Các Dạng Toán Sử Dụng Các Hằng Đẳng Thức 1,2.Doc

PHÒNG GD-ĐT TP BẮC GIANG
TRƯỜNG THCS TÂN TIẾN







SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG
HẰNG ĐẲNG THỨC: (A  B)=A  2AB +B”AB +B”
Người viết: Trần Anh Quang

Tân Tiến, tháng 5 năm 2015
1


NỘI DUNG

TRANG

1. Đặt vấn đề ..........……………………………………………...

3

2.Giải quyết vấn đề ..........……………………………………….

3

2.1. Cơ sở lý luận ..........…………………………………….

3

2.2.Thực trạng ........................................................................

4

2.3. Nội dung ………………………………………………..

4

2.3.1. Lý Thuyết ..........................................................

4

2.3.2. Một số dạng toán ………..…………………….

5

Dạng 1 ..........…………………………………...

5

Dạng 2 ..........…………………………………...

6

Dạng 3 ..........…………………………………...

7

Dạng 4 ..........…………………………………...

9

Dạng 5 ..........…………………………………...

12

Dạng 6 ..........…………………………………...

17

Dạng 7 ..........…………………………………...

20

Dạng 8 ..........…………………………………...

21

2.4. Hiệu quả .........................................................................

25

3. Kết luận .....................................................................................

25

3.1. Đánh giá ........................................................................

25

3.2. Bài học kinh nghiệm ........….........................................

26

3.3. Ý kiến đề xuất ..........………………………………….

26

4. Tài liệu tham khảo ....................................................................

28

2


1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khi thực hiện giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 8,
phần kiến thức về những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là hai hằng đẳng
thức: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu là rất quan trọng.
Với phần kiến thức này học sinh không chỉ giải một số dạng bài tập cơ bản
trong chương mà còn là phương tiện để làm các bài tốn về tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh biểu thức âm, biểu thức dương và một số
bất đẳng thức. Trong khi phân phối chương trình của sở giáo dục chỉ có hai
tiết học cả lí thuyết và bài tập nên thầy cơ chủ yếu dạy lí thuyết và hướng dẫn
học sinh giải một số bài tập cơ bản, thời gian hướng dẫn các em về một vài
phương pháp giải cụ thể cho từng dạng tốn gần như khơng có. Vì vậy giáo

viên ít có điều kiện rèn kĩ năng cho học sinh ở phần này.
Xuất phát từ thực tế này, tôi đã tiến hành phân loại và đưa ra “Một số
dạng toán sử dụng hằng đẳng thức (A  B) = A  2AB + B” nhằm giúp học
sinh khắc phục những hạn chế trên. Đồng thời bổ sung thêm một số dạng tốn
khó cho HS khá giỏi.
2AB +B”. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2AB +B”.1. Cơ sở lí luận:
Việc giảng dạy bài tập tốn khơng thể cứng nhắc đơn điệu, tuỳ theo
từng bài tốn ta có các cách giải khác nhau.
Dạy học giải các bài tập tốn có ý nghĩa rất quan trọng:
- Củng cố, hệ thống hoá kiến thức đã học của học sinh, rèn luyện kĩ
năng kĩ xảo.
- Để học sinh tự đánh giá năng lực nhận thức của chính mình và cũng
giúp giáo viên đánh giá được sự tiếp thu kiến thức của học sinh và trình độ
học tốn của từng em.
- Gây hứng thú học tập toán của học sinh. Từ đó phát huy được các
phẩm chất trí tuệ, các năng lực cần thiết mà mục tiêu giáo dục THCS đề ra.
3


Các hằng đẳng thức 1, 2 là một nội dung đặc biệt quan trọng, nó được
sử dụng rất nhiều trong các dạng tốn ở lớp 8 và lớp 9. Vì vậy, ngồi việc dạy
lí thuyết giáo viên chú ý khắc sâu kiến thức trọng tâm của bài học, tôi đã phân
loại các bài tốn theo từng dạng trong q trình dạy học của mình, để giúp các
em có được những kĩ năng tốt, những kinh nghiệm quý báu khi giải các bài
tập có liên quan.
2AB +B”.2AB +B”. Thực trạng:
Giáo viên: Có sự nhiệt tình, lịng u nghề, tinh thần trách nhiệm trong
cơng việc, trình độ chun mơn khá, ln có ý thức tự học tập nâng cao trình
độ. Tuy nhiên, kinh nghiệm bản thân còn hạn chế.

