CƠ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LOGIC TOÁN

Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Học phần: Cơ sở Lí thuyết Tập hợp và Lơgic Tốn
[1]. Số đơn vị học trình: 2
[2]. Số tiết: 30
Chương 1: Cơ sở Lí thuyết Tập hợp
Bài 1. Tập hợp.
Bài 2. Các phép toán trên tập hợp.
Bài 3. Quan hệ.
Bài 4. Quan hệ tương đương.
Bài 5. Quan hệ thứ tự.
Bài 6. Ánh xạ.
Bài 7. Đơn ánh toàn ánh song ánh, ánh xạ ngược.
Bài 8. Ảnh và tạo ảnh.
Chương 2: Cơ sở Lơgic Tốn.
Bài 1. Mệnh đề và các phép toán logic.
Bài 2. Các bài toán về suy luận đơn giản.
Bài 3. Công thức và quy tắc suy luận.
Bài 4. Hàm mệnh đề, mệnh đề tổng quát, tồn tại.
Bài 5. Suy luận và chứng minh.
Bài 6. Suy luận và chứng minh trong dạy học toán tiểu học.
TÀI LIỆU: Cơ sở Lý thuyết Tập hợp và Logic Toán.
Tác giả: + Trần Diệu Hiển.
+ Nguyễn Xuân Liêm.
Nhà xuất bản: NXBGD – NXB ĐHSP – 2008.
Sách dự án phát triển giáo viên tiểu học của Bộ giáo Dục và Đào tạo


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Chương 1: Cơ sở Lí thuyết Tập hợp
Bài 1: Tập hợp
1.1. Khái niệm tập hợp.
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, khái niệm tập hợp không được
định nghĩa mà chỉ được mô tả qua các ví dụ.
Ví dụ:+ Tập hợp sinh viên Trường CĐSP Bình Phước.
+ Tập hợp các sinh viên lớp Giáo dục Tiểu Học.
+ Tập hợp các số tự nhiện.
Lí thuyết về các tính chất chung của tập hợp khơng phụ thuộc vào tính chất của
các đối tượng cấu thành cho nên tập hợp được xem là cơ sở của Toán học hiện đại, và
được gọi là lí thuyết tập hợp.
Các phần tử của tập hợp được kí hiệu: a, b, x, y…….
Cách xác định một tâp hợp:
+ Cách 1: Liệt kê tất cả các tập hợp .
VD 1: A = {1, 3, 5, 7} hay B = {a, b, c, 2 , 3} ……

+ Cách 2: Nêu lên một tính chất chung của các phần tử tập hợp.
VD 2: A = {x | x là ước của 16}
=> 1, 2, 4, 8, 16 là các phần tử của A.
+ Xác định bằng biểu đồ ven của tập hợp:
VD 3: cho tập hợp A = {a, b, c, d}
Nếu chẳng hạn tập hợp A có 4 phần tử a, b, c, d thì người ta biễu diễn bởi một
đường cong kín gọi là biểu đồ Venn.

Các phần tử a, b, c, d thuộc tập hợp A nên người ta biễu diễn các phần tử nằm
trong đường cong kín.
Các điểm e, f là những đối tượng không phải là phần tử của tập hợp A.

2


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xn Quỳnh.

Tập hợp vơ hạn là tập có vơ số các phần tử.
Tập hợp hữu hạn là tập có hữu hạn các phần tử hay là tập có các phần tử đếm được.
Tập khơng có phần tử nào là tập hợp rỗng.
1.2. Tập hợp con của một tập hợp.
Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp X nếu mọi phần tử của tập hợp
A đều là các phần tử của X.
Ví dụ: Tập hợp A ={a, b, c, d} là tập hợp con của tập hợp X={a, b, c, d, e, f}
Khi đó ta viết: A Ì X đọc là X chứa A.
hay là A trong X.

Ví dụ:

Ν Z
N = {b, c}
Ν  Z ={a, b, c, d}.

Mọi tập hợp A, B, C bất kỳ:
+f Ì A
+AÌ A
+ A Ì B, B Ì C => A Ì C
+ A Ì B, B Ì A => A = B
+ A ¹ B, A Ë B => B Ë A.

