Chuyên đề 31 phương trình đường thẳng đáp án p1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (627.48 KB, 55 trang )
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Chun đề 31
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGNG THẲNGNG
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM
Dạng 1. Xác định phương trình đường thẳng
1. Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và dạng chính tắc (nếu có), biết d đi qua
điểm M ( x ; y ; z ) và có véctơ chỉ phương ud (a1 ; a2 ; a3 ).
Qua M ( x ; y ; z )
d :
VTCP : ud ( a1 ; a2 ; a3 )
Phương pháp. Ta có:
Phương trình đường thẳng d dạng tham số
x x a1t
d : y y a2t , (t ).
z z a t
3
d:
x x y y z z
, (a1a2 a3 0).
a1
a2
a3
Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc
2. Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua A và B.
Qua A (hay B)
B
d
d :
A
VTCP
:
u
AB
d
Phương pháp. Đường thẳng
(dạng 1)
3. Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm
M và song song với đường thẳng .
u
Qua M ( x ; y ; z )
d :
VTCP : ud u
Phương pháp. Ta có
(dạng 1)
4. Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm
d
M và vuông góc với mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0.
u n
d
P M
Qua M
d :
P
VTCP : ud n( P ) (a; b; c) (dạng 1)
Phương pháp. Ta có
d
M
5. Dạng 5. Viết phương trình tham sớ và chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
phẳng ( P) và (Q) cho trước.
A
Qua A ( P ) (Q)
d :
VTCP : ud [n( P ) , n(Q ) ] (dạng 1)
Phương pháp. Ta có
d
6. Dạng 6. Viết phương trình tham sớ và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua điểm M và
vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 cho trước.
Qua M
d :
VTCP : ud [ud1 , ud2 ]
Phương pháp. Ta có
(dạng 1)
ud1
d1 d 2
ud 2
d
7. Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mặt phẳng ( P ), (Q).
Qua M
d :
VTCP : ud [nP , nQ ]
Phương pháp. Ta có
(dạng 1)
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
8. Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng d qua M , vuông góc đường d và song song mặt ( P ).
Qua M
d :
VTCP : ud [ud , nP ]
Phương pháp. Ta có
(dạng 1)
9. Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt ( P), song song mặt (Q) và qua M .
Qua M
d :
VTCP : ud [nP , nQ ]
Phương pháp. Ta có
(dạng 1)
10. Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d .
Phương pháp.
d
Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A, vuông góc d .
d
Qua A
( P) :
A
B
P
VTPT : nP ud
Nghĩa là mặt phẳng
Tìm B d ( P). Suy ra đường thẳng d qua A và B (dạng 1)
Lưu ý: Trường hợp d là các trục tọa độ thì d AB, với B là hình chiếu của A lên trục.
11. Dạng 11. Viết phương trình tham sớ và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua điểm M và
cắt đường thẳng d1 và vuông góc d 2 cho trước.
d d1 H , ( H d1 , H d )
d1
d2
Phương pháp. Giả sử
H ( x1 a1t ; x2 a2t ; x3 a2t ) d1.
M
d
H
MH d 2 MH .ud2 0 t H .
Vì
ud 2
Qua M
d :
VTCP : ud MH (dạng 1)
Suy ra đường thẳng
Dạng 12. d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 :
Cách 1: Gọi M1 d1 , M 2 d 2 Từ điều kiện M, M1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M1 , M 2 . Từ đó
suy ra phương trình đường thẳng d .
P
Q ( M 0 , d 2 )
P
Q
Cách 2: Gọi ( M 0 , d1 ) ,
. Khi đó d , do đó, một VTCP của d có thể
a nP , nQ
chọn là
.
P
Dạng 13. d nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 :
A d1 P , B d 2 P .
Tìm các giao điểm
Khi đó d chính là đường thẳng AB .
Dạng 14. d song song với và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 :
P
Q
Viết phương trình mặt phẳng chứa và d1 , mặt phẳng chứa và d 2 .
P
Q
Khi đó d .
Dạng 15. d là đường vng góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:
MN d1
MN d 2
Cách 1: Gọi M d1 , N d 2 . Từ điều kiện
, ta tìm được M , N .
Khi đó, d là đường thẳng MN .
Cách 2:
a ad1 , ad2
d
d
d
d
1
2
d
– Vì
và
nên một VTCP của có thể là:
.
P
– Lập phương trình mặt phẳng chứa d và d1 , bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1 .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
nP a , ad1
P
+ Một VTPT của
có thể là:
.
Q
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứa d và d1 .
P
Q
Khi đó d .
Dạng 16. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vng góc của đường thẳng lên mặt ( P).
Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và ( P ).
M
Nếu ( P ).
Chọn một điểm M trên .
Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).
Qua H
d :
VTCP : ud u
Hình chiếu
Nếu ( P ) I .
Chọn một điểm M I trên .
Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).
Pd H
M
P
I
d H
Hình chiếu vng góc của lên ( P) là d IH .
Dạng 17. Viết đường thẳng d là đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng ( P).
Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và ( P ).
M
Nếu ( P ).
