Cong Thuc Luong Giac Lop 10.Doc

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
a. Định nghĩa
Sin
K

  1 sin  1, 
  1  cos  1, 

T
A


O

H

b. Tính chất

Cos

,•  sin(𝛼 +𝑘2𝜋)

= sin𝛼 , 𝑘∈ Z
-•  cos(𝛼 +𝑘2𝜋) = cos𝛼 , 𝑘∈ Z
-•  tan(𝛼+𝑘𝜋) = tan𝛼, 𝑘 ∈ Z
-•  cot(𝛼+𝑘𝜋) = cot𝛼, 𝑘 ∈ Z .

c. Các hệ thức cơ bản

 sin 2   cos 2  1, 

sin 

,  (2k  1) , k  Z
cos 
2
cos 
 cot  
,  k , k  Z
sin 
 tan  

 tan  .cot  1,  k


,k Z
2

1

,  (2k  1) , k  Z
2
cos 
2
1
 1  cot 2   2 ,  k , k  Z
sin 

 1  tan 2  

2. Giá trị lượng giác một số góc (cung) có liên quan đặc biệt
Hai góc đối nhau

Hai góc bù nhau

Hai góc hơn kém nhau n kém nhau π

 sin(  )  sin 
 cos(  ) cos 
 tan(  )  tan 
 cot(  )  cot 

 sin(   ) sin 
 cos(   )  cos 
 tan(   )  tan 
 cot(   )  cot 

 sin(   )  sin 
 cos(   )  cos 
 tan(   ) tan 
 cot(   ) cot 

Hai góc hơn kém nhau n kém nhau π / 2



 sin     cos 
2




 cos      sin 
2


Hai góc phụ nhau nhau



 tan      cot 
2



 cot      tan 
2




 sin     cos 
2



 cos     sin 
2





 tan     cot 
2



 cot     tan 
2


3. Một số công thức lượng giác
a. Công thức cộng

 sin(a  b) sin(a).cos(b)  cos( a).sin(b)
 sin(a  b) sin(a).cos(b)  cos( a).sin(b)
 cos(a  b) cos( a).cos(b)  sin( a).sin(b)
 cos(a  b) cos( a).cos(b)  sin( a).sin(b)

tan(a)  tan(b)
 tan(a  b) 
1  tan( a).tan(b)
tan(a)  tan(b)
 tan(a  b) 
1  tan(a).tan(b)

Công thức nhân đôi

 sin(2a) 2sin( a).cos( a)
 cos(2a) cos 2 ( a)  sin 2 ( a) 2cos 2 ( a)  1 1  2sin 2 ( a)
2 tan(a)

 tan(2a) 
tan( a) 1
1  tan 2 (a )

Công thức nhân ba
 sin(3a) 3sin(a)  4sin 3 (a)
 cos(3a) 4 cos3 (a)  3cos(a)
3 tan( a)  tan 3 ( a)
 tan(3a ) 
1  3 tan 2 (a)

Công thức hạ bậc

1  cos(2a )
 sin 2 (a) 
2
 sin 3 (a ) 

3sin( a)  sin(3a)
4

1  cos(2a)
 cos 2 ( a) 
2
3cos(a )  cos(3a)
 cos3 (a) 
4

 sin(a).sin(b) 

1  cos(2a)
 tan 2 (a) 
1  cos(2a)
3sin( a)  sin(3a)
 tan 3 (a ) 
3cos(a )  cos(3a)

1
 cos(a  b)  cos(a  b) 
2

1
 sin(a  b)  sin(a  b) 
2
1
 cos(a ).cos(b)   cos( a  b)  cos( a  b) 
2
 sin(a).cos(b) 


sin(a  b)
cos(a).cos(b)
sin(a  b)
 tan(a)  tan(b) 
cos(a).cos(b)
sin(a  b)
 cot(a)  cot(b) 
sin(a).sin(b)
sin(b  a )
 cot(a)  cot(b) 

sin(a).sin(b)

 a b 
 a b
 sin(a)  sin(b) 2sin 
 .cos 

 2 
 2 
 a b 
 a b
 sin(a)  sin(b) 2cos 
 .sin 

 2 
 2 
 a b 
 a b
 cos(a )  cos(b) 2cos 
 .cos 

 2 
 2 

 tan(a)  tan(b) 

 a b 
 a b
 cos(a )  cos(b)  2sin 
 .sin 


 2 
 2 

 1  sin(2a) (sin a  cos a) 2



 sin(a )  cos(a)  2.sin  a  
4



 sin(a )  cos(a)  2.sin  a  
4



 cos(a )  sin(a)  2.cos  a  
4



 cos(a )  sin(a)  2.cos  a  
4


 1  sin(2a) (sin a  cos a) 2
 1  cos(2a) 2 cos 2 a
 1  cos(2a) 2sin 2 a

1
1
 sin(a ).cos(a )  sin(2a)  sin n ( a).cos n ( a)  n sin n (2a)
2
2
1
3 1
 sin 4 (a )  cos 4 (a) 1  2sin 2 ( a).cos 2 (a) 1  sin 2 (2 a)   cos(4 a)
2
4 4
3
5 3
 sin 6 (a )  cos 6 (a ) 1  3sin 2 ( a).cos 2 ( a) 1  sin 2 (2 a)   cos(4 a)
4
8 8
8
8
2
2
4
4
 sin (a )  cos ( a) 1  4sin ( a).cos ( a)  2sin ( a).cos ( a)

