sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai để rèn kĩ năng phương pháp giải toán cho học sinh lớp 9 trường thcs

I- Tóm tắt đề tài……………………………………………………… 3
II- Giới thiệu……………………………………………………………4
III- Phương pháp……………………………………………………… 5
1. Khách thể nghiên cứu………………………………………. .5
2. Thiết kế……………………………………………………… 5
3. Quy trình nghiên cứu……………………………………… 6
4. Đo lường…………………………………………… ….… 13
IV- Phân tích dữ liệu và kết quả.…………………………………… 13
V- Bàn luận…………………………………………………….……….14
VI- Kết luận và khuyến nghị………………………………………… 15
VII- Tài liệu tham khảo……………………………………….……….15
VIII- Phụ lục……………………………………………….……….… 16
1
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHSPƯD
“SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI’ ĐỂ RÈN KĨ
NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 9
TRƯỜNG THCS.
2
I.TÓM TẮT
Qua những năm giảng dạy ở trường THCS. Tôi nhận thấy rằng các em học
sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường
chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này. Mà ở các
kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào một phần kiến thức cơ bản không thể
thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực
hiện phép tính căn. Phần lớn các em không làm được bài hoặc làm không trọn
vẹn bài tập của phần này.
• Các nguyên nhân:
Về học sinh:
- Chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8.
- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa

dấu căn ở lớp 9 chưa thành thạo.
- Kỹ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai của đa số học
sinh còn yếu.
Về giáo viên:
- Thường sử dụng PPDH truyền thống, chưa đầu tư thích đáng về PPDH, sử
dụng các phương tiện dạy học để có thể rèn luyện được kỹ năng vận dụng
các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 cũng
như kỹ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai cho học
sinh.
* Các giải pháp Giáo viên đã thực hiện dẫn đến hiện trạng trên
- Vì học sinh chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và
vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở
lớp 9 chưa thành thạo nên giáo viên thường hướng dẫn giải chi tiết. Đây
thường là hình thức hướng dẫn giải bài tập cụ thể mà không có định
hướng phương pháp cũng như cơ sở kiến thức được vận dụng vào bài tập.
Do đó học sinh không có kỹ năng làm bài dẫn đến đa số học sinh ít hứng
thú khi giải toán về căn thức bậc hai.
* Giải pháp tôi đưa ra là:
Hướng dẫn học sinh có kĩ năng, phương pháp giải toán chứa căn thức bậc
hai, cụ thể là:
"Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai "
Nghiên cứu được tiến hành trên 2 nhóm tương đương là lớp 9A (lớp thực
nghiệm) và lớp 9B (lớp đối chứng) trường THCS Xxx, Xxx, Xxx năm học 2010-
2011. Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của
học sinh. Lớp 9A (lớp thực nghiệm) đã đạt kết quả học tập cao hơn so với lớp
9B (lớp đối chứng).
3
Kết quả điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm 9A như sau: với
phép kiểm chứng T-test độc lập tính được p = 0,02 < 0,05 có nghĩa là có sự khác
biệt lớn giữa điểm trung bình của lớp 9A và lớp 9B và mức độ ảnh hưởng lớn

(0,75).
Kết quả thống kê ở trên chứng minh rằng: "Sử dụng hằng đẳng thức rút
gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai" có rèn luyện được kỹ năng , phương
pháp giải toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9.
II. GIỚI THIỆU:
Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập, t ập 1,
đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó
đòi hỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận
dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để
biến đổi và rút gọn.
Đa số học sinh lớp 9 trường THCS Xxx, Xxx, Xxx chưa có kỹ năng làm bài
và học yếu phần này. Qua khảo sát thực tế trước nghiên cứu, tác động thì phần
lớn giáo viên dạy học bằng phương pháp truyền thống, chưa chú ý định hướng
phương pháp và hướng dẫn sử dụng các hằng đẳng thức đã được học vào biến
đổi và rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai do vậy học sinh không có
kỹ năng làm bài gây mất hứng thú trong việc học.
Giải pháp thay thế: Hướng dẫn học sinh có kĩ năng, phương pháp giải
toán chứa căn thức bậc hai, cụ thể là:
"Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai "
Vấn đề nghiên cứu:
Việc sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc
hai trong chương trình Toán lớp 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải
toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trường THCS Xxx, Xxx, Xxx hay
không?
Giả thuyết nghiên cứu:
Có, việc sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức
bậc hai trong chương trình Toán lớp 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp
giải toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trường THCS Xxx, Xxx,
Xxx.
III. PHƯƠNG PHÁP