Chọn một điểm M trên .
Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).
Tìm M đối xứng với M qua ( P ).
Qua M
d :
VTCP : ud u
Đường thẳng đối xứng
Nếu ( P ) I .
Chọn một điểm M trên .
Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).
H
P
M
d
M
P
Tìm M đối xứng với M qua ( P ).
Qua M
d :
.
VTCP
:
u
d IM
Đường thẳng đối xứng
H
I
M d
Dạng 1.1 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vng góc
Câu 1.
(Mã 101 2018) Trong khơng gian
d:
Oxyz
cho điểm
A 1; 2;3
và đường thẳng
x 3 y 1 z 7
2
1
2 . Đường thẳng đi qua A , vng góc với d và cắt trục Ox có phương trình
là
A.
x 1 2t
y 2t
z t
B.
x 1 t
y 2 2t
z 3 3t
x 1 2t
y 2t
z 3t
C.
Lời giải
D.
x 1 t
y 2 2t
z 3 2t
Chọn C
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
M a; 0; 0
Gọi M Ox . Suy ra
.
AM a 1; 2; 3
.
d có VTCP: ud 2;1; 2 .
AM .ud 0 2a 2 2 6 0 a 1 .
d
Vì
nên
M
1;0;0
AM 2; 2; 3 2; 2;3
Vậy qua
và có VTCP
nên có phương trình:
x 1 2t
y 2t
z 3t
.
Câu 2.
A( 1;0; 2) , B ( 1; 2;1) , C ( 3; 2;0)
(Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho các điểm
và
D ( 1;1;3) .
( BCD) có phương trình là
Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng
ïìï x = 1- t
ïìï x = 1 + t
ïìï x = 2 + t
ïìï x =1- t
ï
ï
ï
ï
.
.
í y = 4t
í y =4
í y = 4 + 4t .
í y = 2 - 4t
ïï
ïï
ïï
ïï
ïïỵ z = 2 + 2t
ïïỵ z = 2 + 2t
ïïỵ z = 4 + 2t
ï z = 2 - 2t
A.
B.
C.
D. ïỵ
Lời giải
Chọn C
( BCD) nhận vectơ pháp tuyến của ( BCD) là
Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng
vectơ chỉ phương
uuu
r
uuu
r
BC = ( 2;0; - 1) , BD = ( 0; - 1; 2)
Ta có
uu
r uuuu
r uuu
r uuu
r
ù= ( - 1; - 4; - 2)
Þ ud = nBCD = é
BC
;
BD
ê
ú
ë
û
Khi đó ta loại đáp án A và B
ïìï 1 = 2 + t
ïìï t =- 1
ïí 0 = 4 + 4t Û ïí t =- 1
ïï
ï
A ( 1;0; 2)
ïỵï 2 = 4 + 2t ïïỵï t =- 1
Thay điểm
vào phương trình ở phương án C ta có
.
Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên C là phương án
đúng
Câu 3.
(Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
d1 :
x 3 y 3 z2
1
2
1 ;
x 5 y 1 z 2
3
2
1 và mặt phẳng P : x 2 y 3 z 5 0 . Đường thẳng vng góc với P ,
d
d
cắt 1 và 2 có phương trình là
x 1 y 1 z
x 2 y 3 z 1
2
1
2
3
A. 3
B. 1
d2 :
x 3 y 3 z2
x 1 y 1 z
2
3 D. 1
2
3
C. 1
Lời giải
Chọn D
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x 3 t1
x 5 3t2
d1 : y 3 2t1
d 2 : y 1 2t2
z 2 t
z 2 t
1
2
Phương trình
và
.
Gọi đường thẳng cần tìm là .
d
d
Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng 1 và 2 lần lượt tại A , B .
A 3 t1;3 2t1 ; 2 t1 B 5 3t2 ; 1 2t2 ; 2 t2
Gọi
,
.
AB 2 3t2 t1 ; 4 2t2 2t1 ; 4 t2 t1
.
P là n 1; 2;3 .
Vectơ pháp tuyến của
2 3t2 t1 4 2t2 2t1 4 t2 t1
1
2
3
Do AB và n cùng phương nên
.
2 3t2 t1 4 2t2 2t1
1
2
t 2
4 2t2 2t1 4 t2 t1 1
2
3
t2 1 . Do đó A 1; 1;0 , B 2; 1;3 .
A 1; 1;0
n 1; 2;3
Phương trình đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
là
x 1 y 1 z
1
2
3.
Câu 4.
(Mã
101
-
2019)
Trong
không
Oxyz ,
gian
cho
các
điểm
A 1;2;0 , B 2;0;2 , C 2; 1;3 , D 1;1;3 . Đường thẳng đi qua C và vng góc với mặt
ABD có phương trình là
phẳng
A.
x 2 4t
y 4 3t
z 2 t
.
B.
x 4 2t
y 3 t
z 1 3t
.
x 2 4t
y 2 3t
z 2 t
C.
Lời giải
.
D.
x 2 4t
y 1 3t
z 3 t
.
