Cd3.5. Tinh Chat Ham So Mu-Md2.Doc

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 3.5. Tính chất hàm số mũ.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2D2-3.5-2] [THPT chuyên Lê Thánh Tông] Tính đạo hàm của hàm y x x tại điểm x 2
là.
A. y 2  4 ln 2 .
B. y 2  4 ln  2 e  . C. y 2  4 .
D. y 2  2 ln  2 e  .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
y
ln x  1  y y  ln x  1  x x  ln x  1 .
y
Khi đó: y 2  4  ln 2 1 4 ln  2e  .
x
Ta có: y  x  ln y x ln x 

Câu 2.

[2D2-3.5-2] [Minh Họa Lần 2] Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 . Đồ thị các hàm số
y a x , y b x , y c x được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.
A. c  a  b .

B. a  b  c .

C. b  c  a .
Hướng dẫn giải

D. a  c  b .

Chọn D.
Từ đồ thị suy ra 0  a  1 ;
b  1, c  1 và b x  c x khi x  0 nên b  c . Vậy a  c  b .
Câu 3.

[2D2-3.5-2] [THPT THÁI PHIÊN HP] Cho a, b, c là các số thực đương phân biệt,
khác 1 và đồ thị các hàm số y a x , y b x , y c x như hình vẽ.

.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

A. a  c  b .

B. c  a  b .

PHƯƠNG PHÁP

C. a  b  c .
Hướng dẫn giải

D. b  a  c .

Chọn A.
Hàm số y a x đồng biến nên a  1 .
Hàm số y b x , y c x nghịch biến nên : 0  b, c  1 .
Khi x  1 dựa vào đồ thị ta thấy b x  c x  b  c .
Vậy a  c  b .
Câu 4.

[2D2-3.5-2] [THPT Chuyên LHP] Gọi  C  là đồ thị của hàm số y 

1
. Phát biểu nào
2017 x

sau đây là sai ?
A.  C  nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.

B.  C  không có điểm chung với trục Ox .

C.  C  nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.

D.  C  cắt trục tung tại điểm M  0;1 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Theo lý thuyết hàm số y 
Câu 5.

1
khơng có đường tiệm cận đứng.
2017 x

[2D2-3.5-2] [THPT Chuyên LHP] Gọi a , b lần lượt là số điểm cực đại và số điểm cực tiểu của
3
 2x
hàm số y  x  3x  1 e . Tính 2a  b .

A. 0 .

B. 4 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Chọn C.
3
 2x
Ta có y  x  3 x  1 e . Tập xác định: D  .

y  x3  3x  1  e  2 x   x 3  3x  1  e  2 x    3x 2  3  e  2 x  2e  2 x  x3  3x  1 .
e  2 x   2 x 3  3 x 2  6 x  1 ; y 0 có một nghiệm là x0 .

Bảng biến thiên:

.
Suy ra hàm số có 1 điểm cực đại và 0 điểm cực tiểu.

Vậy 2a  b 2 .
Câu 6.

[2D2-3.5-2] [Cụm 1 HCM] Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một
lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây bị chết thì hiện tượng
quang hợp cũng ngưng và nó sẽ khơng nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ
phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P  t  là
số phần trăm cacbon 14 còn lại trong bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì
t

P  t  được tính theo cơng thức P (t ) 100.  0,5  5750  %  . Phân tích một mẫu gỗ từ một cơng
trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 80% . Niên đại của
TRANG 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

cơng trình kiến trúc đó gần với số nào sau đây nhất? (Giả sử khoảng thời gian từ lúc thu hoạch
gỗ cho đến khi xây dựng cơng trình đó là khơng đáng kể).
A. 3574 (năm).
B. 1851 (năm).
C. 2067 (năm).
D. 1756 (năm).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Theo giả thiết của bài tốn ta có phương trình.
t
t

t
100.  0,5  5750 80   0,5  5750 0,8 
log 0,5 0,8  t 1851 .
5750
Câu 7.

[2D2-3.5-2] [Cụm 4 HCM] Dân số thế giới được tính theo cơng thức S  Ae nr , trong đó A là
dân số của năm làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết
rằng dân số Việt Nam vào thời điểm giữa năm 2016 là 90,5 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là
1, 06% năm. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm khơng đổi thì sau bao nhiêu năm dân số Việt Nam
có khoảng 100 triệu người?
A. 15 .
B. 12, 2 .
C. 8,5 .
D. 9, 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Theo bài ra ta có: 100 90,5.e1,06%.n  n 9, 4 .

Câu 8.

[2D2-3.5-2] [THPT Lương Tài] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
a

a

b

1 1
B.       a  b .

 2  2

A. 3a  3b  a  b .
b

b

C.  x 2  2    x 2  2   a  b .

D. 2.3a  3  0.5   0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Sử dụng tính chất hàm số y a x đồng biến khi a  1 nghịch biến khi 0  a  1 nên B đúng, A sai.
Lại có a x  0, x   suy ra D đúng.
x 2  2 2  1, x   nên C đúng.
Câu 9.

[2D2-3.5-2] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ:

.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ; 2  .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên  .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;  1 .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên  \   1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
TRANG 3

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên   ;  1 và   1;    .
A sai do hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
C , D sai do hàm số bị gián đoạn tại x  1 .
Câu 10. [2D2-3.5-2] [Cụm 1 HCM] Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một
lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây bị chết thì hiện tượng
quang hợp cũng ngưng và nó sẽ khơng nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ
phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P  t  là
số phần trăm cacbon 14 còn lại trong bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì
t

P  t  được tính theo công thức P (t ) 100.  0,5  5750  %  . Phân tích một mẫu gỗ từ một cơng
trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 cịn lại trong mẫu gỗ đó là 80% . Niên đại của
cơng trình kiến trúc đó gần với số nào sau đây nhất? (Giả sử khoảng thời gian từ lúc thu hoạch
gỗ cho đến khi xây dựng công trình đó là khơng đáng kể).
A. 3574 (năm).
B. 1851 (năm).
C. 2067 (năm).
D. 1756 (năm).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Theo giả thiết của bài tốn ta có phương trình.
t
t
t
100.  0,5  5750 80   0,5  5750 0,8 

log 0,5 0,8  t 1851 .
5750
Câu 11. [2D2-3.5-2] [BTN 166] Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong 4 đáp án sau:

.
2

A. y 2 x .

x

B. y 2 .

x

C. y 3 .
Hướng dẫn giải

D. y 4 x .

Chọn B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm  1; 2  chỉ có y 2 x , y 2 x 2 thỏa tuy nhiên đáp án y 2 x 2 có đồ
thị là một parabol.
Câu 12. [2D2-3.5-2] [THPT – THD Nam Dinh] Khi quan sát một đám vi khuẩn trong phịng thí
2017
nghiệm người ta thấy tại ngày thứ x có số lượng N  x  con. Biết rằng N  x  
và lúc
x 1
đầu đám vi khuẩn có 30000 con. Hỏi số lượng vi khuẩn sau đúng một tuần gần với số nào sau
đây?

A. 38417 .
B. 34194 .
C. 35194 .
D. 36194 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2017
dx 2017 ln x  1  C . Theo giả thiết N  0  30000  C 30000 .
Ta có: 
x 1
Suy ra N  x  2017 ln x  1  30000 .
Vậy số lượng vi khuẩn sau một tuần là N  7  2017 ln 8  30000 34194 .
TRANG 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 13. [2D2-3.5-2] [Cụm 4 HCM] Dân số thế giới được tính theo cơng thức S  Ae nr , trong đó A là
dân số của năm làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết
rằng dân số Việt Nam vào thời điểm giữa năm 2016 là 90,5 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là
1, 06% năm. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm khơng đổi thì sau bao nhiêu năm dân số Việt Nam
có khoảng 100 triệu người?
A. 15 .
B. 12, 2 .
C. 8,5 .
D. 9, 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Theo bài ra ta có: 100 90,5.e1,06%.n  n 9, 4 .
Câu 14. [2D2-3.5-2] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ:

.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ; 2  .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên  .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;  1 .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên  \   1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên   ;  1 và   1;    .
A sai do hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
C , D sai do hàm số bị gián đoạn tại x  1 .
1

Câu 15. [2D2-3.5-2] [THPT Chuyên Phan Bội Châu] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn y 101 log x ,
1
1 log y

z 10

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1

A. x 101 ln z .

1

1

B. x 101log z .
C. x 101ln z .
Hướng dẫn giải

1

D. x 101 log z .

Chọn D.
1
1 log x

1
 log y 
1  log x .

1
1 log y

1
 log z 

1  log y 1 

y 10
z 10

1
1

1  log x

1 

1
log x

.

1
1 log z

 x 10

TRANG 5


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 16. [2D2-3.5-2] [THPT Hồng Văn Thụ (Hịa Bình)] Cho đồ thị ba hàm số y a x , y b x ,
y c x như trong hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây đúng?

.
A. a  c  b .

B. b  a  c .

C. c  a  b .

Hướng dẫn giải

D. c  b  a .

Chọn C.
Hàm số y a x và y c x đồng biến trên   a, c  1. .
Hàm số y b x nghịch biến trên   0  b  1. .
Với x  0 ta có c x  a x  c  a. .
Vây: c  a  b. .
Câu 17. [2D2-3.5-2] [THPT Ngô Quyền] Cho hàm số y 2 x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Tập giá trị của hàm số là  .
B. Hàm số đồng biến trên  .
2x
.
ln 2
D. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có hệ số a 2  1 nên hàm số đồng biến trên  .
C. Đạo hàm của hàm số là y 

2

Câu 18. [2D2-3.5-2] [THPT Trần Phú-HP] Cho hàm số y 3x .4 x. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. f  x   9  2 x log 3  x log 4  log 9 .

2
B. f  x   9  x ln 3  x ln 4  2 ln 3 .

2

C. f  x   9  x log 2 3  2 x  2 log 2 3 .

2
D. f  x   9  x  2 x log 3 2  2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2





2

2

 f  x   9  3x .4 x  9  ln 3x .4 x  ln 9  ln 3 x  ln 4 x  ln 32  x 2 ln 3  x ln 4  2 ln 3. .
Vậy đáp án A đúng.
2



2





2



 f  x   9  3x .4 x  9  log 2 3x .4 x  log 2 9  x 2 log 2 3  2 x  2 log 2 3. .
Vậy đáp án B đúng.
2

 f  x   9  3x .4 x  9  log 3 3x .4 x  log 3 9  x 2  2 x log 3 2  2 . Đáp án C đúng.
2



2



 f  x   9  3x .4 x  9  log 3x .4 x  log9  x 2 log 3  x log 4  log 9 . Đáp án D sai.

TRANG 6


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 19. [2D2-3.5-2] [THPT CHUYÊN VINH] Cho hàm số y 

x
. Mệnh đề nào sau là đúng?
2x

A. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu.
B. Hàm số đã cho có cả điểm cực đại và điểm cực tiểu.
C. Hàm số đã cho có điểm cực đại.
D. Hàm số đã cho khơng có điểm cực trị.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
1.2 x  2 x ln 2.x 1  x ln 2 
; y 0  1  x ln 2 0  x 
.
y 

2x
x
ln 2
2
2
 ln 2.2 x  2 x ln 2  1  x ln 2   ln 2  ln 2  x ln 2 2 x ln 2 2  2 ln 2
Lại có y 
.


22 x
2x
2x
 1   ln 2
1
y
  1  0 x    x 

là điểm cực đại của hàm số.
 ln 2 
ln 2
2 ln 2
Câu 20. [2D2-3.5-2] [Cụm 8 HCM] Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y 2 x  3 và đường thẳng
y 11 là.
A.   4;11 .

B.   3;11 .

C.  3;11 .

D.  4;11 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm 11 2 x  3  2 x 8  x  3 .
 2
Câu 21. [2D2-3.5-2] [Cụm 7-TPHCM] Cho a thuộc khoảng  0;  ,  và  là những số thực tuỳ ý.
 e
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. a .a  a   .
B. a  a      .
b

C.  a  a . .

D. a  a   a   .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
 2
a   0;   Hàm số y a x nghịch biến.Do đó a  a      .
 e
Vậy đáp án sai là D .

TRANG 7