Kí hiệu: Ì được gọi là dấu bao hàm.
1.3. Tập hợp của những tập hợp.
Ta xem một lớp học của trường CĐSP Bình Phước là một tập hợp, kí hiệu bởi
A: là tập hợp các tổ của lớp học.
Các phần tử của tập hợp này là những tổ:
A={a, b, c, d, …}
Ta cũng có thể xét tập hợp B các lớp học của trường CĐSP Bình Phước. các
phần tử của tập hợp này là những lớp: Mầm non, Tiểu học, Toán, Anh văn, Tin học,
…

3


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Tập hợp B vừa nêu là một tập hợp những tập hợp vì các phần tử của B là những tập
hợp.

Tóm lại: Có một tập hợp lớn bào hàm nào đólà tập hợp lại tất cả các tập hợp bé
hơn, hẹp hơn của tập hợp mẹ.
1.4. Số tập con của một tập hợp hữu hạn.
Nếu A là một tập hợp với n phần tử thì A có bao nhiêu tập con.
Ta CM bằng PP quy nạp toán học:
+ Với n=0 thì A = f => A có 1 phần tử.
+ Với n=1 thì A = { f , a } => A có 2 phần tử.
+ Với n=2 thì A = { f , a, b} => A có 4 phần tử.
…………………………..
Như vậy ta có:

+ Tập hợp ϕ có 1 = 20 tập con.
+ Tập hợp có 1 phần tử có 2 = 21 tập con.
+ Tập hợp có 2 phần tử có 4 = 22 tập con.
+ Tập hợp có 3 phần tử có 8 = 23 tập con.
…………………………..
Ta quy nạp số tập hợp con của tập hợp gồm n phần tử là: 2n tập con.

4


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

BÀI TẬP
Câu 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp:
a. A = {1, 2, 3, 4}
b. B = {n| n  N, n là ước của 64}
Câu 2: Cho tập hợp: A = {3, 4, 5, 6}
A) là tập tất cả các tập con của A.
Câu 3: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:
a. A là tập hợp các bội tự nhiên của 3 lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40.
b. B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 30 và nhỏ hơn 50.
c. C là tập hợp các ước tự nhiên của 36.
Câu 4: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:
a. A={x Ỵ N| 2x 2 - 15x +13 < 0 }
b. B={x Ỵ R| 2x 3 + 5x 2 + 3x = 0 }
c. C={x Î Z| 6x 2 + x - 1 = 0 }
Làm các bài tập: 1. 2. 3. 4. 5. 9. 10. 11. 12 [SGK trang 17].

Bài 2: Các phép toán trên tập hợp
2.1. Giao cuả các tập hợp.
2.1.1. Giao của hai tập hợp.
Giao của hai tập hợp là một tập hợp được tạo nên bởi các phần tử chung của
hai tập hợp đó.
Kí hiệu:

A  B {x | x  A và x  B }.

5


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Ví dụ: A = {1, 2, 3, 4} ; B = { 3, 4, 5} .
=> A Ç B = { 3, 4} .
2.1.2. Giao của nhiều tập hợp.
Giao của nhiều tập hợp là một tập hợp được tạo nên bởi các phần tử chung của
nhiều tập hợp đó.
Kí hiệu:

A  B  ... {x | x  A, x  B,x  ...} }.

Với các tập hợp A, B, C bất kỳ:
+ A Ç B = B Ç A.
+ ( A Ç B) Ç C = A Ç ( B Ç C) .
+ff Ç A = .
+ A Ç A = A.

2.2. Hợp của các tập hợp.
2.2.1. Hợp của hai tập hợp:
Hợp của hai tập hợp là một tập hợp được tạo nên bởi các phần tử thuộc ít nhất
một trong hai tập hợp đó.
Kí hiệu:

A  B {x | x  A hoặc x  B} .

Ví dụ: A = {1, 2, 3, 4} ; B = { 3, 4, 5} .
=> A B = {1, 2, 3, 4, 5} .
Với A, B, C bất kỳ:
+ A È B = B È A.
+ (A È B) ÈC = A È( B È C).
+ f È A =A.
+ A È A = A.

