2 cực trị lý thuyết

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

LÝ THUYẾT
 Định nghĩa


Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0  K . Ta nói:

a; b
 x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   chứa x0 sao cho
f  x   f  x0  , x   a; b  \ x0 

 a; b   K và

f  x0 

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
a; b
a; b  K
 x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   chứa x0 sao cho  
và
. Khi đó

f  x   f  x0  , x   a; b  \ x0 

f x
. Khi đó  0  được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị

phải là một điểm trong tập hợp K.
 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.





x ; f  x0 
 Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm 0
được gọi là điểm cực trị của đồ thị

hàm số f .
 Quy tắc tìm cực trị
 Quy tắc 1:
f x .
 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm  
i 1; 2;...
 Bước 2: Tìm các điểm xi 
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên
tục nhưng khơng có đạo hàm.
f x
f x
 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu   . Nếu   đổi dấu khi đi qua xi thì
hàm số đạt cực trị tại xi .

 Định lý
y  f  x
x  h ; x0  h 
 Giả sử
có đạo hàm cấp 2 trong khoảng  0

với h  0. Khi đó:
f  x 0, f  x0   0
 Nếu  0 
thì hàm số f đạt cực đại tại x0 .
f  x 0, f  x0   0
 Nếu  0 
thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
 Quy tắc 2:
f x .
 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm  
i 1; 2;...
f  x 0.
 Bước 2: Tìm các nghiệm xi 
của phương trình  
f  x
f  x .
 Bước 3: Tính   và tính  i 
f  x  0
Nếu  i 
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi .
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.


CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ..

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

VÍ

DỤ

MINH

HỌA

1
y  x 3  x 2  3x  1
3
VÍ DỤ 1. Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm

A. x  1 .

B. x 1 .

C. x  3 .

D. x 3 .

Lời giải
Chọn B
1
y  x3  x2  3x  1
3
Ta có hàm số
có tập xác định D  .
 x 1
y 0  

y  x  2 x  3
 x  3 .
;
2

y 2 x  2 y  3   4  0 y 1 4  0

;

;

.

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 .
VÍ DỤ 2. Cho hàm số

y  x 3  3  m  1 x 2  3  7 m  3  x

. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

tham số m để hàm số khơng có cực trị. Số phần tử của S là
A. 2.
B. 4.
C. 0.

D. Vô số.

Lời giải
Chọn B
Xét hàm số

y  x 3  3  m  1 x 2  3  7 m  3  x

(1)

 y 3x 2  6  m  1 x  3  7 m  3 

.

y 0  x 2  2  m  1 x  7 m  3 0
Ta có:
(2)
Hàm số đã cho khơng có cực trị
 Phương trình y0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
2

  2  0   m  1  1. 7 m  3  0  m2  5m  4 0  1  m 4
.

VÍ DỤ 3. Cho hàm số

y  f  x

có đạo hàm





f  x   x 2  1  x  4 

với mọi x   . Hàm số

g  x  f  3  x 

có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 0.
B. 1.

C. 2.

D. 3.

m   1; 2 ; 3 ; 4 
Do m là số nguyên nên
. Vậy tập S có 4 phần tử.
Lời giải
Chọn B
2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số

Ta có

f  x

g  x  f  3  x   g x   f  3  x 
.
f  x

Từ bảng biến thiên của hàm số

ta có

 3  x  1
 x 4


g x  0  f  3  x  0
 1 3  x  4
  1  x 2 .

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số

g  x

VÍ DỤ 4. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

y  f ( x)
Số điểm cực trị của hàm số
là
A. 7 .
B. 5 .

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số

C. 6 .

D. 8 .

g  x

có một điểm cực đại.
Lời giải

Chọn B
Gọi đồ thị của hàm số

y  f  x

Đặt

g  x  f  x

 C 

C

như sau:

và gọi

Giữ nguyên phần đồ thị của

là

C .

là đồ thị của hàm số

C

y g  x 

. Đồ thị

phía trên Ox ta được phần I.

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.

 C 

được suy ra từ đồ thị


CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ..

Với phần đồ thị của

C

phía dưới Ox ta lấy đối xứng qua Ox , ta được phần II.

Hợp của phần I và phần II ta được

 C 

Từ cách suy ra đồ thị của
bảng biến thiên của hàm số

từ

VÍ DỤ 5. Cho hàm số
số đạt cực tiểu tại x 0 ?

 C  , kết hợp với bảng biến thiên của hàm số

y g  x   f  x 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số
y

 C  .

y  f ( x)

y  f  x

ta có

như sau:

có 5 điểm cực trị.

x5
m
  2m  1 x 4  x 3  2019
5
3
. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm

A.Vô số .

B.1 .

C.2 .

D.0 .

Lời giải
Chọn B
2
2
y x 4  4  2 m  1 x 3  mx 2 x  x  4  2 m  1 x  m 
Ta có
.
y
x 0

Dễ thấy
là một nghiệm của đạo hàm . Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x 0 khi và chỉ khi

y

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nghiệm x 0 . Ta thấy dấu của y là dấu của hàm số
g  x  x 2  4  2 m  1  x  m
g  x

. Khi đó

. Hàm số

g  x

đổi dấu khi đi qua giá trị x 0 khi x 0 là nghiệm của

g  0  0  m 0
.

g x x 2  4 x
Thử lại, với m 0 thì  
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua giá trị x 0 .
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn u cầu bài tốn.

VÍ DỤ 6. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
I 1;1
cắt đường tròn tâm   , bán kính R 1 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện
tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?

y x 3  3mx  2

A.

m

1 3
2
.

B.

m

2 3
2 .

C.

m

2 5
2 .

D.

m

2 3
3 .

Lời giải
Chọn B

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
3
2
3

Ta có y x  3mx  2  y 3x  3m . Hàm số y x  3mx  2 có 2 điểm cực trị
2
 phương trình y 3x  3m 0 có hai nghiệm phân biệt  m  0  1

1
y  x.y  2 mx  2
3
Ta có:
.

Suy ra phương trình đường thẳng
y  2 mx  2  2mx  y  2 0



đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là

I 1;1
Đường thẳng  cắt đường trịn tâm   , bán kính R 1 tại hai điểm phân biệt A , B



2m  1

d  I ;    R 

4m2  1

1

 2 m  1  4 m2  1   4 m  0

luôn đúng do m  0

1
1
1


SIAB  .IA.IB.sin AIB
 .sin AIB



2
2
2 . Dấu bằng xảy ra  sin AIB 1  AIB 90 .
Ta có
Khi đó tam giác IAB vng cân tại I có IA 1 nên
d  I ;   

2m  1

2 
2

4m2  1



2
 4 m2  8 m  1 0  m  2  3
2
2

thỏa mãn đk

 1

y x 4  2  m  2  x 2  3 m  2
VÍ DỤ 7. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số
có ba điểm cực trị.

A.

m   2;  

.

B.

m    2; 2 

.

C.

m    ; 2 

m

Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi
Lời giải
Chọn C
Ta có:

.

D.

m   0; 2 

.

2 3
2 .



3

2
y x 4  2  m  2  x 2  3m  2 y ' 4 x  4  m  2  x 4 x x  m  2

;



 x 0
y ' 0   2
 x 2  m (1)

Để hàm số có ba điểm cực trị  phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt
 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0  2  m  0  m  2 .
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
f ( x)HỌC
( x4.0”.
 1)2 x 2  4 x
x “TƯ DUY TOÁN
Một sản phẩm củaf nhóm

VÍ DỤ 8. Cho hàm số

 

có đạo hàm

g( x)  f 2 x 2  12 x  m



 .Có bao nhiêu giá trị nguyên dương


CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ..

Lời giải.
Chọn B
 x  1

f ( x) 0  ( x  1) x  4 x 0   x 0
 x 4
Ta có :
, trong đó x  1 là nghiệm kép.
2







2





g( x)  f 2 x 2  12 x  m  g  x   4x  12  f  2 x 2  12 x  m

Xét





g x  0   4 x  12  f  2 x 2  12 x  m 0



(*)

 x 3
 x 3
 2
 2
2 x  12 x  m  1
 2 x  12 x  m  1 ( l)

 2
 2
2 x  12 x  m
 1
2 x  12 x  m 0


 2 x 2  12 x 4  m  2 
 2 x 2  12 x  m 4


( Điểm cực trị của hàm số

g  x

là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình

2
2 x 2  12 x  m  1 ). Xét hàm số y 2 x  12 x có đồ thị (C) có y ' 4 x  12

Ta có bảng biến thiên

1 ; 2
có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình     đều có hai nghiệm phân biệt 3
Do đó, mỗi đường thẳng y 4  m và y  m phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hồnh

Để

g  x

độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng y 4  m luôn nằm trên đường thẳng y  m .
1
y  f  x   x 3   2 m  1 x 2   8  m  x  2
3
VÍ DỤ 9. Cho hàm số
với m   . Tập hợp tất cả các giá

 

y f x
a; b
trị của m để hàm số

có 5 cực trị là khoảng   . Tích a.b bằng
A. 12.
B. 16.
C. 10.

D. 14.

Ta có:  18   m  m  18 . Vậy có 17 giá trị m nguyên dương .
Lời giải
Chọn D
Ta có

y   x 2  2  2 m  1 x  8  m

.

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

Vì

 

f x

khi hàm

là hàm chẵn
f  x

 do f   x  f  x   , nên đồ thị hàm f  x  đối xứng qua trục Oy . Do đó,

có hai cực trị dương thì hàm

  sẽ có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oy và

f x

 

f x
một cực trị cịn lại chính là giao điểm của đồ thị hàm
và trục Oy .

Yêu cầu bài tốn tương đương với phương trình y 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.

Điều kiện tương đương là

  0

S  0 
P  0


 4 m 2  3m  7  0

 2 m  1 2   8  m   0

1


2
m

1

0


m 
2
8  m  0


m  8


7
m   1 m  4

1
7 

 m 
 m   ;8 
2

4 

m  8
7
a


4 , b 8 và a.b 14 .
. Vậy

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.