160 đề hsg toán 8 lộc thạch 2014 2015

TRƯỜNG THCS
LỘC THẠCH

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 3
NĂM HỌC : 2014-2015
Mơn thi : TỐN 8

Câu 1. (2,5 điểm)
2
2
2
a
b

c

b
c

a

c




 a  b  thành nhân tử
a) Phân tích đa thức

3

3

3

b) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn  a  b    b  c    c  a  . Tính giá trị
của biểu thức A  a  b  b  c  c  a
Câu 2. (2,5 điểm)
2
2
a) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y 3  xy

Giải phương trình:  6 x  8   6 x  6   6 x  7 

b)
Câu 3. (2,5 điểm)

2

72
2

2

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  x  2012    x  2013
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 3. Chứng minh rằng:

1
1
1
3

 2
 2

x x y y z z 2
2

Câu 4. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C
vẽ một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt
tia BA tại E.
a) Chứng minh : EA.EB ED.EC
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng
BM .BD  CM .CA có giá trị khơng đổi
c) Kẻ DH  BC  H  BC  . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
BH , CH . Chứng minh CQ  PD


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) Ta có:
a 2  b  c   b 2  c  a   c 2  a  b  a 2  b  c   b 2  c  a   c 2  b  c  c  a 
 b  c   a 2  c 2    c  a   b 2  c 2   b  c   a  c   a  c    c  a   b  c   b  c 
 b  c   a  c   a  c  b  c   b  c   a  c   a  b 
b) Đặt a  b x; b  c  y; c  a z  x  y  z 0  z   x  y 
Ta có:
3
x3  y 3  z 3 210  x 3  y 3   x  y  210   3 xy  x  y  210  xyz 70
Do x, y , z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 70   2  .  5  .7 nên

x, y, z    2;  5;7  A  a  b  b  c  c  a 14

Câu 2.
2

2
2
x

y

0

x

y
2 xy  3  xy 2 xy  xy 1


a) Ta có:
2
x

y
0  x 2  y 2  2 xy  3  xy  2 xy  xy  3


Lại có:
Suy ra  3 xy 1. Mà x, y    xy    3;  2  1;0;1
x, y      2;1 ;  1;  2  ;  2;  1 ;   1;2  ;  1;1 
Lần lượt thử ta được 
là nghiệm của

phương trình
b) Đặt 6 x  7 t . Ta có:
 t  1  t  1 t 2 72   t 2  1 t 2 72  t 4  t 2  72 0

 x 
 t  8 0(VN )
 t 3
  2

 
 t  3  x 
 t  9 0

2

2
3
5
3


Câu 3.
a) Ta có:
2
2
P  x  2012    x  2013 x 2  4024 x  4048144  x 2  4026 x  4052169
2

1


2 x  2 x  8100313 2  x    8100312,5 8100312,5
x
2

1
MinP 8100312,5  x 
2
Vậy
1
1
1
1
1
1
P 2
 2
 2



x  x y  y z  z x  x  1 y  y  1 z  z  1
b)
Đặt
2

1 1 1  1
1
1
1

1
1
1
1
1 
 
 
 
     



x x 1 y y 1 z z 1  x y z   x 1 y 1 z 1 
1
1  1 1
1 1 1
9
 .  
  
Áp dụng BĐT a b c a  b  c và a  b 4  a b  với a, b, c dương , dấu
bằng xảy ra  a b c
1
1 1  1
1 1  1
1 1 
 .  1 ;
 .   1 ;
 .  1
Ta có: x  1 4  x  y  1 4  y  z  1 4  z 
Bởi vậy

 1 1 1  1
1
1  1 1 1 1  1
1
1 
P      


      .  1   1   1
y
z 
 x y z   x 1 y 1 z 1   x y z  4  x
3  1 1 1 3 3
9
3 9 3 3
 .      .
    ( dfcm)
4  x y z 4 4 xyz 4 4 4 2


Câu 4.

E
A

D
M
Q

B

P

I

H

C

EB ED


 EA.EB ED.EC

EBD


ECA
g

g


EC
EA
a) Chứng minh
b) Kẻ MI  BC  I  BC  . Ta có : BIM BDC  g.g 
BM BI


 BM .BD BI .BC

(1)
BC BD
CM CI
ACB ICM  g  g  

 CM .CA CI .BC (2)
BC CA
Tương tự:
2
BM
.
BD

CM
.
CA

BI
.
BC

CI
.
BC

BC
.
BI

CI


BC


Từ (1) và (2) suy ra
(Không đổi)
c) BHD DHC ( g .g )
BH BD
2 BP BD
BP BD






DH DC
2 DQ DC
DQ DC


Chứng minh được: DPB CQD  g.g   BDP DCQ


0
0





Mà BDP  PDC 90  DCQ  PDC 90  CQ  PD