Các định lý sau:
1. Với Các tập hợp bất kỳ A, B, C ta có: Nếu A Ì C và B Ì C thì A È B Ì C
CM: Giả sử A Ì C và B Ì C . Khi đó sẽ tồn tại x Ỵ A È B khi đó: x Ỵ A hoặc
x Ỵ B . Do đó x Ỵ C vậy A È B Ì C .

2. Với tập hợp A và B bất kỳ: A Ì A È B và b Ì A È B
6


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

CM: Hiểm nhiên. Vì A là tập con của chính nó cho nên A là con của nó hợp
với một tập hợp khác, tương tự cho điều ngược lại.
3. Nếu A Ì C và B Ì D thì A È B Ì C È D
CM: Hiển nhiên. Vì

4. Nếu A Ì B <=> A È B = B
CM: (=>) Giả sử A Ì B , theo định nghĩa của tập con (A con B thì mọi phần của
A đều thuộc vào B) thì A È B = B .
(<=) Giả sử A È B = B khi đó theo 1) ta có A Ì A È B = B
2.3. Hiệu của các tập hợp.
Hiệu của hai tập hợp là một tập hợp tạo nên bởi các phần tử thuộc tập hợp thứ
nhất nhưng các phần tử không thuộc các tập hợp cịn lại.
Kí hiệu:
Ví dụ:

A \ B {x | x  A và x  B} .

A = {1, 2, 3, 4} ; B = { 3, 4, 5} .
=> A \ B = { 1, 2 }

Định lí sau: Với A, B, C bất kỳ:
1. A \ B Ì A
2. A Ì B => A \ B = f .
3. C Ì D => A \ D Ì A \ C
4. A Ì B ; C Ì D => A \ D Ì B \ C
7


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Xem chứng minh SGK trang 27.
2.4. Không gian, phần bù của một tập hợp.
Ta luôn xét trong một tập hợp X cho trước khi đó ta gọi X là một không gian.
Giả sử X là một không gian, A Ì X , tập X\A được gọi là phần bù của A trong
X.
Kí hiệu: CA X là khơng gian, A Ì X thì mọi x  X, x  CA <=> x  A.
Định lí: Với mọi A, B bất kỳ của khơng gian X:
+ X Ç A= A
+ X ÈA = X
+C X =f
+CỈ =X
+ A Ì B <=>C A Ì C B

Xem chứng minh SGK trang 29.
BÀI TẬP
Câu 1: A = { x | x tập hợp các số lẽ 10 < x < 40}

và B = { x | x tập hợp các số

nguyên tố 10 < x < 40}
a) Tìm : A∩ B; A  B ; A \ B; B \ A.
b) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B.
Câu 2: Cho A = { n | n  N, n < 50 và n  2 } và B = { n | n  5, n < 50, n  N }
a) Tìm:

A ∩ B; A  B ; A\B; B\A.

b) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B.

Câu 3: Cho: A = { n  3 | n  N, n < 60 } ; B = { n  9 | n  N, n < 60 }
C = { n  7 | n  N, n < 60 }
a) Tìm: A∩B; B∩C ; A  B ; B  C ; A\B; B\A; B\C; C\B.
b) Tìm: (A∩B)\ C, (A∩C) \ (A∩B ); A\( B  C ).
c) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B.
Câu 4: Cho A = { n | n  N và n  2 } ; B = { n| n  3 , n  N }
a) Tìm:

A ∩ B; A  B ; A\B; B\A.

b) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B.
8


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Câu 5: Cho A = { n | n các ước tự nhiên của 36 }; B = { x  N| 2x 2 - 15x +13 < 0 }
a) Tìm:

A ∩ B; A  B ; A\B; B\A.

b) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B.
Câu 6: Cho A = { x  R| x 4 - 4 < 0 } ; B = { x  R| 2x 2 - x <10 }
a) Tìm:

A ∩ B; A  B ; A\B; B\A.

b) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B.