Chọn A
AB 1; 2;2
AD 0; 1;3
AB AD 4; 3; 1
Đường thẳng qua
C 2; 1;3 và vng góc với mặt phẳng ABD có phương trình
x 2 4t
y 1 3t
z 3 t
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Điểm
E 2; 4;2 thuộc đường thẳng trên, suy ra đường thẳng cần tìm trùng với đường thẳng
có phương trình
x 2 4t
y 4 3t
z 2 t
Chọn đáp án đúng là đáp án C
Câu 5.
A 2; 1;0 B 1; 2;1 C 3; 2;0
(Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm
,
,
,
D 1;1; 3
ABC
. Đường thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng
có phương trình là:
x 1 t
x 1 t
x t
x t
y 1 t
y 1 t
y t
y t
z 2 3t
z 3 2t
z 1 2t
z 1 2t
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
n
AB 1;3;1 AC 1; 1; 0 ABC AB, AC 1;1; 2
Ta có
;
;
.
ABC nên có véc tơ chỉ phương là
Đường thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng
n ABC 1;1; 2
Câu 6.
, phương trình tham số là:
x 1 t
y 1 t
z 3 2t
(Mã 102 2018) Trong không gian
.
Oxyz , cho điểm
A 2;1;3
và đường thẳng
x 1 y 1 z 2
1
2
2 . Đường thẳng đi qua A , vng góc với d và cắt trục Oy có phương
trình là.
x 2t
x 2 2t
x 2 2t
x 2t
y 3 4t
y 3 3t
y 1 t
y 1 3t
z 3t
z 3 3t
z 3 2t
z 2t
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Gọi đường thẳng cần tìm là
d:
x 1 y 1 z 2
1
2
2 có VTCP u 1; 2; 2 .
M 0; m;0 Oy
AM 2; m 1; 3
Gọi
, ta có
d
AM .u 0 2 2 m 1 6 0 m 3
Do
d:
AM 2; 4; 3
Ta có có VTCP
nên có phương trình
x 2t
y 3 4t
z 3t
.
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 7.
A 0;0; 2 , B 2;1;0 , C 1; 2; 1
D 2;0; 2
(Mã 103 - 2019) Trong khơng gian Oxyz cho
và
BCD có phương trình là
. Đường thẳng đi qua A và vng góc với
x 3
x 3 3t
x 3t
y 2
y 2 2t
y 2t
z 1 2t
z 1 t
z 2 t
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn B
x 3 3t
y 2 2t
z 1 t
.
BCD .
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với
BC 1;1; 1 ; BD 0; 1; 2
Ta có
.
n BCD BD , BC 3; 2; 1 .
BCD
Mặt phẳng
có vec tơ pháp tuyến là
Gọi u d là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d .
d BCD
ud n BCD 3; 2; 1
Vì
nên
.
u 3; 2; 1
Đáp A và C có VTCP d
nên loại B và
D.
A 0;0; 2
Ta thấy điểm
thuộc đáp án C nên loại A.
Câu 8.
A 1;0; 2
(Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
và đường thẳng
x 1 y z 1
d có phương trình: 1
1
2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vng góc và
cắt d .
x 1 y z 2
2
1
A. 2
x 1 y z 2
x 1 y z 2
3
1
1
1
B. 1
C. 1
Lời giải
x 1 y z 2
1
1
D. 1
Chọn D
Cách 1:
d:
x 1 y z 1
1
1
2 có véc tơ chỉ phương u 1;1; 2
Đường thẳng
P là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ phương
Gọi
P :1 x 1 y 2 z 2 0 x y 2 z 5 0
của d là vecto pháp tuyến
P và đường thẳng d B 1 t ;t ; 1 2t
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng
B P 1 t t 2 1 2t 5 0 t 1 B 2;1;1
Vì
AB 1;1; 1
Ta có đường thẳng đi qua A và nhận vecto
là véc tơ chỉ phương có dạng
:
x 1 y z 2
1
1
1 .
Cách 2:
d B B 1 t ; t ; 1 2t
Gọi
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
AB t ; t ; 3 2t
u
d 1;1; 2
d
,Đường
thẳng có VTCP là
AB ud AB.ud 0 t t 2 3 2t 0 t 1
Vì d nên
A
1;0;
2
AB 1;1; 1
AB 1;1; 1
Suy ra
.Ta có đường thẳng đi qua
và nhận véc tơ
là véc
tơ chỉ phương có dạng
Câu 9.
:
x 1 y z 2
1
1
1 .
(Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A(2; 2;1), B (
8 4 8
; ; )
3 3 3 . Đường
thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vng góc với mặt phẳng (OAB ) có phương
trình là:
2
2
5
x
y
z
x 1 y 8 z 4
9
9 9
2
2
2
2
A. 1
B. 1
1
5
11
x
y
z
x 1 y 3 z 1
3
3
6
2
2
2
2
C. 1
D. 1
Lời giải.
