Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 đại số 2

BÀI 4. ĐỊNH LÍ VI – ET VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ

1. TÍNH BIỂU THỨC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
BẰNG HỆ THỨC VI – ET.
Bài 1. Kiểm tra sự tồn tại của nghiệm rồi tính tổng và tích hai nghiệm mà khơng được giải phương
trình.
2

2

1. x  4 x  2 0

2. x  5 x  6 0

2

4. 4 x  5 x  1 0

2

2

6. x  x  1 0

3. 2 x  3 x  1 0

2

5. 4 x  4 x  1 0
2

7. 2 x  3x  11 0
9.

x2 



8.





6 x 2  2 6  3 2 x  2 3 0



2  1 x  2 0

Bài 2. Cho hai số x1 , x2 có tổng là S , tích là P hãy tính các đại lượng sau theo S và P.
2
2
1. x1  x2

3.

 x1 

x2 

4
4
2. x1  x2
2

3
3
4. x1  x2

2
2
Bài 3. Nếu các phương trình sau có hai nghiệm x1 , x2 thì hãy tính giá trị các đại lượng sau: x1  x2 ,

 x1 

2

x2  , x1  x2 , x12  x22
mà khơng được giải phương trình.

2

2. x  5 x  6 0

2

2

4. 4 x  5 x  1 0

1. x  4 x  12 0

2

3. x  3x  2 0
2

Bài 4. Nếu phương trình sau: x  2 x  1 0 có hai nghiệm
đại lượng sau mà khơng được giải phương trình.

x1 , x2  x1  x2 

thì hãy tính giá trị các

1. x  x

x1 x2

x
x1
2
2.

x1  1 x2  1

x
x1
2
3.

x1
x
 2
4. x2  2 x1  2

x1  1 x2  1

x
x1
2
5.

x12  2 x22  2

x
x2
1
6.

2
1

2
2


x2
x
 21
7. x  3 x1  3

1
1
 2
2
8. x1 x2

3
3
9. x1  x2

x12 x22

x
10. 2 x1

x12  4 x22  4

x
x1
2
11.

x1  1 x2  1
 2
2
x
x1
2
12.

x12
x22
 2
2
x
x

1
x1 x2  1
1
2
13.

x1
x
 2 2
2
14. 3x1 x2  1 3x1 x2  1

x 
15. 1

2
2

x2 

2

16. x1  x2

17. x  x

1 1

x
x2
1
18.

x1 x2

x
19. 2 x1

x1
x2

20. x2  1 x1  1

3 x1  7 3 x2  7

x
x1
2
21.

22. x  x

x12 x22

x
x1
2
23.

x1  1 x2  1

2
x
x12
2
24.

x1
x2

3
3
25. 7 x1 x2  2 7 x1 x2  3

1
1
 2
2
3
26. x  x2 x1  x2

4

4
27. x1  x2

x12 x22
 2
2
x
x1
2
28.

x1
x
 32
29. x  1 x1  1

x12  1 x22  1
 2
2
x

2
x1  2
30. 2

3x13  4 x1  2 3x23  4 x2  2

x
x1
2

31.

3
1

2
1

3
2

2
2

3
1

3
2

x 2  2  m  2  x  4m  1 0
Bài 5. Nếu phương trình bậc hai ẩn x sau:
có hai nghiệm x1 , x2 thì hãy

x 
tính các đại lượng sau: 1

2

x2  ; x1  x2

theo m mà không được giải phương trình.

x 2  2  2m  1 x  4m 0
Bài 6. Nếu phương trình bậc hai ẩn x sau:
có hai nghiệm x1 , x2 thì hãy

x 
tính các đại lượng sau: 1

2

x2  ; x1  x2
theo m mà khơng được giải phương trình.

x  0

 2 1
1
1  2 1  3 1 
1
x  , x3  3 ,  x  2   x  3  ; x5  5
 x  x 2 14
x 
x 
x
x 
x
Bài 7. Cho
. Tính
x  0


 2 1
1
1  2 1  3 1 
1
x  , x3  3 ,  x  2   x  3  ; x5  5
 x  x 2 23
x 
x 
x
x 
x
Bài 8. Cho
. Tính


x  0

 2 1
1 3 1  x 2  1   x3  1  ; 5 1
x


34
x

, x  3,

 x  5


x2  
x3 
x2
x
x 
x
Bài 9. Cho 
. Tính
x  0

 2 1
1
x5  5
 x  x 2 47
x
Bài 10. Cho
. Tính
x  0

 2 1
1
x5  5
 x  x 2 7
x .
Bài 11. Cho
. Tính
(TS lớp 10 trường THPT chuyên LHP, vòng 2, 04 –05)

2. VẤN ĐỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 12. Tìm điều kiện của tham số m để các phương trình bậc hai ẩn x sau có hai nghiệm

phân biệt.
2
1. x  x  2m 0

2
2. 2 x  x  1  m 0

2
3.  3x  4 x  2m 0

4.

5.

x 2  2  m  4  x  m2  8 0

7.

 m  1 x 2 

9.

 m  2  x 2  4  m  1 x  4m  3 0

2mx  m  3 0

x 2  2  m  1 x  m 2  1 0

2
6. mx  4 x  1 0

8.

 m  1 x 2   2m  1 x  m 0

10.

