Cd3.6. Tinh Chat Ham So Logarit-Md3.Doc

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 3.6. Tính chất hàm số logarit.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2D2-3.6-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Tìm mệnh đề sai trong các
mệnh đề sau?
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 x  22 x bằng 4 .
2
B. Hàm số y log 2  x  1 đồng biến trên  .
2
C. Hàm số y log 1  x  1 đạt cực đại tại x 0 .
2

D. Hàm số y 2

3 x

nghịch biến trên  .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Đáp án A đúng vì y  23 x ln 2  0, x   .
2x
 0, x  0 , do đó khơng thể đồng biến trên  .
Đáp án B sai vì y  2
 x 1 ln 2

Đáp án C đúng, dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết quả.
4
4
Đáp án D đúng vì y 2 x  22 x 2 x  x 2 2 x. x 4 .
2
2
Câu 2.

2
2
[2D2-3.6-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Giả sử ta có hệ thức a  b 7ab  a, b  0  . Hệ
thức nào sau đây là đúng?
a b
a b
log 2 a  log 2 b .
2  log 2 a  log 2 b  .
A. 4 log 2
B. log 2
6
3
a b
log 2 a  log 2 b .
C. 2 log 2  a  b  log 2 a  log 2 b .
D. 2 log 2
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: a 2  b2 7 a. B .

2

2

  a  b  9ab  log 2  a  b  log 2 (9ab)
.
 a b 
 a b 
 log 2 

log
(
ab
)

2log

log
a

log
b
2
2
2
2


 3 
 3 
2

Câu 3.

[2D2-3.6-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho a  0, b  0, b 1 . Đồ thị các hàm số y a x và
y log b x được như hình vẽ sau đây.
y
2
1

y a x
-2

x
-1

1
-1

2

y log b x

.
TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 0  a  1;0  b  1 . B. 1  a  0; b  1 .
C. a  1; b  1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Quan sát đồ thị ta thấy:
+ hàm số y a x đồng biến  a  1 .
+ Hàm số y log b x nghịch biến  0  b  1 .
Câu 4.

[2D2-3.6-3] [BTN 163] Cho hàm số y ln
là biểu thức không phục thuộc vào x .
A. y  e y 0 .
B. y.e y  1 .

D. a  1;0  b  1 .

1
. Biểu thức liên hệ giữa y và y nào sau đây
x 1

C. y  e y 0 .
Hướng dẫn giải

D. y.e y 1 .

Chọn C.
1
 
y



1
x 1
y ln
 
 y ' e y 0 .
1
x 1  y
e 

x 1
Câu 5.

[2D2-3.6-3] [BTN 173] Cho bất phương trình log x  x  a   2  a    . Xét khẳng định sau:
1- Nếu a 1 thì bất phương trình đã cho vơ nghiệm.
2. Nếu a  0 thì bất phương trình đã cho có nghiệm là 1  x 
Chỉ ra tất cả các khẳng định đúng:
A. 2 .
C. Khơng có câu nào.

1  4a
.
2

B. 1, 2 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

với a 1 thì x  1 khi đó:
2

1 
1

log x  x  a   2  x  x  a  0   x     a    0
.
2    4 

2

0

với a  0 .
Trường hợp 1: 0  x  1 khi đó:
2

1 
1
2

log x  x  a   2  x  a  x   x     a    0   2 x  1   1  4a  .
2 
4

2

 1  1  4a


1  1  4a

x
 0  VL 

0  x 
 2 x  1  1  4a
2
2



.

 1  1  4a
1  1  4a
 2 x  1   1  4a
 x  1 VL 
x
1 

2

2
Suy ra bất phương trình khơng có nghiệm trên  0;1 .
Trường hợp 2: x  1 khi đó:
2

1 
1

1  1  4a

.
log x  x  1  2  x  x  a  0   x     a    0  1  x 
2 
4
2

2

TRANG 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Vậy 2 - đúng.
Câu 6.

