Tài liệu Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Cà Mau 2007-2008

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH CÀ MAU
NĂM HỌC : 2007 – 2008
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề)
Ngày thi : 02/03/2008
Bài 1: (4 điểm)
a. Rút gọn biểu thức : y =
3
96
2
−
+−
x
xx
.
b. Chứng minh rằng:
32
+
+
32
−
=
6
.
Bài 2: (4 điểm)
a.Mỗi lớp có 28 học sinh nam và 24 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ sao cho số học sinh
nam và số học sinh nữ trong mỗi tổ đều bằng nhau và cách chia nào để mỗi tổ có số học sinh ít nhất.
b. Chứng minh rằng: 5
n+1
-4n-5 chia hết cho 16 (
∀

n
∈
N)
Bài 3: (4 điểm)
Cho đa thức f(x) = x
4
+ ax
2
+ bx + c chia hết cho (x-1)
3

a. Tìm các hệ số a,b,c.
b. Giải phương trình f(x) = 0 với a,b,c vừa tìm được ở câu a.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho hai đường tròn ngoài nhau với ba tiếp tuyến chung AB,CD,EF
như hình vẽ (a,B,C,D,E,F là các tiếp điểm), P là giao điểm của AB và EF,
Q là giao điểm của CD và EF. Chứng minh rằng: PB = CQ
Bài 5: (3,5 điểm).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tai hai điểm A và B (các bán kính của (O) và (O’) đều bé hơn độ
dài đoạn thẳng OO’). Lấp một điểm P thuộc đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng PA cắt đường tròn
(O’) tại Q (Q khác A).
a. Giả sử A nằm giữa P và Q. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để độ dài của đoạn thẳng PQ có
giá trị lớn nhất.
b. Hãy xác định vị trí của các tuyến PQ để AP = AQ.
Bài 6: (2,0 điểm).
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) và một điểm P thuộc cạnh BC (P không trùng với B và C). Một đường
thẳng qua P cắt các tia AB và AC lần lượt tại M và N. Lấy điểm N’ thuộc đường thẳng MN sao cho MN’C =
MBC.
Chứng minh rằng: PN
≥

PN’ và PM.PN
≥
PB.PC
O
O'
P
Q
A
E
B
F
D
C