6 x  5  m 

3

-

2020)

Cho

bất

phương

. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

1;3 ?
bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng  
A. 36 .
B. 35 .
C. 34 .

D. Vô số.

Lời giải
Chọn A
2
Điều kiện xác định x  6 x  5  m  0 .

Khi đó

log 7  x 2  2 x  2   1  log 7  x 2  6 x  5  m 

 log 7  7 x 2  14 x  14   log 7  x 2  6 x  5  m 
 7 x 2  14 x  14  x 2  6 x  m  5
 6 x 2  8x  9  m  0 .
6 x 2  8 x  9  m  0
6.12  8  9  m 0
ycbt   2
, x   1;3   2
x  6x  5  m  0

1  6  5  m 0   12 m 23 .

Khi đó

Vậy có 36 giá trị ngun của m thỏa ycbt.

Trang 10

trình


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 15.

(Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Xét bất phương trình

2
2

log 2 x  2  m  1 log 2 x  2  0



. Tìm tất



2;  
cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng
.
 3 
 3


m    ;0 
m    ;  
m   0; 
m    ;0 
 4 .
 4
.
A.
.
B.
C.
D.
.
Lời giải
x

0
Điều kiện:
log 22 2 x  2  m 1 log 2 x  2  0
2

  1  log 2 x   2  m  1 log 2 x  2  0

 1
.

1

1
t   ;  

log 2 x  log 2 2 
t

log
x
2

2
2 . Do đó
Đặt
.Vì x  2 nên

 1

1 t 
thành

2

 2  m  1 t  2  0  t 2  2mt  1  0  2 

1

 ;  
.
Cách 1: u cầu bài tốn tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  2
2
Xét bất phương trình (2) có:  ' m  1  0, m   .
f  t  t 2  2mt  1 0

có ac  0 nên (2) ln có 2 nghiệm phân biệt t1  0  t2 .
1
1
3
 t2  m  m 2  1   m  
2
4.
Khi đó cần 2
t2  1
1

t 2  2mt  1  0  f  t  
< m t  
2t
2

Cách 2:
Khảo sát hàm số
Câu 16.

(Chuyên

f t

Vinh

trong
-

 0;  

2018)

Gọi

 3

m    ;  
 4
.
ta được
a

là

số

thực

lớn

nhất

để

bất

phương

trình

x  x  2  a ln  x  x  1 0
2

A.

2

a   2;3

.

nghiệm đúng với mọi x   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
a   8;   
a   6;7 
a    6;  5
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
2

1 3

3
t x  x  1  x   
t

2  4 suy ra

4
Đặt
2





x 2  x  2  a ln x 2  x  1 0  t  a ln t  1 0  a ln t  t  1
Bất phương trình
Trường hợp 1: t 1 khi đó a ln t  t  1 luôn đúng với mọi a .
3
t  1
Trường hợp 2: 4
t1
3 
3 
a ln t  t  1, t   ;1  a 
, t   ;1 
ln t
4 
4 
Ta có

Trang 11


t1

f  t 
 f  t  
ln
t
Xét hàm số

1
t 0, t   3 ;1
2
 4 
ln t
do đó

ln t  1 

t 1
7
3 
, t   ;1  a 
3
ln t
4 
4 ln
4
Trường hợp 3: t  1
a

Ta có

a ln t  t  1, t   1;     a 

t 1
, t   1;   
ln t

1
ln t  1 
t 1
t , t   1;   
f  t 
 f  t  
2
ln
t
ln
t
Xét hàm số
.
1
1 1
g  t   ln t  1  t  g  t   t  t 2  0
Xét hàm số
g t 0
Vậy  
có tối đa một nghiệm.
g  1  2; lim g  t  
g t 0
1;   
t  
Vì

vậy  
có duy nhất một nghiệm trên 
t 1
ln t0  0
f  t 0
t0 suy ra f  t0   t0
Do đó  
có duy nhất một nghiệm là t0 . Khi đó

Bảng biến thiên

Vậy

a

t 1
, t   1;    a  t0
ln t
.

 t0 a 
Vậy

7
4 ln

3
4.

a   6; 7 

Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
.

Câu 17.

(THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử

S  a, b 

là tập nghiệm của bất phương trình

5 x  6 x 2  x3  x 4 log 2 x   x 2  x  log 2 x  5  5 6  x  x 2

1
A. 2 .

7
B. 2 .

5
C. 2 .
Lời giải

x  0
x  0


2
 2  x 3
Điều kiện: 6  x  x 0

D  0;3
.
5 x  6 x 2  x3  x 4 log 2 x   x 2  x  log 2 x  5  5 6  x  x 2
Trang 12

. Khi đó b  a bằng
D. 2 .