Đề tài "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai "
tôi đã nghiên cứu trong năm học 2010-2011 và đã áp dụng vào giảng dạy trên
lớp. Trong quá trình nghiên cứu, áp dụng, tôi đã sử dụng phương pháp thống kê,
4
phân loại và phương pháp so sánh kết quả thực nghiệm (các phiếu học tập, các
bài kiểm tra) của hai lớp 9A và lớp 9B. Bên cạnh đó tôi đã so sánh, đối chiếu với
phương pháp giảng dạy ở những năm học trước để hoàn chỉnh đề tài này với
mong muốn có thể tiếp tục áp dụng vào giảng dạy cho những năm học sau. Qua
đề tài này, tôi tự trang bị cho mình về phương pháp giảng dạy đáp ứng yêu cầu
đổi mới phương pháp trong dạy học hiện nay.
1. Khách thể nghiên cưú.
Đối tượng tham gia thực nghiệm của đề tài này là học sinh lớp 9A còn đối
tượng đối chứng là học sinh lớp 9B. Các em học sinh trong hai lớp này đều đã
có phương pháp học phù hợp. Nhiều em có ý thức học tập khá tốt, chịu khó suy
nghĩ tìm tòi khám phá. Đồ dùng sách vở tư liệu cần thiết các em đã chuẩn bị
đầy đủ. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện ở từng tiết dạy tôi chia học sinh ở
mỗi lớp thành các nhóm khác nhau (Các nhóm thực nghiệm và nhóm kiểm
chứng được lựa chọn thường có khả năng nhận thức ngang bằng nhau).
2. Thiết kế nghiên cứu.
Trong đề tài này tôi đã thiết kế nghiên cứu bằng cách dựa trên cơ sở kiến
thức lý thuyết về phương pháp dạy học tích cực và các kiến thức lý thuyết về
các kỹ thuật dạy học mới và đã áp dụng trong thực tiễn giảng dạy. Đề tài này sử
dụng thiết kế nghiên cứu kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương
đương ở hai lớp 9A và 9B. Thời gian thực nghiệm để kiểm chứng diễn ra trong
vòng ba tháng.
Dùng bài kiểm tra đầu năm làm bài kiểm tra trước tác động, kết quả điểm
trung bình 2 lớp có sự khác nhau do đó tôi sử dụng phép kiểm chứng T-test độc
lập để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm trung bình của 2 nhóm trước khi
tác động.
Kết quả:

Lớp thực
nghiệm – 9A
Lớp đối
chứng – 9B
Điểm trung bình 6,4 6,33
Kiểm chứng T-test độc lập p = 0,44
Với p = 0,44 > 0,05 do đó sự chênh lệch điểm trung bình của 2 lớp không
có ý nghĩa, 2 lớp được coi là tương đương.
Thiết kế kiểm tra trước và sau tác động với các nhóm tương đương:
5
Nhóm
Kiểm tra
trước tác
động
Tác động
Kiểm tra
sau tác
động
Lớp 9A
(15 Hs)
O1
Dạy học có hướng dẫn sử dụng các
hằng đẳng thức đã học.
O3
Lớp 9B
(15 Hs)
O2
Dạy học không hướng dẫn sử dụng các
hằng đẳng thức.
O4