Câu 7: Cho A = { x  R| x 2 - 20 < x } ; B = { x  R| 2x 2 - x <10 }
a) Tìm:

A ∩ B; A  B ; A\B; B\A.

b) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B.
Câu 8: Cho C = { x  R| x ³ 5 } ; D = { x  R| 2x 2 - x <10 }
a) Tìm:

A ∩ B; A  B ; A\B; B\A.

b) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B.
Làm các bài tập: 1. 2. 3. 4 [SGK trang 32]

Bài 3: Quan hệ
3.1. Tích đêcac của hai tập hợp.
3.1.1. Cặp thứ tự:
Ta biết rằng tập hợp gồm hai phần tử a và b được ký hiệu: {a,b} cũng là tập
hợp đó ta có: {a,b}={b,a}. Tuy nhiên trong trường hợp nào đó người ta quan tâm đến
thứ tự của hai phần tử a đứng trước hay b đúng trước.
Thì khi đó cặp: { a, b} ¹ { b, a } .
Nếu: a ¹ b thì cặp: {a, b} và {b, a} là hai cặp khác nhau
Nếu: a = c và b = d thì: hai cặp này bằng nhau.
Ví dụ 1: Diện tích các nước được viết như sau:
+ Tây Ban Nha : 500 km vuông.
+ Việt Nam :

330 km vuông.

+ Iatalia:

300 km vuông.
9


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xn Quỳnh.

Ví dụ 2: Trong khơng gian hai chiều Oxy thì điểm A (2; 3) và điểm B(3; 2) sẽ là hai
điểm khác nhau.
Ví dụ 3: Trong khơng gian 3 chiều OxyZ thì điểm A (1; 2; 3), điểm B(1; 3; 2), điểm
C(3; 1; 2), điểm D(3; 2; 1), … sẽ là những điểm phân biệt khác nhau.
3.1.2. Tích đêcac của hai tập hợp:
Cho hai tập hợp X, Y là tập hợp tất cả các cặp (x, y); x Ỵ X; y Ỵ Y được gọi là
tích dêcac của cặp X, Y.
Kí hiệu:

X.Y = { ( x, y) | x Î X; y Î Y}.

Ví dụ: Cho X = {a, b}.
Ta có: X.X = {(a, a); (a, b); (b, a); (b, b)}.
Ví dụ : Cho X={1; 2} và Y ={a; b; c}
Khi đó tích đêcác của X.Y={(1, a);(1, b);(1 ,c);(2, a);(2, b);(2, c)}
3.2. Định nghĩa quan hệ hai ngôi.
Cho X, Y ; R Ì XY được gọi là quan hệ hai ngơi trên XY .
+Nếu: R Ì XX ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X.
+ Nếu: R là một quan hệ hai ngôi trên XY và (x, y) Ì R ta viết xRy.
+ Nếu (x, y) Ï R thì xRy
Ví dụ: Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2} ; B={1, 4} ; Y={A, B}
Ta gọi R là quan hệ hai ngôi trên XY:
=> R = {(1, A); (1, B); (2, A); (4, B)} ở đây R có quan hệ là chia hết.
3.3. Một số tính chất thường gặp.
3.3.1. Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là phản xạ nếu với mọi x  X thì ta
đều có: xRx.
Ví dụ: Quan hệ chia hết trên tập hợp số nguyên dương N* là phản xạ, vì mọi số
nguyên dương x, x chia hết cho x.
3.3.2. Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng trên tập hợp các số thực R là phản xạ, vì với mọi
x Ỵ ¡ ,x £ x .

3.3.3. Quan hệ bình phương trên N khơng phải là một quan hệ phản xạ, vì số 0 và 1
bình phương bằng chính nó.(như hình dưới đây)
10


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

3.3.4. Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là đối xứng.
Nếu: x, y  X thì

xRy => yRx.

Ví dụ: Quan hệ hai ngơi bé hơn hoặc bằng trên tập hợp R là phản đối xứng vì
với hai số thực bất kỳ x, y. Hai điều kiện x £ y và y £ x kéo theo x = y.
Ví dụ: quan hệ hai ngơi “<” trên tập hợp các số thực R là phi đối xứng, vì với
hai số thực bất kỳ x, y các điều kiện x < y và y < x là loại trừ nhau.
3.3.5. Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là bắc cầu. Nếu: x, y, z  X thì

xRy và yRz => xRz.

Ví dụ: Quan hệ hai ngôi chia hết trên tập hợp các số tự nhiên là bắc cầu vì với
" x, y, z Ỵ ¥ , nếu x là ước số của y và y là một ước của z thì x là một ước của z.