[2D2-3.6-3] [BTN 173] Cho các số thực dương a, b, c và cùng khác 1 . Xét các khẳng định sau:
1- log abc abc 1. 3- log a b.c log a b  log a c. .
2- log

a
c

b

1

log c b. 4- log a bc log a b  log a c. .
2a

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên.
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
1 sai ví dụ chọn a 3, b 2, c  thì abc 1 nên log abc abc 1 không tồn tại.
6
2
2 sai biểu thức đúng phải là log c a b  log c b .
a
4 sai rõ ràng.
Câu 7.

[2D2-3.6-3] [Cụm 1 HCM] Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log 2  a  1  log 2  b  1 6 . Giá
trị nhỏ nhất của S a  b là.
A. min S 8 .
B. min S 14 .
C. min S 12 .
D. min S 16 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
log 2  a  1  x
 x  y 6 .
Đặt 

log 2  b  1  y
x
 a  1 2
 a  b  2 2 x  2 y 2 2 x  y 2. 26 16  a  b 14 .
Ta có 
y
b  1 2

Câu 8.

1 
[2D2-3.6-3] [208-BTN] Cho ba số thực a , b , c   ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu
4 
thức.
1
1
1



P log a  b    log b  c    log c  a   .
4
4
4



A. Pmin 1 .
B. Pmin 3 .
C. Pmin 3 3 .

D. Pmin 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2

1 
1 
1
1
Vợi mọi x   ; 1 ta có x 2  x   x   0  x 2  x  .
4 
4 
2
4
1

2
Lấy logarit 2 vế, ta được log t x log t  x   (với t   0;1 (*).
4

1

log a  b   log a b 2 2 log a b .
Áp dụng BĐT (*) ta được:
4

1


log b  c   log b c 2 2 log b c .
4

1

log c  a   log c a 2 2 log c a .
4

TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Suy ra P 2  log a b  log b c  log c a  2.3 3 log a b.log b c.log c a 6 Pmin .
Câu 9.

2
2
[2D2-3.6-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Giả sử ta có hệ thức a  b 7ab  a, b  0  . Hệ
thức nào sau đây là đúng?
a b
a b
log 2 a  log 2 b .
2  log 2 a  log 2 b  .
A. 4 log 2
B. log 2
6
3

a b
log 2 a  log 2 b .
C. 2 log 2  a  b  log 2 a  log 2 b .
D. 2 log 2
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: a 2  b2 7 a. B .

2

2

  a  b  9ab  log 2  a  b  log 2 (9ab)
.
 a b 
 a b 
 log 2 

log
(
ab
)

2log

log
a

log

b
2
2
2
2


 3 
 3 
2

Câu 10. [2D2-3.6-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho a  0, b  0, b 1 . Đồ thị các hàm số y a x và
y log b x được như hình vẽ sau đây.
y
2
1

y a x

x

-2

-1

1
-1

2

y log b x

.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 0  a  1;0  b  1 . B. 1  a  0; b  1 .

C. a  1; b  1 .
Hướng dẫn giải

D. a  1;0  b  1 .

Chọn D.
Quan sát đồ thị ta thấy:
+ hàm số y a x đồng biến  a  1 .
+ Hàm số y log b x nghịch biến  0  b  1 .
2

Câu 11. [2D2-3.6-3] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Cho hàm số f  x  3x .4 x . Khẳng định nào
sau đây SAI?
2
A. f  x   9  x log 2 3  2 x  2 log 2 3 .

2
B. f  x   9  x  2 x log3 2  2 .

2
C. f  x   9  x ln 3  x ln 4  2 ln 3 .

D. f  x   9  2 x log 3  x log 4  log 9 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Ta có:
2
2
3x .4 x  9  log 3 3x  log 3 4 x  log 3 9  x 2  2 x log 3 2  2 . Vậy A đúng.
2

2

3x .4 x  9  log 2 3x  log 2 4 x  log 2 9  x 2 log 2 3  2 x  2 log 2 3 . Vậy B đúng.
2

2

3x .4 x  9  log 3x  log 4 x  log 9  x 2 log 3  x log 4  log 9 . Vậy C sai.
TRANG 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

2

PHƯƠNG PHÁP

2

3x .4 x  9  ln 3x  ln 4 x  ln 9  x 2 ln 3  x ln 4  2 ln 3 . Vậy D đúng.
Câu 12. [2D2-3.6-3] [BTN 165] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu M , N  0 và 0  a 1 thì log a  M .N  log a M .log a N .

B. Nếu 0  a  1 thì log a 2016  log a 2017 .
C. Nếu 0  a  1 thì log a M  log a N  0  M  N .
D. Nếu a  1 thì log a M  log a N  M  N  0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu C sai vì đúng là: M , N  0 và 0  a 1 thì log a  M .N  log a M  log a N .
Câu 13. [2D2-3.6-3] [BTN 163] Cho hàm số y ln
là biểu thức không phục thuộc vào x .
A. y  e y 0 .
B. y.e y  1 .

1
. Biểu thức liên hệ giữa y và y nào sau đây
x 1

C. y  e y 0 .
Hướng dẫn giải

D. y.e y 1 .

Chọn C.
1
 
y 

1

x 1
y ln
 

 y ' e y 0 .
1
x 1  y
e 
x 1

Câu 14. [2D2-3.6-3] [Cụm 1 HCM] Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log 2  a  1  log 2  b  1 6 . Giá
trị nhỏ nhất của S a  b là.
A. min S 8 .
B. min S 14 .
C. min S 12 .
D. min S 16 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
log 2  a  1  x
 x  y 6 .
Đặt 
log 2  b  1  y
 a  1 2 x
 a  b  2 2 x  2 y 2 2 x  y 2. 26 16  a  b 14 .
Ta có 
y
b  1 2
Câu 15. [2D2-3.6-3] [Sở Bình Phước] Cho a  0, a 1, b  0, b 1 thỏa mãn các điều kiện
log a

1
2016

 log a

A. log b a  1 .

1

1

1

và b 2016  b 2017 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
2017
B. 0  log b a  1 .
C. log a b  0 .
D. 0  log a b  1 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
1
 1
 2016  2017
 0  a 1 .
Ta có 
1
1
log
 log a
 a 2016
2017

TRANG 5

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

1
 1
 2016  2017
 b 1.
Ta có 
1
1
 2016
 b 2017
b
Ta có 0  a  1, b  1  log b a  log b 1 0  0  log b a  1 sai và log b a  1 sai.
Ta có 0  a  1, b  1  log a b  log a 1 0  log a b  0 đúng và 0  log a b  1 sai.
Câu 16. [2D2-3.6-3] [BTN 174] Cho các số thực dương a, b, c cùng khác 1 . Xét các khẳng định sau:
2 b
2 c
1. log a log a .
c
b
2. log abc  log a b.logb c.log c a  0 .
3.Nếu a 2  b 2 7ab thì log 7

a b 1
  log 7 a  log 7 b  .
3

2

Các khẳng định đúng là:
A. (1), (2) .
B. (1), (3) .

C.  1 ,  2  ,  3 .

D. (2), (3) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2

b 
c
c
  log a  log a2 VP   1 đúng.
c 
b
b
1
(2) : Giả sử a 2; b 3; c   abc 1 suy ra khơng có nghĩa log abc  log a b.log b c.log c a  0 .
6
(2)
Suy ra
sai.
(1) : VT log 2a

(3) : Ta có a  b 7 ab   a  b 

2

2

2

2

a b 1
 a b 
9ab  
  log 7 a  log 7 b  .
 ab  log 7
3
2
 3 

Suy ra (3) đúng.
Câu 17. [2D2-3.6-3] [BTN 173] Cho bất phương trình log x  x  a   2  a    . Xét khẳng định sau:
1- Nếu a 1 thì bất phương trình đã cho vơ nghiệm.
2. Nếu a  0 thì bất phương trình đã cho có nghiệm là 1  x 
Chỉ ra tất cả các khẳng định đúng:
A. 2 .
C. Khơng có câu nào.

1  4a
.
2

B. 1, 2 .

D. 1 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
với a 1 thì x  1 khi đó:
2

1 
1

log x  x  a   2  x  x  a  0   x     a    0
.
2    4 

2

0

với a  0 .
Trường hợp 1: 0  x  1 khi đó:
2

1 
1
2

log x  x  a   2  x  a  x   x     a    0   2 x  1   1  4a  .
2 
4


2

TRANG 6


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

 1  1  4a

1  1  4a

x
0

x

 0  VL 


 2 x  1  1  4a
2
2



.

 1  1  4a

1  1  4a
 2 x  1   1  4a
 x  1 VL 
x
1 

2

2
Suy ra bất phương trình khơng có nghiệm trên  0;1 .
Trường hợp 2: x  1 khi đó:
2

1 
1
1  1  4a

.
log x  x  1  2  x  x  a  0   x     a    0  1  x 
2 
4
2

Vậy 2 - đúng.
2

Câu 18. [2D2-3.6-3] [BTN 173] Cho các số thực dương a, b, c và cùng khác 1 . Xét các khẳng định sau:
1- log abc abc 1. 3- log a b.c log a b  log a c. .
2- log

a
c

b

1
log c b. 4- log a bc log a b  log a c. .
2a

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên.
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
1 sai ví dụ chọn a 3, b 2, c  thì abc 1 nên log abc abc 1 không tồn tại.
6
2
2 sai biểu thức đúng phải là log c a b  log c b .
a
4 sai rõ ràng.
Câu 19. [2D2-3.6-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho các số thực m, n thỏa mãn m  n  1 . Tìm
m
2
2
giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P log m  m   3log n   .
n
n

A. Pmin 13 .

B. Pmin 15 .

C. Pmin 16 .
Hướng dẫn giải

D. Pmin 14 .

Chọn B.
Do m  n  1 nên ta có.
2


 m 
P log  m   3log n    2 log m m   3  log n m  1
n 
n

2
m
n



2

4
m


 log m 
n


2

 3  log n m  1 

4

 1  log m n 

2



.
3
3
log m n

log m n  log m m 1
Do m  n  1 nên 
.
log m n  log m 1 0
Xét hàm số y 

4

1  x

2



3
 3 trên  0;1 .
x

TRANG 7


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

Ta có y  

8

1  x

 y  0 

3



8

1  x

3

PHƯƠNG PHÁP

3
.
x2


3
3x 3  x 2  9 x  3
1

0

0  x  .
3
2
2
x
3
x 1  x

Bảng biến thiên.

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là Pmin 15 .
1 
Câu 20. [2D2-3.6-3] [208-BTN] Cho ba số thực a , b , c   ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu
4 

thức.
1
1
1



P log a  b    log b  c    log c  a   .
4
4
4



A. Pmin 1 .
B. Pmin 3 .
C. Pmin 3 3 .

D. Pmin 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2

1 
1 
1
1
Vợi mọi x   ; 1 ta có x 2  x   x   0  x 2  x  .
4



4 
2
4
1

2
Lấy logarit 2 vế, ta được log t x log t  x   (với t   0;1 (*).
4

1

log a  b   log a b 2 2 log a b .
Áp dụng BĐT (*) ta được:
4

1

log b  c   log b c 2 2 log b c .
4

1

log c  a   log c a 2 2 log c a .
4

Suy ra P 2  log a b  log b c  log c a  2.3 3 log a b.log b c.log c a 6 Pmin .
Câu 21. [2D2-3.6-3] [BTN 172] Cho hai số thực a và b, với 1  a  b . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng ?

2
A. log a b  1  log b a .
B. log b a  1  log a b .
C. 1  log a b  log b a .

D. log a b  1  log b a .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Ta có 1  a  b  0  log a a  log a b  1  log a b (do a  1 ) (*).
Và 1  a  b  0  logb a  log b b  0  log b a  1 (do b  1 ) (**).
Từ (*) và (**) ta có đáp án cần tìm là log b a  1  log a b .
TRANG 8