Nhà trường: Cơ sở vật chất đáp ứng đủ nhu cầu dạy và học nhưng chất
lượng giáo dục còn chưa cao.
Học sinh:
- Các em chăm ngoan chú ý đến việc học tập, nhưng việc tiếp thu kiến
thức ngồi SGK cịn yếu.
- Đối với những hằng đẳng thức đáng nhớ, các em cũng đã nắm được
và giải được những bài tập cơ bản trong SGK, tuy nhiên với bài tập ở mức độ
cao hơn các em cịn gặp nhiều khó khăn.
- Đội tuyển HSG được ôn tập nhiều nhưng số giải đạt được rất thấp.
2AB +B”.3. Nội dung:
2AB +B”.3.1. Lí thuyết
* Các hằng đẳng thức đã học:
1. (A + B) = A + 2AB + B

2. (A - B) = A - 2AB + B

* Các hằng đẳng thức mở rộng:
1. (A+B+C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC
2. (A+B- C) = A + B + C + 2AB - 2BC - 2AC
3. (A- B- C) = A + B + C - 2AB + 2BC - 2AC
4


2AB +B”.3.2AB +B”. Một số dạng bài tập sử dụng hằng đẳng thức 1, 2AB +B”
DẠNG 1: Thực hiện các phép tính
Cách làm:
- Áp dụng hằng đẳng thức để thực hiện các phép nhân .
- Rút gọn biểu thức (nếu cần).
VD: Tính
a) (x + 2)

b) (y - )

c) (2x - y)

d) (x + 2y -3z)

e) (x - y) + (y + z) - (x + y -z)
Giải

a) (x + 2)

= x + 2.x.2 + 2 = x + 4x + 4

b) (y - )

= y - 2.y. + = y - y +

c) (2x - y)

= (2x) - 2.2x. y + = 4x - xy + y

d) (x + 2y -3z)

= x + (2y) + (3z) +2.x.2y - 2.x.3z - 2.2y.3z
= x + 4y + 9z + 4xy - 6xz - 12yz

e) (x - y) + (y + z) - (x - y -z)
= (x - 2xy + y) + (y + 2yz + z) - (x + y + z - 2xy + 2yz - 2xz)
= x - 2xy + y + y + 2yz + z - x - y - z + 2xy - 2yz + 2xz

= y + 2xz
Chú ý: Khi một phân số, một tích, một đa thức là cơ số của lũy thừa phải có
ngoặc.
Bài tập tương tự: Tính
5


a) (x - )

d) (2x - 3y)

g) ( 5a - b)

b) (2x - 1)

e) (a - b)

h) (x - y)

c) (3x + )

f) (4x - y)

i) ( 2a + b - c)

DẠNG 2AB +B”: Phân tích đa thức thành nhân tử
Cách làm: Sử dụng các hằng đẳng thức
1. A + 2AB + B = (A + B)
2. A - 2AB + B = (A - B)
3. A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC = (A+B+C)

4. A + B + C + 2AB - 2BC - 2AC = (A+B- C)
5. A + B + C - 2AB + 2BC - 2AC = (A- B- C)
- Cần nhận định xem đa thức đã cho giống vế trái của hằng đẳng thức
nào ở trên.
- Xác định các biểu thức: A, B, C
- Áp dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức đó thành nhân tử.
VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x - 4x +4

b) x + y + 2xy

d) x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz

c) (x +y) +1 + 2x + 2y
e) x - y + 2y - 1

Giải
a) x - 4x +4 = x - 2.x.2 + 2 = (x -2)
b) x + y + 2xy = x + 2.x.y + y = (x +y)
c) (x +y) +1 + 2x + 2y

= (x +y) + 2(x+y) + 1 = (x +y +1)

d) x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz = (x +y +z)
6


e) x - y + 2y - 1 = x - (y - 2y + 1) = x - (y - 1) = (x + y -1)(x - y +1)
Bài tập tương tự: Phân tích thành nhân tử
a) 9x + 6x + 1

f) + a - a

b) 4x - 4xy + y

g) -4x + 12xy - 9y

c) + a + a

h) (x + y) - 2y(x + y) + y

d) 25x - 10x + 1

i) a - 2a +

e) 81a + 36ab + 4b
DẠNG 3: Tính giá trị biểu thức
1/ Tính nhanh
Cách làm:
- Nhận định biểu thức đã cho giống dạng hằng đẳng thức nào.
- Áp dụng hằng đẳng thức đó để tính nhanh.
VD: Tính nhanh
a) 31 + 2.31.69 + 69

