Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác ppt

Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy
trong
tam giác - Biểu thức đại số

Tiết 10:
Bài 9: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh
AC, AB. Trên tia BN lấy điểm B
/
sao cho N là trung điểm của BB
/
. Trên tia
CM lấy điểm C
/
sao cho M là trung điểm của CC
/
. Chứng minh:

a. B
/
C
/
// BC
b. A là trung điểm của B
/
C
/
C
/

Giải:
a. Xét hai tam giác AB

/
N và CBN
M N
ta có: AN = NC; NB = NB
/
(gt);
ANB
/
= BNC (đối đỉnh)
Vậy CBNNAB 
/
suy ra AB
/
= BC B C
và B = B
/
(so le trong) nên AB
/
// BC
Chứng minh tương tự ta có: AC
/
= BC và AC
/
// BC
Từ nmột điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với BC.
Vậy AB
/
và AC
/
trùng nhau nên B

/
C
/
// BC.
b. Theo chứng minh trên AB
/
= BC, AC
/
= BC
Suy ra AB
/
= AC
/

Hai điểm C
/
và B
/
nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng
AC
Vậy A nằm giữa B
/
và C
/
nên A là trung điểm của B
/
C
/

Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở

điểm M, tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ dài DN
và EM
Hướng dẫn:
Chứng minh:
EDMDEN



(g.c.g)
Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng)
Bài 11: Cho hình vẽ b
ên A
B
trong đó AB // HK; AH // BK
Chứng minh: AB = HK; AH = BK.
Giải:
Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K

A
1
= K
1
(so le trong)
AH // BK

A
2
= K
2
(so le trong)

Do đó:
KHA
ABK



(g.c.g)
Suy ra: AB = HK; BK = HK
Bài 12: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D và
song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với BC cắt BC
ở F, Chứng minh rằng
a. AD = EF
b.
EFCADE



A
c. AE = EC
Giải:
a.Nối D với F do DE // BF A
EF // BD nên
FBD
DEF



(g.c.g)
Suy ra EF = DB
Ta lại có: AD = DB suy ra AD = EF D E

b.Ta có: AB // EF

A = E (đồng vị)
AD // EF; DE = FC nên D
1
= F
1
(cùng bằng B)
Suy ra
EFCADE



(g.c.g) B F
C
c.
EFCADE



(theo câu b)
suy ra AE = EC (cặp cạnh tương ứng)

Tiết 11:
Bài 13: Cho tam giác ABC D là trung điểm của AB, E là trung điểm của
AC vẽ F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh: A
a. DB = CF
b.
FCDBDC




D F
E
c. DE // BC và DE =
2
1
BC
Giải: B C
a.
CEFAED





AD = CF
Do đó: DB = CF (= AD)
b.
CEFAED



(câu a)
suy ra ADE = F

AD // CF (hai góc bằng nhau ở vị trí so le)
AB // CF

BDC = FCD (so le trong)

Do đó:
ECDBDC



(c.g.c)
c.
ECDBDC



(câu b)
Suy ra C
1
= D
1


DE // BC (so le trong)
FCDBDC





BC = DF
Do đó: DE =
2
1
DF nên DE =

2
1
BC
Bài 14: Cho góc tù xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn giữa õ và Oy. Kẻ
Ot nằm giữa Ox và Oy). Trên các tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy các
điểm A, B, C, D sao cho OA = OC và OB = OD. Chứng minh hai đường
thẳng AD và BC vuông góc với nhau.


Giải:
Xét tam giác OAD và OCB có t z
OA = OC, O
1
= O
3
(cùng phụ với O
2
)
OD = OB (gt) x C
Vậy
OCBOAD



(c.g.c) A D F

A = C mà E
1
= E
2

(đối đỉnh)
Vậy CFE = AOE = 90
0


AD

Bc
O B
y
Bài 15: Cho tam giác ABC trung điểm của BC là M, kẻ AD // BM và AD =
BM
(M và D khác phía đối với AB) Trung điểm của AB là I.
a. Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng
b. Chứng minh: AM // DB
c. Trên tia đối của tia AD lấy điểm AE = AD
Chứng minh EC // DB
Giải: D A E
a. AD // Bm (gt)

DAB = ABM
IBM
IAD



có (AD = BM; DAM = ABM
(IA = IB)
Suy ra DIA = BIM mà
DIA + DIB = 180

0
nên BIM + DIB = 180
0
B M
C
Suy ra DIM = 180
0

Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàng
b.
BID
AIM



(IA = IB, DIB = MIB)
ID = IM

BDM = DMA

AM // BD.
c. AE // MC

EAC = ACM; AE = MC (AC chung)
Vậy
CMAAEC



(c.g.c)

Suy ra MAC = ACE

AM // CE mà AM // BD
Vậy CE // BD
Bài 16: Ở hình bên có A
1
= C
1
; A
2
= C
2
. So sánh B và D chỉ ra những cặp
đoạn thẳng bằng nhau.
Giải: B C
Xét tam giác ABC và tam giác CDA
chúng có:
A
2
= C
2
; C
1
= A
1
cạnh Ac chung
Vậy
CDAABC




(g.c.g) A D
Suy ra B = D; AB = CD Và BC = DA
Bài 17: Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại
I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng
này với AB, AC theo thức tự là D và E. Chứng minh rằng DE = BD.
Giải: A
DI // DC

I
1
= B
1
(so le)
BI là đường phân giác của góc B

B
1
= B
2

D I E
Suy ra I
1
= B
2

Tam giác DBI có:
I
1

= B
2


Tam giác DBI cân BD = BI (1) B
C
Chứng minh tương tự CE = EI (2)
Từ (1) và (2): BD + CE = DI + EI = DE

Bài 18: Cho tam giác đều ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB,
BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác
đều.
Giải: A
Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF
Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF D F
Hay BD = CE = AF
Tam giác ABC đều A = B = C = 60
0
B E C
BED
ADF



(c.g.c) thì DF = DE (cặp cạnh tương ứng)
FCEEBD



(c.g.c) thì DE = EF (cặp cạnh tương ứng)

Do đó: DF = DE = EF
Vậy tam giác DEF là tam giác đều.