Lịch sử toán học và logic toán

Câu 1: Đặc điểm nền Toán học sơ cấp


Thời
Thời gian:
gian: Khoảng
Khoảng từ
từ thế
thế kỉ
kỉ thứ
thứ VI
VI TCN
TCN đến
đến khoảng
khoảng đầu
đầu thế
thế kỉ
kỉ thứ
thứ XVII
XVII

Các
Các nền
nền toán
toán học
học tiêu
tiêu biểu:
biểu: Cổ
Cổ Hy
Hy Lạp,
Lạp, Ấn

Ấn Độ,
Độ, Trung
Trung Hoa,
Hoa, Ả
Ả Rập,
Rập, Tây
Tây Âu,…
Âu,…
Nền
Nền toán
toán học
học nổi
nổi trội
trội :: Toán
Toán học
học Hy
Hy Lạp
Lạp

Các nhà toán học tiêu biểu: Thales, Pytago, Eudoxos, Eucild, Apollonius,… Nhà toán học vĩ đại nhất trong các nhà toàn học Hy lạp
và mọi thời đại là Archimedes

Toán học thành một khoa học suy diễn. Toán học trình bày có hệ thống, có lập luận chặt chẽ, phương pháp tiên đề đã được phát hiện bởi Euclid

Đối tượng nghiên cứu chủ yếu là số và hình. Phần lớn các kiến thức trong giai đoạn này được giảng dạy ở trường phổ thông ngày nay

Một số tư tưởng toán học hiện đại như phép tính tích phân, tương quan hàm số, phương pháp tọa độ đã được manh nha. Toán học thời kì này tương
ứng với trình độ sản xuất thủ công

Câu 2: Quá trình hình thành số tự nhiên, các hệ thống ghi số và tìm hiểu về số 0


- Thực tế xã hội nguyên thủy con người đã biết so sánh số lượng giữa các đối tượng gần gũi như: đàn bò, thành viên trong
các bộ lạc,...
- Trong sinh hoạt hàng ngày, con người thường xuyên đụng chạm đến các nhu cầu so sánh như: phân chia số lượng cá bắt
được, phân phát số vũ khí,....
- Đồng thời tiếp xúc với các hiện tượng tự nhiên như: ban ngày có 1 mặt trời, ban đêm có 1 mặt trăng, người có 2 con mắt
- Các con số đầu tiên được được hình thành để đánh dấu, phân biệt các tập hợp mà con người được tiếp xúc hàng ngày và
như ta đã biết đó là việc hình thành các số tự nhiên đầu tiên: một, hai


Một số hệ thống đếm
Hệ thống đếm người Ai Cập

Hệ thống đếm ở Trung Đông


Một số hệ thống đếm

Hệ thống ghi số Hi Lạp cổ

Chữ số Maya


Hệ số đếm hiện đại

- Được phát triển từ các chữ số Hinđu- Ả rập từ Ấn Độ đến
châu Âu hiện đại
- Giá trị của mỗi kí hiệu phụ thuộc vào mối quan hệ vị trí với

các kí hiệu khác trong biểu diễn số.


Sự ra đời của số 0

- Người Babylon sử dụng một chỗ trống để chỉ vị
trí số 0, sau đó dùng kí hiệu(//).
- Người Maya cũng đã có những manh nha về số
0.
- Người Ấn Độ đã kí hiệu số 0 như là một dấu
chấm nhỏ bên dưới các số.


Sự ra đời của số tự nhiên
Năm 1440, tại Châu Âu với sự phát minh ra nghề in thì mười chữ số mới có hình dạng cố định
cuối cùng.


