CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC pptx

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
A. Mục tiêu:
- Nhằm củng cố lại các tính chất về đường trung tuyến , đường phân giác,
đường trung trực, đường cao của tam giác về tính chất tia phân giác của một
góc, đường trung trực của một đoạn thẳng.
- Rèn luyện kĩ năng vẽ hình dùng thước, êke, compa.
- Biết vận dụng các kiến thức lí thuyết vào giải các bài toán chứng minh.
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C. Bài tập:



Tiết 33:
Bài 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, A
/
M
/
là đường trung tuyến
của tam giác A
/
B
/
C
/
. biết AM = A
/
M
/
; AB = A
/
B

/
; BC = B
/
C
/
. Chứng minh
rằng hai tam giác ABC và A
/
B
/
C
/
bằng nhau. A

Giải:
Xét
ABC

và

A
/
B
/
C
/
có:
AB = A
/
B

/
(gt); BM = B
/
M
/
B M C
(Có AM là trung tuyến của BC A
/

và A
/
M
/
là trung tuyến của B
/
C
/
)
AM = A
/
M
/
(gt)



ABM
A
/
B

/
M
/
(c.c.c)
Suy ra B = B
/
B
/
M
/

C
/
Vì có AB = A
/
B
/
; BC = B
/
C
/
(gt)
B = B
/
(c/m trên)
Suy ra:



ABC

A
/
B
/
C
/

Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 90
0
) trung tuyến AM, tia đối của tia MA lấy
điểm D sao cho MD = MA.
a. Tính số đo ABM
b. Chứng minh
BADABC




c. So sánh: AM và BC
Giải:
a. Xét hai tam giác AMC và DMB có: B
D
MA = MD; MC = MB (gt)
M
1
= M
2
(đối đỉnh) M
Suy ra
DMBAMC




(c.g.c)

MCA = MBD (so le trong)
Suy ra: BD // AC mà BA

AC (A = 90
0
) A
C

BA

BD

ABD = 90
0

b. Hai tam giác vuông ABC và BAD có:
AB = BD (do
DMBAMC



c/m trên)
AB chung nên
BADABC




(hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông
bằng nhau)
c.
BADABC





BC = AD mà AM =
2
1
AD (gt) Suy ra AM =
2
1
BC
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM và CN là hai đường trung
tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng CN > BM.
Giải:
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét
ABC

có BM và CN là hai đường
trung tuyến cắt nhau tại G
Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC
Suy ra Gb =
3

2
BM; GC =
3
2
CN
Vẽ đường trung tuyến AI của
ABC

A
Ta có: A; G; I thẳng hàng
Xét
AIB

và
AIC

có:
AI cạnh chung, BI = IC G

AB < AC (gt)

AIB < AIC
Xét
GIB

và
GIC

có B I C
GI cạnh chung; BI = IC

AIC > AIB

GC > GB

CN > BM

Bài 4: Cho tam giác ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến và CN >
BM. Chứng minh rằng AB < AC
Giải: A
Gọi G là giao điểm của BM và CN

ABC có: BM và CN là hai đường trung tuyến N M
Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC G
Suy ra GB =
3
2
BM; GC =
3
2
CN
Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC B I
C
thì I đi qua G (Tính chất ba đường trung tuyến)
Ta có: CN > BM mà GB =
3
2
BM; GC =
3
2
CN nên GB < GC

Xét
GICGIB



có:
GI cạnh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC
Xét
AIB

và
AIC

có:
AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC

Tiết 34:
Bài 5: Trên hình bên có AC là tia phân giác góc BAD và CB = CD
Chứng minh: ABC = ADC B
Giải: H
Vẽ CH

AB (H

AD) A C
CK

AD (K

AD)

C thuộc tia phân giác BAD K D

Do đó: CH = CK
Xét
CHB

(CHB = 90
0
)
Và tam giác CKD (CKD = 90
0
)
Có CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên)
Do đó:
CKDCHB



(cạnh huyền - góc vuông)

HBC = KDC

ABC = ADC

Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC tại C kẻ đường thẳng song
song với tia Ax, nó cắt tiâ đối của tia AB tại D. Chứng minh: xAB = ACD =
ADC
Giải:
D
Vì Ax là tia phân giác của góc BAC

