ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI_HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014 – Mơn: TỐN 8
Bài 1. (2,0đ) Giải các phương trình sau :
x 214 x 132 x 54
6
86
84
82
1
1
1
1
b) 2
2
2
x 9 x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18
a)
Bài 2. (2,0đ)
a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
A
a
b
c
3
b c a a c b a b c
a b c
x y z
0
1
b) Cho a b c
và x y z
x2 y 2 z 2
2 2 1
2
Chứng minh rằng: a b c
Bài 3 (1,0đ) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng
mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân
số đó
Bài 4 (3,0 đ)
Cho ABC vuông tại A AC AB , đường cao AH H BC . Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD=HA. Đường vng góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đonạ
BE theo m AB
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và
BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM
GB
HD
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh BC AH HC
Bài 5 (1,0đ)
A
2010 x 2680
x2 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 6 (1,0 đ)
Tìm tất cả các tam giác vng có số đo các cạnh là các số nguyên dương và
số đo diện tích bằng số đo chu vi.
ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HƯNG YÊN 2013-2014
Bài 1.
x 214 x 132 x 54
6
86
84
82
x 214
x 132
x 54
1
2
3 0
86
84
82
x 300 x 300 x 300
0
86
84
82
1 1
1
x 300 0
86 84 82
x 300
1
1
1
1
b) 2
2
2
x 9 x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18
a)
2
Ta có: x 9 x 20 x 4 x 5
x 2 11x 30 x 6 . x 5
x 2 13 x 42 x 6 x 7
;
ĐKXĐ: x 4 ; x 5 ; x 6 ; x 7
Phương trình trở thành:
1
1
x 4 x 5 x 5 x 6
1
1
x 6 x 7 18
1
1
1
1
1
1
1
x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
1
1
1
x 4 x 7 18
18( x 7) 18( x 4) x 4 x 7
x 13(t / m)
x 13 x 2 0
x 2 (t / m)
S 13; 2
Bài 2.
Đặt b c a x 0 ; c a b y 0 ; a b c z 0
Từ đó suy ra
a
yz
xz
x y
;b
; c
2
2
2
A
Thay vào ta được
y z x z x y 1 y x x z y z
2x
2y
2z
2 x y z x z y
1
A . 2 2 2
2
Từ đó suy ra
hay A 3
a b c
ayz bxz cxy
0
0 ayz bxz cxy 0
xyz
b) Từ x y z
x y z
1
a
b c
Ta có:
2
x y z
1
a b c
x2 y 2 z 2
xy xz yz
2 2 2.
1
2
a
b
c
ab ac bc
x2 y 2 z 2
cxy bxz ayz
2 2 2 2.
1
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
2 2 2 1( dpcm)
a
b
c
Bài 3.
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x + 11. Phân
x
( x 11)
số cần tìm là x 11
x 7
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x 15 ( x 15)
x
x 15
x 5(t / m)
Theo bài ta có phương trình x 11 x 7
Vậy phân số cần tìm là
Bài 4.
5
6
A
E
C
M
B
H
G
D
1. Hai tam giác ADC và BEC có : góc C chung;
CD CA
CE CB (hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng đồng dạng (cgc)
0
Suy ra BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vng cân theo giả thiết)
0
Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vng cân tại A. suy ra BE AB 2 m 2
BM 1 BE 1 AD
.
.
(do BEC ADC )
2. Ta có: BC 2 BC 2 AC
mà AD AH 2 (tam giác AHD
vuông cân tại H)
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
.
.
AB 2 BE (do ABH CBA)
Nên BC 2 AC 2 AC
0
0
Do đó: BHM BEC (c.g.c) , suy ra BHM BEC 135 AHM 45
3. Tam giác ABE vng cân tại A, nên tia AM cịn là tia phân giác BAC
GB AB
AB ED
AH
HD
ABC DEC ( ED / / AH )
HC
HC
Suy ra GC AC , mà AC DC
GB HD
GB
HD
GB
HD
Do đó : GC HC GB GC HD HC BC AH HC
Bài 5
2
335 x 3
2010 x 2680 335 x 2 335 335 x 2 2010 x 3015
A
335
335
2
2
x 1
x 1
x2 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3
Bài 6.
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương)
2
2
2
Ta có : xy 2( x y z ) (1) và x y z (2)
2
Từ (2) suy ra
z 2 x y 2 xy,
2
2
z x y 2 xy,
thay (1) vào ta có :
thay (1) vào ta có:
2
z 2 x y 4 x y z
2
z 2 4 z x y 4( x y )
2
z 2 4 x 4 x y 4( x y ) 4
z 2
2
2
x y 2 z 2 x y 2
z x y 4 , thay vào (1) ta được:
xy 2 x y x y 4 xy 4 x 4 y 8
x 4 . y 4 8 1.8 2.4
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là :
x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10