Chọn D
OA; OB 4; 8;8
Ta có:
u
1; 2; 2
Gọi d là đường thẳng thỏa mãn khi đó d có VTCP
Ta có OA 3, OB 4, AB 5 . Gọi I ( x; y; z ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Áp dụng hệ thức OB.IA OA.IB AB.IO 0
1
4.(OA OI ) 3.(OB OI ) 5.IO 0 OI
4OA 3OB I 0;1;1
12
x t
d : y 1 2t
z 1 2t
Suy ra
cho t 1 d đi qua điểm M ( 1;3; 1)
u
M
(
1;3;
1)
Do đó d đi qua
có VTCP (1; 2; 2) nên đường thẳng có phương trình
x 1 y 3 z 1
1
2
2
Câu 10.
d:
x 1 y z 2
2
1
2 và mặt phẳng
(Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
( P ) : x y z 1 0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P) đồng thời cắt và vng góc với d có
phương trình là:
x 1 t
x 3 t
x 3 t
x 3 2t
y 4t
y 2 4t
y 2 4t
y 2 6t
z 3t
z 2 t
z 2 3t
z 2 t
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x 1 2t
y t
d : z 2 2t
Gọi là đường thẳng nằm trong ( P) vuông góc với d .
u ud ; nP ( 1;4;3)
Gọi A là giao điểm của d và ( P) . Tọa độ A là nghiệm của phương trình:
( 1 2t ) ( t) ( 2 2 t) 1 0 t 2 A(3; 2;2)
u
( 1;4;3) có dạng:
A
(3;
2;
2)
Phương trình qua
có vtcp
Câu 11.
(Mã 123 2017) Trong khơng gian
x 3 t
y 2 4t
z 2 3t
Oxyz cho điểm M 1;1; 3 và hai đường thẳng
x 1 y3 z 1
x 1 y
z
:
3
2
1 ,
1
3 2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường
thẳng đi qua M và vng góc với và .
:
A.
x 1 t
y 1 t
z 1 3t
B.
x t
y 1 t
z 3 t
x 1 t
y 1 t
z 3 t
C.
Lời giải
D.
x 1 t
y 1 t
z 3 t
Chọn D
r
r
r r
u 3; 2;1
v 1; 3; 2 u , v 7; 7; 7
,
+) VTCP của
lần lượt là
và
;
r
u 1;1;1
+) Vì d vng góc với và nên d
.
x 1 t
d : y 1 t
z 3 t
M 1;1; 3
+) d đi qua
nên
.
Câu 12.
(Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
P : x
2 y z 3 0
phương trình là:
x 1 2t
y 1 t
z 2
A.
. Đường thẳng nằm trong
B.
x 3
y t
z 2t
P
x y 1 z 1
1
2
1 và mặt phẳng
đồng thời cắt và vng góc với có
x 1 t
y 1 2t
z 2 3t
C.
Lời giải
:
D.
x 1
y 1 t
z 2 2t
Chọn D
x t
x y 1 z 1 : y 1 2t
:
z 1 t
1
2
1
Ta có
M P M M t ; 2t 1; t 1
Gọi
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
M P t 2 2t 1 t 1 3 0 4 4t 0 t 1 M 1;1; 2
P
n 1; 2; 1
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
u
1; 2;1
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng là
P đồng thời cắt và vng góc với
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
1
n, u 0; 1; 2
M 1;1; 2 d
Đường thẳng d nhận 2
làm véc tơ chỉ phương và
Phương trình đường thẳng
Câu 13.
x 1
d : y 1 t
z 2 2t
(Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
d2 :
Oxyz , cho hai đường thẳng
x 1 3t
d1 : y 2 t
z 2
,
x 1 y2 z
2
1
2 và mặt phẳng P : 2 x 2 y 3z 0. Phương trình nào dưới đây là phương
P , đồng thời vuông góc với d2 ?
trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và
2 x y 2 z 13 0 B. 2 x y 2 z 22 0
A.
2 x y 2 z 13 0 D. 2 x y 2 z 22 0
C.
Lời giải:
Chọn C
P là A 4; 1; 2
Tọa độ giao điểm của d1 và
Mặt phẳng cần tìm đi qua
2 x y 2 z 13 0.
Câu 14.
A
và nhận
r
u2 2; 1; 2
làm VTCP có phương trình
(Chun Lương Thế Vinh Đồng Nai -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
x - 2 y +1 z - 1
x - 4 y +2 z - 1
=
=
,
d
:
=
=
2
A ( 1; - 1; 3)
1
4
- 2
1
- 1
1 . Phương
và hai đường thẳng
trình đường thẳng qua A , vng góc với d1 và cắt d 2 là
d1 :
x 1 y 1 z 3
x 1 y 1 z 3
1
3 . B. 4
1
4 .
A. 2
x 1 y 1 z 3
x 1 y 1 z 3
2
3 . D. 2
1
1 .
C. 1
Lời giải
K ( 2 + t ; - 1- t ; 1 + t )
Gọi d là đường thẳng qua A và d cắt d 2 tại K . Khi đó
.
uuur
AK = ( 1 + t ; - t ; t - 2)
Ta có
.
uuu
r ur
r
u
= ( 1; 4; - 2)
AK
^
d
Û
AK
.
u
=
0
1
1
Đường
, với 1
là một vectơ chỉ phương của d1 .
uuu
r
AK = ( 2; - 1; - 1)
Do đó 1 + t - 4t - 2t + 4 = 0 Û t = 1 , suy ra
.