Ví dụ 2: Quan hệ hai ngơi “<” trên tập hợp R có tính chất bắc cầu.
3.4. Quan hệ ngược và hợp của hai quan hệ.
3.4.1. Quan hệ ngược của một quan hệ cho trước.
Cho hai tập hợp X, Y có quan hệ hai ngơi trên X.Y, quan hệ ngược của quan hệ
R. Ký hiệu là: R  1 là quan hệ hai ngôi trên Y.X xác định như sau:
 x  X;  y  Y

thì

y R 1 x

thì

xRy, (tức là:

(y, x) Ỵ R - 1 <=> (x, y) Ỵ R ).

Ví dụ: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
+ Ta có quan hệ hai ngơi R là bình phương:
+ R = {(0, 0); (1, 1); (4 , 2); (9, 3)}
+ Ta có quan hệ ngược R  1 :
11


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

+ R  1 = {(0, 0); (1, 1); (2, 4); (3, 9)}
3.4.2. Hợp của hai quan hệ.
Cho ba tập hợp X, Y, Z quan hệ R1 trên X.Y và quan hệ R 2 trên Y.Z. X R1 Y
và Y R2 Z quan hệ XRZ gồm các cặp thứ tự (x, z)  XZ. Thỏa mãn các điều kiện: 
y  Y: x R1 y và y R2 z được gọi là hợp của hai quan hệ R1 và R2 ký hiệu: R 2 o R1
Như vậy:

R =R 2 o R 1 = {( x, z ) X.Z | yY : xy ; yz } .

Ví dụ: Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 8}, quan hệ R1 “là một nửa của” trên tập
hợp N* các số nguyên dương và quan hệ R 2 “gấp bốn lần” trên N*. Tìm: R 2 o R1 .
Ta có: R1 ={(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10),…}
R 2 ={(4,1), (8,2), (12,3), (16,4), (20,5),…}

R 2 o R 1 là một quan hệ trên N*:
R 2 o R 1 ={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),…} là quan hệ “gấp đôi” trên N*.

BÀI TẬP
Câu 1: Cho A = {2, 4, 7, 9} ; B = {1, 3, 4, 5, 12, 14}
a) Tìm quan hệ chia hết R trên A.B
b) Biễu diễn bằng lược đồ tên.
Câu 2: Cho X = {1, 2, 7, 8}
a) Tìm quan hệ “Chia hết” R trên X
b) Biễu diễn bằng lược đồ tên.
12

Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Câu 3: Cho R là quan hệ là hai ngơi trên Z.Z* xác định bởi:
" x, y Ỵ Z.Z*:

(a,b)R(c,d) => ad = cb

Chứng minh: R là một quan hệ hai ngôi trên Z.Z*
Câu 4: Cho R là quan hệ là hai ngơi trên ¥ * xác định bởi:
" x, y ẻ Ơ * :

xRy => x= 3y

Chng minh: R là một quan hệ hai ngơi trên ¥ * .
Câu 5: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên £ * xác định bởi:
" (a + bi)R(c + di) Î £ * : (a + bi)R(c + di) => a.c > 0

Chứng minh: R là một quan hệ hai ngôi trên £ * .
Câu 6: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên Z xác định bởi:
" a, b Ỵ Z : aRb => a – d M5

Chứng minh: R là một quan hệ hai ngôi trên Z.Z*
Câu 7: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên ¥ * xác định bởi:
" x, y Ỵ ¥ * :

xRy => y = x + 5

Chứng minh: R là một quan hệ hai ngơi trên ¥ * .

Làm các bài tập : 5. 6. 7. 10. 11 [SGK trang 49]

Bài 4: Quan hệ tương đương
4.1. Định nghĩa.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là quan hệ tương đương trên X
nếu nó có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu, tức là:
a)  x  X :

xRx

b)  x,y X :
c)  x,y,z  X :

xRy => yRx
xRy , yRz => xRz.