3

2m  x 2   1  4m  x  1  2m 0

Bài 13. Tìm điều kiện của m đê các phương trình sau có nghiệm.
1.

mx 2  2  m  1 x  m  3 0

2.

 m  1 x 2  4  m  1 x  4m  3 0

3.

 m  1 x 2   2m  1 x  m  4 0

4.

 m  2  x 2  2  m  3 x  m  1 0

5.

 m  2 x2 

6.

 m  3 x 2  2  m  3 x  m  1 0

7.

3  m  1 x 2  6  m  1 x  3m  1 0

8.

3

4mx  4  m  5  0

2m  x 2  2  3  2m  x  2m  5 0

Bài 14. Tìm điều kiện của m để các phương trình bậc hai ẩn x sau có 2 nghiệm
2
1. x  x  2m 0

3.

3x 2   5  m  x 

2
2. 2 x  3 x  m  1 0

m2

0
12

4.

4 x 2  2  2m  1 x  m 0


2

mx 2   3  m  x 

5.

mx  2  m  1 x   m  2  0

6.

7.

 m  1 x 2   2m  1 x  m  2 0

8.

9.

 m  1 x 2  2  m  1 x  m  2 0

10.

m
 2 0
4

 2m  1 x 2  2  2m  3 x  2m  1 0
 2m  3 x 2  2  2m  3 x  2m  1 0

Bài 15. Tìm điều kiện của m để các phương trình sau vơ nghiệm.
2
1. 3x  2 x  m 0

3.

x 2   2m  1 x  m 2  2 0

2
5. mx  4mx  4m  1 0

2
2. 8 x  x  5m 0

4.

x 2  2  m  2  x   m  1  m  3 0

6.

 m  1 x 2  2  m  1 x  m  3 0
 m  2  x 2  2  2m  1 x  4m  1 0

7.

 3m  2  x 2  2  3m  2  x  3m  4 0

8.

9.

 m  3 x 2  2  m  3 x  m  4 0

10.

 m  4  x 2  2  m  4  x  m  7 0

Bài 16. Tìm m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt.

x  2   x 2  3x  m  0

1.

x  1  x 2  2 x  m  1 0

2.
x  3  x 2 

3.

4 x  m  1 0

x  1  mx 2  4mx  4m  1 0


4.
2 x  1   m  1 x 2  2  m  1 x  m  2  0

5.

x  1   m  1 x 2  4  m  1 x  4m  8 0

6.
2 x  1   m  2  x 2  2  m  2  x  m  4  0

7.

2 x  1   m  5  x 2  2  m  5  x  m  10  0

8.
4 x  1  4  m  1 x 2  4  m  1 x  m  2  0

9.

2 x  3   m  1 x 2  2  m  1 x  m  3 0

10.


Bài 17. Tìm m để các phương trình sau vơ nghiệm.

x 2  6  m  1 x  9m 2
0
x

1.
2

x 2   1  2m  x  m 2  1
0
x

3
2.
2 x 2   m  1 x 

2

3 x  2  3m  2  x  3m  4
0
5x  3
3.

8x  9

4.

m2
1
8
0

Bài 18. Tìm m để các phương trình sau vơ nghiệm.

1.

 m  1 x 2  2 x  4m 0
x 2

2.

2mx 2   2m  3 x  m  1
0
2x  1
3.

5.

x 3

3  2m  1 x 2   7 m  2  x  2m
0
3x  2
4.

 2m  3 x 2   12  7 m  x  4m 0
x 4

mx 2   2m  3 x  m  2
0
x 1
7.

9.

 m  2  x 2  2  2m  3 x  3m 0

 m  1 x 2 
6.

8.

 m  3 x 2  6  m  1 x  9m 0
4x  3

2mx  m  2
0
x 1

 m  1 x 2  4  m  1 x  4m 0
2x  5

mx 2  2  m  1 x  m  3
0
x 2
10.

3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM THỎA MỘT HỆ ĐỐI XỨNG
Bài 19. Tìm m để các phương trình bậc hai ẩn x sâu có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn một đẳng
thức đối xứng.
2
2
2
2
1. x  2mx  m  m  3 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  x2 6 (TS lớp 10 chuyên 06 –

07)

2.

x 2   2m  1 x  m 2  3 0

3.

2 x 2  4  m  2  x  2m 2  1 0

4.

x 2  2  m  1 x  m 2  6m  5 0

2
2
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2 1

15
x12  x22  .
2
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
2
2
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2 20.

1
2
2
x


x

.
1
2
4 x  4  2m  3 x  4m  3 0
2
5.
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa:
2

2


Bài 20. Tìm m để các phương trình bậc hai ẩn x sau có hai nghiệm x1 , x2 thỏa một đẳng thức
đối xứng.
3
3
2
2
1. x  3x  m  m  2 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2 9
3
3
2
2
2.  x  x  m  2m  3 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2 34.
3
3
2

2
3. x  2 x  m  3m  3 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2 10.
3
3
2
2
4. 4 x  4 x  3m  2m  4 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2  2.
3
3
2
2
5. 3x  6 x  2m  m  2 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2  8.

