Vận dụng cao thầy trần công diêu chương 5 vận dụng cao hình học không gian 3

CHƯƠNG 05. (tiếp theo)
BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG 5
ĐỀ SỐ 1
Bài 1: Cho lăng trụ
lên mặt phẳng
và

bằng

A.

có đáy là tam giác đều cạnh
Hình chiếu vng góc của điểm
trùng với trọng tâm tam giác
Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
B.

C.

D.

Lời giải
C'

Gọi M là trung điểm BC, dựng MH vng
góc với

B'

Suy ra
A'

Đặt

ta có:
H
C

Từ

M
B

Vậy

A

Chọn A.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với
phẳng
và
Gọi
kính
tiếp xúc với CD. Giá trị
A.

B.

các cạnh cịn lại đều bằng

và

là góc tạo bởi hai mặt

lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Giả sử hình cầu đường
là:
C.

D.

Lời giải
Gọi O là trung điểm
và F là điểm tiếp xúc giữa hình cầu đường kính IJ và đường thẳng CD. Hình
cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến CD bằng nửa độ dài IJ.
Ta có
Vì FC và CI là hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm nên FC=CI=
Tương tự, ta có
Tam giác
Suy ra:

cân có

là đường trung tuyến nên tam giác

vuông tại J.


Do vậy,

Chọn B.
Bài 3: Cho hình chóp
với SA vng góc với mặt phẳng
và
Gọi
lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Mặt cầu đi qua các điểm
có bán kính
bằng:
A.
B.
C.
D.Khơng đủ dữ kiện để tính
Lời giải
Gọi AD là đường kính của đường trịn
Suy ra,

hay

S

S
K

K

H
A

C

600

H
A

3

C

600

2

D
B

B

Tương tự,

Suy ra mặt cầu qua các điểm

Chọn A.
Bài 4: Cho hình chóp

có đường kính

có đáy là tam giác đều cạnh

Hình chiếu của S lên mặt phẳng

góc giữa

là điểm H thuộc AB sao cho

và mặt phẳng

là

Biết

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC:
A.

B.

Lời giải
+ D là đỉnh của hình bình hành

C.

D.

thì:

+ Kẻ HE vng góc AD, E thuộc AD. Kẻ HI vng SE, I thuộc AE thì
+ Tính
Chọn A.
Bài 5: Cho hình chóp
là tam giác đều cạnh bằng

đến mặt phẳng
A.
Lời giải

có đường thẳng
vng góc với mặt phẳng
tam giác ABC
Tính theo khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC
B.

C.

D.


S

Gọi M là trung điểm của BC, ta có
Kẻ đường cao AN của tam giác SAM,
vì
nên
Khoảng cách từ A đến

là

N

Ta có:

Kẻ

vì

A

nên

Khoảng cách từ G đến

G

là

Ta có:

C

H
M

B

Vậy khoảng cách từ G đến

là

Chọn A.
Bài 6: Cho hình chóp

có

Tính theo

vng góc với mặt phẳng

khoảng cách từ A đến mặt phẳng

A.

B.

C.

D.

Lời giải
S

H
A

C
M

B

Kẻ
Ta có

nên

từ A đến mặt phẳng
là
Áp dụng định lý cô sin trong tam giác
Diện tích tam giác
Mặt khác

là

suy ra
ta có:

Vậy ta có

khoảng cách


Ta có
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

là

Chọn A.
Bài 7: Cho hình chóp tam giác

có đường thẳng SA vng góc mặt phẳng

Góc giữa mặt phẳng

và mặt phẳng

bằng

Tính theo

thể tích

của khối chóp
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Xét tam giác ABC, áp dụng định lý cơ sin:

S
Với

suy ra:

Ta kẻ đường cao AH của tam giác ABC,

3a

ta có:

A

Do đó diện tích tam giác

2a
H

là:

Vì

C
4a

B
nên góc SHA là góc giữa 2 mặt phẳng

và

bằng
Xét tam giác SAH ta có:
Vậy thể tích khối chóp

là:

Chọn B.
Bài 8: Cho hình chóp

có đáy ABC là tam giác đều cạnh

lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là
rằng hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng
A.

B.

Lời giải
Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng

Các mặt bên

Tính thể tích V của khối chóp
nằm bên trong tam giác
C.

D.