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2

 5 x  x 6  x  x log 2 x  x  x  1 log 2 x  5  5 6  x  x

2

  x  1  5  x log 2 x   6  x  x 2  x log 2 x  5   0





6  x  x2  0

  5  x log 2 x  x  1 

 5  x log 2 x  0

I
  x  1  6  x  x 2  0


 5  x log 2 x  0
 II 

2
x

1

6

x

x

0


.
 Giải hệ (I).
5  x log 2 x  0  1

2
 x  1  6  x  x  0  2 
Giải

 1

5  x log 2 x  0 .

5

f  x  x   log 2 x 
x
  xg  x  với x   0;3
Xét hàm số
5
1
g  x   2 
 0x   0;3
x
x ln 2
Ta có
.
Lập bảng biến thiên

5

f  x  x   log 2 x   0x   0;3
x

Vậy
.

Xét bất phương trình (2):
 x   1


5
  x 

2
5


x

 x  1
2.
I
Vậy nghiệm của hệ  

 Hệ

2
2
6  x  x   x  1
2 x 2  3x  5  0


 x  1
6  x  x2  x  1
x 1

5 
D  ;3
2 .
là

 II  vô nghiệm.

5 
S  ,3
2 .
Vậy
Trang 13


5 1

2 2.

b  a 3 

Câu 18.

(Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho bất phương trình

log 7  x 2  2 x  2   1  log 7  x 2  6 x  5  m 

. Có

1;3
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng  
?
A. 35 .
B. 36 .
C. 34 .
D. 33 .

Lời giải

 x 2  6 x  5  m  0
2
m   x  6 x  5
bpt  
 2
log  7 x 2  2 x  2    log 7  x 2  6 x  5  m 
6 x  8 x  9  m
 7  
m  max f  x 
 1;3


g  x
m  min
f x  x 2  6 x  5 g  x  6 x 2  8 x  9
 1;3
, với  
;
f x
g x
Xét sự biến thiên của hai hàm số   và  
f  x  2 x  6  0, x   1;3  f  x 
1;3
  
luôn nghịch biến trên khoảng  
 max f  x   f  1  12
 1;3

g  x 12 x  8  0, x   1;3  g  x 

1;3
  
luôn đồng biến trên khoảng  
 min g  x  g  1 23
 1;3

Khi đó  12  m  23
m    11;  10; ...; 22
Mà m   nên
Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 19.

(Sở Quảng Nam 2018) Có bao nhiêu giá trị ngun thuộc khoảng
phương trình
A. 6 .



3log x 2 log m x  x 2   1  x  1  x
B. 7 .

  9;9 

của tham số m để bất

 có nghiệm thực?

C. 10 .
Lời giải

D. 11 .

0  x  1

0

x

1

0  x  1

1 x  0


m
2

m x  x  1 x 1 x  0
 m x   1  x   0
x

Điều kiện 
.
Bất phương trình đã cho tương đương



log x 3 log m x  x 2   1  x  1  x



 x3  m x  x 2   1  x  1  x





x x  1 x 1 x
x  x2





x
1 x

1 x
x .

Áp dụng bất đẳng thức cơ si ta có
Trang 14

2

2

 x x  m x  x2   1 x  1  x
 m




TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 x
  1 x

 1 x   
 x  2 x  2 1  x

 1 x
  x

.
Vì vậy m  x  1  x .
f  x  x  1 x
0;1
f  x   2 1, 414
Khảo sát hàm số
trên   ta được
.
Vậy m có thể nhận được các giá trị 2,3, 4,5,6, 7,8 .
Câu 20.

(Yên Phong 1 - 2018) Có bao nhiêu số nguyên

ln 5  ln x 2  1 ln mx 2  4 x  m







A. 3 .

m

sao cho bất phương trình

 có tập nghiệm là  .

B. 4 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Ta có bất phương trình

ln 5  ln x 2  1 ln mx 2  4 x  m  ln 5 x 2  5 ln mx 2  4 x  m


















5x2  5  4 x
m

 f  x

2
5 x 2  5  4 x m x 2  1
x

1

5 x 2  5 mx 2  4 x  m  

m   4 x  g  x 

2
2
m

x

1


4
x


mx

4
x

m

0

x2 1

.
f  x
Hàm số
có bảng biến thiên:





Hàm số

g  x





có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra để bất phương trình có tập nghiệm là  khi 2  m 3 .
Vậy có 1 giá trị nguyên của m .
DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ
Câu 1.