Bài 21. Tìm m để các phương trình bậc hai ẩn x sau có hai nghiệm x1 , x2 thỏa một đẳng thức
đối xứng.
x1 x2
 4.
x  2  m  1 x  m  2 0
x
,
x
x
x1
1
2
2
1.
có hai nghiệm
thỏa:
2

x1 x2
 14.
x  2  m  1 x  m  3 0
x
,
x
x
x1
1
2
2
2.
có hai nghiệm
thỏa:
2

2

2

 x1   x2 
     7
2
x
x
x
,
x
3. x  mx  1 0 có hai nghiệm 1 2 thỏa:  2   1 

2

2

 x1   x2 
     14.
x 2   m  1 x  2 0
x
x
x
,
x
1
2
4.
có hai nghiệm
thỏa:  2   1 
2

2

 x1   x2 
     98.
2
x  2  2m  1 x  m  1 0
x
x
x
,
x

5.
có hai nghiệm 1 2 thỏa:  2   1 

4. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM THỎA HỆ THỨC
KHƠNG ĐỐI XỨNG
Bài 22. Tìm m để các phương trình bậc hai ẩn x sau có hai nghiệm x1 , x2 thỏa một đẳng thức
không đối xứng.
1.

x 2   m  5  x  m  6 0

có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: 2 x1  3x2 13.

2
2. x  2 x  m 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1 3 x2 .


3.

4 x 2   m  3 x  24 0

4.

x 2  2mx   m  1 0

5.

3x 2  18mx   m  3 0

3

3

có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  2 x2  1.
2
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2 .
2
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1 x2 .

x 2  2  2m  1 x  3m 2  6m
0
x 2
6.
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  2 x2 16.
x 2   3m  2  x  3m 2  6m
0
x 2
7.
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: 4 x1  x2 2.
x 2   m  6  x  1  9m 2
0
x 8
8.
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: 4 x1  3x2 20.
2 x 2  3mx  8
0
x 2
9.
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  2 x2 2.

5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 23. Cho hai số x1 , x2 có tổng (kí hiệu là S ) và tích (kí hiệu là P ) biết trước, hãy lập một
phương trình bậc hai nhận hai số x1 , x2 làm nghiệm.
1. S 5; P 6.

2. S 3; P 2.

3. S  7; P 12.

4. S 8; P  9.

5. S 4; P 4.

6. S  10, P 25

7. S 1  2; P  2.

8. S  3 

9. S 2 3; P  9.

10. S 2 3  3 2; P 6 6.

2; P  6.

x 2  5 x  4 0  1
Bài 24. Cho phương trình bậc hai ẩn x sau:
1. Chứng minh (1) có hai nghiệm x1 , x2 .
2. Khơng giải

 1 ,

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

X 1  x1  1; X 2  x2  1 .
3. Không giải

 1 ,

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:


X1 

x1
x
; X2  2
x1  1
x2  1 .

x 2  3 x  5 0  1 .
Bài 25. Cho phương trình bậc hai ẩn x sau:
1. Chứng minh
2. Khơng giải

 1

 1 ,

có hai nghiệm x1 , x2 .

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

1
1
X1  ; X 2  .
x1
x2
3. Không giải
X1 

 1 ,

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

2 x1
2x
; X2  2
x1  1
x2  1

x 2  2mx  1 0  1
Bài 26. Cho phương trình bậc hai ẩn x sau:
1. Chứng minh
2. Khơng giải
X 1  x1 

 1

 1 ,

có hai nghiệm x1 , x2 .
hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

3
3
; X 2  x2  .
x1
x2

Bài 27. Biết rằng

x1 , x2

ax 2  bx  c 0  a 0  .

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

x sau:

3
3
Viết một phương trình bậc hai nhận x1 và x2 làm nghiệm. [PTNK

ban AB, 1999 – 2000]
Bài 28. Biết rằng

x1 , x2

ax 2  bx  c 0  a 0  .
Bài 29. Biết rằng

x sau:

3
3
Viết một phương trình bậc hai nhận x1 và x2 làm nghiệm.

x1 , x2

ax 2  2bx  4c 0  a 0  .
Bài 30. Biết rằng

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

x1 , x2

4ax 2  2bx  c 0  a 0  .

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

x sau:

3
3
Viết một phương trình bậc hai nhận x1 và x2 làm nghiệm.

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

x sau:

3
3
Viết một phương trình bậc hai nhận x1 và x2 làm nghiệm.


x 2  5 x  4 0  1 .
Bài 31. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x sau:
1
Khơng giải phương trình   hãy lập một phương trình bậc hai mà có các nghiệm là:
1.

t1  x1 ; t2  x2

2.

t1  x1  1; t2  x2  1

3.

t1  x1  1; t2  x2  1.

4.

t1  x1 x1 ; t2  x2 x2 .

5.

t1  x1  x2 ; t2 x2  x1 .

.