3. Quy tr ình nghi ên c ứu
3.1.Cơ sở lí luận :
Trên cơ sở mục tiêu của giáo dục là " Nâng cao dân trí- Đào tạo nhân lực-
Bồi dưỡng nhân tài" đào tạo những con người tự chủ, năng động, sáng tạo, có
năng lực giải quyết những vấn đề do thực tiễn đặt ra, đáp ứng yêu cầu Công
nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Muốn đào tạo được con người khi vào đời là
con người tự chủ, năng động và sáng tạo thì phương pháp giáo dục cũng phải
hướng vào việc khơi dậy, rèn luyện và phát triển khả năng nghĩ và làm một cách
tự chủ, năng động và sáng tạo ngay trong học lập, lao động ở nhà trường. Vì vậy
cần phải đổi mới phương pháp dạy và học, áp dụng những phương pháp mới ,
hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự giải
quyết vấn đề, năng lực chủ động chiếm lĩnh tri thức. Đặc biệt đối với bộ môn
Toán thì giáo viên cần chọn lọc hệ thống bài tập và phương pháp giảng dạy phù
hợp có vai trò quyết định đến việc phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
3.2. Thực tế tổ chức day học.
Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên , ta cần cho học sinh học kỷ bảy hằng
đẳng thức đã học ở lớp 8 ( theo thứ tự ):
1) Bình phương một tổng : ( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
2) Bình phương một hiệu : ( a - b )
2
= a
2
- 2ab + b
2
3) Hiệu hai bình phương : a

2
– b
2
= ( a + b ).( a – b )
4) Lập phương một tổng : ( a + b )
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5) Lập phương một hiệu : ( a - b )
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6) Tổng hai lập phương : a
3
+ b
3
= ( a + b).( a
2

- ab + b
2
)
7) Hiệu hai lập phương : a
3
- b
3
= ( a - b).( a
2
+ ab + b
2
)
6
Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ
tự ) viết dưới dạng có dấu căn :
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1) 2
2
2) 2 1 1
2
2
3) .

3
3
4) ( ).
3
3
5)1 1 (1 ). 1
6) ( )
7) ( 1)
a ab b a b
a a a
a b a b a b a b
a a b b a b a b a ab b
a a a a a a
a b b a ab a b
a a a a
+ + = +
− + = −
− = − = + −
+ = + = + − +
− = − = − + +
+ = +
+ = +
Chú ý :
+ a ; b > 0
+ Hằng đẳng thức số 4 ; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9 , nên tôi không đưa
vào phần ghi nhớ ở lớp 9.
Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức
có chứa căn thức bậc hai .
BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :
Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập , tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút

gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Sau đây là một số bài tập tôi đã lựa chọn
giảng dạy cho học sinh:
Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau :
a)
2
1 1
1 ( 0; 1)
1
1
a a a
a a a
a
a
  
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
− −
+ = ≥ ≠
−
−
Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
3
1 1 1 . 1
2
2
1 1 1 . 1

a a a a a a
a a a a
− = − = − + +
− = − = − +

tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi
vế trái :
Giải
7
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 1
1
1
2
1 . 1
1
.
1
1 . 1
2
1
1 2 .
1
a a a
VT a
a
a

a a a
a
a
a
a a
a a
a
  
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
   
   
   
   
 
 ÷
 
− −
= +
−
−
− + +
−
= +
−
+ −
= + +
+
Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt :

( ) ( )
2
1 2 1a a a+ + = +
tương tự hđt số 2 lớp
9 . Tiếp tục biến đổi ta được kết quả :
( )
( )
2
2
1
1 . 1
1
VT a VP ðpcm
a
= + = =
+
2 4
2 2 2
)
2
a b a b
b a
b a ab b
+
=
+ +
với a+b >0 và
0b ≠
Nhận xét : a
2