c) 102

b) 2,5 + 7,5 - 5.7,5

d) 199

e) 3,1 + 2,3 + 4,4 + 2.3,1.2,3 + 2.2,3.4,4+ 2.3,1.4,4
Giải
a) 31 + 2.31.69 + 69 = ( 31 + 69) = 100 = 10000
b) 2,5 + 7,5 - 5.7,5 = 7,5 - 2.2,5.7,5 + 2,5 = (7,5 -2,5) = 5 = 25
c) 102 = (100 +2) = 100 + 2.100.2 + 2 = 10000 + 400 + 4 = 10404
d) 3,1+2,3+4,6+2.3,1.2,3+2.2,3.4,6+2.3,1.4,6 = (3,1+2,3+ 4,6) = 10 = 100
e) 199 = (200 -1) = 200 - 2.200.1 + 1 = 40000 - 400 + 1 = 39601

7


Bài tập tương tự: Tính nhanh
a) 101 ; 98

d) 109,5 - 2.105,5.5,5 + 5,5

b) 302 ; 198

e) 48 + 96.52 + 52

c) 17 + 2.17.83 + 83

f) 135 - 70.135 + 35

2/ Tính giá trị biểu thức
Cách làm:
- Phân tích đa thức thành nhân tử.
- Thay giá trị của biến vào đa thức đã phân tích rồi tính biểu thức số.
VD: Tính giá trị biểu thức
a) A = 4x - 12x + 9

tại x = 1,5

b) B = x + y + xy

tại x = 201,6 ; y = - 7,2
Giải

a) Ta có:

A = 4x - 12x + 9 = (2x) - 2.2x.3 + 3 = (2x -3)

thay x =1,5 vào biểu thức trên được: (2.1,5 - 3) = 0 = 0
Vậy giá trị của A tại x = 1,5 bằng 0
b) Ta có: B = x + y + xy = + 2. x.y + y =
thay x = 201,6; y=-7,2 vào biểu thức trên, được:
= (67,2 - 7,2) = 60 = 3600
Vậy giá trị của B tại x = 201,6 ; y = -7,2 bằng 3600
Bài tập tương tự: Tính giá trị biểu thức.
a) A = x - 12x + 36

tại x= 106

b) B = x + xy + y

tại x = 142; y = 29

DẠNG 4: Tìm số chưa biết
8

1/ Tìm một số chưa biết
Cách làm:
- Thực hiện các phép nhân ở hai vế.
- Áp dụng quy tắc chuyển vế: chuyển tất cả sang vế trái.
- Nếu đa thức vế trái có bậc 1 thì tìm biến ; nếu đa thức vế trái có bậc
lớn hơn 1 thì phân tích thành nhân tử rồi cho từng nhân tử bằng 0 sau đó tìm
biến và trả lời
VD: Tìm x, biết:
a) (x -2) = (x +1)(x -1)

b) 4x - 20x + 25 = 0

c) (2x +1) = (x - 2)

Giải
a) (x -2) = (x +1)(x -1)
x - 4x +4 = x -1
x - 4x +4 - x +1 =0
-4x +5 = 0
x=

b) 4x - 20x + 25 = 0
(2x - 5) = 0
=> 2x - 5 = 0
x=
vậy x =

vậy x =
c) (2x +1) = (x - 2)

(2x+1) - (x -2) = 0
[(2x +1) +(x -2)][(2x +1) - (x -2)] = 0
(3x - 1)(x + 3) = 0
3x -1 = 0 hoặc x + 3 = 0
9


x = hoặc x = -3
Vậy x = hoặc x = -3
Bài tập tương tự: Tìm x biết
a) 9x - 6x + 1 = 0

b) 25x + 20x + 4 = 0

c) (2x+1) = (x -2)

2/ Tìm nhiều số chưa biết
Cách làm:
- Chuyển tất cả các biểu thức sang một vế.
- Đưa vế đó về dạng mA + nB + pC = 0 (với m,n,p > 0)
- Cho A =0; B = 0; C = 0 rồi tìm các biến.
VD:
a) Tìm x, y biết: x + 2xy + 2y - 2y +1 = 0
b) Tìm x, y, z biết: x + y + z + 2x + 2y + 2z +3 = 0
Giải
a)

x + 2xy + 2y - 2y +1 = 0
(x + 2xy + y) + (y - 2y +1) = 0
(x +y) + (y -1) = 0

Vì (x + y)  0, (y - 1)  0 nên x +y =0 và y -1 =0 => x = -1 và y =1
Vậy x = -1 và y =1

b)

x + y + z + 2x + 2y + 2z +3 = 0
(x + 2x +1) + (y + 2y +1) +(z + 2z +1) = 0
(x +1) + (y +1) + (z +1) = 0
10