Nên xAB = xAC (1)
Ax // CD bị cắt bởi đường thẳng AC A
hai góc xAC và ACD là 2 góc so le trong
nên xAC = ACD (2) x
hai góc xAB và ADC là 2 góc đồng vị nên B
C
xAB = ADC (3)
So sánh (1); (2); (3) ta có: xAB = ACD = ADC
Bài 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx của góc B, Bx cắt tia AC tại
M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt BC tại N. Từ N kẻ tia
NY // Bx. Chứng minh:
B
a. xAB = BMN
b. Tia Ny là tia phân giác của góc MNC N
Giải:
a.Trong tam giác ABC tại đỉnh B có:
ABx = xBC (vì Bx là tia phân giác của góc B) A M
C
BMN = ABx (2 góc so le trong vì MN // BA)
Vậy xBC = BMN x y
b. BMN = MNy (2 góc so le trong vì Ny // Bx)
xBC = yNC (2 góc đồng vị vì Ny // Bx)
Vậy MNy = yNC mà tia Ny là tia nằm giữa hai tia NM và NC
Do đó: Ny là tia phân giác của MNC
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác hai góc A
và B. Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N.
Chứng minh rằng: MN = BM + CN
Giải:
Ba phân giác củam một tam giác cùng đi qua một điểm nên CI là tia phân
giác của góc C.

Vì MN // BC nên C
1
= I
1
(2 góc so le trong) A
C
1
= C
2
nên C
2
= I
2

Do đó:
NIC

cân và NC = NI (1) M N
Chứng minh tương tự ta có: MB = MI (2)
Từ (1) và (2) ta có: B
C
MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN

Tiết 35:
Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 90
0
) các đường trung trực của các cạnh AB,
AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng D là trung điểm của cạnh BC
Giải:
Vì D là giao điểm của đường trung trực

của các cạnh AB và AC nên 2 tam giác A
DAB và DAC là cân và các góc ở đáy
của mỗi tam giác đó bằng nhau.
DBA = DAB và DAC = DCA
Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có: B D
C
ADB = DAC + DCA
ADC = DAB + DBA
Do đó: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 180
0

Từ đó suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng
Hơn nữa vì DB = DC nên D là trung điểm của BC




Bài 10: Cho hai điểm A và D nằm trên đường trung trực AI của đoạn thẳng
BC. D nằm giữa hai điểm A và I, I là điểm nằm trên BC. Chứng minh:
a. AD là tia phân giác của góc BAC
b. ABD = ACD A
Giải:
a. Xét hai tam giác ABI và ACI chúng có:
AI cạnh chung
AIC = AIB = 1v
IB = IC (gt cho AI là đường trung trực
của đoạn thẳng BC) B I
C
Vậy
ACIABI




(c.g.c)


BAI = CAI
Mặt khác I là trung điểm của cạnh BC nên tia AI nằm giữa hai tia AB và AC
Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC
b. Xét hai tam giác ABD và ACD chúng có:
AD cạnh chung
Cạnh AB = AC (vì AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC)
BAI = CAI (c/m trên)
Vậy
ACDABD



(c.g.c)

ABD = ACD (cặp góc tương ứng)

Bài 11: Hai điểm M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, N
là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia NM cxác định M
/
sao
cho MN
/
= NM
a. Chứng minh: AB là ssường trung trực của đoạn thẳng MM

/

b. M
/
A = MB

= M
/
B = MA
Giải:
a. Ta có: AB

MM
/

(vì MN là đường trung trực của đoạn M
thẳng AB nên MN
AB

)
Mặt khác N là trung điểm của MM
/

(vì M
/
nằm trên tia đối của tia NM và NM = NM
/
) A N
B
Vậy AB là đường trung trực của đoạn MM

/
.
b. Theo gả thiết ta có:
MM
/
là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên
MA = MB; M
/
B = M
/
A M
/

Ta lại có: AB là đường trung trực của đoạn thẳng MM
/
nên MA = M
/
B
Từ đó suy ra: M
/
A = MB = M
/
B = MV
Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC. Xác định điểm D trên cạnh AC
sao cho : DA + DB = AC
Giải:
Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng BC
cắt cạnh AC tại D
D là điểm cần xác định A
Thật vậy