+ 2ab + b
2
= ( a + b )
2
hđt số 1 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta
biến đổi vế trái :
Giải
( )
2 4 2 4
2 2 2 2 2
2
2
2 2
2
. . 0
a b a b a b a b
VT
b a ab b b
a b
ab
b a
a b a b
a VP ðpcm Vi a b
a b a b
b b
+ +
= =
+ +
+
+ +

= = = = + >
+ +
Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 , biết :
1 1 1
: ( 0 1)
1 2 1
a
M a va a
a a a a a
+
 
= + > ≠
 ÷
− − − +
 
#
Nhận xét :
( )
2
( 1)
2 1 1
a a a a
a a a
− = −
− + = −
có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán :
Giải
8
( )
( )

( )
( )
( )
( )
2
2
2
1 1 1 1 1 1
: :
1 2 1 1
1
1
1
1 1 1
: .
1
1 1
1
1 1
1 1 0
a a
M
a a a a a a
a a
a
a
a a a
M
a
a a a a

a
a
M Vi a
a a
 
 
+ +
 ÷
= + = +
 ÷
 ÷
− − − + −
− 
−
 
   
−
+ + +
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
+
− −
−
   
−
= = − < >#
Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau
1
) : ( , 0 ; )

) 1 . 1 1 ( 0 1)
1 1
a b b a
c a b a b a b
ab a b
a a a a
d a a va a
a a
+
= − > ≠
−
   
+ −
+ − = − ≥ ≠
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
   
#
Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 :
( )
( )
1
a b b a ab a b
a a a a
+ = +
± = ±
Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 :
Giải :
( )

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
1
) : .
1 1
) 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1
1 . 1 1 1
ab a b
a b b a
c VT a b a b a b VP ðpcm
ab a b ab
a a a a
a a a a
d VT
a a a a
a a a a VP ðpcm
+
+
= = − = − = − =
−
   
+ −
   
+ −
 ÷  ÷

= + − = + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − + −
   
   
= + − = − = − =
Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức :
1 1 1 2
: ( 0; 4 ; 1)
1 2 1
a a
Q a a a
a a a a
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
+ +
= − − > ≠ ≠
− − −
a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của a để Q dương
Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức , ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8
Giải :
9

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 2
) :
1 2 1
1 1 1 2 2
:
1 2 1
2 1 2
1 4
1 1
: .
3
3
1 2 1 1
2
) 0 0 3 0( 0) 2 0 2 4
3
a a
a Q
a a a a
a a a a a a
Q

a a a a
a a a
a a
Q
a
a a a a a a
a
b Q vi a a a a a
a
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
       
 ÷  ÷  ÷ ÷
 ÷  ÷  ÷ ÷
       
+ +
= − −
− − −
− − + − − + −
=
− − −

− − −
− − −
= = =
− − − −
−
> ⇔ > ⇔ > > ⇒ − > ⇔ > ⇔ >
Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và
a b≠
)
2 2
)
2 2 2 2
2
) 1
a b a b b b
a
b a
a b a b a b
a a b b a b
b ab
a b
a b
  
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
+ −
− − =
−
− + −

+ +
− =
−
+
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi
dấu . Áp dụng vào bài toán , biến đổi vế trái :
Giải :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
)
2 2 2 2 2( ) 2( )
4
( 2 ) ( 2 ) 4
2 2
4
4 4 2
2
2
a b a b b a b a b b
a VT
b a a b
a b a b a b a b
a b a b b
a ab b a ab b b
a b a b

b a b
ab b b
VP ðpcm
a b
a b a b a b
+ − + −
= − − = − +
− −
− + − +
+ − − +
+ + − − + +
= =
− −
+
+
= = = =
−
+ − −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
)
1 1
2 . 1

a a b b a b
b VT ab
a b
a b
a b a ab b
a b
ab
a b
a b a b
a ab b a b VP ðpcm
a b
a b
  
+ +
= −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
−
+
  
  
+ − +
+
 ÷ ÷
= −
 ÷ ÷
+
+ −
  
 