Biết


Kẻ

S

B

C

F
H

D

E

A
Khi đó ta có:
Ta có

suy ra:

Vậy
Chọn D.
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều
phẳng đáy là

thỏa mãn

có đáy là hình vng
Mặt phẳng

cạnh

góc giữa mặt bên và

qua AC và vng góc với mặt phẳng

chia

khối chóp

thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào
trong các giá trị sau:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
là hình chóp tứ giác đều
Gọi
là trung điểm CD
S

Kẻ

Ta có:

nên mặt phẳng
+ Xét tam giác

M
A

là
.
vng tại N có:

D
N

O

B

C


+ Xét tam giác

vng tại O có:

Ta có:
Xét tam giác

vng tại M có:

Ta có:
Mặt phẳng

chia khối chóp

thành hai khối

và

Do đó:
Chọn A.
Bài 10: Thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện

có cạnh

và các cạnh còn lại đều

bằng
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Gọi I trung điểm cạnh CD.

A

Theo đề bài ta có
là mặt phẳng trung trực cạnh CD.
Gọi M là giao điểm của BI với mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện
Suy ra đường tròn lớn của
là đường trịn
Mặt phẳng
cắt
theo đường trịn
qua
hơn nữa BM là đường kính

D
B

I
C

Từ

Chọn A.

đều. Suy ra

M


Bài 11: Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh
đều và vng góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho
chóp
A.

B.

Mặt bên
là tam giác
Tính thể tích hình

C.

D.

Lời giải

Ta có:
S

(là đường cao

đều )

Suy ra:
Tính :

( vì

đều cạnh

M

)
B
H

Tính:

N

A

C
D

Chọn B.

Bài 12: Cho hình chóp

có đáy

vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng
là đường cao của tam giác
A.

là hình vng cạnh
là điểm

hình chiếu

thuộc đoạn

Tính thể tích khối tứ diện
B.

cạnh bên

Gọi

theo

C.

D.

Lời giải
Gọi

là tâm của hình vng

Ta có:

S

M

A
D
O
B

Chọn A.
Bài 13: (Hình học khơng gian) Cho tứ diện
Mặt phẳng
tứ diện
A.
Lời giải

và
cắt

C

lần lượt thuộc
sao cho
tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối

bị chia bởi mặt phẳng
B.

C.

D.


A
Gọi
kẻ

P

Q

K
I

H
Suy ra
Đặt

B
Ta có:

D

N

M
C

Vậy mặt phẳng

chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích

Chọn B.
Bài 14: Cho hình chóp
vng tại

có SA vng góc với đáy,

và

Đáy

là hình thang

Gọi E là trung điểm AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp
A.

B.

C.

D.

Lời giải
S
x

R
K

I
R

E

A
a
B

D
H

a

C

Gọi H là trung điểm của CD và là đường thẳng đi qua H và vng góc với đáy. Gọi I và R là tâm
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Suy ra I thuộc D. Đặt
Trong mp
kẻ đường
thẳng đi qua I và song song với AH cắt AS tại K.

Ta có:

Suy ra:
Vậy bán kính mặt cầu bằng
Chọn C.
Bài 15: Cho bát diện đều, tính tỷ số giữa thể tích khối cầu nội tiếp và thể tích khối cầu ngoại tiếp
hình bát diện đều đó.
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Gọi cạnh bát diện đều là
bát diện đều có các mặt chéo là hình vng; khi đó độ dài các đường
chéo
Mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp đều có tâm O, khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp là

Bán kính mặt cầu nội tiếp là khoảng cách từ O đến các mặt bên. Hình trên có

Có

khi đó tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp cho khối cầu ngoại tiếp là:

Chọn D.
Bài 16: Cho hình lăng trụ tam giác đều

Lấy M, N lần lượt trên cạnh
A.

có cạnh đáy bằng

sao cho

và cạnh bên bằng

Tính thể tích V của khối

B.

C.

D.

Lời giải
Gọi G, K lần lượt tâm các hình chữ
nhật
và

A'

C'

Ta có:
(Do G trung điểm AB’)
Xét tam giác
có AG là trung

tuyến và

Suy ra

N

là trọng

tâm tam giác
Do đó BM đi q
ua trung điểm I của AA’.

B'

K

I
M

G
C

A

Ta có:
(Do K là trung điểm A’C)
Xét tam giác
có

H

là trung tuyến

B

.


và

Suy ra N là trọng tâm của tam giác

Từ M là trọng tâm tam giác
Gọi

Do đó

đi qua trung điểm I của AA’.

và N trọng tâm của tam giác

lần lượt là thể tích các khối chóp

Suy ra:

Ta có:

Mà
Hạ AH vng góc với BC tại H thuộc BC. Ta được AH vuông góc với mặt phẳng
song song với mặt phẳng

cách từ A đến

nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng

bằng khoảng

và bằng AH.

