Cd3.5. Tinh Chat Ham So Mu-Md3.Doc

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 3.5. Tính chất hàm số mũ.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2D2-3.5-3] [THPT Hà Huy Tập] Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức
S  A.e rt , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng  r  0  , t là thời
gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Biết số vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có
300 con. Thời gian để vi khuẩn tăng gấp đơi số ban đầu gần đúng nhất với kết quả nào trong
các kết quả sau đây.
A. 3 giờ 2 phút.
B. 3 giờ 20 phút.
C. 3 giờ 40 phút.
D. 3 giờ 9 phút.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
ln 3
5r
5r
Ta có : 300 100.e  e 3  5r ln 3  r 
.
5
Gọi thời gian cần tìm là t .
Theo u cầu bài tốn, ta có : 200 100.e rt  ert 2 .
5.ln 2
 rt ln 2  t 
3,15  h  .

ln 3
Vậy t  3 giờ 9 phút.

Câu 2.

[2D2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho a, b là các số thực dương và x, y là các số thực bất kì.
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
x

B.  a  b  a x  b x .

A. a x  y a x  a y .
x

xy

y

C. a .b  ab  .

x

a
D.   a x .b  x .
 b
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Đẳng thức a x  y a x  a y . Lấy phản ví dụ x  y 1 , a 1 .
Ta có: a11 a1  a1  a 2 2a  1 2 . Vậy đây là đẳng thức sai.

x
Đẳng thức  a  b  a x  b x . Lấy phản ví dụ a b 1 , x 2 .
2

Ta có:  1  1 12  12  4 2 . Vậy đây là đẳng thức sai.
xy
xy
Đẳng thức a x .b y  ab  . Ta có  ab  a xy .b xy a x .b y với a, b là các số thực dương và x, y
là các số thực bất kì. Vậy đây là đẳng thức sai.
x
x
ax
a
a
x x
Đẳng thức   a .b . Ta có    x a x .b  x với a, b là các số thực dương và x, y là
b
 b
 b
các số thực bất kì. Vậy đây là đẳng thức đúng.

Câu 3.

[2D2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị của hàm số y ln x có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị của hàm số y 2  x có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị của hàm số y ln   x  không có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị của hàm số y 2 x có tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải
TRANG 1

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn B.
Ta nhớ:
x

1
+ Đồ thị hàm số y a , y   luôn nhận Ox : y 0 là đường tiệm cận ngang.
a
+ Đồ thị hàm số y log a x , y log a   x  luôn nhận Oy : x 0 là đường tiệm cận đứng.
x

x

Do đó: y 2
Câu 4.

x

1
  có tiệm cận đứng là sai.
 2

[2D2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng:
cứ sau đúng 5 ngày số lượng loài của vi khuẩn A tăng lên gấp đơi, cịn sau đúng 10 ngày số
lượng lồi của vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn A và 200 con

vi khuẩn B , hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong mơi trường đó thì số lượng hai lồi bằng
nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?
A. 10 log 4 2 (ngày).
B. 5 log 8 2 (ngày).
3

3

C. 5 log 4 2 (ngày).

D. 10 log 3 2 (ngày).

3

2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Giả sử sau x ngày ni cấy thì số lượng vi khuẩn hai loài bằng nhau.
x

ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của loài A là: 100 2 5 con vi khuẩn.
x

ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của loài B là: 200 310 con vi khuẩn.
Khi đó ta có phương trình:
x
x
5

x
10

100 2 = 200 3 

Câu 5.

25
x
10

3

x

 4  10
2    2  x 10 log 4 2 .
 3
3

[2D2-3.5-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Trong Vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ được
 kt
tính theo công thức m  t  m0 .e trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ, m  t 
là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian t , k là hằng số phóng xạ phụ thuộc vào từng

loại chất. Biết chu kỳ bãn rã của 14C là khoảng 5730 năm (tức là một lượng 14C sau 5730
năm thì cịn lại một nửa). Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác
định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ vật có tuổi
là bao nhiêu?
A. 2300 năm.