Quan hệ tương đương được kí hiệu là ~ khi đó xRy được kí hiệu là x~y đọc là
x tương đương với y.
Ví dụ: Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên R xác định bởi: x~y <=> x-y  Z (Z là
tập các số nguyên). CMR: ~ là một quan hệ tương đương trên R.
13


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Thật vậy:
a)  x  R :

x~x <=> x-x = 0  Z

do đó ~ có tính chất phản xạ.
b)  x,y R :

x~y => x - y  Z do đó: y –x = -( x-y)  Z

=> y~x. ~ có tính chất đối xứng.
c)  x,y,z  R :

x~y => x-y  Z; y~z => y-z  Z

thì x – z = (x - y) + (y - z)  Z => x~z. ~ có tính chất bắc cầu.
=> Quan hệ hai ngôi ~ là một quan hệ tương đương trên R.
Định lý : (Nguyên lý đồng nhất các phần tử tương đương): Quan hệ tương
đương trên X ≠ ϕ chia X thành các tập con khác rỗng, đôi một rời nhau sao cho hai
phần tử x, y của X thuộc cùng một tâp hợp con khi và chỉ khi chúng tương đương
nhau.
CM: SGK trang 53.
4.2. Các lớp tương đương và tập thương.
Giả sử X là tập hợp khác rỗng và ~ là một quan hệ tương đương trên X. với
mỗi phần tử x Ỵ X , ta kí hiệu: x%là tập hợp các phần tử y Î X sao cho x~y:
%
x = {y Î X : x ~ y}

Tập hợp %
x gọi là lớp tương đương của quan hệ ~ trên X có đại diện là phần tử
x. Tập hợp các lớp tương đương của quan hệ ~ trên X được gọi là tập thương, kí hiệu
là X/~.

Ví dụ: Quan hệ tương đương ~ trên R chia tập hợp R thành các lớp tương
đương. Dễ dàng nhận thấy rằng tất cả các số nguyên thuộc cùng một lớp tương đương
và ngồi các số ngun khơng có một số thực nào thuộc lớp tương đương đó.
4.3. Ứng dụng.
a) Xây dựng tập hợp các số nguyên.
Kí hiệu: N chỉ tập hợp các số tự nhiên và N 2 = N.N chỉ tập hợp tất cả các cặp
thứ tự (m, n) trong đó m, n là những số tự nhiên.
14


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên N.N xác định bởi: (m1 , n1 ) ~ (m 2 , n 2 ) khi và chỉ khi
m1 + n 2 = m 2 + n1 . Quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trên N.N.

CM: BT SV tự chứng minh.
Quan hệ tương đương ~ trên N.N chia tập hợp N.N thành các lớp tương đương
đôi một rời nhau.
Các lớp tương đương của quan hệ ~ trên tập hợp N.N được gọi là các số
nguyên.
Dễ thấy: (0, 0) ~ (1, 1) ~ (2, 2) ~ …
b) Xây dựng tập hợp các số hữu tỷ.
Kí hiệu Z là tập hợp các số nguyên, Z* là tập hợp các số ngun khác khơng.
Tích đề các Z.Z* là tập hợp các cặp thứ tự (m, n), trong đó m là số nguyên và n là số
nguyên khác không.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên tập hợp Z.Z* xác định như sau:
(m1 , n1 ) ~ (m 2 , n 2 ) khi và chỉ khi m1n 2 = m 2 n1 .

Quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trên Z.Z*.
CM: BT SV tự chứng minh.
Chẳng hạn: (2,3)~(4,6); (3,5)~(6,10); (3,7)~(9, 21), …
Các lớp tương đương của quan hệ tương đương ~ trên Z.Z* được gọi là các số
hữu tỷ.
BÀI TẬP
Câu 1: C là quan hệ hai ngôi trên R xác định bởi: xCy <=> x.y  R. CMR: C là một
quan hệ tương đương trên R. (R là tập các số thực).
Câu 2: B là quan hệ hai ngôi trên Q xác định bởi: xBy <=> x+y  Q. CMR: Q là
một quan hệ tương đương trên Q. (Q là tập các số hữu tỷ).
Câu 3: A là quan hệ hai ngôi trên R 2 và X = R 2 xác định bởi:
(a, b)A(c, d) <=> a 2  b2 c 2  d 2
CM: A là một quan hệ tương đương trên R 2 .
Câu 4: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên Z.Z* xác định bởi:
" x, y Ỵ Z.Z*:

(a,b)R(c,d) => ad = cb
15


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Chứng minh: R là một quan hệ tương đương trên Z.Z*
Câu 5: Cho R là quan hệ là hai ngụi trờn Ơ * xỏc nh bi:
" x, y ẻ ¥ * :

xRy => x= 3y

Chứng minh: R là một quan hệ tương đương trên ¥ * .
Câu 6: Cho R là quan hệ là tương đương trên £ * xác định bởi:
" (a + bi)R(c + di) Ỵ £ * : (a + bi)R(c + di) => a.c > 0

Chứng minh: R là một quan hệ tương đương trên £ * .
Câu 7: Cho R là quan hệ là hai ngơi trên Z.Z* xác định bởi:
" a, b Ỵ Z : aRb => a – d M5

Chứng minh: R là một quan hệ tương đương trên Z.Z*

Bài 5: Quan hệ thứ tự
5.1. Định nghĩa.
Quan hệ hai ngôi R trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có tính chất:
a)  x  X :

xRx

b)  x,y X :

(phản xạ)

xRy => yRx

c)  x,y,z  X :

(đối xứng)

xRy , yRz => xRz.

(bắc cầu)

Ví dụ: Quan hệ hai ngôi chia hết trên N * là quan hệ thứ tự N * vì:
+  m, n, k  N * : m n và n k thì

m k

+  m, n  N * : m n và n m thì m = n.
5.2. Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt.
Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là quan hệ thứ tự nghiêm ngặt nếu nó có
tính chất phản xạ, bắc cầu.
16


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Định lý: Nếu “ ” là một quan hệ thứ tự trên X thì quan hệ hai ngơi “<” trên
X xác định bởi x < y <=> x  y và x ≠ y là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên
X.
Định lý: Nếu “<” là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên X thì quan hệ hai
ngôi “ ” trên X xác định bởi x  y <=> x < y hoặc x = y là một quan hệ thứ tự trên
X.
5.3. Quan hệ toàn phần, QHTT toàn bộ.
QHTT ( ) trên X gọi là quan hệ toàn phần nếu với hai phần tử x, y bất kỳ của
X
Ta có: x  y hoặc y  x.
Nếu  x,y  X sao cho cả hai điều kiện x  y hoặc y  x đều không xảy ra thì
“ ” là quan hệ bộ phận.
Ví dụ: + QHTT trên R “ ” là toàn phần.

+ Quan hệ chia hết trên N * là QHTT bộ phận .
+ Vì 3 và 7 khơng so sánh được 3 không chia hết cho 7 và 7 không chia hết
cho 3.
5.4. Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu.
Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, x0  X được gọi là tối đại nếu nó khơng
đứng trước bất kỳ một phần tử nào của X.
Không tồn tại x  X sao cho x0  X. Với  x  X <=> x0 < x

thì

x = x0 .

Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, x0  X được gọi là tối tiểu nếu khơng có
một phần tử nào của X đứng trước nó.
Khơng tồn tại x  X sao cho x0 ≠ x <=>

x  x0 .

5.5. Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất.
Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, x0  X được gọi là lớn nhất: Nếu x  x0 ,
 x  X.

Định lý: Tập sắp thứ tự (X, ) có nhiều nhất một phần tử lớn nhất, phần tử lớn
nhất là phần tử tối đại của X.
Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, x0  X được gọi là nhỏ nhất:
17


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

Nếu x0  x,  x  X.
Định lý: Tập sắp thứ tự (X, ) có nhiều nhất một phần tử nhỏ nhất, phần tử
nhỏ nhất là phần tử tối tiểu của X.
5.6. Các tâp con của một tập sắp thứ tự, Bổ đề Doocner.
Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, A  X gọi A là quan hệ hai ngôi :  x,y 
A, x A y và x  y.Tập (A, A ) gọi là tập con của tập (X, ).
Kí hiệu: (X, ).
Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, A  X gọi là dây xích:
 x,y  X, x  y hoặc y  x.