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x - 1 y +1 z - 3
d:
=
=
2
- 1
- 1 .
Vậy phương trình đường thẳng
Câu 15.
M 1;0;1
(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm
và đường
d:
x 1 y 2 z 3
1
2
3 . Đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz có phương
thẳng
trình là
x 1 3t
y 0
z 1 t
A.
.
B.
x 1 3t
y 0
z 1 t
.
x 1 3t
y t
z 1 t
C.
Lời giải
u 1;2;3
.
D.
x 1 3t
y 0
z 1 t
.
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
.
Gọi là đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz .
N 0;0; t Oz MN 1;0; t 1
Gọi
.
1
4
uuur r
t MN 1;0;
u
3
. Khi đó MN cùng phương với 1 3;0;1
d MN .u 0
3
M 1;0;1
3;0;1 nên có phương
Đường thẳng đi qua điểm
và có một vectơ chỉ phương
Câu 16.
(Kinh Mơn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
A 1; 1;3
và
x 3 y2 z 1
x 2 y 1 z 1
d2 :
3
3
1 ,
1
1
1 . Phương trình đường thẳng d
hai đường thẳng
đi qua A , vng góc với đường thẳng d1 và cắt thẳng d 2 .
d1 :
x 1 y 1 z 3
x 1 y 1 z 3
4
2 . B. 3
2
3 .
A. 5
x 1 y 1 z 3
x 1 y 1 z 3
5
3 . D. 2
1
3 .
C. 6
Lời giải
Chọn C
Gọi
M 2 t ; 1 t ;1 t d d 2
Ta có
AM 1 t ; t ; 2 t
và
với t .
u1 3;3; 1
là vectơ chỉ phương của d1
3.(1 t ) 3.( t ) 1. 2 t 0 t 5
Mặt khác AM .u1 0 nên
AM (6; 5;3) là 1 vectơ chỉ phương của d .
x 1 y 1 z 3
5
3 .
Vậy phương trình đường thẳng d : 6
Facebook Nguyễn Vương 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 17.
M 1; 1; 2
(Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm
và hai đường thẳng
x t
d : y 1 4t ,
x y 1 z 2
d :
.
z 6 6t
2
1
5 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi
qua M , vng góc với d và d ?
x 1 y 1 z 2
.
14
9
A. 17
B.
x 1 y 1 z 2
.
9
14 D.
C. 17
x 1 y 1 z 2
.
14
17
9
x 1 y 1 z 2
.
14
17
9
Lời giải
Chọn D
u
1; 4;6
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
.
u 2;1; 5
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
.
Gọi là đường thẳng qua M , vng góc với d và d nên có một vectơ chỉ phương là:
u u , u 14;17;9
.
x 1 y 1 z 2
.
17
9
Vậy phương trình đường thẳng : 14
x 2 t
d1 : y 1 t
x y 7 z
d2 :
z 1 t
1
3
1 . Đường thẳng là đường vng
Câu 18. Cho hai đường thẳng
và
d
d
góc chung của 1 và 2 . Phương trình nào sau đâu là phương trình của
x 2 y 1 z 1
x 2 y 1 z 2
1
2 . B. 1
1
2 .
A. 1
x 1 y 4 z 1
x 3 y 2 z 3
1
2 . D. 1
1
2 .
C. 1
Lời giải
Chọn A
M d1 M 2 t1 ;1 t1 ;1 t1
Lấy điểm
:
N d 2 : N t2 ; 7 3t2 ; t2
MN t2 t1 2; 3t2 t1 6; t2 t1 1
MN .u1 0
t t 1
2 1
11t2 3t1 19
MN .u2 0
MN
Đường thẳng
là đường vng góc chung
MN 1;1; 2
M 1; 0;0 , N 2;1; 2
Suy ra
và
x 2 y 1 z 2
M
,
N
1
2
Phương trình đường thẳng
đi qua
là: 1
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
t2 2
t1 1
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Câu 19. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : 3x y z 0
và đường thẳng
x 1 y z 3
1
2
2 . Gọi là đường thẳng nằm trong P , cắt và vng góc với d . Phương
trình nào sau đây là phương trình tham số của ?
d:
A.
x 2 4t
y 3 5t
z 3 7t
.
B.
x 3 4t
y 5 5t
z 4 7t
.
x 1 4t
y 1 5t
z 4 7t
C.
Lời giải
.
D.
x 3 4t
y 7 5t
z 2 7t
.
Chọn B
P
Do nằm trong nằm trong và vuông góc với d nên có véctơ chỉ phương là
u n P , ud 4; 5; 7
A P d A 1; 0; 3
Gọi A d thì
Vậy phương trình tham số của là
Câu 20.
x 1 4t
y 0 5t
z 3 7t
hay
x 3 4t
y 5 5t
z 4 7t
A 1; 1;3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và hai đường thẳng:
x 4 y2 z 1
x 2 y 1 z 1
d1 :
, d2 :
1
4
2
1
1
1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ,
vng góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 .
x 1 y 1 z 3
x 1 y 1 z 3
1
1 . B. 6
1
5 .