B. 2378 năm.
C. 2387 năm.
D. 2400 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 kt
 kt
Ta có m  t  m0 .e  e 

mt
 m t 
  kt ln 
.
m0
 m0 

Do chu kỳ bãn rã của 14C là khoảng 5730 năm nên k 

 1  m  t   ln 2
.ln 
.

t
 m0  5730

TRANG 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Mẫu đồ cổ có một lượng Cacbon và xác định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon
m t 3
3
 .
ban đầu của nó nên m  t   m0 
4
m0
4
Mẫu đồ vật có tuổi là t 
Câu 6.

 1  m  t    5730  3 
.ln 
.ln   2378 .

k
ln 2
 4
 m0 

[2D2-3.5-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  log a b

2 2





 6  log



A. 30 .

2

b
 với a, b là các số thực thỏa mãn
a 

b
a

B. 40 .

C. 60 .
Hướng dẫn giải

b  a 1.
D. 50 .

Chọn C.
Ta có  log a b

log

b
a

2



2

2

4  log a b  . Đặt log a b t .

b 1
b 1
 log b   log b b  log b
2
a 2
a a
a
a


 1
1
1
a  

 2  log b log b

b
a

a
a











 1
 1  2log a b  6  4log b a 
1
1
1
2
2

 

1

 

2   log a 1 log b  1  2  1  2log b a log a b  2  2  log a b  4log b a  4 
b
a

2
2

4
2
2t  6 
1
t  1 2  t  3t  2   t  1  t  2   t  1

.
2
2 t  4  4 2 t 2  4t  4
t 2
 t  2
t
2

 t 1
Ta được P 4t  6 
 .
 t  2
2

Với b  a  1  b  a 2  * Lấy log cơ số a  1 hai vế của  * ta được log a b  2 nên t  2 .
2

 t 1
 , t  D  2;   .
 t  2

*) Xét hàm số f  t  4t 2  6 
Ta được.


 t 3

12(t  1)
 t 1  3
2
3
2
f '  t  8t 
.
2 0  8t  t  4t  4   12  t  1 0  8t  32t  20t  12 0 

2
 t  2

 1 3
 t  2

Do t  2 nên f '  t  0 có nghiệm t 3 .
f  t  ; f  3 60;lim
f  t   nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 60. .
Ta có lim
t  
t 2


Câu 7.

[2D2-3.5-3] [THPT Hồng Văn Thụ - Khánh Hịa] Áp suất khơng khí P (đo bằng milimet
thủy ngân, kí hiệu là mmHg ) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo
TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

cơng thức P Po e xi . Trong đó P0 760 mmHg là áp suất của mực nước biển  x 0  , i là hệ
số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của khơng khí là 672, 71 mmHg . Hỏi áp suất
khơng khí ở độ cao 3000m gần bằng với số nào dưới đây?
A. 554,38 mmHg .
B. 482,17 mmHg .
C. 530, 23 mmHg .
D. 201,81 mmHg .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
672, 71
1000i
 i
ln
Tại độ cao 1000m ta có 672, 71 760e
.
1000
760
Tại độ cao 3000m ta có P 760e3000i 527 .
Câu 8.

[2D2-3.5-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Tìm tập nghiệm của bất phương trình:

2

x2  4



 1 .ln x 2  0 .

A.  1; 2 .

B.   2;  1   1; 2  .

C.  1; 2  .

D.  1; 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Điều kiện: x 0 .
 2 x2  4  1  0
 2
 ln x  0
2
x 4
 1 .ln x 2  0  
Khi đó: 2
.

x2  4

2

1

0

 2
 ln x  0





x   2  x  2
2
2
 2 x  4  1  0
 x  4  0

 2
  1  x  1
 HVN  .
Trường hợp 1 :  2
 x  1
 x 0
ln x  0

2

x  4  0
 2  x  2
2
2 x  4  1  0
 2
 2  x   1

 x 1
  x   1 x  1  
Trường hợp 2 :  2
.
1  x  2
 x 0
 x 0
ln x  0


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   2;  1   1; 2  .
Câu 9.