Giả sử: + x0  X gọi là phần tử chặn trên của A nếu x  x0 ,  x  A.
+ x0  X gọi là phần tử chặn dưới của A nếu x0  x,  x  A.
Bổ đề Doocno: Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, nếu trong X mỗi dây xích đều có
1 phần tử chặn trên thì trong X có phần tử tối đại.

BÀI TẬP
Câu 1: Cho X = {1, 3, 9, 18, 36}

Gọi ( ) là quan hệ chia hết trong X.

a) CMR: “ ” là quan hệ thứ tự trong X.
b) Quan hệ “ ” là quan hệ toàn phần trên X.
Câu 2: Cho A = {9, 18, 36, 72, 216}  N * ; B = {7, 14, 28, 56, 84}  N *
a) A, B có là dây xích trong N * khơng ?
b) A, B có là quan hệ “chia hết” không?
Câu 3: Cho (X, ) ; X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} ; (  ) là quan hệ chia hết trên X.
a) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu.
b) Tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 6: Ánh xạ
6.1. Định nghĩa.
18


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

6.1.1. Một số ví dụ:
Ví dụ : Cho tập hợp: X={Cường Luân, Thái, Mai, Hạnh, Nguyệt, Việt}. trong
đó: Cường Luân, Thái, Mai, Hạnh là học sinh khối 10. Nguyệt, Việt là hoc sinh khối
11
X={c,l,m,h,n,v}
Y là tập hợp gồm 5 lớp 10A, 10B, 10C, 10D, 10E của trường.
Y={A,B,C,D,E}
R là quan hệ hai ngôi “là học sinh của lớp” trên tâp X.Y xác định bởi:
R={(c,A);(l,B); (t,B); (m,C);(h,D)}
(c,A) thuộc R hay cRA hiểu là :Cường là học sinh lớp 10A”
Ta thấy 5 phần tử c,l,t,m,h của tập X có quan hệ R với các phần tử tập Y. có 2
phần tử n, v khơng có quan hệ gì với Y. như vậy D(R) khác X. (D(R) là tập xác định
của quan hệ R: D(R)={ c,l,t,m,h}).

Ví dụ: Giả sử X là tập hợp gồm 6 học sinh: Dũng, Mai, Hạnh, Tuấn, Cường, Quỳnh:
X ={d,m,h,t,c,q}
Y là tập hợp gồm một số họ: Nguyễn, Lê, Trần, Đặng, Huỳnh.
Y ={N, L, T, Đ, H}
Quan hệ R “có họ là” trên X.Y xác định bởi:
R={(d,N);(m,N);(h,L);(t,T);(q,Đ),(c,H)}

(d,N) thuộc R hay dRN hiểu là: “Dũng có họ là Nguyễn”.
Mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ với một phần tử nào đó của tập hợp
Y, tức là D(R) = X.

19


Cơ sở LT Tập hợp & Lơgic Tốn.

Giảng viên: Đặng Xuân Quỳnh.

6.1.2. Định nghĩa:
Cho X, Y là hai tập hợp, quan hệ hai ngôi f trên X.Y là một ánh xa từ X → Y
là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một phần tử duy nhất y  Y.
Hay là có một x  X thì ln ln tồn tại phần tử y  Y. Tức có tạo ảnh thì có
ảnh.
f
 y khi đó f(x) = y. y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f
Kí hiệu: f : X ® Y hay x  

Ví dụ: f:

 → 

x  2x = f(x).
6.2. Ánh xạ bằng nhau.
Giả sử X, Y và f, g là hai ánh xạ

f :X ® Y ;

g:

X →Y

Ta nói hai ánh xạ f, g là bằng nhau và viết f = g nếu f(x) = g(x)  x X.
Ví dụ : f:  → 
x  f(x) = x 4 -1
g:  → 
x  g(x) = ( x 2 +1) ( x 2 -1).
6.3. Ánh xạ mở rộng và ánh xạ thu hẹp.
Giả sử:

f :X ® Y , A  X

;

g:

A →Y

Xác định bởi : f(x) = g(x) gọi là ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A.
Ký hiệu:

f |A

Như vậy f | A : A → Y
f | A (x) = f(x)

x 
Ví dụ : f:  → 

x 

x 2 +2

Z  R. Khi đó: f |Z :  → 
x 

x 2 +2
20