053 đề thi hsg toán 9 tỉnh tây ninh 2020 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020 – 2021. MƠN TỐN 9
Thời gian làm bài : 150 phút – Ngày thi: 01/04/2021

Câu 1. (4,0 điểm)
a) Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn a  b  c chia hết cho 6. Chứng minh
a 3  b3  c 3 chia hết cho 6
y  x 2  3  x3 3
x
;
y


b) Tìm tất cả các số nguyên
thỏa phương trình
Câu 2. (4,0 điểm)
a)
b)

4  x 2  4 x  6   5 x  8  x 2  12
Giải phương trình
2
Tìm m để phương trình x  4 x  m  7 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa

4
4
mãn x1  x2  82
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Cho x  0 và x 4, rút gọn biểu thức :
5 x 4

1  
x
2 x 
T 

:

 

x  2  x  2
x 
2 x x
b) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức :

a
b
c
d



2
b c c d d a a b
Câu 4. (4,0 điểm)
a) Cho hình chữ nhật ABCD  AB  BC  . Kẻ DH vng góc với AC tại H . Trên tia
đối của tia DH lấy điểm M sao cho DM  AC. Tính ABM
b) Cho hình bình hành ABCD  AB  BC  . Gọi M là trung điểm của BC và N là
giao điểm của AM và BD. Tính tỉ số giữa diện tích hình bình hành ABCD và
diện tích tứ giác MNDC
Câu 5. (4,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  T  tâm O, BAC 60
Đường phân giác trong của BAC trong ABC cắt  T  tại D  D  A  .Tính

AB  AC
AD
b) Cho hình vng ABCD có diện tích bằng 2021. Xét điểm M thay đổi trên đường
chéo AC , gọi E , F lần lượt là chân các đường vng góc kẻ từ M lên các cạnh
AB, BC của hình vng ABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác
DEF



ĐÁP ÁN
Câu 1.
a 3  b3  c 3 a  a 2  1  b  b 2  1  c  c 2  1   a  b  c 

a) Xét
a  a 2  1  a  1 a  a  1

chia hết cho 6 (vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

2

b  b  1  b  1 b  b  1

chia hết cho 6 (vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

c  c  1  c  1 c  c  1
2

chia hết cho 6(vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp)
a  b  c chia hết cho 6 (giả thiết)
3
3
3
Vậy a  b  c chia hết cho 6
y  x 2  3  x 2 3

b) Ta có :
x3  3
3x  3
 y 2
x  2
x  M ,
x 3
x 3
với x, M nguyên
2
3 x 2  3 x 3 x  3   3 x  3  12
12
Mx  2

3  M  2
2
x 3
x 3
x 3
Xét
2
Do Mx nguyên nên x  3 là ước của 12

 x  3; x  1; x 0; x 1; x 3
1
x  3  y  2(tm)
x  1  y  (ktm)
x 0  y 1(tm)
2
5
x 1  y 1(tm)
x 3  y  (ktm)
2
Vậy các số nguyên  x; y  là   3;  2  ,  0;1 ,  1;1
Câu 2.
a)4  x 2  4 x  6   5 x  8  x 2  12
 2  x 2  12   2 x  x  8  4 x x 2  12   x  8  x 2  12
 2 x 2  12








x 2  12  2 x   x  8 







x 2  12  2 x 2 x 2  12  x  8 0

 x 2  12 2 x

 2 x 2  12 x  8





 x 2  12 2 x x  3  x 2



x 2  12  2 x 0


8 4 7
3
8 4 7
x 2, x 
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi
 ' 4  m  7  m  3  0  m   3
 x1  x2 4

4
4

x x m  7
m


3,
Với
theo Vi – et ta có :  1 2
. Ta có x1  x2  82
 m 2  18m  88  0   m  4   m  22   0





2 x 2  12 x  8 x 4 3  8  x 

m  4  0

 m  22  0 hoặc

m  4  0
  4  m  22

m

22

0

Kết hợp với điều kiện m   3 suy ra  4  m   3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 3.
a) Với x  0, x 4 ta có :
5 x 4
1  
x
2 x 
T 


 :

x  2  x  2
x 
2 x x


5 x 4
1  
x
2 x 



:


  x. x  2
x  2  x  2
x 










4 4 x
x.



x 2



:

x x4
x



x 2





4 4 x
1 
4

x


a
b
c
d



b c c d d a a b
c   b
d 
 a



 

 b c d a   c d a b 
a d  a  c b  c b a  b  d  c  d 


 b  c  d  a
 c  d   a  b

b)VT 

a 2  c 2  ad  bc b 2  d 2  ab  cd


 b  c  d  a
 c  d   a  b
2

x  y
a 2  c 2  ad  bc b 2  d 2  ab  cd 



 x y 
 do xy 

1
1
2
2 
4

a b c d
 a b c d 
4
4
4  a 2  b 2  c 2  d 2  ab  bc  cd  ad 
 VT 
2

a b c d
2

2

 a  b  c  d    a  c   b  d 
2.
2
a b c d

2

2

 a  b  c  d  2
2.
2
a bc d

a
b
c
d



2.
b

c

c

d
d

a
a

b
Vậy
Đẳng thức xảy ra khi a c và b d
Câu 4.
a)


F

E

M

A
D

B

H

C

Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt các đường thẳng BA, CD tại E và F
Do DAH FDM (cùng phụ với ADH ) và AC DM nên ADC DFM
Suy ra DC FM , AD FD  EF EA
Do EB EA  AB EF  FM EM  EBM cân tại E  AMB 45


b)

M

B

C

N
O
A

D

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC , BD . Ta có :
S BMN BM .BN
BM .BN


S BCD BC.BD 2 BM .BN (Do M là trung điểm của BC)


BN BM


(Ta  let )
ND AD

Lại có BM / / AD (do ABCD là hình bình hành)
BN BM 1
1


  BN  BD
ND BC 2
3
S
BM .BN
1
1
 BMN 
  S BMN  S BCD
S BCD 2 BM .3BN 6
6
5
5 1
5
S
12
 S MNDC  S BCD  . S ABCD  S ABCD  ABCD 
6
6 2
12
S MNDC 5

Câu 5.
a)

(T)

A

O
B

K
C

H
D
Gọi H và K lần lượt là chân các đường vng góc kẻ từ D trên các đường thẳng
AB, AC . Ta có AHD AKD (vì AD chung , HAD KAD )
 DH DK , AH  AK .
Do BHD CKD( DH DK , DB DC )  BH KC . Ta có

AB  AC  AH  BH  AK  KC 2 AH 2 AD.cos HAD 2 AD.cos30  AD 3
AB  AC

 3
AD


b)

B

E

F

C

M

D

A
S DEF S DEM  S DMF  S MEF

 1

 1

S DEM S AEM   AE.EM  , S DMF S MFC   FC.FM 
 2

 2

1
1
 S DEF S AEFC S ABC  S BEF  S ABCD  BE.BF
2
2
2

 BE  BF 
BE.BF 
 ,
2

 đẳng thức xảy ra khi BE BF
Do
2

2

AB 2 1
 BE  BF   BE  EA 
BE.BF 
 S ABCD  BF EM EA 
 
 
2
2
4
4

 

1
1
3
6063
 S DEF  S ABCD  S ABCD  S ABCD 
2

8
8
8
6063
S DEF 
M
8
là trung điểm AC
6063
Min S DEF 
M
8
Vậy
là trung điểm AC