A. 2
x 1 y 1 z 3
x 1 y 1 z 3
4
1 . D. 2
1
3 .
C. 6
Ta có:
u d1 1; 4; 2
Lời giải
x 2 t
d 2 : y 1 t t
z 1 t
x 2 y 1 z 1
1
1
1 nên phương trình tham số của
M 2 t ; 1 t ;1 t
Gọi đường thẳng d cắt đường thẳng d 2 tại
AM 1 t ; t ; t 2
Ta có:
u
d 1 t ; t ; t 2
A
;
M
Đường thẳng d đi qua
nên vectơ chỉ phương
u d u d1 u d .u d1 0 1. 1 t 4 t 2 t 2 0 t 1
d
d
1
Theo đề bài vng góc
u d 2; 1; 1
A 1; 1;3
u d 2; 1; 1
d
Phương trình đường thẳng đi qua
và có
có dạng:
d2 :
Facebook Nguyễn Vương 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
x 1 y 1 z 3
2
1
1 .
Câu 21.
Oxyz , cho đường thẳng
Trong không gian
P : x
y 2 z 6 0
. Đường thẳng nằm trong
P
d:
x y 3 z 2
2
1
3
và mặt phẳng
cắt và vng góc với d có phương trình
là?
x 2 y 2 z 5
.
7
3
A. 1
x 2 y 4 z 1
.
7
3
C. 1
x2 y 2 z 5
.
7
3
B. 1
x2 y4 z 1
.
7
3
D. 1
nP 1; 1; 2 , ud 2;1; 3
Lời giải
I d P I d I 2t; 3 t; 2 3t
, Gọi
,
I P 2t 3 t 2 2 3t 6 0 t 1 I 2; 2; 5
Gọi là đường thẳng cần tìm.
u
ud
nP , ud 1; 7; 3
u
u nP
Theo giả thiết
x2 y 2 z 5
.
7
3
Và đường thẳng đi qua điểm I . Vậy : 1
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P : x 2 y 3z 7 0
và hai đường thẳng
x 3 y 2 z 2
x 1 y 1 z 2
; d2 :
2
1
4
3
2
3 . Đường thẳng vng góc mặt phẳng P và cắt
cả hai đường thẳng d1 ; d 2 có phương trình là
x 7 y z 6
x 5 y 1 z 2
2
3
2
3
A. 1
B. 1
d1 :
x 4 y 3 z 1
x 3 y 2 z 2
2
3 D. 1
2
3
C. 1
Lời giải
Gọi là đường thẳng cần tìm
d1 M nên M 3 2t ; 2 t ; 2 4t
d 2 N nên N 1 3u; 1 2u; 2 3u
MN 2 3u 2t ;1 2u t ; 4 3u 4t
Ta có MN cùng phương với
n P
u 2
2 3u 2t 1 2u t 4 3u 4t
1
2
3
Nên
ta giải hệ phương trình tìm được t 1
M 5; 1; 2
MN 2; 4 6 2 1; 2;3
Khi đó tọa độ điểm
và VTCP
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x 5 y 1 z 2
2
3
Phương trình tham số là 1
ïìï x =- 1 + t
ï
d 2 : í y =- 1
x - 1 y +1 z
ïï
d1 :
=
=
ïïỵ z =- t
Oxyz
2
1
1
Câu 23. Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
và mặt
phẳng
( P ) : x + y + z - 1 = 0 . Đường thẳng vng góc với ( P) cắt d1 và d 2 có phương trình là
13
9
4
yz5 =
5=
5
1
1
1
A.
.
7
2
xz5 = y +1 =
5
1
1 .
C. 1
x+
1
3
2
y+
z+
5=
5=
5
1
1
1 .
xB.
x y z
= =
D. 1 1 1 .
Lời giải
Chọn B
( d ) vng góc với ( P) cắt d1 và d 2 tai M , N
uuur
M ( 1 + 2a; - 1- a; a ) N ( - 1 + t ; - 1; - t ) NM = ( 2a - t + 2; - a; a + t )
Ta có:
,
,
.
r
( P) có vectơ pháp tuyến là n ( 1;1;1)
Mặt phẳng
Giả sử đường thẳng
uuur
r Û
P)
(
MN
NM
n
Vì
vng góc với mặt phẳng
nên
cùng phương
ỉ
ïìï
2
1 3 2ư
;- ;- ÷
÷
ïï a =- ị M ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố
5
5
5 5ứ
ù
ớ
ùù
4
ùù t =
5
ùợ
ng thng
2a - t - a a + t
=
=
1
1
1
r
( d ) qua điểm M nhận n làm vec tơ chỉ phương
1
3
2
y+
z+
5=
5=
5
1
1
1 .
xPhương trình
Câu 24.
d:
M 0;1;1
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm
, vng
góc với đường thẳng
của
A.
x t
d1 : y 1 t t
z 1
và cắt đường thẳng
d2 :
x y 1 z
2
1
1 . Phương trình
là?
x 0
y t
z 1 t
.