= − + = − = =
 ÷
−
 
−
Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức :
( )
2
4a b ab
a b b a
A
a b ab
+ −
+
= −
−
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
10
b) Khi A có nghĩa . Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau :
( )
2
2
( )
a ab b a b
a b b a ab a b
± + = ±
+ = +
Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải :

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
4
) : ; 0 ;
4
)
2 4
2
2
a b ab
a b b a
A
a b ab
aĐK a b a b
a b ab
a b b a
b A
a b ab
ab a b
a ab b ab
a b ab
a ab b

A a b
a b
a b
a b
a b
A a b a b a b a b b
+ −
+
= −
−
> ≠
+ −
+
= −
−
+
+ + −
= −
−
− +
= − +
−
−
= − +
−
= − − + = − − − = −
Biểu thức A không phụ thuộc vào a .
Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức :
3
2 1 1

( 0 ; 1)
3
1 1
1
x x x
B x x x
x x x
x
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
+ +
= − − ≥ ≠
+ + +
−
a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 3
Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau :
( ) ( )
( ) ( )
3
1 1 1
3
1 1 1
x x x x

x x x x
− = − + +
+ = + − +
Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải :
3
2 1 1
)
3
1 1
1
x x x
a B x
x x x
x
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
+ +
= − −
+ + +
−
11
( ) ( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
2 1
1 1
1 1
2 1 1
1
1 1
2 1
1 2
1 1
1
2
1 1
1 1
) 3 1 3 4 16
x x x
x x
B x
x x x
x x x
x x x
B x x x

x x x
x x x
B x x
x x x
x x
B x x
x x x
b B x x x
  
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
 ÷
 
+ − +
+
= − −
+ + +
− + +
+ − −

= − + −
− + +
+ − +
= − +
− + +
+ +
= − = −
− + +
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Bài 5 / 148 sbt : Rút gọn :
( )
2
2 2
( 0 ; 0 ; 0)
x x y y
P x y x y x y
x y
+
= − − ≥ ≥ + >
+
Nhận xét : bài toán có hđt sau :
( ) ( )
x x y y x y x xy y+ = + − +
. Áp dụng vào
bài toán
Giải :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )

2
2
2 2
x y x xy y
x x y y
P x y x xy y
x y x y
P x xy y x xy y x xy y x xy y xy
+ − +
+
= − − = − − +
+ +
= − + − − + = − + − + − =
Bài 6 / 148 sbt : Chứng minh đẳng thức
1 1 1 1
: ( 0 ; 1)
1 2 1
a a
a a
a a a a a a
+ −
 
+ = > ≠
 ÷
− − − +
 
Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
( )
( )
2

1
2 1 1
a a a a
a a a
− = −
− + = −
Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái :
Giải :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
1 1 1 1 1 1
: :
1 2 1 1
1
1
1
1 1 1 1
: . ( )
1
1 1
1
a a
VT

a a a a a a
a a
a
a
a a a a
VT VTđpcm
a a
a a a a
a
 
+ +
 
 ÷
= + = +
 ÷
 ÷
− − − + −
−
 
−
 
   
−
+ + + −
 ÷  ÷
= = = =
 ÷  ÷
+
− −
−

   
Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :
( )
2
1
2 2
.
1 2
2 1
x
x x
P
x
x x
 
−
− +
= −
 ÷
 ÷
−
+ +
 
12
Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
( ) ( )
( )
2
1 1 1
2 1 1

x x x
x x x
− = − +
+ + = +
Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :
Giải :
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
2
2
2
: 0 ; 1
1 1
2 2 2 2

. .
1 2 2
2 1
1 1
1
2 1 2 1
1
.
2
1 1
1
2 2 2 2
.
2
1 1
1 1
2
.
2
1 1 1
1 1
ĐK x x
x x
x x x x
P
x
x x
x x
x
x x x x

x
P
x x
x
x x x x x x
P
x x
x x x
x
P
x x x
x x x
x
≥ ≠
 
 
− −
− + − +
 ÷
= − = −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
− +
 ÷
 
