Cd2.3 Khoi Tru-The Tich-Md3.Doc

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 2.3 Khối trụ: Tính thể tích.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2H2-2.3-3] [THPT Lê Hồng Phong] Cho hình thang vng ABCD có độ dài hai đáy
AB 2a, DC 4a , đường cao AD 2a . Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB thu
được khối tròn xoay  H  . Tính thể tích V của khối  H  .
A. V 

40 a 3
..
3

B. V 

20 a 3
C. V 8 a 3 . .
..
3
Hướng dẫn giải

D. V 16 a 3 . .

Chọn A.

.

Thể tích V của khối  H  bằng thể tích của khối trụ DCFE trừ thể tích khối nón BCF .
Vậy thể tích cần tìm:
2

V VDCFE  VBCF   2a  .4a 
Câu 2.

1
40 a 3
2
.
  2a  .2a 
3
3

[2H2-2.3-3] [THPT CHUN TUN QUANG] Cho hình trụ có đường cao bằng 8a . Một
mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ 3a , cắt hình trụ theo thiết diện là hình
vng. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng.
A. 60a 2 ,180a 3 .
B. 80a 2 , 200a 3 .
C. 80a 2 ,180a 3 .
D. 60a 2 , 200a 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Å

B

O

H

A

C
O'
D

.

Thiết diện ABCD là hình vng có cạnh là 8a  h 8a  .
Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng  ABCD  là d 3a .
2

h
Suy ra bán kính đường trịn đáy r  d    5 .
 2
2

TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

2
2
3
Vậy S xq 2 rh 80 a , Vtr  r h 200 a .

Câu 3.

[2H2-2.3-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu
và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước được ghi (cùng đơn vị dm ). Tính thể tích của
bồn chứa.

.

A.  45 32 .

B. 

43
.
33

C.  4 2.35 .

D. 

42
.
35

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi V1 là thể tích hình trụ có đường cao 36  dm  và bán kính đường trịn đáy 9 (dm).
V2 là thể tích nửa hình cầu có bán kính 9  dm  .
2

3
2
3
Ta có V1  .9 .36 2916  dm  và V2   .9 486
3
3
2
5
3
Do đó V V1  2V2 3888  dm  4  .3  dm  .
Câu 4.

 cm  . .
3

[2H2-2.3-3] [BTN 169] Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 , diện tích đáy bằng diện
tích của mặt cầu có bán kính bằng 1 . Tính thể tích V khối trụ đó.
A. V 8 .
B. V 4 .
C. V 6 .
D. V 10 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi r , h, S , S1 lần lượt là bán kính hay đáy, chiều cao, diện tích xung quanh và diện tích một
đáy của hình trụ.
Vì diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán kính bằng 1 nên S1 4 , suy ra

 r 2 4  r 2 .
Hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 nên S 2 rh 4   rh 2   h 1 .
Vậy V  r 2 h 4 .

Câu 5.

[2H2-2.3-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng cạnh
2a . Một mặt cầu tiếp xúc với các đường sinh của hình trụ và hai đáy của hình trụ. Tỉ số thể tích
của khối trụ và khối cầu là.
A. 2 .
B. 3
C. 1
D. 4
2.
2.
3.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

TRANG 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

D

A

O

C

B

.
Do thiết diện đi qua trục của hình trụ là hình vng cạnh 2a nên bán kính đáy, chiều cao của
hình trụ lần lượt là và mặt cầu nội tiếp khối trụ có bán kính là a. .
2
3
Thể tích khối trụ là: VT h. .R 2. .a . .
4
4 3
3
Thể tích khối cầu là: VC   R   a . .
3
3
VT 3
 ..
Tỉ số thể tích là
VC 2
Câu 6.

[2H2-2.3-3] [THPT THÁI PHIÊN HP] Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 1 m.
Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc cạnh BC thỏa mãn NC 2 NB. Gọi V là thể tích
khối trịn xoay khi quay đa giác ADCNM quanh trục BC. Tính V . .
35 3
V
m .
36
A

M

B

N

V

A.

D

17 3
m .
C. V 
18

C

.

B.

5 3
m
6

.

11 3
m .

D. V 
12
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Gọi thể tích khối trụ trịn xoay khi quay hình vng ABCD quanh trục BC là V1 .
Gọi thể tích khối nón trịn xoay khi quay tam giác MBN quanh trục BC là V2 .

TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

1
1
1
V1  .r 2 .h  .12.1  ; MB  r2  ; h  BN  BC 
2
3
3
2

1
1 1 1 
V2   .r 2 .h     . 
3
3  2  3 36
Vậy V V1  V2  

Câu 7.

.

 35

.
36 36

[2H2-2.3-3] [THPT THÁI PHIÊN HP] Cho hình chữ nhật ABCD với AB  AD và có
diện tích bằng 2, chu vi bằng 6. cho hình chữ nhật đó lần lượt quay quanh AB, AD ta được hai
khối trịn xoạy có thể tích là V1 , V2 . Tính tỉ số

V1
.
V2

B. 1 .
2

A. 3 .

D. 1
3.

C. 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

.
Gọi AB  x điều kiện x  1,5 .
Suy ra AD 3  x .
 x 2(n)
Ta có: x(3  x) 2  
.
 x 1(l )
V1 1
 .
V2 2

Ta được: V1  .12.2 2 , V2  .2 2.1 4 ,
Câu 8.