Bài 32. [PTNL ban Ab, 00 – 01]. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm số của phương trình bậc hai ẩn x
2
sau: x  7 x  3 0 .

1. Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm số là: X 1 2 x1  x2 ; X 2 2 x2  x1.
2. Hãy tính giá trị của biểu thức:

A  2 x1  x2  2 x2  x1 .

2
Bài 33. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm số của phương trình bậc hai ẩn x sau: x  x  1 0 .

1. Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm số là: X 1 2 x1  3x2 ; X 2 2 x2  3x1.
2. Hãy tính giá trị của biểu thức:

A  2 x1  3x2  2 x2  3x1 .

2
Bài 34. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm số của phương trình bậc hai ẩn x sau: 3x  2 x  2 0 .

1. Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm số là: X 1  x1  3x2 ; X 2  x2  3x1.
2. Hãy tính giá trị của biểu thức:

A  x1  3 x2  x2  3x1 .

6. HỆ THỨC CỦA NGHIỆM ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ
Bài 35. Biết rằng các phương trình bậc hai ẩn x sau đã có hai nghiệm x1 , x2 , hãy tìm một hệ
thức giữa x1 , x2 độc lập với tham số m.
1.

mx 2   m  3 x  2m  1 0

m  2 x2   m  4 x  2 

3.
5.

x 2   m  1 x  m  4 0

7.

x 2   m  1 x  m 2  4 0

m 0

m  4  x 2  2  m  2  x  m  1 0

2.
m  1 x 2  2  m  2  x  m  3 0

4.
6.

mx 2  2  m  1 x  m  3 0

8.

 x 2   m  3 x  m 2  1 0

9.

x 2  2  2m  1 x  2m 2  1 0

10.

x 2   m  4  x  3m 2  7 0

Bài 36. Biết rằng các phương trình bậc hai ẩn x sau đã có hai nghiệm x1 , x2 . Đặt S  x1  x2 ,
P  x1.x2 hãy tìm một hệ thức giữa S và P độc lập với tham số m.
1.

mx 2   2m  1 x  m 2  1 0

2.

 m  1 x 2   m  1 x  2  m 2 0

[PTNK, ban CD, 04 – 05].

2  m  x 2   3m 2  1 x  m 0

3.
4.

 2m  1 x 2   4  3m  x  m 2  4 0

5.

 3m  2  x 2  2  4m  1 x  2m2  1 0

6.

 4m  1 x 2   5m  2  x  3m 2 

7.

 2m  3 x 2   5m  1 x 

2 0

m 2  1 0

BÀI 5. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
1. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau. Nhìn đồ thị, đọc giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất (nếu có)
của hàm số:
1. y  x  1

2. y  x  1

3. y 2 x  1

4. y  3x  2

5. y  x

6. y  x

2
7. y  x

2
8. y  x

2
9. y 2 x

10.
13.
16.

19.

y 

1 2
x
2

y  x 1
y  x  2  1

y  2 x x

1
y  x2
4
11.

14.
17.

y  x  2
y x x

12.
15.
18.

y 

1 2
x
4

y x 1  3
y  x x

1
y xx
2
20.

Bài 2. Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ và đọc tọa độ giao điểm của hai
đồ thị hàm số đó nếu có


1.

 D  : y  x  3 và    : y  x  1.

6.

 D  : y 2 x  3 và  P  : y  x 2 .

2.

 D  : y x  1 và    : y  x  1.

7.

 D  : y 2 x  3 và  P  : y  x 2 .

1
x.
2

8.

 D  : y 3x  2

9.

 D  : y 3x  2 và  P  : y  x 2 .

3.

4.

5.

 D  : y 2 x 

2

và

   : y 

 D  : y  2 x  3 và
 D : y 

   : y 

1
x.
2

10.

 P  : y x2.

và

 D  : y  3x  4

và

 P  : y x 2 .

1
x
3 và    : y  3x  1.

Bài 3. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị sau bằng phép toán:
1.

 D  : y  x  3 và    : y  x  1.

2.

 D  : y x  2

3.

 D  : y 2 x  3 và  P  : y x 2 .

4.

 D  : y  x  1 và  P  : y 2 x 2 .

5.

 D  : x  y  1 0

6.

 D : 2x 

7.

 D  : x  3 y  5 0 và    : 2 x  y  18 0.

8.

 D : 4x 

9.

 D  : x  y  1 0

10.

 D  : 5x 

và

 P  : y  x 2 .

và

y  1 0

y  3 0

   : x 

và

và

và

y  6 0

2 y  4 0.

   :  3x  2 y  3 0.

 P  : y x2.

 P  : y 2 x 2 .
và

 P  : y x 2 .

Bài 4. Dùng đồ thị để đọc nghiệm số của các hệ phương trình sau:

1.

 y 2 x  3

4 x  2 y 4

2.

 y 3

3x  2 y 3

3.

 y  3x  5

2 x  y 1

4.