Ta có:
Suy ra :
Chọn B.
Bài 17: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vng góc của đỉnh S
trên mặt phẳng
là trung điểm cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
bằng
Gọi G là trọng tâm tam giác
A.

Bán kính mặt cầu tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng

B.

C.

là:

D.

Lời giải
+ Gọi H là trung điểm BC
+

S

+ Bán kính mặt cầu là:
+ Gọi E là hình chiếu của H trên AB và K là
hình chiếu của H trên SE.
Chứng minh:

G

M

C

B

H
E

+ Tính được :
+

K

A

Chọn A.

Bài 18: Cho hình chóp
có chân đường cao nằm trong tam giác
các mặt phẳng
cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng nhau. Biết
đường thẳng SB tạo với đáy một góc bằng
Tính thể tích V của khối
chóp
A.
B.
C.
D.
Lời giải


S

Gọi J là chân đường cao của hình chóp
và L lần lượt là hình chiếu
của J trên các cạnh AB, BC và CA.
Suy ra
và
lần lượt là góc
tạo bởi mặt phẳng

với các mặt

phẳng
Theo giả thiết ta có:
,

suy ra các tam giác vng
bằng nhau.
Từ đó,
Mà J nằm trong tam
giác ABC nên J là tâm đường trịn nội
tiếp tam giác ABC.
Áp dụng cơng thức Hê- rơng, ta tính được
diện tích của tam giác ABC là
Kí
hiệu P là nửa chu vi tam giác ABC, là
bán kính đường trịn
nội tiếp của ABC. Ta có

y=9

z=17
A

K

z=17

y=9

J

L

H
B

K

z

Chọn A.

y

J
H

Giải hệ phương trình ta được

Thể tích V của khối chóp

y

z

Ta có hệ phương trình:

Ta có
tam giác vng cân tại J.

x=8

x=8

A

Đặt

C

suy ra SJB là
là

x

x
B

L

C


ĐỀ SỐ 2
Bài 1: Một hình hộp có 6 mặt đều là các hình thoi có góc bằng
hình hộp đó.
A.

B.

Lời giải
Ta có:
Chân đường cao

C.

và cạnh bằng

Tính thể tích

D.

là tứ diện đều.
trùng với tâm của tam giác ABD.

Từ đó tìm được
Chọn B.
Bài 2: Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của
SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi là thể tích khối chóp
Tìm giá trị nhỏ nhất của
S
M
P

A

N

D
C

B

A.

B.

C.

Lời giải
Đặt
Khi đó ta có:
Ta có:

Lại có:
Từ

vì

D.


Từ

suy ra:

Khảo sát hàm số:
Chọn B.
Bài 3: Nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích tứ diện đó lớn nhất là
bao nhiêu?
A.

B.

Lời giải
Giả sử tứ diện

C.

có cạnh lớn nhất là

D.

, suy ra các tam giác ACD và BCD có tất cả các cạnh

đều không lớn hơn 1. Các chiều cao AF và BE của chúng khơng lớn hơn

trong đó
A

Chiều cao hình tứ diện
(do tam giác AHF vng tại H có AF là cạnh huyền)
Thể tích của khối tứ diện là:

B

Để tìm giá trị lớn nhất của V ta xét biểu thức
Vì

nên

D
F

H

và

C

Chọn C.
Bài 4: Cho hình chóp
phẳng vng góc với
A.

có
là hình vng cạnh
tam giác
và nằm trong mặt
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
B.

C.

D.

Lời giải

Trong đó:
+
là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
+
là bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng
+

Chọn D.
Bài 5: Cho hình lăng trụ
có đáy
là tam giác đều cạnh
hình chiếu vng góc
của
lên mặt phẳng
trùng với tâm G của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa
và
là
A.

Tính thể tích V của khối lăng trụ
B.

C.

D.


Lời giải
Gọi M là trung điểm
Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc
của
trên
Vậy
là đoạn vng góc chung của AA’

A'

C'

B'

K

và BC, do đó:

H

A

vng tại G, HG là đường cao,

C
G

M

B

Chọn C.
Bài 6: Cho hình chóp
mặt đáy và
Gọi
diện của hình chóp
A.

có đáy ABC là tam giác đều cạnh

đường thẳng SA vng góc với
là mặt phẳng đi qua B và vng góc với SC. Khi đó diện tích của thiết
khi cắt bởi mặt phẳng

B.

là:

C.

D.

Lời giải
Gọi M là trung điểm của AG.

S

Kẻ BN vng góc SC tại N.
Khi đó: Thiết diện cần tìm là tam giác BMN vng tại M.

N
A

M

C

Ta có:
Vậy: Diện tích tam giác BMN bằng

B

Chọn D.