Câu 3: Ba sự kiện quan trọng trong thế kỉ XIX


Sự kiện trong

Sự kiện trong

lĩnh vực hình

lĩnh vực đại số

học

học

Sự kiện trong
lĩnh vực giải tích


Sự kiện trong lĩnh vực hình học

- Sự kiện xảy ra đầu tiên trong ba sự kiện
- Khám phá ra một môn hình học phi mâu thuẫn và tự nhất quán khác với hình học Euclid: hình học phi Euclid ( năm 1892)
- Ba nhà toán học Lobachevsky, Janos Bolyai và Carl Friedrich Gauss đã thay thế tuyên đề V của Euclid bởi tiên đề “ Từ một điểm nằm
ngoài một đường thẳng ta dựng được ít nhất hai đường thẳng song song với đường thẳng ấy” và như vậy một hình học mới ra đời.
- Ý nghĩa sự ra đời của môn hình học phi Euclid:
+ Đặt dấu chấm hết cho bài toán cổ xưa về tiên đề song song là liệu tiên đề V của Euclid có độc lập hay không ( đã chứng minh
độc lập với các tiên đề còn lại)
+ Là hình học giải phóng khỏi quan điểm cổ truyền tồn tại ở các thế kỉ trước đó: chỉ có một thứ hình học tồn tại duy nhất là hình
học Euclid
- Có thể sáng tạo theo hệ thống hình học khác nhau


Sự kiện trong lĩnh vực đại số học
- Sự kiện xảy ra thứ hai trong ba sự kiện.
- Sự sáng tạo ra một đại số không giao hoán vào năm 1843.
- Ở đầu thế kỉ XIX
+ Đại số được xem là mở rộng của số học.
+ Các nhà toán học Anh là những người đầu tiên chú ý đến sự tồn tại của cấu trúc đại số.
+ Tồn tai một thứ đại số nhất quán có một cấu trúc khác với cấu trúc đại số thông thường của số học.
- Năm 1843, nhà toán học Rowan Hamilton qua nghiên cứu vật lý, đã phát hiện ra đại số quaternion trong đó luật giao hoán của phép
nhân không còn đúng nữa. Như vậy người ta có thể xây dựng nhiều cấu trúc đại số khác nhau. Đây chính là đại số trừu tượng.

- Các công trình đại số khác nhau đã phản ánh ý thức về sự khái quát hóa và trừu tượng hóa cao độ. Đây là một đặc diểm của toán học
hiện đại.


Sự kiện trong lĩnh vực giải tích
- Sự kiện xảy ra thứ ba trong ba sự kiện.
- Xảy ra trong lĩnh vực giải tích toán học là việc số học hóa giải tích.
- Năm 1821, nhà toán học Pháp Augustin – Luois Cauchy đã đạt một bước tiến khổng lồ khi thực hiện thành công gợi ý của D’ Alembert
bằng cách phát triển lý thiết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa hội tụ, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định bằng
lý thuyết về giớ hạn.
- Chương trình nổi tiếng “số học hóa giải tích” đã được Weierstrass và các học trò của ông hoàn thành tốt đẹp.
- Thế kỉ XX số tự nhiên được định nghĩa được theo lý thuyết tập hợp.
- Sau khi Georg Cantor xây dựng thành công lý thuyết tập hợp hầu như mọi ngành toán đều bị ảnh hưởng bởi lý thuyết này.
- Dưới sự ảnh hưởng của lý thuyết tập hợp các bộ môn toán học cổ điển đã thống nhất đáng kể lại với nhau và nhiều môn toán đã được
tạo ra.


Câu 4: Nêu thành tựu Toán học của Talet, Pytago, Acsimet, Ơclit


Tiểu sử Talet

-

Talet (624 – 548 TCN)

-

Sinh ra ở Miletus, đã từng học ở Ai cập

-

Ông nổi tiếng trong việc tính chiều cao của một Kim tự tháp

-

Khi trở về Hy lạp, ông đã thể hiện là người có tài về nhiều mặt: triết học,
toán học, thiên văn học,…