a
x
x   1;  
(VTED 2019) Cho a  1 . Biết khi a a0 thì bất phương trình x a đúng với mọi
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
2
3
A. 1  a0  2
B. e  a0  e
C. 2  a0  3
D. e  a0  e
Lời giải
Chọn C
a

x
x a a x  a.ln x x.ln a 

ln a ln x
x
f  x 
, x   1;  
ln x
Đặt

Trang 15


f  x  

ln x  1
ln 2 x

f  x  0  x e.
Bảng biến thiên:

x   1;   

Bất phương trình nghiệm đúng
* Xét hàm số
e
x e
g  x  x  e.ln x; g  x  1  
x
x

a
e  a e.ln a  a  e.ln a 0
ln a

Vậy a  e.ln a 0
Theo bảng biến thiên, ta có: a  e.ln a 0  a e
a a0 e   2;3
Vậy
Câu 2.

y  4 x   m  1 .2 x  m
(Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số sau xác định trên  :
A. Đáp án khác.
B. m   1 .

C. m  0 .
Trang 16

D.  3  2 2 m  3  2 2 .
Lời giải


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x

y  4   m  1 .2  m

Hàm số
Đặt

x

t 2 x

4 x   m  1 .2 x  m 0 x  
xác định trên  khi và chỉ khi
.

t2  t
 t  0 . Khi đó: t 2   m  1 .t  m 0 t  0  t  1 m t  0 .

Xét hàm số:

f  t 

f ' t 
Ta có:

t2  t
t  1 với t  0 .

t 2  2t  1

 t  1

2

khi đó:

Lập bảng biến thiên ta tìm được

f '  t  0  t 2  2t  1 0  t  1  2
do t  0 .





min f  t   f  1  2  3  2 2

 0;

.

t2  t
m t  0
Để bất phương trình t  1
thì m  3  2 2 .
Câu 3.

x
x 1
Bất phương trình 4  (m  1)2  m 0 nghiệm đúng với mọi x 0. Tập tất cả các giá trị của m
là
 ;12  .
 ;  1 .
 ;0 .
 1;16 .
A. 

B. 
C. 
D. 

Lời giải
Chọn B
x
Đặt t 2 . ĐK: t 1

BPT

 t 2  2  m  1 t  m 0   2t  1 m tt2  2m
g '  tt 

Ta có
Câu 4.

2tt2  2  2

 2t  1 

2

 0, Min
1 g t

g



tt2  2
g t
2t  1

 1 
    1 m

 m 

min
g t



   ;  1

(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương

4 x  1  m  2 x  1  0
trình
nghiệm đúng với mọi x   .
m     ; 0    1;   
m     ; 0
A.
.
B.
.
m   0;  
m   0;1
C.

.
D.
.
Lời giải
Bất phương trình

4 x  1  m  2 x  1  0  1

.

x

Đặt t 2 , t  0 .
1 2
t  m  t  1  0
 t 2  4mt  4m  0  2  .
Bất phương trình (1) trở thành: 4
f  t  t 2  4mt  4m
.
Đặt
I  2m ;  4m 2  4m 
y  f t
Đồ thị hàm số
có đồ thị là một Parabol với hệ số a dương, đỉnh
.
 1 nghiệm đúng với mọi x    Bất phương trình  2  nghiệm đúng với mọi t  0 hay
Bất phương trình

f  t   0, t  0

.
f 0  4m 0  m 0
TH1: m 0   
thỏa mãn.
Trang 17


2
TH2: m  0   4m  4m  0 nên m  0 không thỏa mãn.
Vậy m 0 .

Câu 5.

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Bất phương trình
đúng với mọi x 0 . Tập tất cả các giá trị của m là
A.

  ;12  .

B.

  ;  1 .

4 x   m  1 2 x 1  m 0, x 0
 2

x 2



4 x   m  1 2 x 1  m 0

  ;0 .
C.
Lời giải

D.

nghiệm

  1;16 .

.

 2  m  1 2 x  m 0, x 0

(1).

x

Đặt

t 2 ,  t  0 

.
t  2  m  1 t  m 0, t 1
2

(1) trở thành
Cách 1:

(2)

 m

t 2  2t
, t 1
2t  1
(3).

Xét hàm số
f  t  

(2).

y  f t 

t 2  2t
2t  1 . Ta có hàm số y  f  t  liên tục trên  1;   .

 2t  2   2t  1  2  t 2  2t  2t 2  2t  2

 0, t 1
2
2
 2t  1
 2t  1
.

f  t
 1;    f  t   f  1  1, t 1 .