 2 x  y 2

6 x  3 y 6

Bài 5. Dùng đồ thị để đọc nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
2
1. x  x  2 0

2
2. 2 x  x  1 0

2
3. x  2 x  1 0


2
4. x  x  1 0

2
5. x  2 x  1 0

2
7. x  5 x  6 0

2
8. x  4 x  4 0

Bài 6. Chứng minh rằng ba đường thẳng

2
6. x  x  1 0

 D1  ,  D2  ,  D3  đồng quy trong các trường hợp sau:

D : y  x  2  D2  : y 2 x  1;  D3  : y 3x
1.  1 
;
(Hướng dẫn: dùng phép tốn tìm tọa độ
giao điểm của hai đường thẳng, rồi chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng thứ ba)
2.

 D1  : y x  1;

 D2  : y 2;

 D3  : y 3 

3.

 D1  : 3x 

 D2  : 3x  2 y  8 0;

 D3  : y  2 x  3.

4.

 D1  : 5 x  4 y  6 0;

 D2  : y  2 x  3;

 D3  : y 

5.

 D1  : y 4 x  3;

 D2  : y 3x  1;

 D3  : y x  3.

6.

 D1  : 4 x 

 D2  : 5 x  2 y 0;

 D3  : y 3x  1.

7.

 D1  : y  x  2;

 D2  : y  4 x 

 D3  : y x  6.

8.

 D1  : 4 x  y  4 0

 D2  : 3x  y  1 0;

y  7 0;

y  3 0;

4;

x.

3
x  4.
2

 D3  : x  y  5 0.

Bài 7. Định m để ba đường thẳng sau đồng qui:
1.

 D1  : y x  1;

 D2  : y  x  m;

 D3  : y 3x.

2.

 D1  : y 2 x;

 D2  : y  x  3;

 D3  : y mx  5.

3.

 D1  : y 2 x  1;

 D2  : y  x  2;

 D3  : y mx  3.

4.

 D1  : y 3x  5;

 D2  : y 2 x;

 D3  : y  x  m.

5.

 D1  : y  x  1;

 D2  : y 3x  3;

 D3  : y 2 x  m.

D : m  2  x   2m  1 y  6m  8 0.
Bài 8. Cho đường thẳng:   
Chứng minh rằng đường
D
thẳng   đi qua giao điểm của hai đường thẳng:

 D1  : x 

2 y  6 0

và

 D2  : 2 x  y  8 0.


Bài 9. Cho hai hàm số:

y mx  m 2 

9
2
2
4 và y  4m  1 x .





 1;2  .
1. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số trên cùng đi qua điểm 
2. Với giá trị m tìm được ở câu trên hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị
đó.

1
1
9
y  mx  m 2 
y  m2  1 x 2 .
2
4
4
Bài 10. Cho hai hàm số:
và





 1; 2  .
1. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số trên cùng đi qua điểm 
2. Với giá trị m tìm được ở câu trên hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị đó.
Bài 11: Với tất cả các giá trị của biến số x thuộc tập xác định, hãy tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn
nhất của các hàm số sau (nếu có)

2
1. y 2 x  1

2
2. y  3 x  2

2
3. y  x  2 x  2

2
4. y  x  2 x  1

2
5. y  x  4 x  9

2
6. y  x  6 x  2

2

7. y 3x  6 x  2

10.

y 

1 2
x  2x  5
3

2
13. y  3x  4

2

16. y   x  3x  1

2
19. y  5 x  2 x  1

2

22. y  3x  2 x  1
2

25. y   3x  5 x  2

8. y  5 x  20 x  7

1
y  x 2  3x  1
2
9.

2
11. y 2 x  5 x  8

2
12. y  3 x  3x  1

2
14. y  9  2 x

2
15. y   1  x

2

17.

y  2 x  x 2 

y
20.

3
2

1

y

x2  2x  5

2

23. y  2 x  x  3
y
26.

18.

y

21.

24.

3
 5 x 2  3 x  14

y

y
27.

1 2
x  2x  4
3
2
2

3x  6 x  4
1 2
51
x  4x 
5
5
1
 4 x 2  3 x  45

Bài 12. Với tất cả các giá trị của biến số x thuộc tập xác định, hãy tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn
nhất của các hàm số sau (nếu có)


1.

y

1
x 1
2

y

2.

1
x  4x  6
2

3.

y

x
x 1
2

(Hướng dẫn: giả sử y 0 và y là một giá trị của hàm số thì phương trình ẩn x sau đây có

2
nghiệm yx  x  y 0, nghĩa là  0 ).

4.

7.

y

 x2
x2  5

y

x 3
4 x 2  13

10.

y

y

5.

8.

1  2x
x  2x  3
2

y

11.