+
 

 
− + − + −
−
 ÷
=
 ÷
 ÷
− +
 
 
−
+ − − − + − +
 ÷
=
 ÷
 ÷
− +
 
 
− − −
−
 ÷
= =
 ÷
− + +
 
− + −
=
( )
( ) ( )

1
1 1x x x x
+
= − − = −
4. Đo lường.
Dùng bài kiểm tra đầu năm làm bài kiểm tra trước tác động. Bài kiểm tra
sau tác động là bài kiểm tra 20 phút cuối chương I, gồm 2 bài tập về rút gọn và
tính giá trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai (thang điểm 10)
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động của 2 lớp 9A,9B.
Lớp thực
nghiệm – 9A
Lớp đối
chứng – 9B
Điểm trung bình 8,2 7,4
Độ lệch chuẩn 0,94 1,06
Kiểm chứng T-test độc lập p = 0,02
Chênh lệch giá trị trung
bình chuẩn (SMD)
0,75
Bảng thống kê ở trên chứng minh rằng kết quả 2 lớp trước tác động là tương
đương. Sau tác động phép kiểm chứng T-test độc lập cho kết quả p = 0,02<0,05
cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình của lớp 9A (thực nghiệm) và lớp
9B (lớp đối chứng) là rất có ý nghĩa tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình
13
của lớp 9A cao hơn điểm trung bình lớp 9B là không ngẫu nhiên mà do kết quả
của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn
(8, 2 7, 4)
SMD 0,75

1, 06
−
= =
Từ bảng tiêu chí Cohen, SMD = 0,75 cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy
học có sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
đến kĩ năng, phương pháp giải toán chứa căn thức bậc hai của học sinh lớp thực
nghiệm 9A là lớn.
Giả thuyết của đề tài:
“Việc sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc
hai trong chương trình Toán lớp 9 giúp cho học sinh lớp 9 trường THCS Xxx,
Xxx, Xxx rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải toán chứa căn thức bậc
hai”đã được kiểm chứng
Biểu đồ so sánh điểm trung bình của 2 lớp 9A, 9B trước và sau tác động.
V. BÀN LUẬN
Độ chênh lệch điểm số giữa 2 lớp: ĐTB
lớp 9A
– ĐTB
lớp 9B
= 8,2 – 7,4 = 0,8. Có
sự khác biệt rõ rệt.
Hạn chế và hướng khắc phục:
- Hạn chế:
Phần lớn học sinh chưa nắm chắc các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8
nên việc vận dụng các hằng đẳng thức đó vào các biểu thức chứa căn thức bậc
hai còn hạn chế.
- Hướng khắc phục:
- Cần giúp học sinh củng cố chắc chắn các hằng đẳng thức đã được học ở
lớp 8 và trang bị cho học sinh các hằng đẳng thức đã được vận dụng vào trong
các biểu thức chứa căn bậc hai. Hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt các hằng
hằng đẳng thức để biến đổi và rút gọn các biểu thức.