[2D2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho a, b là các số thực dương và x, y là các số thực bất kì.
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a x  y a x  a y .
x

xy

y

C. a .b  ab  .

x

B.  a  b  a x  b x .
x

a
D.   a x .b  x .
 b
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Đẳng thức a x  y a x  a y . Lấy phản ví dụ x  y 1 , a 1 .
Ta có: a11 a1  a1  a 2 2a  1 2 . Vậy đây là đẳng thức sai.
x
Đẳng thức  a  b  a x  b x . Lấy phản ví dụ a b 1 , x 2 .
2

Ta có:  1  1 12  12  4 2 . Vậy đây là đẳng thức sai.

TRANG 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

xy
xy
Đẳng thức a x .b y  ab  . Ta có  ab  a xy .b xy a x .b y với a, b là các số thực dương và x, y

là các số thực bất kì. Vậy đây là đẳng thức sai.
x
x
ax
a
a
x x
Đẳng thức   a .b . Ta có    x a x .b  x với a, b là các số thực dương và x, y là
b
 b
 b
các số thực bất kì. Vậy đây là đẳng thức đúng.

Câu 10.

[2D2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị của hàm số y ln x có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị của hàm số y 2  x có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị của hàm số y ln   x  khơng có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị của hàm số y 2 x có tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta nhớ:
x
1
x
+ Đồ thị hàm số y a , y   luôn nhận Ox : y 0 là đường tiệm cận ngang.
a
+ Đồ thị hàm số y log a x , y log a   x  luôn nhận Oy : x 0 là đường tiệm cận đứng.
x

Do đó: y 2
Câu 11.

x

1
  có tiệm cận đứng là sai.
 2

[2D2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng:
cứ sau đúng 5 ngày số lượng loài của vi khuẩn A tăng lên gấp đơi, cịn sau đúng 10 ngày số
lượng lồi của vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn A và 200 con
vi khuẩn B , hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong mơi trường đó thì số lượng hai lồi bằng
nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?
A. 10 log 4 2 (ngày).
B. 5 log 8 2 (ngày).
3

3

C. 5 log 4 2 (ngày).

D. 10 log 3 2 (ngày).

3

2

Hướng dẫn giải

Chọn A.
Giả sử sau x ngày ni cấy thì số lượng vi khuẩn hai loài bằng nhau.
x

ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của loài A là: 100 2 5 con vi khuẩn.
x

ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của lồi B là: 200 310 con vi khuẩn.
Khi đó ta có phương trình:
x
x
5

x
10

100 2 = 200 3 

Câu 12.

25
x
10

3

x

 4  10
2    2  x 10 log 4 2 .

 3
3

[2D2-3.5-3] [BTN 174] Áp suất khơng khí P (đo bằng mi-li-met thủy nhân, kí hiệu là mmHg )
xi
suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức P P0 .e . Trong đó

P0 760mmHg áp suất ở mực nước biển  x 0  , I là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao

TRANG 5


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

1000m thì áp suất của khơng khí là 624, 71mmHg . Hỏi áp suất khơng khí ở độ cao 3000m là
bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).
A. P 530mmHg .
B. P 531mmHg .
C. P 528mmHg .
D. P 527 mmHg .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
672, 71
1000 i
 i
ln

Theo đề ta cso 672, 71 760.e
.
1000
760
Vậy P 760.e3000.i 527 mmHg .
Lưu ý: Nếu các em làm tròn kết quả ngay từ lúc tính i thì sẽ cho kết quả cuối cùng là
530mmHg như vậy sẽ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 13.