2x  1
x2  2

6.

x 1
x  2x  2

y

2

3x  5
3 x  12 x  13
2

9.

y

 3x  1
3x 2 1

y

 2x  5
2x2  6x  7

12.

y

x 1
4 x  16 x  29
2

2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BIỂU DIỄN HÀM SỐ
Bài 13. Viết phương trình đường thẳng (D) biết:
1. (D) đi qua A(2; 3) và B (1; 4) .
2. (D) đi qua A( 3; 2) và B( 3; 0) .
3. (D) đi qua A( 5;  1) và B (10;  1) .
4. (D) đi qua A(1; 2) và B(2; 0) .
5. (D) đi qua A(4; 0) và B(4;  1) .
6. (D) đi qua A( 2; 1) và B( 2;  15) .
7. (D) đi qua A(5; 7) và B(1; 7) .
8. (D) đi qua A(4;  2) và B(6;  2) .
9. (D) đi qua M ( 1; 4) và cắt trục tung tại điểm N có tung độ bằng  2 .
10. (D) đi qua H (1;  3) và cắt trục hồnh tại điểm K có hồnh độ là 4.
11. (D) cắt trục tung tại điểm E có tung độ là 3 và cắt trục hồnh tại điểm F có hoành độ là
1.
12. (D) cắt trục tung tại điểm G có tung độ là  2 và cắt trục hồnh tại điểm H có hồnh độ
là 2.
13. (D) cắt trục tung tại điểm I có tung độ là 4 và cắt trục hồnh tại điểm K có hồnh độ là
2.
14. (D) cắt trục tung tại điểm A có tung độ là  1 và cắt trục hoành tại điểm B có hồnh độ

là  5 .
Bài 14. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng trong các trường hợp sau:
1. A(1; 2), B (0; 1), C ( 1; 0)
(Hướng dẫn: viết phương trình đường thẳng AB rồi chứng minh điểm C thuộc đường thẳng
AB)
B ( 2; 4),
C (1;  2) . 3. A( 1; 3), B (3;  1),
C ( 3; 5)
2. A(3;  6),
4. A(4;  2),
6. A(2; 0),

B ( 1; 3),

C ( 3; 5)

B (4;  1),

C ( 2; 2)

5. A(1; 1),
7. A(1; 5),

B (0;  1),

C (2; 3)

B ( 1; 1),

C ( 2;  4)

8. A( 3; 2),

B ( 3; 3),

C ( 3; 7)

9. A( 10; 2), B (0; 2),

C (1; 2)


1
A(0; ),
2
10.

B (3; 4),

C ( 1;  2)

2
Bài 15. Cho (P): y  x
1. Vẽ (P).

2. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có x A 1 và đi qua B (5;  3) .
3. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có x A  2 vàcắt trục hồnh tại
B có xB 3 .
4. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có x A 3 và cắt trục tung tại B
có yB 1 .

2
Bài 16. Cho (P): y  x .
1. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hoành độ là  1 và đi qua
B (2; 3) .

2. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là  3 và cắt trục
hồnh tại B có hồnh độ là 2.
3. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là  2 và cắt trục
tung tại điểm có tung độ là 4.
2
Bài 17. Cho (P): y 2 x .
1. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là 1 và cắt trục
tung tại B có tung độ là 3.
2. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là  1 và cắt trục
hồnh tại điểm có hồnh độ là 0.
2
Bài 18. Cho (P): y  x . Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ
là 1 và cắt trục tung tại B có tung độ là 2.
2
Bài 19. Cho (P): y  x . Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ
là  1 và cắt trục tung tại B có tung độ là  2 .
2
Bài 20. Cho (P): y  x . Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) đi qua gốc tọa độ và cắt
(P) tại A có tung độ là 4.
2
Bài 21.Cho (P): y  x . Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ
là  4 và cắt trục hồnh tại B có hồnh độ là 2.
2
Bài 22. Cho (P): y  x . Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ
là 9 và cắt trục hồnh tại B có hồnh độ là 3.

2
Bài 23. Cho (P): y ax và (D): y  x  b .
1. Tìm a và b biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh độ là  1 và 2.
2. Viết phương trình các đường thẳng cắt (P) tại điểm có tung độ là 4 và cắt trục tung tại
điểm có tung độ là 2.


2
Bài 24. Cho (P): y ax và (D): y  x  b . Tìm a và b biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh
độ là 1 và  2 .
2
Bài 25. Cho (P): y ax và (D): y kx  1 . Tìm a và k biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh
độ là 1 và  2 .
2
Bài 26. Cho (P): y ax và (D): y kx  2 . Tìm a và k biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh
độ là  1 và  2 .
2
Bài 27. Cho (P): y ax và (D): y kx  1 . Tìm a và k biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh

độ là 1 và 2.
Bài 28. Tìm phương trình đường thẳng (D) biết:
1. (D) đi qua A( 3; 4) và có hệ số góc là 2.
2. (D) đi qua A( 2; 1) và song song với đường thẳng (D): y  2 x  3 .
3. (D) đi qua A(1; 2) và vng góc với đường thẳng (D): y 2 x  1 .

1
y x
2 .
4. (D) cắt trục tung tại A có tung độ là  3 và vng góc với đường thẳng (D):
5. (D) cắt trục hồnh tại A có hồnh độ là 2 và song song với đường thẳng (D): y 2 x .

2

y 

1
x
2

6. (D) cắt (P): y  x tại A có hồnh độ là 1 và vng góc với đường thẳng (D):
2
7. (D) cắt (P): y 2 x tại A có hồnh độ là  1 và song song với đường thẳng (D): y  x .