CÔNG THỨC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
1. Tích vơ
hướng của hai
vecto:


Cho a  xa ; ya  , b  xb ; yb 

  

a.b  a . b .cos a, b

2. Cho A  x A ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC 

Ta có : AB  xB  xA ; yB  y A 

 


a.b  xa xb  ya yb





 

o
Nếu a, b 90  a.b 0



2

Độ dài đoạn AB   xB  xA    yB  y A 
Tọa độ trung điểm I của AB


G


Tọa độ trọng tâm G của ABC
3. Tính
góc giữa hai
vecto


a  xa ; ya  ,

b  xb ; yb 

2

 x  x y  yB 
I A B ; A

2 
 2
x A  xB  xC y A  yB  yC 
;

3
3


 

a.b

xa xb  ya yb
Cos a, b    
a.b
xa 2  ya 2 . xb 2  yb 2

 

4. Các công thức trong tam giác
a2 = b2 + c2 – 2bc.CosA
Định lý Cos
Định lý Sin

2

2

b c  a
2bc
a
b
c


2 R
Sin a Sin b Sin c

CosA=

(Tính cạnh)

2

(Tính Góc)
(Tính cạnh có 2 góc)


Đường trung tuyến

2

ma 
1
S  a.ha
2

Diện Tích

Phương Trình Tổng Qt có
VTPT (a,b) và qua A  x A ; y A 
Phương Trình Tham Số có
VTCP (a;b) và qua A  x A ; y A 

4

1
 ab.Sin C
2



abc
4R

 pr  p  p  a   p  b   p  c 
p

5. Phương trình đường thẳng

2  b2  c 2   a 2

a b c
2

VTPT  (d),

VTCP //(d)

a ( x  x A )  b( y  y A ) 0
 x  x A  at

 y  y A  bt

 t  R

Phương trình ax + by + c = 0 có VTPT (a;b)
Lấy Vecto từ đường thẳng

 x  x A  at
 y  y A  bt

Phương trình 

có VTCP (a;b)

VTPT (a;b) suy ra VTCP (-b;a) và ngược lại
6. Tính khoảng cách
Cho A  x A ; y A  và (  ) ax + by +c = 0

Cho ( 1 ) ax  by  c1 0 song song
(  2 ) ax  by  c2 0
7. Tính góc giữa hai đường thẳng

 1  : a1x  b1 y  c1 0
  2  : a2 x  b2 y  c2 0
8. Phương trình đường phân giác

 d1  : a1x  b1 y  c1 0
 d1  : a2 x  b2 y  c2 0

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng 
d  A,   

ax A  by A  c
a2  b2

d  1 ,  2  
 , ) 
Cos(
1
2

a 2  b2
a1a2  b1b2

a12  b12 . a2 2  b2 2

a1 x  b1 y  c1
a12  b12

c1  c2

a x  b2 y  c2
 2
a2 2  b2 2

9. Phương trình đường trịn
Có tâm I (a;b) bán kính R
Lấy tâm và bán kính từ đường trịn
x 2  y 2  2ax  2by  c 0

10.Phương trình tiếp tuyến của (C)
tại A  x A ; y A  có Tâm I (a;b)

 x  a

2

2

  y  b  R 2

Tâm I (a;b)
Bán kính R  a 2  b 2  c
Điều kiện tồn tại của đường tròn a 2  b 2  c > 0

 xA  a   x 

x A    y A  b   y  y A  0


11.Phương trình ê-líp
(E) có tiêu điểm F1 (-c;0) và F1 (c;0)
bốn đỉnh A1 (-a;0) , A2 (a;0)
B1 (0;-b) , B2 (0;b)
a2 = b2 + c2
12.Tìm giao điểm của 2 đường thẳng

 d1  : a1x  b1 y  c1 0
 d1  : a2 x  b2 y  c2 0
13.Cho  d  : ax  by  c 0

Phương trình (E)

x2 y 2

1
a 2 b2

Độ dài trục lớn
Độ dài trục nhỏ

Tiêu cự

A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
F1F2 = 2c

Giao điểm của (d1) và (d2 ) là nghiệm của hpt

 a1 x  b1 y  c1 0

a2 x  b2 y  c2 0
Nếu    / /  d  thì    : ax  by  c1 0 (c c1 )

    d 

thì    :  bx  ay  c1 0