[2H2-2.3-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Một hình trụ trịn xoay bán kính R 1 . Trên hai đường

 

trịn đáy  O  và. O . lấy A và B sao cho AB 2 . Góc giữa AB và trục OO bằng 300 .
Xét hai khẳng định sau:
O'

R
1 B

2
O
A

(I) Khoảng cách giữa OO và AB bằng

.

3
.
2
TRANG 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

(II) Thể tích của khối trụ là V  3 .
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Cả (I) và (II) đều đúng.
C. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.
D. Cả (I) và (II) đều sai.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

O'

R
1 B
30°
2

O

H

C

A

.

Kẻ đường sinh BC thì OO€ ABC  . Vì  ABC  vng góc với  OAC  nên kẻ OH  AC thì





OH   ABC  . Vậy d OO; AB OH .
ABC có BC  AB.cos 300  3 và AC  AB.sin 300 1 .
OAC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 , nên OH 

3
. Vậy (I) đúng.
2

V  .R 2 .h nên (II) đúng.
Câu 9.

[2H2-2.3-3] [THPT Ngơ Gia Tự] Một người có một dải ruy băng dài 130  cm  , người đó cần
bọc dải ruy băng đó quanh một hộp q hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10  cm  của dải

ruy băng để thắt nơ ở trên nặp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải dây ruy băng bọc được hộp
q có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. 2000  cm  .
3

.
3
C. 4000  cm  .

B. 1000  cm  .
3

D. 1600  cm  .
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có 130 10  8r  4h  h 30  2r .
V  r 2 h  r 2  30  2r  30 r 2  2 r 3
V  60 r  6 r 2

.

V  0  r 10  Vmax V  10  1000 .
TRANG 5


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 10. [2H2-2.3-3] [THPT Thuận Thành 2] Cho tam giác ABC cân tại A , AB  AC 5a,
BC 6a . Hình chữ nhật MNPQ có M , N lần lượt thuộc cạnh AB, AC và P, Q thuộc cạnh
BC . Quay hình chữ nhật MNPQ (và miền trong nó) quanh trục đối xứng của tam giác ABC
được một khối tròn xoay. Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối tròn xoay lớn nhất.
A. MN a .
B. MN 2a .
C. MN 5a .
D. MN 4a .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

.
Ta có: BH 3a; AH 4a .
Đặt HQ  x  BQ 3a  x  0  x  3a  .
Ta có:

4 3  x
MQ BQ
.

 MQ 
AH BH
3

2
Khi đó: VT  .x .

4 3  x


x3 
4  x 2 

3
3


Xét hàm số f  x   x 2 

x3
3

 0  x  3a  .

 0  x  3a  .

Hàm số f  x  đạt giá trị lớn nhất tại x 2a  MN 4a .
Câu 11. [2H2-2.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03] Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 AD 2 .
Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được hai hình trụ trịn xoay có thể
tích lần lượt là V1 ,V2 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. V2 2V1 .

B. V1 V2 .

C. 2V1 3V2 .
Hướng dẫn giải

D. V1 2V2 .

Chọn D.
2
Quay quanh AD: V1  . AB . AD 4 .
2
Quay quanh AB: V2  . AD . AB 2 .

Câu 12. [2H2-2.3-3] [THPT Kim Liên-HN] Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng ( a ) vng góc mặt đáy,
ta được thiết diện là một hình vng có diện tích bằng 16 . Biết khoảng cách từ tâm đáy hình
trụ đến mặt phẳng ( a ) bằng 3 . Tính thể tích khối trụ.
A. 2 3p .

B.

52p
.
3

C. 52p .

D. 13p .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

TRANG 6


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

C
I'

N
O'
B

.

D

I

M

O
A

Dựng các dữ kiện bài tốn theo hình vẽ trên.
Mặt phẳng ( a ) vng góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vng ABCD có diện tích
bằng 16 Þ Cạnh hình vng bằng 4 .
Khoảng cách từ tâm I đáy hình trụ đến mặt phẳng ( a ) bằng 3 Þ IO = 3 .
Ta có IA = IO 2 + OA2 = 9 + 4 = 13 .

(

)

2

Vậy thể tích khối trụ trên là: V = p. 13 .4 = 52p( dvtt ) .
Câu 13. [2H2-2.3-3] [BTN 169] Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 , diện tích đáy bằng diện
tích của mặt cầu có bán kính bằng 1 . Tính thể tích V khối trụ đó.
A. V 8 .
B. V 4 .
C. V 6 .
D. V 10 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi r , h, S , S1 lần lượt là bán kính hay đáy, chiều cao, diện tích xung quanh và diện tích một
đáy của hình trụ.
Vì diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán kính bằng 1 nên S1 4 , suy ra

 r 2 4  r 2 .
Hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 nên S 2 rh 4   rh 2   h 1 .
Vậy V  r 2 h 4 .
Câu 14. [2H2-2.3-3] [BTN 166] Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng S , diện tích đáy bằng diện
tích một mặt cầu bán kính a . Khi đó, thể tích của hình trụ bằng:
1
1
1
A. Sa .
B. Sa .
C. Sa .
D. Sa .
4
2
3
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Gọi R và h là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Khi đó :
S d  R 2   R 2 4 a 2 ( Sd là diện tích mặt cầu)  R 2a .
S
S xq 2 Rh S  S xq S   h 
.
4 a
S
2
Sa .
Vậy V Sd .h 4 a .
4 a

TRANG 7