054 đề thi hsg toán 9 tỉnh lai châu 2020 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2020 – 2021 . MƠN TỐN 9

A
Câu 1. (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức

x x  26 x  19 2 x
x 3


x2 x  3
x1
x 3

a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Câu 2. (3,0 điểm)

n5 n 4 7n3 5n 2 n
 


120
12
24
12
5 là số tự nhiên
n
a) Cho là số tự nhiên, chứng minh rằng
2

2
b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 x  5 xy  2 y  7 x  8 y 1
Câu 3. (6,0 điểm)
3
a) Cho đa thức bậc ba f  x  với hệ số của x là một số nguyên dương và biết
f  5   f  3 2020 . Chứng minh rằng f  7   f  1 là hợp số

 x 2  4 y 2  3 4 x
 3
3
2
x

12
x

8
y

6
x
9


b) Giải hệ phương trình :
Câu 4. (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng OA R, vẽ đường tròn  O; R  . Trên đường tròn
 O; R  lấy điểm H bất kỳ sao cho AH  R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường
tròn  O; R  . Trên đường thẳng a lấy B, C sao cho H nằm giữa B, C và AB  AC R. Vẽ
HM vng góc với OB  M  OB  , vẽ HN  OC  N  OC 
a) Chứng minh OM .OB ON .OC và MN luôn đi qua một điểm cố định

2
b) Chứng minh OB.OC 2 R
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn 6a  3b  2c abc


B
Tìm giá trị lớn nhất của

1
a2 1



2
b2  4



3
c2  9


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) A 

x x  26 x  19 2 x
x  3  x 0 





x2 x  3
x1
x  3  x 1 

 
 x  1 x  3

x x  26 x  19  2 x








x 3 

x 3





x1

x x  26 x  19  2 x  6 x  x  4 x  3





x1

x x  x  16 x  16





x1

x 3



Vậy với x 0, x 1 thì



x 3



 x  16  

  x  16

 x  1 x  3 x  3

A

b) Với x 0; x 1 . Ta có :

x1

x  16
x 3
A

x  16
25
 x  3

x 3
x 3



x  3;
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương



x 3 

25
 6

x 3

25
x  3 . Ta có :

A 2 25  6 4

Dấu " " xảy ra



x 3

Vậy Min A 4  x 4

25

x 3





2

x  3 25 

x  3 5  x 4(tmdk )

Bài 2.

n 5 n 4 7 n 3 5n 2 n
 


a) Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng 120 12 24 12 5 là số tự nhiên
n5 n 4 7 n3 5n 2 n n5  10n 4  35n3  50n 2  24n
 

 
120
Ta có: 120 12 24 12 5
n5  10n 4  35n3  50n 2  24n n  n 4  10n 3  35n 2  50n  24 

Ta có :
n  n  1  n  2   n  3  n  4  120 (tích của 5 số tự nhiên liên tiếp)

n5 n 4 7n3 5n 2 n
 


Vậy 120 12 24 12 5 là số tự nhiên
2
2
b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 x  5 xy  2 y  7 x  8 y 1
2
2
2
2

Ta có: 2 x  5 xy  2 y  7 x  8 y 1  2 x  4 xy  4 x  xy  2 y  2 y  3x  6 y  6 7
 2 x  x  2 y  2   y  x  2 y  2   3  x  2 y  2  7

  x  2 y  2   2 x  y  3 7
7

x


 x  2 y  2 1
 x  2 y  2  1
3
Th1: 

( ktm) Th2 : 


2
2
x

y

3

7
2 x  y  3 7

y 
3



17

x


3
( ktm)

4
 y 
3

1

x


 x  2 y  2 7
 x  3
 x  2 y  2  7
3
Th3: 

(tm) Th 4 : 

(ktm)
2
x


y

3

1
y

4
2
x

y

3

1
14



y 

3
Vậy phương trình có nghiệm nguyên  x; y    3;  4 
Bài 3.
3
2
a) Gọi f  x  ax  bx  cx  d  a 
3

2
3
2
f
5

f
3

2020

a
.5

b
.5

c
.5

d

a
.3

b
.3
 c.3  d 2020





Ta có:

 125a  25b  5c  d  27a  9b  3c  d 2020  98a  16b  2c 2020
Do đó :


f  7   f  1 a.73  b.7 2  c.7  d  a.13  b.12  c.1  d 342a  48b  6c
294a  48b  6c  48a 3  98a  16b  2c   48a 2020  48a 4  505  12a 
Vì a    505  12a  1  f  7   f  1 4  f  7   f  1 là hợp số
2
2
2
2
 x  4 y  3 4 x
 x  2  1  4 y  1
b)  3

3
2
3
3
 x  12 x  8 y 6 x  9  x  2  1  8 y  2 
 x 2
2

0 1  4 y
1


1
x 2  
 y
y
3

2
0 1  8 y
2
*Nếu
, nên hệ có nghiệm 

y

1
2 , chia theo vế (2) cho (1) ta được :

*Nếu x 2 thì
1  8 y3
1  2 y  4 y2
1
x 2
 x 2
 x  2 2 y 
 3
2
1 4y
1 2y
1 2y
2


1 
4y
1
2
2
  2y 

1  4 y 2
 1  4 y  4 y 
2
1 2y 
1  2 y 1  2 y
Từ (1) và (3) 
4y
1
 8 y2 

 1 0  32 y 4  32 y 3  12 y 2 0
2
1  2 y 1  2 y 
 4 y 2 0
 4 y  8 y  8 y  3 0   2
 8 y  8 y  3 0
)4 y 2 0  y 0 . Thế vào (3)  x 3(tm)
2

2

)8 y 2  8 y  3 0 có  ' 42  8.3  8  0 nên phương trình vơ nghiệm


Vậy nghiệm của hệ phương trình

 x; y    3;0  ;  2;




1 

2 


Bài 4.

C
H

A

N

I
M

O

B

2
HM

OH
OM .OB

OHB
a)
vuông tại H, đường cao
2
OHC vuông tại H, đường cao HN  OH ON .OC

 1
 2

Từ (1) và (2)  OM .OB ON .OC
OH 2 ON .OC  OA2 ON .OC 

OA OC

, AOC
ON OA
chung

Ta có:
 OAN ∽ OCA(c.g .c )  OAN cân tại N (do OCA cân tại A)

 NA NO  N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA
Chứng minh tương tự:

OA2 OM .OB 

 3

OA OB

 OAM ∽ OBA
OM OA

 OAM cân tại M  MA MO  M thuộc đường trung trực của đoạn OA  4 
Từ (3) và (4)  MN là đường trung trực của đoạn thẳng OA
b) Ta có

ONM OHM  ONI ∽ OHM 

R R2
 ON .OM OH .OI R.   OB.OC 2 R 2
2
2

ON
OI

OH OM


c) Vì

OM .OB ON .OC 

OM OC

, BOC
ON OB
chung  OMN ∽ OCB

 ONM OBC  ONI ∽ OBH ( g .g ) 

ON OI 1


OB OH 2

Lại có OMN ∽ OCB theo tỉ số
k

ON 1
1
1 1
R
  SOMN  SOBC  . OH .BC BC.
OB 2
4
4 2
8



 
Mà

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :

OB.OC 2 R 2  R 2  HC 2 R 2  HB 2  OH 2  HC 2   OH 2  HB 2  OC 2 .OB 2 4R 4

R

2

2

 HC 2   R 2  HB 2   R.HB  R.HC   BC 2 R

 SOMN

R R2
2 R. 
8
4

R2
 HB HC R  A H
Vậy diện tích OMN có giá trị lớn nhất là 4

Bài 5.
6a
3b
2c 2 3 1 3 1 2


 .  .  . 1

Từ 6a  3b  2c abc , ta có : abc abc abc b c a c a b
1
2
3
x  ;y  ;z 
a
b
c . Khi đó xy  yz  zx 1
Đặt
 B

1
a2 1



2
b2  4



3
c2  9



x
x2  1



y
y2 1



z
z2 1

Nhận thấy:
x
x2 1



x
x 2  xy  yz  zx
y

Tương tự :



x

1 x
x 
 



 x  y  z  x 2  x  y x  z 

1 y
y 
z
1 z
z 
 

;
 



y2 1 2  x  y y  z  z2 1 2  z  y x  z 


1 x y y  z z  x 3
 B 



2 x  y y  z z  x  2

Dấu " " xảy ra khi

x  y z 

1
1

 x  y z 
 a  3, b 2 3; c 3 3
3
3