14
VI. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
* Kết luận: Trong quá trình giảng dạy môn Toán 9 ở trường THCS, tôi đã rút
ra được một số kinh nghiệm nhỏ trong việc: sử dụng hằng đẳng thức rút gọn
biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong chương trình Toán lớp 9 sẽ giúp các
em có kĩ năng, phương pháp giải quyết tốt hơn các bài toán rút gọn biểu thức
chứa căn thức bậc hai.
* Khuyến nghị: Nhà trường cần đầu tư tốt hơn nữa về các trang thiết bị dạy học
có ứng dụng CNTT. Động viên khuyến khích giáo viên sử dụng CNTT trong
dạy học. Giáo viên tích cực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức, kĩ năng sử dụng các
thiết bị dạy học hiện đại. Tôi cho rằng người giáo viên biết lựa chọn hệ thống
bài tập và gợi ý học sinh vận dụng kiến thức đã học để tìm lời giải thì sẽ phát
huy được tối đa tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
Trên đây là kết quả nghiên cứu chủ quan của tôi trong quá trình giảng dạy,
tôi tin rằng đề tài này có tính thực tiễn cao. Mong quý thầy cô giáo và đồng
nghiệp góp ý để đề tài được áp dụng rỗng rãi trong thực tế, góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học.
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO.
- Tài liệu tập huấn: Nghiên cứu Khoa học sư phạm ứng dụng,theo dự án Việt -
Bỉ của Bộ Giáo dục & Đào tạo, năm 2010.
- Tài liệu tập huấn giáo viên thực hiện dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn
kiến thức kĩ năng trong chương trình giáo dục phổ thông.
- Nâng cao Toán 9.
- Sách giáo khoa Toán 9.
- Sách bài tập Toán 9.
- Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS.
15
VIII. PHỤ LỤC
* Phụ lục 1: Đề kiểm tra 20 phút (Sau tác động)
Bài 1:Cho biểu thức

2 2 2 2 2 2
1 : ( 0)
a a b
Q a b
a b a b a a b
 
= − + > >
 ÷
− − − −
 
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b.
Bài 2: Cho biểu thức
1 2 2 5
( 0; 4)
4
2 2
x x x
P x x
x
x x
+ +
= + + ≥ ≠
−
− +
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P = 2
* Phụ lục 2: Đáp án và biẻu điểm đề kiểm tra 20 phút
Đáp án Điểm
Bài 1

Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 . Áp dụng vào bài
toán ta rút gọn câu a :
Giải :
( )
) 1 :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
.
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
.
) 3 . :
3
3
a a b
a Q
a b a b a a b
a a b a a a b
Q
b
a b a b
a a b
a a a a b
Q

a b b a b a b b a b
a b
a b a b a b
Q
a b a b a b
a b b a b a b
b Khi a b Ta co
a b b b
Q
a b
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
 
= − +
− − − −
− + − −
= −
− −
− −
− +
= − = −
− − − −

−
− −
= − = = =
+ − +
− − −
=
− −
= =
+
1 2
2 2b b
= =
+
1,0
0,75x2
0,5x4
0,5
Bài 2:
Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức :
( ) ( )
4 2 . 2x x x− = + −
và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu
thức P
Giải :
16
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )

1 2 2 5 1 2 2 5
)
4 4
2 2 2 2
1 2 2 2 2 5
4
2 2 2 4 2 5
4
3 2
3 6 3
4
2 2 2
3
) 2 2 3 2 2 4 16
2
x x x x x x
a P
x x
x x x x
x x x x x
P
x
x x x x x x
P
x
x x
x x x
P
x
x x x

x
b P x x x x
x
+ + + +
= + + = + −
− −
− + − +
+ + + − − +
=
−
+ + + + − − −
=
−
−
−
= = =
−
− + +
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
+
0,75
0,75
0,75
0,5x3
0,25x5
* Phụ lục 3. b¶ng ®iÓm
LỚP THỰC NGHIỆM 9A
TT Họ và tên Điểm kiểm tra
trước tác động
Điểm kiểm tra

sau tác động
1 6 8
2 8 9
3 4 7
4 8 10
5 7 7
6 8 8
7 7 9
8 5 7
9 6 8
10 6 9
11 7 9
12 6 8
13 7 8
14 5 7
15 6 9
LỚP ĐỐI CHỨNG 9B
17
TT Họ và tên Điểm kiểm tra trước
tác động
Điểm kiểm tra sau
tác động
1 8 7
2 7 7
3 4 8
4 6 6
5 6 7
6 7 7
7 4 8
8 7 9

9 8 9
10 6 8
11 7 5
12 6 7
13 7 8
14 7 7
15 5 8
Người viết:
XXX
18