8. (D) cắt () : y 3x  2 tại A có tung độ là 1 và vng góc với đường thẳng (D): y 4 x .
Bài 29. Cho đường thẳng ( D1 ) : y kx  5 . Tìm k để đường thẳng ( D1 ) song song với đường
thẳng ( D2 ) đi qua hai điểm A(1; 2) và B ( 3;  2) . (PTNK ban CD 1999 – 2000)
Bài 30.Cho đường thẳng ( D1 ) : y kx  1 . Tìm k để đường thẳng ( D1 ) song song với đường
thẳng ( D2 ) đi qua hai điểm A(2; 3) và B ( 3;  2) .
Bài 31. Cho đường thẳng ( D1 ) : y kx  2 . Tìm k để đường thẳng ( D1 ) vng góc với đường
thẳng ( D2 ) đi qua hai điểm A( 1;  2) và B ( 2;  3) .
2
Bài 32. Cho (P): y ax

1. Tìm (P) biết (P) đi qua A(1;  1) .
2. Trên (P) lấy điểm B có xB  2 . Viết phương trình đường thẳng AB.
3. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB.
Bài 33. Cho ABC có A( 5;  1) ; B ( 1; 4) ; C (3; 2) . Qua A vẽ đường thẳng ( D1 ) song song
với BC, qua B vẽ đường thẳng ( D2 ) vng góc với BC. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường
( D1 ) và ( D2 )

1

y  x2
4 và đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm A và B có x A  2 , xB 4
Bài 34. Cho (P):


1. Vẽ (P).
2. Viết phương trình đường thẳng (D).
1
1
A  ( D1 ) : y  x 
4
2.
3. Chứng minh rằng:
4. Tìm tọa độ giao điểm của M ( M  A ) của ( D1 ) và (P).
2
Bài 35. Cho (P): y ax .
1. Tìm a biết (P) đi qua A(1;  1) .
2. Trên (P) lấy B có hồnh độ là  2 . Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao
điểm của AB với trục tung.
3. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB.
Xác định tọa độ giao điểm của (D) và (P).
Bài 36.
1. Cho hai điểm A và B trong mặt phẳng tọa độ.
Chứng minh độ dài của AB là

AB  ( x A  xB ) 2  ( y A  yB ) 2

.
(Hướng dẫn: dùng định lý Pythagore).

2. Cho đường thẳng (D): y ax  b . Chứng minh khoảng cách từ gốc O của mặt phẳng tọa
d
độ đến (D) được tính theo cơng thức

b
1  a2

'
(Hướng dẫn: Nếu a = 0 thì hiển nhiên. Xét a 0 , viết phương trình đường thẳng ( D ) qua
'
O và vng góc với (D). Tìm tọa độ giao điểm H của (D) và ( D ) . Tính độ dài d của OH).
Bài 37. [Nâng cao] Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến các đường thẳng sau đây là
lớn nhất hay nhỏ nhất (nếu có):
2
2
1. ( Dm ) : y mx  m  1 .
2. ( Dm ) : y mx  m  1 .
2
3. ( Dm ) : y mx  m  2 .
2
5. ( Dm ) : y m x  m .

2
4. ( Dm ) : y mx  m  3 .

3. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
2
Bài 38. Cho (P): y ax và (D): y 2 x  2 .
1. Tìm a biết (P) đi qua A(2; 2) .
2. Chứng minh rằng (D) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

'
'
3. Viết phương trình đường thẳng ( D ) biết ( D ) vng góc với (D) tại A.
'

4. Tìm tọa độ giao điểm của ( D ) và (P).
1
y  x 2
4 và đường thẳng (D): y  x  m . Biện luận theo m số giao điểm
Bài 39. Cho (P):
của (D) và (P). Trong trường hợp chúng tiếp xúc hãy tìm tọa độ tiếp điểm.


1
y  x2
2 và đường thẳng (D): y  2 x  m . Biện luận theo m số giao điểm
Bài 40. Cho (P):
của (D) và (P).
2
Bài 41. Cho (P): y ax và (D): y  x  m .
1. Tìm a biết (P) đi qua A( 2; 1) .
2. Biện luận theo m số giao điểm của (D) và (P). Trong trường hợp chúng tiếp xúc hãy tìm
tọa độ tiếp điểm.
3
3
y  x  2m
y  x 2
2
4
Bài 42. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (D):

cắt (P):
tại hai
điểm phân biệt. [TS Lớp 10 chuyên vòng 1, 2006 – 2007]
2
2
Bài 43. Tìm m để (P): y mx tiếp xúc với đường thẳng (D): y  2mx  2  m .
[PTNK ban CD 2004 – 2005]
2
Bài 44. Cho (P): y  x và đường thẳng (D): y mx  1 . Chứng minh rằng đường thẳng (D)
luôn đi qua một điểm cố định và cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
2
2
Bài 45. Cho (P): y  x và đường thẳng (D): y 2 x  m  2m . Tìm m để (D) cắt (P) tại hai
điểm phân biệt.
Bài 46. Cho (P):
với (P).

y 

1 2
x
4 . Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A( 4;  3) và tiếp xúc

1
y  x2
2 . Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A(3; 4) và tiếp xúc với
Bài 47. Cho (P):
(P).
1
y  x 2

2 . Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A( 1; 1) và tiếp xúc
Bài 48. Cho (P):
với (P).