Vì (x +1)  0; (y +1)  0; (z +1)  0
nên x+1 =0 và y +1 =0 và z +1 =0 => x = -1 ; y = -1 ; z = -1
Vậy x = -1 ; y = -1 ; z = -1
Bài tập tương tự:
a) Tìm x, y biết: 4x + 4x + y - 6y + 10 = 0
b) Tìm x, y biết: x + 2y + 2xy + 2x + 4y + 2 = 0
c) Tìm x, y biết: 2x + 3y + 4xy - 12y + 36 =0
d) Tìm x, y, z biết: x + 2y + 5z + 2xy - 2yz - 2xz + 2y - 12z + 10 =0
3/ Toán bằng lời
Cách làm:
- Gọi một trong các đại lượng chưa biết là a.
- Biểu diễn các đại lượng còn lại theo a.
- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng lập được đẳng thức.
- Tìm a và trả lời.
VD: Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết hiệu hai bình phương của chúng
bằng 32
Giải
Gọi hai số đó là 2a +1 và 2a + 3 (a  N)
Vì hiệu hai bình phương của chúng bằng 32 nên ta có:

(2a +3) - (2a +1) = 32
(4a + 12a + 9) - (4a + 4a +1) = 32
4a + 12a + 9 - 4a - 4a - 1 =32
11


=> a = 3 (t/m )
Vậy hai số cần tìm là 3.2+1 =7 và 3.2+3 = 9
Bài tập tương tự:
a) Tìm 3 số liên tiếp, biết tổng bình phương hai số nhỏ bé hơn bình phương số
lớn là 4.
b) Ba số tự nhiên liên tiếp là số đo ba cạnh của một tam giác vng. Tính chu
vi của tam giác vng đó.
c) Ba số chẵn liên tiếp là số đo ba cạnh của một tam giác vng. Tính diện
tích của tam giác đó.
DẠNG 5: Chứng minh
1/ Chứng minh đẳng thức khơng có điều kiện ràng buộc
Cách làm: Có thể sử dụng một trong các cách sau
- C1: Biến đổi vế phức tạp bằng vế đơn giản.
- C2: Chứng minh: vế trái - vế phải = 0
- C3: Chứng minh cả hai vế của đẳng thức cùng bằng một biểu thức.
VD: Chứng minh: (a+b) = (a - b) + 4ab
Giải
C1: Ta có VP = (a -b)+4ab = a- 2ab+b+ 4ab = a + 2ab + b = (a +b) =VT
=> VP = VT hay (a+b) = (a -b) + 4ab
C2: Xét VT- VP = (a+b)- (a -b)- 4ab = (a+2ab+b) - (a- 2ab+ b ) - 4ab
= a + 2ab + b - a + 2ab - b - 4ab = 0

12

=> VP = VT hay (a+b) = (a -b) + 4ab
C3: VT = (a +b) = a + 2ab + b
VP = (a - b) + 4ab = a - 2ab + b + 4ab = a + 2ab + b
=> VT = VP hay (a+b) = (a -b) + 4ab
Bài tập tương tự: Chứng minh
a) a + b =

b) x + y + (x+y) = 2(x + xy + y)

c) (a+b+c) + a + b + c = (a+b) + (b+c) + (c+a)
2/ Chứng minh đẳng thức có điều kiện ràng buộc
Cách làm: Biến đổi và kết hợp các điều kiện đã cho thành đẳng thức cần
chứng minh
VD: Chứng minh
a) Nếu (a +b +c) = 3(ab+ bc + ac) thì a= b= c
b) Cho + + = 2 và + + = 2. Chứng minh a +b +c = abc
Giải
a) Ta có

(a +b +c) = 3(ab+ bc + ac)
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac = 3ab + 3bc + 3ac
a + b + c - ab - bc - ac = 0
2a + 2b + 2c - 2ab - 2bc - 2ac =0
(a - 2ab + b) + ( b - 2bc + c) + (c - 2ac + a) = 0
(a -b) + (b - c) + (c -a) = 0
=> a - b = 0; b - c = 0; c - a = 0
13

=> a = b= c (đpcm)
b) Ta có + + = 2 => ( + + ) = 4
=> + + + 2( + + ) = 4 => 2+ 2( + + ) = 4
=> + + = 1 => a + b + c = abc (đpcm)
Bài tập tương tự: Chứng minh
a) Nếu a + b = 2(a + b) thì a = b
b) Nếu (a + b) = 4ab thì a = b
c) Nếu (a +b +c) = 3(a + b + c) thì a =b =c
d) Nếu a + b + c + d = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a =b =c =d
e) Nếu x + y+ z = 0 và xy + yz + xz = 0 thì x =y =z = 0

3/ Chứng minh là số chính phương
Cách làm: Sử dụng điều kiện (nếu có) biến đổi số đã cho thành bình phương
của một số tự nhiên khác.
VD1: Chứng minh rằng:
a) Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính
phương.
b) Nếu n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính
phương.
Giải
a) Vì n là tổng của hai số chính phương nên n = a + b

14


=> 2n = 2a + 2b = (a + 2ab + b) + (a - 2ab + b) = (a +b) + (a -b)
Vậy 2n là tổng của hai số chính phương
b) Vì n là tổng của hai số chính phương nên n = a + b
=> n = (a+b) = a + 2ab + b
= (a - 2ab + b) + 4ab = (a - b) + (2ab)

Vậy n là tổng của hai số chính phương
VD2: Chứng minh
a) A = \x\bo(99...9)\x\bo(00...0) 25

là số chính phương

b) B = ab +1 là số chính phương với a = \x\bo(11...1); b = 1\x\bo(00...0)5
Giải
a) Đặt a = \x\bo(99...9) khi đó 10 = a+1
=> A = \x\bo(99...9)\x\bo(00...0) 25 = (a.10) + 25 = a(a+1).100 + 25
= 100a +100a + 25 = (10a +5)
Vậy A là số chính phương
b) Ta có: 9a + 1 = \x\bo(99...9) +1 = 10
=> b = 1\x\bo(00...0)5 = 1\x\bo(00...0) + 5 = 10 + 5 = 9a +1 +5 = 9a +
6
Khi đó, B = ab +1 = a(9a +6) + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a +1)
Vậy B là số chính phương
Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh rằng

15


a) Nếu 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính
phương.
b) Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì mn cũng là
tổng của hai số chính phương.
Bài 2: Chứng minh các số sau là số chính phương
a) A = \x\bo(99...9)8\x\bo(00...0)1

c) C = \x\bo(11...1)\x\bo(22...2)5

b) B = \x\bo(44...4)\x\bo(88...8)9

d) D = \x\bo(11...1) - \x\bo(22...2)

e) E = \x\bo(11...1) + \x\bo(44...4) + 1

Bài 3:
a) Chứng minh rằng ab +1 là số chính phương với a = \x\bo(11...1)2; b = \x\
bo(11...1)4
b) Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n+1 chữ số 1, c là số gồm n chữ
số 6. Chứng minh a+b+c+8 là số chính phương

DẠNG 6: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1/ Biểu thức có một biến
Cách làm:
- Áp dụng HĐT số 1 hoặc 2 biến đổi biểu thức đã cho về dạng mA+n
(với m, n  R)
- Nếu m >0 thì mA+n  n, nếu m<0 thì mA +n  n. Từ đó tìm được
GTLN hoặc GTNN của biểu thức. Dấu “=” xảy ra khi A =0
16


VD:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + 3x +3
b) Tìm giá trị lớn nhất của B = - 3x + 2x -1
Giải
a) Ta có: A = x + 3x + 3 = x +2.x. + + = (x + ) +
Vì (x + )  0 nên (x + ) + 

=> A 
b) Ta có:

Vậy A = khi x + =0 => x = -

B = -3x + 2x - 1 = -3(x - x - )
= -3(x - 2.x. + - ) = -3[(x - ) - ] = -3(x - ) +

Vì (x - )  0 nên -3(x - )  0. Suy ra -3(x - ) + 
Vậy B = khi x - =0 => x =
Chú ý: Khi biến đổi biểu thức cần tách hệ số tự do để kết hợp với phần biến
tạo thành HĐT. Tránh sai lầm như: x2+3x +1 = x2+2x+1+x=(x+1)2+x
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau;
a) A= x + 2x +3

e) E= 2x + 3x +1

b) B= x - 4x - 2

f) F = x - 3x + 1

c) C= y + y + 1

g) G = 1,5x + 5x -2

d) D= a - 3a -2
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A = - 2a - 4a +3

c) C = -2x - 3x + 4

b) B = - x - x + 3

d) D = x + 2x + 5

2/ Biểu thức chứa nhiều biến
17


Cách làm:
- Áp dụng HĐT số 1 và 2 biến đổi biểu thức đã cho về dạng
M = mA + nB +pC + q (với m, n, p, q  R )
- Nếu m, n, p > 0 thì M  q, nếu m, n, p <0 thì M  q. Từ đó tìm được
GTLN, GTNN của biểu thức. Dấu “=” xảy ra khi A=B=C.
VD:
a) Tìm giá trị lớn nhất của A = - x - 2xy - 2y + y + 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x + 2xy + 2y + 2x - 2y + 2017
Giải
a) Ta có A = - x - 2xy - 2 y + y + 3 = - x - 2xy - y - y + y - +
= - (x + 2xy + y) - (y - y + ) +
= - (x +y) - (y - ) +
Vì -(x +y)  0, -(y - )  0 nên - (x +y) - (y - ) + 
=> A 
Vậy A = khi x+y = y - = 0 => x = - , y =
b)Ta có: B = 2x + 2xy + 2y + 2x - 2y + 2017
= x + 2xy + y + x + 2x + 1 + y - 2y +1 + 2015
= (x +y) + (x +1) + (y -1) + 2015
Vì (x+y)  0, (x +1)  0, (y -1)  0 nên (x+y)+(x+1)+(y-1)+2015  2015
Vậy B = 2015, dấu “=” xảy ra khi x+y =0, x+1=0, y-1 =0 hay x=-1, y =1

Bài tập tương tự:
18


a) Tìm GTNN của A = x + 2x + y - 2y + 7
b) Tìm GTNN của B = x + 2y + 2xy - 4y + 1
c) Tìm GTNN của C = x + 2xy + 2y + 2x + 4y
d) Tìm GTLN của D = - x - y - 2z - 2xy - 2xz - 2yz + 4z - 9
DẠNG 7: Chứng minh biểu thức dương, âm
Cách làm:
- Áp dụng hằng đẳng thức 1, 2 đưa biểu thức về dạng
M = mA + nB + pC +q (trong đó m, n, p, q  R)
- Nếu m, n, p, q < 0 thì biểu thức âm, nếu m, n, p, q > 0 thì biểu thức
dương.
VD: Chứng minh:
a) A = 5x - 4xy + y - 6x + 10 >0
b) B = - 3x + 3x - 5 < 0
Giải
a) Ta có: A = 5x - 4xy + y - 6x + 10
= 4x - 4xy + y + x - 6x + 9 + 1
= (2x -y) + (x - 3) + 1
Vì (2x - y)  0, (x - 3)  0 nên (2x -y) + (x - 3) + 1  1 > 0
Vậy A >0 với mọi x, y
b) Ta có: B = -3x + 3x - 5 = - 3(x - x + ) = - 3(x - 2.x. + + )
= - 3[(x - ) + ] = - 3(x - ) Vì (x - )  0 nên -3(x - )  0. Suy ra: - 3(x - ) -  - < 0
19


Vậy B < 0 với mọi x.
Bài tập tương tự: Chứng minh

a) x + 2x + 2 >0

e) x + 2y + 2xy - 4y + 5 >0

b) -2x + 4x - 3 <0

f) x + 2xy + 2y + 2x + 4y + 1  0

c) 2x + x + 1 >0

g) - x - y - 2z - 2xy - 2xz - 2yz + 4z - 3 < 0

d) x + 2x + y - 2y + 2  0

DẠNG 8: Bất đẳng thức
1/ Bất đẳng thức Cô-si:
Nội dung: Với hai số a, b khơng âm thì a+b  2 dấu ‘’= ‘’ xảy ra khi a=b
Chứng minh:
Với a,b  0, ta có:  0 => a - 2 + b  0 => a + b  2
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi - = 0 => a = b
VD1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b)(b+c)(c+a)  8abc
b) + + 

với a,b,c  0

với a,b,c >0

c) + 

với a,b > 0

d) a +  3

với a > 1
Giải

a) Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
a+b  2;

b+c  2;

c+a  2

=> (a+b)(b+c)(c+a)  2.2.2 = 8abc
20