Ta có: DB = DC (vì D thuộc đường trung D
trực của đoạn thẳng BC)
Do đó: DA + DB = DA + DC
Mà AC = DA + DC (vì D nằm giữa A và C) B
C
Suy ra: DA + DB = AC

Tiết 36:
Bài 13:
a. Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác ABc. Chứng minh rằng
CKB = CAH
b. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH và BK là các đường cao
Chứng minh rằng CBK = BAH
Giải:
a. Trong tam giác AHC và BKC có: K
CBK và CAH đều là góc nhọn
Và có các cạnh tương ứng vuông góc với nhau A
CB

AH và BK

CA
Vậy CBK = CAH
b. Trong tam giác cân đã cho thì đường cao AH B H
C
cũng là đường phân giác của góc A A
Do đó: BAH = CAH
Mặt khác: CAH và CBK là hai góc nhọn và K
có các cạnh tương ứng vuông góc nên
CAH = CBK. Như vậy BAH = CBK

B H
C




Bài 14: Hai đường cao AH và BK của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại D.
a. Tính HDK khi C = 50
0

b. Chứng minh rằng nếu DA = DB thì tam giác ABC là tam giác cân.
Giải: A
Vì hai góc C và ADK đều là nhọn và có các K
cạnh tương ứng vuông góc nên C = ADK
Nhưng HDK kề bù với ADK nênhai góc
C và HDK là bù nhau. Như vậy HDK = 180
0
- C = 130
0
b. Nếu DA = DB thì DAB = DBA B H
C
Do đó hai tam giác vuông HAB và KBA bằng nhau
Vì có cạnh huyền bằng nhau và có một góc nhọn bằng nhau
Từ đó suy ra KAB = HBA hai góc này cùng kề với đáy AB của tam giác
ABC
Suy ra tam giác ABC cân với CA = CB
Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A phân giác AM. Kẻ đường cao BN cắt
AM
tại H.
a. Khẳng định CN


AB là đúng hay sai?
A. Đúng B. Sai
b. Tính số đo các góc: BHM và MHN biết C = 39
0

A. BHM = 131
0
; MHN = 49
0
C. BHM = 141
0
; MHN = 39
0

B. BHM = 49
0
; MHN = 131
0
D. BHM = 39
0
; MHN = 141
0

Giải: A
a. Chọn A
vì AM

BC tam giác ABC câb tại A N
Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC H

Do đó CH

AB
b. Chọn D B M C
Ta có: BHM = C = 39
0
(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
MHN = 180
0
- C = 141
0
(hai góc có cạnh tương ứng vuông góc và một góc
nhọn, một góc tù)
Vậy ta tìm được BHM = 39
0
; MHN = 141
0


Bài 16: Cho góc xOy = 60
0
điểm A nằm trong góc xOy vẽ điểm B sao cho
Ox là đường trung trực của AC, vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực
của AC
a. Khẳng định OB = OC là đúng hay sai?
b. Tính số đo góc BOC
A. 60
0
; B. 90
0

; C. 120
0
; D. 150
0

Giải:
a. Chọn A B
Nhận xét là:
x
OA = OB vì Ox là đường trung trực của AB
OA = OC vì Oy là đường trung trực của AC
Do đó: OB = OC
b. Chọn C. O
A
Nhận xét là:
Tam giác OAB cân tại O nên O
1
= O
2

Tam giác OAC cân tại O nên O
3
= O
4



y

Khi đó: BOC = O

1
+ O
2
+ O
3
+ O
4

= 2O
2
+ 2O
3

= 2(O
2
+O
3
) = 2xOy = 120
0
C
Vậy ta có: BOC = 120
0


Bài 17: Chứng minh rằng trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn
hơn thì nhỏ hơn trung tuyến ứng với cạnh nhỏ.
Giải:
Xét tam giác ABC các đường trung tuyến A
AM, BN, CP trọng tâm G
Giả sử AB < AC P N

Ta cần đi chứng minh CP > BN G
Thật vậy
Với hai tam giác ABM và ACM B M
C
Ta có: MB = MC (vì M là trung điểm của BC)
AM chung: AB < AC do đó: M
1
< M
2
.
Với hai tam giác GBM và GCM ta có: MB = MC (M là TĐ của BC); GM
chung
Do đó: GB < GC


3
2
GB <
3
2
GC

BN < CP