[2D2-3.5-3] [BTN 171] Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam là 1% . Năm 2010, dân số
nước ta là 88360000 người. Sau khoảng bao nhiêu năm thì dân số nước ta sẽ là 128965000
người? Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là không thay đổi.
A. 38 .
B. 37 .
C. 39 .
D. 36 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi n là số năm dân số nước ta tăng từ 88360000  128965000 .
n
Sau n năm dân số nước Việt Nam là: 88360000  1, 01 . Theo đề:
n
 128965000 
88360000  1, 01 128965000  n log1,01 
 38 (năm).
 88360000 

Câu 14.

[2D2-3.5-3] [BTN 171] Cho a, b, c, x  1 và các khẳng định sau:

1) a logb c c logb a .
x

 4
2) Phương trình    2 x 2  4 x  9 vơ nghiệm.
5
m

1  2017 

 ln có nghiệm duy nhất.
x  2016 
Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định trên?
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
3) Khi m  1 thì phương trình x 

3
thì
2
VT  2 (theo BĐT CAUCHY) cịn VP  2 suy ra phương trình đã cho vơ nghiệm suy ra khẳng
định 3 sai.
Khẳng định 1, 2 là các khẳng định đúng, các em tự chứng minh. Đối với ý 3 khi thế m 

Câu 15.

[2D2-3.5-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Năm 1992, người ta đã biết số p = 2756839 - 1 là
một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của
p khi viết trong hệ thập phân.
A. 227832 chữ số.
B. 227834 chữ số.
C. 227830 chữ số.
D. 227831 chữ số.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Khi viết trong hệ thập phân, số các chữ số của p 2756839  1 bằng các chữ số của 2756839. .
Do đó số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân là.
 log 2756839   1  756839 log 2   1 227831  1 227832. .
TRANG 6


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

Câu 16.

PHƯƠNG PHÁP

[2D2-3.5-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Trong Vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ được
 kt
tính theo cơng thức m  t  m0 .e trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ, m  t 
là khối lượng chất phóng xạ cịn lại sau thời gian t , k là hằng số phóng xạ phụ thuộc vào từng

loại chất. Biết chu kỳ bãn rã của 14C là khoảng 5730 năm (tức là một lượng 14C sau 5730
năm thì cịn lại một nửa). Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác
định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ vật có tuổi
là bao nhiêu?

A. 2300 năm.
B. 2378 năm.
C. 2387 năm.
D. 2400 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 kt
 kt
Ta có m  t  m0 .e  e 

mt
 m t 
  kt ln 
.
m0
 m0 

 1  m  t   ln 2
.ln 
.

t
 m0  5730
Mẫu đồ cổ có một lượng Cacbon và xác định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon
m t 3
3
 .
ban đầu của nó nên m  t   m0 
4
m0

4
Do chu kỳ bãn rã của 14C là khoảng 5730 năm nên k 

Mẫu đồ vật có tuổi là t 
Câu 17.

 1  m  t    5730  3 
.ln 
.ln   2378 .

k
ln 2
 4
 m0 
2

[2D2-3.5-3] [BTN 172] Cho hàm số f  x  2 x.7 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
2
A. f  x   1  x ln 2  x ln 7  0 .

2
B. f  x   1  x log 7 2  x  0 .

2
C. f  x   1  x  x log 2 7  0 .

D. f  x   1  1  x log 2 7  0 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

2



2



2

x x
x x
x
x
2
Biến đổi 2 .7  1  log 2 2 .7  0  log 2 2  log 2 7  0  x  x log 2 7  0 và có thể là:

x  1  x log 2 7   0; x  x 2

1
ln 7
 0 và x  x 2 .
0.
log 7 x
ln 2

Rõ ràng x  1  x log 2 7   0  1  x log 2 7  0 là sai.
Câu 18.

[2D2-3.5-3] [BTN 168] Hỏi rằng trong hệ thập phân, số M 220162017 có bao nhiêu chữ số?

A. 6069372 .
B. 6069369 .
C. 6069371 .
D. 6069370 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
M 220162017  log M 20162017 log 2 6069371,89 .
Suy ra M trong hệ thập phân có 6069372 chữ số.

TRANG 7