Thành tựu toán học Talet

- Về mặt triết học : Mọi vật đều bắt nguồn từ nước
- Về mặt kỹ thuật : Ông thiết kế tượng đài, đền thờ, xây dựng cầu cấu cống, tạo đồng hồ bằng thủy lực,
…
- Về mặt toán học: Chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề
Những kết quả cơ bản:
- Một đường tròn được phân đôi bởi một đường kính bất kỳ.
- Các góc ở đáy một tam giác cân là bằng nhau
- Một góc nội tiếp trong nửa đường tròn là góc vuông
...
- Về mặt kinh doanh: là nhà đầu cơ đầu tiên của loài người


Tiểu sử Pytago

-

Pytago ( khoảng 560– 480 TCN)

-

Trên hòn đảo Aege của Samos.

-

Tại miền nam nước Ý ông là lập trường phái Pytago nổi tiếng và trở
thành viện nghiên cứu triết học, toán học và khoa học tự nhiên rồi phát
triển thành một hội nghiên cứu với những tôn chỉ bí mật.


Thành tựu toán học Pytago

- Pytago phát hiện ra số vô tỉ
- Trường phái Pytago có những quan niệm thần bí về số và họ tôn thờ những chữ số đó
- Định lý về hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông.
Bộ ba Pytago cơ bản: 3,4,5
- Pytago đã đua ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều, thập nhị diện đều,…
- Một số định lý khác: định lý tổng ba góc của một tam giác, bài toán về chia mặt phẳng thành những đa giác
đều.
- Sự phụ thuộc âm thanh vào chiều dài của dây. Giả thuyết về dạng cầu của trái đất,…


Tiểu sử Archimedes

-

Archimedes (287 – 212 TCN)

-

Sinh ra tại Syracuse (Hy Lạp), đảo Sicilia (nước Ý ngày nay), là con trai của nhà thiên văn học.

-

Gia đình ông cho ông sang Alexandria để học sâu hơn về toán học và thiên văn học


Thành tựu toán học Archimedes

- Phát hiện ra cách biểu diễn một số bất kì và đưa ra cách tính số pi. Tính được diện tích nhiều hình
và thể tích bằng phương pháp đặt biệt là phép tính tích phân
- Đưa ra một số tiên đề và có tiên đề nổi tiếng gọi là tiên đề Archimedes
- Có những cống hiến trong cơ học và thủy học tỉnh. Định luật đẩy của chất lỏng ( định luật
Archimedes).
- Kỹ thuật đóng tàu biển. Sáng chế ra các loại vũ khí độc đáo như máy phóng đá, cần cẩu móc nhận
chìm tàu chiến,…


Tiểu sử Ơclit

-

Ơclit ( khoảng năm 300 TCN)

-

Người ta biết rất ít về đời sống của ông

-

Dường như ông được đào tạo về toán học theo trường phái Platon ở Athens. Ông là giáo sư toán
học ở trường ĐH Alexandria.


Thành tựu toán học Ơclit

- Về những sai lầm trong toán học

- Về thiết diện cônic

- Quỹ tích bề mặt và một số tác phẩm về toán ứng dụng

- Bộ “cơ bản” gồm 13 quyển, 465 mệnh đề.

- Các tiên đề Ơclit


Câu 5: Nhận định: “ Nếu khoa học tự nhiên muốn tìm hiểu lịch sử phát sinh và
phát triển của những lý thuyết tổng quát hiện nay, thì nhất thiết trở về Hy Lạp”


- Do các toán học cổ đại và toán học hiện đại đều dựa trên nền toán học Hy Lạp để phát triển các lý thuyết
khác trong toán học cổ đại và hiện đại
- Ngoài toán học, một số lĩnh vực khác hiện nay cũng dựa trên các thành tựu của các nhà toán học trong thời kỳ
toán học Hy Lạp như: Ơclit, Talet, Pytago và Archimedes.
- Hiện nay các kiến thức toán như: Tiên đề Ơclit, Talet, Pytago,… đều được học ở phổ thông.