Bài 7: Cho hình chóp
có đáy ABC là tam giác vng tại B,
Tam giác SAB có góc
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng
A.

B.

C.

D.


Lời giải
Trong mp
kẻ
Trong tam giác BCH kẻ
Ta có:

C

Vậy khoảng cách từ B đến

là BK.

K

Xét tam giác vng CBH, ta có:

A

B
H
S

Vậy

Chọn B.
Bài 8: Cho khối trụ tam giác
có đáy là tam giác đều cạnh
phẳng
một góc
Tính thể tích khối tứ diện
A.

B.

và

C.

tạo với mặt

D.

Lời giải

A1

C1
B1

A

C

H

K
B

Gọi H là hình chiếu của

trên mặt phẳng

Khi đó
Mà

nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp.

Khối chóp

có

Khối chóp

do đó

; khối chóp

có

Chọn A.
Bài 9: Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh
vng góc với mặt phẳng đáy
và góc giữa
với mặt phẳng
bằng
Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình


chiếu vng góc của S trên đường thẳng BM. Khi điểm M di động trên cạnh CD thì thể tích của khối
chóp SABH đạt giá trị lớn nhất bằng:
A.

B.

C.

Lời giải
Ta có góc giữa SC và mặt phẳng
Trong tam giác SBC có
Trong tam giác SAB có

Thể tích khối chóp
Ta có

D.

là

là:
và theo bất đẳng thức

ta có:

Đẳng thức xảy ra khi
Khi đó
Chọn D.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp
hình chóp đã cho.
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Đặt R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Dựng hình như hình bên với IG là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và IG’ là trục đường
tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

S

K
I

G'

C

A
G

H
B

Ta có:


Do vậy,
Chọn B.
Bài 11: Bài thể tích liên quan đến cực trị:
Cho hình chóp
là đường cao, đáy là hình chữ nhật với
mặt phẳng
lấy G là trọng tâm tam giác
, qua G kẻ đường thẳng
cạnh SD tại N, mp
cắt SC tại K. Xác định M thuộc SB sao cho
nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó.
A.

B.

C.

D.

đạt giá trị lớn nhất và

Lời giải

S

K
M

G

N

A

D
O

B

C

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD.

Ta có:

Tương tự
Do đó:

và

và K là trung điểm SC

.

Trong
cắt cạnh BS tại M, cắt


S

H

N

G

M

D
O
B

Trong mp

:

Do M, N lần lượt nằm trên cạnh SB, SD nên:
Đặt
Nhận thấy

thì
đạt GTLN, GTNN nếu:

với

Ta có
Nên

(loại).

Do vậy

là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B.
là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB.

Chọn A.
Bài 12: Cho lăng trụ đứng
bằng

B.

Lời giải

Suy ra:

là tam giác đều cạnh

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

Do

có đáy

nên

thể tích khối lăng trụ

và
C.

D.


Hạ

và

Suy ra:
Hạ
Do đó
Ta có:

Chọn A.
Bài 13: Cho hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R. Xác định chiều cao và bán kính đáy để hình
trụ có thể tích lớn nhất.
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Gọi

là chiều cao của hình trụ,

là bán

O

A

kính đáy của hình trụ. Ta có:
Thể tích của hình trụ là:
I

Xét hàm:

K

O'
A'

Từ bảng biến thiên ta có

thì

đạt giá trị lớn nhất.

H

B

Suy ra
Chọn B.
Bài 14: Một hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao
Hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai
đường trịn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
Tính khoảng cách giữa AB và
trục của hình trụ.
A.

B.

Lời giải
Kẻ
cắt đường trịn
Góc giữa AB và OO’ là góc
khoảng cách giữa OO’ và
Khi đó

Chọn B.

C.

D.

tại
Hạ OH vng góc AB. Khoảng cách giữa AB và OO’ bằng
vì


Bài 15:
Với một miếng tơn hình trịn có bán kính bằng
Người ta muốn làm một cái phễu bằng
cách cắt đi một hình quạt của hình trịn này
và gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ).
Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt
cung trịn của hình quạt bằng:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
r

I

N

M

h

R

S

Gọi
là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình nón sẽ là đường sinh của hình nón và đường trịn đáy của hình nón sẽ
có độ dài là
Bán kính

của đáy được xác định bởi đẳng thức

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là:
Thể tích của khối nón:
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:

Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi:
Chọn A.
(Lưu ý bài có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài sẽ dài hơn)
Bài 16: Có một miếng nhơm hình vng, cạnh là
một người dự định tính tạo thành các hình trụ
(khơng đáy) theo hai cách sau:
Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh của một hình trụ, gọi thể tích của khối
trụ đó là