051 đề thi hsg toán 9 tỉnh trà vinh 2020 2021

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH TRÀ VINH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2020 – 2021 . MƠN TỐN 9

Câu 1. (4 điểm)
 2 x
x
3x  3   2 x  2 
M 


 : 1 

x

9
x

3
x

3
x 3 



Cho biểu thức
1) Rút gọn M
2) Tìm x để

M

1
2

Câu 2. (2 điểm)
N a 3  b3  c  a 2  b 2   abc
a

b

c

0.
Cho
Tính giá trị của biểu thức

 x  4 y 5

2 x  2 y  x  y  1 7
Câu 3. (3 điểm) Giải hệ phương trình 
Câu 4. (3 điểm) Giải phương trình  x  4   x  1  3

x 2  5 x  2 6

1
1
1


2.

x
,
y
,
z
1

x
1

y
1

z
Câu 5. (2 điểm) Cho ba số dương
thỏa mãn
Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức P xyz
Câu 6. (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Gọi I , K theo thứ
tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Đặt AB c, AC b
1) Tính AH , AI , AK theo b, c
BI c 3
 3
2) Chứng minh CK b
Câu 7. (2 điểm) Từ một điểm A ở ngồi đường trịn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến
AB, AC với B, C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN 2ON .
AM
Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Tính tỉ số AO

ĐÁP ÁN
Câu 1.
1) Điều kiện x  0, x 9
2 x x 3
x x  3 3x  3   x  3 2 x  2 
 :
M 





x 9
x 9
x 9   x  3
x 3 


2 x  6 x  x  3 x  3x  3   x  1 

:

x 9
 x 3 













3 x  3 x  3
3
.

x 9  x  1
x 3
3
1
1
 
M
2 thì x  3 2
2) Để
6
2



x 3
x 3



0  3

M



x  0 do 2

3
1
 0
x 3 2



 

x 3 0  x 9

1
2

Vậy x  9 thì
Câu 2.
Vì a  b  c 0  c  a  b . Ta có :
N a3  b3  c  a 2  b 2   abc
a 3  b3    a  b   a 2  b 2   abc
a 3  b3  a 3  ab 2  a 2b  b3  abc
 ab  a  b  c   ab.0 0

 x  4 y 5  1

2 x  2 y  x  y  1 7  2 
Câu 3.Giải hệ phương trình : 
Từ (1): x 4 y  5 , thế vào (2):
2 4 y  5  2 y  4 y  5  y  1 7  2 2 y  5  3 y  4 7
Với

y

5
  2  2 y  5   3 y  4 7  y  3  x  7
2


Với
Với
Vậy



5
4
 y   2  2 y  5   3 y  4 7  y 1  x 9
2
3

y 

4
 2  2 y  5   3 y  4 7  y  1  x 1
3

 x; y     7;  3 ;  9;1 ;  1;  1 

Câu 4.Giải phương trình :  x  4   x  1  3

x 2  5 x  2 6

2
Điều kiện : x  5 x  2 0

x 2  5 x  4  3 x 2  5 x  2 6  1

Đặt

x 2  5 x  2 t  t 0 

thì phương trình (1) trở thành :
 t 4(tm)
t 2  2  3t  6 0  t 2  3t  4 0  
 t  1( ktm)

 x 2
t 4  x 2  5 x  2 16  
 x  7
Vậy nghiệm của phương trình là x 2 hoặc x  7
Câu 5.
1

1
1
1
1
1


2 
1 
1 
1 x
1 y
1 z
Ta có : 1  x 1  y 1  z

y
z


2
1 y 1 z


1
2
1 x

yz
1  y  1  z 

(bất đẳng thức Cô si cho x, y , z là số dương)

yz
1  y  1  z 

1
2
1 y

xz
1  x 1  z 

;

1
2
1 z

yz
1  y  1  x 

Tương tự :
Nhân vế với vế ta được :
1
1
1
8 xyz
1
.
.


 1 8 xyz  xyz 
1  x 1  y 1  z 1  x  1  y  1  z 
8
1
1
 x  y z 
2
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là 8



Câu 6.

B
b'

I

H
c'

A

C

K

1) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH :
1

1
1
1



AH

AH 2 AB 2 AC 2
1 1

b2 c 2
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H, đường cao HI :
1
1
AI . AB  AH 2  AI .c 
 AI 
1 1
c 1


b2 c2
b2 c
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHC vuông tại H, đường cao HK :

AK . AC  AH 2  AK .b 

1
1 1


b2 c 2

 AK 

1

c b

b c2
BI
IH
BI AB c
HI / / AC 




AB
AC
IH
AC
b
BAC
2) Xét tam giác
có


CK HK
HK AB c





AC
AB
CK
AC
b
BAC
Xét tam giác
có
Xét HIK và ABC có : IHK BAC 90 ; HIK ABC HAK
HI
AB c
 HIK ∽ ABC ( g .g ) 


HK AC b
c3 c c c BI HK HI
BI
 . .  .
.

3
Do đó : b b b b IH CK HK CK
HK / / AB 

BI c 3
 3
CK

b
Vậy
Câu 7.

B
K
N
O

M

A

C
Gọi K là trung điểm BN . Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CN
 MN MC
Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (Do AB, AC là hai tiếp tuyến tại

A, B của (O) cắt nhau tại A)  MB MC
Xét tam giác MBN có MB MN  MC   MBN cân tại M
 MK vừa là trung tuyến vừa là đường cao của MBN  MK  OB
AM BK 1
AB  OB  AB / / MK 


OA OB 3
Mà


AM 1


AO
3
Vậy