Suy ra hàm số
đồng biến trên
 m min f  t 
 1; 
 m  1 .
Do đó (3)
Cách 2:
t 2  2  m  1 t  m 0
là một bất phương trình bậc hai.
2
Tam thức bậc hai ở vế trái ln có  m  m  1  0, m nên tam thức ln có hai nghiệm là
m 2  m  1 và t m  1  m 2  m  1 .
t 2  2  m  1 t  m 0
Suy ra bất phương trình
có tập nghiệm là
t m  1 

  ; m 1 



m 2  m  1    m  1  m 2  m  1; 
 
.

 m  1  m 2  m  1 1 
(2)
Câu 6.

m 0

m 2  m  1  m   2
 m  1
2
m  m  1 m
.

(THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

62 7
bất phương trình sau nghiệm đúng với x   :
A. 10 .

B. 9 .

x



  2  m 3 

C. 12 .
Lời giải

7



x

m    10;10

  m  1 2 x 0

D. 11 .

Ta có:

62 7
Trang 18

x



  2  m 3 

7



x



  m  1 2 x 0  2 x 3  7



x



  2  m 3 

7



x

  m  1 2 x

để


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021



 3 7



x

x

 3 7 
  2  m  
  m  1

 2 
x

 3 7  1
x
 
 
t  3 7
2 
t

t

0
Đặt
,
. Bất phương trình đã cho trở thành:





t2  t  2
1
m
t   2  m  .  m 1 
t 1
t
.
t 2  2t  3

t2  t  2
 t  
f
2
f t 
 t  1
t  1 trên khoảng  0;    , ta có
Xét hàm số
 t  3

f  t  0
 t 0 . Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m  1 . Suy ra trong
đoạn
Câu 7.

  10;10

có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn u cầu bài tốn.

x
x
x
x
(THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng 2019) Tìm m để bất phương trình 2  3  4  5 4  mx có
tập nghiệm là  .
A. ln120 .
B. ln10 .
C. ln 30 .

D. ln14 .
Lời giải

+ Với a  1 ta có

 e x ln a  1 
ax  1
lim 
 .ln a ln a
x 0
x 0
x
 x ln a 

lim

.

x

a 1
xa x ln a  a x  1

f  x 
f  x 
 x 0 
x
x2
+ Với a  1 xét hàm số
, ta có

.
x
x
x
x
2
x
g  x   xa ln a  a  1  g  x  a ln a  xa ln a  a ln a  xa x ln 2 a
Xét hàm số
.
g  x   0
g  x   g  0   g  x   0  f  x   0, x  0
Với x  0 ta có
suy ra
.
g  x   0
g  x   g  0   g  x   0  f  x   0, x  0
Với x  0 ta có
suy ra
.
f  x 

ax  1
 a  1
  ;0  và  0;  .
x
đồng biến trên các khoảng

Do đó hàm số
Trở lại bài tốn:

+ Xét x 0 bất phương trình thỏa mãn.
+ Xét x  0 ta có:

2 x  3x  4 x  5 x 4  mx  m 

2 x  1 3x  1 4 x  1 5 x  1



h  x 
x
x
x
x
.

Trang 19


Từ nhận xét trên ta có

h  x

đồng biến trên

 0;  . Do đó u cầu của bài tốn tương đương với

m  lim h  x  ln 2  ln 3  ln 4  ln 5 ln120
x 0

+ Xét x  0 ta có:

.

2 x  3x  4 x  5 x 4  mx  m 

Từ nhận xét trên ta có

h  x

đồng biến trên

  ;0  . Do đó yêu cầu của bài toán tương đương với

m  lim h  x  ln 2  ln 3  ln 4  ln 5 ln120
x 0

2 x  1 3x  1 4 x  1 5 x  1



h  x 
x
x
x
x
.

.

Kết hợp lại ta có m ln120 .
Câu 8.

(Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số

Bất phương trình
1
m  f   1 
e
A.

y  f  x

. Hàm số

y  f ' x

có bảng biến thiên như sau:

f  x   ex  m

x    1;1
đúng với mọi
khi và chỉ khi.
1
m  f   1 
m  f  1  e
m  f  1  e
e
B.

C.
D.
Lời giải

Chọn B
f  x   ex  m  m  f  x   ex
Ta có
.
x
g  x   f  x   e ; g '  x   f '  x   e x  0x    1;1
Xét hàm số
.
g  x
  1;1 .
Suy ra hàm số
nghịch biến trên
1
 m max g  x   g   1  f   1 
e , chọn C.
Yêu cầu bài toán
Câu 9.

(Chuyên Sơn La 2019) Cho hàm số
sau

y  f  x 

2

Bất phương trình

m  f  0   1.
A.

f  x   ex  m
B.

đúng với mọi
m  f   1  e.

liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như

x    1;1

khi và chỉ khi
m  f  0   1.
m  f   1  e.
C.
D.

Lời giải
2

2

f  x  ex  m  f  x   ex  m
Trang 20