B.
x 0
y 1
z 1 t
.
x 0
y 1 t
z 1
C.
Lời giải
.
D.
x 0
y 0
z 1 t
.
Chọn B
A 2t ;1 t ; t d 2
d
Gọi
là giao điểm giữa đường thẳng và đường thẳng 2
Facebook Nguyễn Vương 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
ud1 1; 1; 0 MA 2t ; t ; t 1
Ta có vecto chỉ
phương
,
u .MA 0 2t t 0 t 0
Theo đề bài: d1
A 0;1;0
Suy ra
u AM 0;0;1
Khi đó vecto chỉ phương của đường thẳng là
Phương trình đường thẳng qua
M 0;1;1
có vecto chỉ phương
u 0; 0;1
có dạng:
x 0
y 1
z 1 t
A 1;0; 2
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
và đường thẳng d có phương trình:
x 1 y z 1
1
1
2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vng góc và cắt d .
x 1 y z 2
x 1 y z 2
x 1 y z 2
x 1 y z 2
1
1
1
1
2
1
3
1
A. 1
B. 1
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn B
d:
x 1 y z 1
1
1
2 có véc tơ chỉ phương u 1;1; 2
Đường thẳng
P là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ phương
Gọi
P :1 x 1 y 2 z 2 0 x y 2 z 5 0
của d là vecto pháp tuyến
P và đường thẳng d B 1 t ;t ; 1 2t
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng
B P 1 t t 2 1 2t 5 0 t 1 B 2;1;1
Vì
AB 1;1; 1
Ta có đường thẳng đi qua A và nhận vecto
là véc tơ chỉ phương có dạng
:
Câu 26.
x 1 y z 2
1
1
1 .
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 0;1) và đường
d:
thẳng
trình là
A.
x 1 y 2 z 3
.
1
2
3
Đường thẳng đi qua M , vng góc với d và cắt Oz có phương
x 1 3t
y 0
z 1 t
.
B.
x 1 3t
y 0
z 1 t
.
x 1 3t
y t
z 1 t
C.
Lời giải
.
D.
x 1 3t
y 0
z 1 t
Chọn A
Gọi là đường thẳng cần tìm và N Oz.
Ta có N (0;0; c). Vì qua M , N và M Oz nên MN ( 1;0; c 1) là VTCP của .
d có 1 VTCP u (1; 2;3) và d nên
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
4
1
MN u 0 1 3(c 1) 0 c MN ( 1; 0; ).
3
3
Chọn v ( 3; 0;1) là 1 VTCP của , phương trình tham số của đường thẳng là
x 1 3t
y 0
z 1 t
.
Câu 27. Trong không gian với hệ trục Oxyz , đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
x 2 y 3 z4
x 1 y 4 z 4
d2 :
2
3
5 và
3
2
1 có phương trình
x 2 y 2 z 3
x y 2 z 3
3
4 .B. 2
3
1 .
A. 2
x 2 y 2 z 3
x y z 1
2
2 . D. 1 1
1 .
C. 2
d1 :
Lời giải
Chọn D
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Gọi
A d1 ; B d 2 A 2 2t ;3 3t ; 4 5t , B 1 3t ; 4 2t ; 4 t
AB 3t 2t 3; 2t 3t 1; t 5t 8
Ta có:
.
u , ud1 2;3; 5 , ud2 3; 2; 1
Gọi
lần lượt là véc tơ chỉ phương của , d1 , d 2 ta có:
u
u
ud1
ud 2
u ud1 , ud2 13; 13; 13 13 1;1;1 13u
.Chọn
.
Vì AB , u đều là véc tơ chỉ phương của nên ta có:
3t 2t 3 k
3t 2t k 3
AB ku 2t 3t 1 k 2t 3t k 1
t 5t 8 k
t 5t k 8
:
Câu 28.
t 1
t 1
k 2 A 0; 0;1
.
x y z 1
1 1
1 .
(Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : 2x y
2 z 9 0
và đường thẳng
d:
x 1 y 3 z 3
1
2
1 . Phương trình tham số của đường
A 0; 1; 4
P
thẳng Δ đi qua
, vng góc với d và nằm trong là:
Facebook Nguyễn Vương 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A.
x 5t
Δ : y 1 t
z 4 5t
.
B.
x 2t
Δ : y t
z 4 2t
.
x t
Δ : y 1
z 4 t
C.
Lời giải
.
D.
x t
Δ : y 1 2t
z 4 t
.
Chọn C
u ud
d
P u n P
ud , n P 5;0;5
u
1;0;1
. Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ là
x t
: y 1
z 4 t
Câu 29.
(Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng
P : x 2 y z
4 0
và đường thẳng
d:
x 1 y z 2
2
1
3 . Phương trình đường thằng nằm
P , đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng d là
trong mặt phẳng
x 1 y 1 z 2
x 1 y 3 z 1
1
2 .
1
3 .
A. 5
B. 5
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1
1
3 . D. 5
1
3 .
C. 5
Lời giải
Chọn D
x 1 y z 2
M d M d :
M 2t 1; t ;3t 2
2
1
3
Gọi
.
M P M P : x 2 y z 4 0 2t 1 2t 3t 2 4 0 t 1 M 1;1;1
.
u n; u d 5; 1; 3
P
Vì d và
có vectơ chỉ phương
.
Vậy phương trình là
Câu 30.
:
x 1 y 1 z 1
5
1
3 .
(Sở Hà Nam - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
phẳng
P : x y 3z 2 0 . Gọi
d:
x 3 y 1 z
2
1
1 và mặt
d ' là đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , cắt và vng
góc với d . Đường thẳng d ' có phương trình là
x 1 y z 1
x 1 y z 1
x 1 y z 1
5
1 . B. 2
5
1 . C. 2 5
1 .
A. 2
Lời giải
Chọn C
x 1 y z 1
5
1 .
D. 2
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Phương trình tham số của
x 3 2t
d : y 1 t
z t
.
P
Tọa độ giao điểm của d và là nghiệm của hệ:
x 3 2t
x 3 2t
y 1 t
y 1 t
z t
z t
x y 3z 2 0
3 2t 1 t 3t 2 0
t 1
x 1
d P M 1;0; 1
y 0
z 1
.
P
Vì d ' nằm trong mặt phẳng , cắt và vng góc với d nên d ' đi qua M và có véc tơ chỉ
u d ' n P u d 2; 5; 1
v
2;5;1
phương
hay d ' nhận véc tơ
làm véc tơ chỉ phương.
x 1 y z 1
5
1 .
Phương trình của d ' : 2
Câu 31. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
1 :
x 1 y 2 z 1
2
1
1 và
x 2 y 1 z2
4
1
1 . Đường thẳng chứa đoạn vng góc chung của 1 và 2 đi qua điểm
nào sau đây?
M 0; 2; 5
N 1; 1; 4
P 2; 0;1
Q 3;1; 4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2 :
Lời giải
A 1 2t; 2 t;1 t
B 2 4t ;1 t; 2 t
Gọi
và
là hai điểm lần lượt thuộc 1 và 2 .
AB 1 2t 4t;3 t t ; 3 t t 1
u 2;1;1 2
u 4;1; 1
.
có VTCP
;
có VTCP
.
AB.u 0
AB.u 0
AB là đoạn vng góc chung của 1 và 2
2 1 2t 4t 3 t t 3 t t 0
6t 8t 2
t 1
8t 18t 10
t 1
4 1 2t 4t 3 t t 3 t t 0
A 1; 1;2
AB 1;1; 3
Suy ra
và
.
x 1 t1
y 1 t1
z 2 3t
1
Phương trình đường thẳng chứa đoạn vng góc chung của 1 và 2 là:
.
Q 3;1; 4
Chỉ có điểm
có tọa độ thỏa mãn phương trình.
Dạng 1.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song
Câu 32.
A 1; 2;3
(Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
và hai mặt phẳng
P :
x y z 1 0
,
Q :
x y z 2 0
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường
P và Q ?
thẳng đi qua A , song song với
Facebook Nguyễn Vương 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A.
x 1 t
y 2
z 3 t
B.
x 1 t
y 2
z 3 t
x 1 2t
y 2
z 3 2t
C.
Lời giải
x 1
y 2
z 3 2t
D.
Chọn A
n P 1;1;1
n 1; 1;1
Ta có Q
và
n P , n Q 2;0; 2
. Vì đường thẳng d song song với hai mặt phẳng
P và Q , nên d có véctơ chỉ phương u 1;0; 1 .
x 1 t
y 2
z 3 t
A 1; 2;3
Đường thẳng d đi qua
nên có phương trình:
Câu 33.
(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
M 1; 3; 4
x2 y 5 z 2
3
5
1 và mặt phẳng
, đường thẳng d có phương trình:
P :
2 x z 2 0 . Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với d và song song với P
.
x 1 y 3 z 4
x 1 y 3 z 4
1
2 .
1
2 .
A. : 1
B. : 1
x 1 y 3 z 4
x 1 y 3 z 4
1
2 .
1
2 .
C. : 1
D. : 1
Lời giải
Ta có u d (3; 5; 1) là véc tơ chỉ phương của d .
n ( P ) 2;0;1
P
là véc tơ pháp tuyến của .
ud , n p 5; 5;10
.
u
1;1; 2
P
Do vng góc với d và song song với
nên
là véctơ chỉ phương của .
x 1 y 3 z 4
1
2 .
Khi đó, phương trình của là 1
Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
d1 :
P : 2x
y 2 z 3 0
và hai đường thẳng
x y 1 z 1
x 2 y 1 z 3
d2 :
3
1
1 ;
1
2
1 . Xét các điểm A, B lần lượt di động trên d1 và d 2
P . Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là
sao cho AB song song với mặt phẳng
u 9;8; 5
A. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
u 5;9;8
B. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
u 1; 2; 5
C. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
u 1;5; 2
D. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