1
y  x2
4 . Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A(1; 1) và tiếp xúc với
Bài 49.Cho (P):
(P).
2
Bài 50. Cho (P): y  x . Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A(2; 1) và tiếp xúc với
(P).
2
Bài 51. Cho (P): y  x  mx  2 . Tìm m để đường thẳng (D): y 2 x  m tiếp xúc với (P).
[PTNK ban CD 2001 – 2002]
Bài 52. Tìm m để (P): y  x  2mx  m  2 tiếp xúc với đường thẳng (D): y  x  m . [PTNK
ban CD 2004 – 2005]
Bài 53. Gọi (D) là đường thẳng đi qua hai điểm A(0;  1) , B (1;  m  1) .
2

2
Tìm m để (P): y mx  mx  4 tiếp xúc với (D).
2
Bài 54.Cho (P): y ax và A(1; 1) .

[PTNK ban CD 2005 – 2006]


1. Tìm a để A(1; 1)  (P) .
2. Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hồnh độ là m (m 1) .

Viết phương trình đường thẳng (D).
3. Tìm m để (D) và (P) chỉ có chung một điểm.
2
Bài 55. Cho (P): y ax và A(2; 4) .
1. Tìm a để A(2; 4)  (P) .
2. Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hồnh độ là m (m 2) .
Viết phương trình đường thẳng (D).
3. Tìm m để (D) và (P) chỉ có chung một điểm.
2
Bài 56. Cho (P): y ax và A( 1; 1) .
1. Tìm a để A( 1; 1)  (P) .
2. Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hồnh độ là m (m  1) .
Viết phương trình đường thẳng (D).
3. Tìm m để (D) và (P) chỉ có chung một điểm.
2
2
Bài 57. Cho (P): y  x và (D): y (2  m) x  m  1 .
1. Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
2
2
2. Định m sao cho x A  xB 10 .
2
2
Bài 58. Cho (P): y  x và (D): y 2mx  m  m  3 .
1. Định m để (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
2
2
2. Định m để x A  xB 6 .
2
2

Bài 59. Cho (P): y 2 x và (D): y 4( m  2) x  2m  1 .
1. Định m để (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
15
x A 2  xB 2 
2.
2. Định m để
2
Bài 60. Cho (P): y ax .

1. Tìm a biết (P) đi qua A( 1; 1) .
2. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M (0; m) và song song với đường thẳng

( D ' ) : y 2 x .
3. Biện luận theo m sự tương giao giữa (D) và (P). Khi (D) tiếp xúc với (P) hãy tìm tọa độ
tiếp điểm B và suy ra tọa độ của điểm M.
4. Chứng minh rằng MAB (M, A, B là các điểm ở câu trên) cân và tính chu vi của tam
giác này.
2
Bài 61. Cho (P): y ax .
1. Tìm a biết A( 2;  1) thuộc (P).


2. M là điểm thuộc trục hồnh có xM m . Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A và
M.
3. Tìm m để ( D)  (OA) .
4. Tìm m để (D) tiếp xúc với (P) và viết phương trình đường thẳng (D) trong trường hợp
này. Tìm tọa độ tiếp điểm B.
4. ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ THEO HÀM SỐ
Bài 62. Tìm điểm cố định của họ các đường thẳng sau:
1. ( Dm ) : y mx  3 .

2. ( Dm ) : y 2mx  1  m .
3. ( Dm ) : y ( m  1) x  6m  1991 .
4. ( Dm ) : y mx  m  2 .
5. ( Dm ) : y mx  3m  7 .
6. ( Dm ) : (m  2) x  (m  3) y  m  8 0 .
7. ( Dm ) : ( 5m  4) x  (3m  2) y  3m  4 0 .8. ( Dm ) : y 2mx  7 .
9. ( Dm ) : ( m  1) x  (  2 m  4) y  1  5m 0 .
10. ( Dm ) : (6m  7) x  (  3m  4) y  7 m 0 .
2
Bài 63. Cho (P): y ax và đường thẳng (D): y  mx  5m  2 .
1. Tìm a biết (P) đi qua A(1; 1) .

2. Định m để (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3. Chứng minh rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định không thuộc (P).
1
y  x 2
4 và (D): y mx  2m  1 .
Bài 64. Cho (P):
1. Định m để (D) tiếp xúc với (P).
2. Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P).
1
1
y  x2
y mx 
2 và (D):
2.
Bài 65. Cho (P):
1. Chứng minh rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Bài 66. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến các đường thẳng sau đây là lớn nhất:

( Dm ) : y 2mx  1  m (Hướng dẫn: họ ( Dm ) có đi qua một điểm cố định).
( Dm ) : y mx  m  2 .
( Dm ) : y mx  3m  7
( Dm ) : (m  2) x  (m  3) y  m  8 0 .
( Dm ) : y (4  5m) x  (3m  2) y  3m  4 0 .
( Dm ) : (m  1) x  2(2  m) y  5m  1 0 .
5. ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 67. Cho A( 6; 4) , B ( 2;  2) , C ( 3; 6) .
1. Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC .