008 25 1 toan 10 b25 c8 nhi thuc newton hdg

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP

VIII

ĐẠI SỐ TỔ HỢP

C
H
Ư
Ơ
N

BÀI 25: NHỊ THỨC NEWTON
LÝ THUYẾT.
I
=
= Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển:
=
2
2
2
I  a  b  a  2ab  b ;

 a  b

3

a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 .

Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của a
và b . Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển

khơng?

 a  b

n

khi

n   4;5

Sơ đồ hình cây của

 a  b

4

C40 a 4  C41 a 3b  C42 a 2b 2  C43ab 3  C44b 4
a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab3  b 4

Ví dụ 1: Khai triển

 2 x  1

4

.
Lời giải
4

 a  b  , ta được:

Thay a 2 x và b 1 trong công thức khai triển của

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 1


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP

 2 x  1

4

4

3

2

 2 x   4  2 x  1  6  2 x  12  4  2 x  13  14
16 x 4  32 x 3  24 x 2  8 x  1

 x  2
Ví dụ 2: Khai triển

4

.
Lời giải
4

 a  b  , ta được:
Thay a x và b  2 trong công thức khai triển của
 x  2

4

2

3

x 4  4 x 3   2   6 x 2   2   4 x   2     2 

4

x 4  8 x3  24 x 2  32 x  16

 a  b

5

C50 a5  C51a 4b  C52 a 3b 2  C53a 2b3  C54 ab 4  C55b 5
a 5  5a 4b  10a 3b 2  10a 2b3  5ab 4  b5

x  3
Ví dụ 3: Khai triển 

5

Lời giải
5

a  b
Thay a  x và b 3 trong công thức khai triển của 
, ta được:

( x  3)5  x 5  5 x 4 3  10 x 3 32  10 x 2 33  5 x 34  35
 x 5  15 x 4  90 x 3  270 x 2  405 x  243
.
3x  2 
Ví dụ 4: Khai triển 

5

Lời giải

 3x  2 

5

5

C50  3x   C51  3x 

4

3

  2   C52  3x    2 

2

 C53  3 x 

2

  2

3

4

 C54  3x    2   C55   2 

5

243 x5  2430 x 4  1080 x3  720 x 2  240 x  32

Ví dụ 5:
a)

1  0, 05 
Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của 

4

4

để tính giá trị gần đúng của 1,05 .

4
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1, 05 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận

được ở câu a
Lời giải
a)

 1  0, 05

4

C4014  C41130, 051 1  0, 2 1, 2

b) Cách bấm: 1.05^4=
Hiển thị

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 2


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a là 0,01550625.

BÀI TẬP SÁCH G
IÁ

O KHOA.

8.12. Khai triển các đa thức:
a)
c)

 x  3

4

 x  5

4

;

b)

  x  5

4

;

d)

 3x  2 y 
 x

2y

4

;

5

Lời giải
a)

 x  3

4

2

3

C40 x 4  C41 x 3   3  C42 x 2   3   C41 x   3  C40   3

4

 x 4  12 x3  54 x 2  108 x  81

b)

 3x 

4

4

3

1

2 y  C40  3 x   C41  3x    2 y   C42  3x 

2

  2y

2

3

 C41 3x   2 y   C40   2 y 

4

81x 4  216 x 3 y  216 x 2 y 2  96 xy 3  16 y 4
c)

 x  5

4

4

  x  5  C40 x 4  C41 x 3 5  C42 x 2 52  C43 x53  C 44 54  C40 x 4
 C41 x3 5  C42 x 2 52  C43 x53  C44 54
2  C40 x 4  C42 x 2 52  C44 54  2.  x 4  150 x 2  625  2 x 4  300 x 2  1250

d)

 x

2

5

3

4

2 y  C50 x5  C51 x 4 ( 2 y )  C52 x 3   2 y   C53 x 2   2 y   C54 x   2 y   C55   2 y 

5

 x 5  10 x 4 y  40 x 3 y 2  80 x 2 y 3  80 xy 4  32 y 5
4
3x  1
8.13. Tìm hệ số của x trong khai triển của 

5

Lời giải
Số hạng thứ 4 của khai triển là
 90 .
5

C53  3 x 

3 2  3 2
8.14. Biểu diễn

2

  1

3

 90 x 2

4
. Vậy hệ số của x trong khai triển là

5

dưới dạng a  b 2 với a, b là các số nguyên.
Lời giải

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 3


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Nhận xét:

 a  b

5

5

  a  b  C50 a 5  C51a 4b  C52 a 3b 2  C53 a 2b3  C54 ab 4  C55b 5
  C50 a 5  C51a 4b  C52 a 3b 2  C53a 2b3  C54 ab 4  C55b5 
2  C51a 4b  C53a 2b3  C55b5 

Do đó 

5

a  b   a  b



5



2 C51 34 2  C53 32

 2

3

 2

5

 1  0, 02 

5

 C55





2 405 2  180 2  4 2 1178 2
8.15. a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của
1, 025 .

để tính giá trị gần đúng của

5

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,02 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng
nhận được ở câu a.
Lời giải

a)

 1  0, 02 

5

C5015  C51.14.0, 02 1  0,1 1,1

b) Cách bấm máy: C1.02^5=
Hiển thị:

Sai số tuyệt đối:

  1,104080803  1,1 0, 004080803

8.16. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân
số hằng năm của tỉnh đó là r %
a) Viết cơng thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra cơng thức tính số
5

r 

P 800  1 

 100  (nghìn người).
dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là
5

1  0,015 
b) Với r 15% , dùng hai số hạng đầu trong khai triển của 

, hãy ước tính số dân
của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).
Lời giải
r 

800  800.r % 800  1 

 100  (nghìn người)
Số dân của tính đó sau 1 năm là

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 4


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Số dân của tính đó sau 2 năm là
2

r 

800  1  r %   800.  1  r %  .r % 800  1  r %   1  r %  800  1 

 100  (nghìn người).
5

r 


P 800  1 

 100  (nghìn
Lập luận hồn tồn tương tự ta có số dân của tỉnh đó sau 5 năm là
người)
b) Số dân của tỉnh đó ước tính sau 5 năm nữa là
5

15 
 0 5

1 4  15  
P 800  1 
 800.  C5 .1  C5 .1 . 
  1400
 100 
 100  

(nghìn người)
TỔNG QT VỀ CƠNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN
1.

CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

 a  b
Khai triển

n

được cho bởi công thức sau:

Với a, b là các số thực và n là sơ ngun dương, ta có

 a  b

n

n

 Cnk a n  k b k Cn0 a n  Cn1a n  1b  ...  Cnk a n  k b k  ...  Cnnb n .  1
k 0

0
0
Quy ước a b 1

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).
Trong biểu thức ở VP của công thức (1)
a) Số các hạng tử là n  1 .
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng
tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
k n k k
d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: Tk 1 Cn a b .
2. HỆ QUẢ
n
0
1
n

Với a b 1, thì ta có 2 Cn  Cn  ...  Cn .

k

n

0 Cn0  Cn1  ...    1 Cnk  ...    1 Cnn
Với a 1; b  1 , ta có
3. CÁC DẠNG KHAI TRIỂN CƠ BẢN NHỊ THỨC NEWTON

 x  1

n



Cn0 x n  Cn1 x n  1  Cn2 x n  2  ...  Cnk x n  k  ...  Cnn 1 x  Cnn

n



1 x

Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnk x k  ...  Cnn  1 x n  1  Cnn x n

 x  1

n



Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...    1 Cnk x k  ...    1

k

n 1

n

Cnn  1 x n  1    1 Cnn x n

Cnk Cnn k
Cnk  Cnk 1 C k 1 ,  n 1
n1

n  n  1 !
k .n !
k .Cnk 

nCnk11
 n  k  !k!  n  k  ! k  1 !



Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 5




CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
n  n  1 !
1
k .n !
1
Cnk 


Cnk11
k 1
 k  1  n  k  !k !  n  1  n  k  ! k  1 ! n  1

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 6


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP

II HỆ THỐNG
BÀ I TẬ P TỰ
LUẬN.

=
=
4
=
a  b
Dạng 1. Khai triển biểu thức dạng 
I

1 PHƯƠNG PHÁP.
=
=
Sử dụng
= công thức khai triển nhị thức Newton với n 4 ta có
4
I
 a  b  C40 a 4  C41a3b  C42 a 2b 2  C43ab3  C44b 4 .
2
=
=
Câu=
1.
I

BÀI TẬP TỰ LUẬ
N

.

x  y
(NB) Khi khai triển nhị thức Newton 

4

ta thu được bao nhiêu hạng tử.

Lời giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta được

 x  y

4

C40 x 4  C41 x3 y  C42 x 2 y 2  C43 xy 3  C44 y 4

Vì khơng có hạng tử nào có phần biến giống nhau để thu gọn nên có tất cả 5 hạng tử.
Câu 2.

(NB) Khai triển nhị thức Newton

1 x

4

.
Lời giải

Ta có
Câu 3.

1 x

4

C4014  C4113 x  C4212 x 2  C431x3  C44 x 4 1  4 x  6 x 2  4 x 3  x 4

(NB) Khai triển nhị thức Newton

 x  2

.

4

.
Lời giải

Ta có
Câu 4.

 x  2

4

0
4

4

1 3
4

2
4

C x  C x .2  C x .2  C43 x.23  C44 24 x 4  8 x 3  24 x 2  32 x 2  16

(NB) Khai triển nhị thức Newton

2

2

 x  1

.

4

.
Lời giải

Ta có
Câu 5.

 x  1

4

0
4

4

1 3
4

2
4

2

3

4

C x  C x .   1  C x .   1  C43 x.   1  C44   1  x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1

(TH) Khai triển nhị thức Newton

2

 2x  y 

.

4

.
Lời giải

2x  y 
Ta có 

4

C

0
4

 2x 

4

1
4

3

2
4

2

 C  2 x  . y  C  2 x  . y 2  C43  2 x  . y 3  C44 y 4

16 x 4  32 x 3 y  24 x 2 y 2  8 xy 3  y 4 .
Câu 6.

x  3y 

(TH) Khai triển nhị thức Newton 

4

.
Lời giải

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 7


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
2
3
4
C x  C41 x 3 .   3 y   C42 x 2 .   3 y   C43 x.   3 y   C44   3 y 

4

0
4

4

x  3y 
Ta có 

 x 4  12 x 3 y  54 x 2 y 2  108 xy 3  81 y 4 .

4

Câu 7.

 2 1
x  
x .
(TH) Khai triển nhị thức Newton 
Lời giải
4

2

3

 2 1
0
2 4
1
2 3  1
2
2 2  1
3
2  1
4 1
 x   C4  x   C4  x  .    C4  x  .    C4  x  .    C4  
x
 x

 x
 x
 x
Ta có 
1
4 1
1
 1 
 1 
C40 x8  C41 x 6 .    C42 x 4 . 2  C43  x 2  .  3   C44  4   x8  4 x5  6 x 2   4
x
x x .
 x
x 
x 

4

4

Câu 8.

1 

x 2 
x  .
(TH) Khai triển nhị thức Newton 
Lời giải
4

2

3

4

1 

0 4
1 3   1
2 2   1
3   1
4   1
 x  2  C4 x  C4 x .  2   C4 x . 2   C4 x.  2   C4  2 
x 
x 
x 
x 
x 
Ta có 
1
6 4 1
  1
  1
 1
C40 x 4  C41 x3 .  2   C42 x 2 . 4  C43 x.  6   C44  8  x 4  4 x  2  5  8
x
x
x
x .

x 
x 
x 

3

Câu 9.

BÀI TẬP TRẮC N
GHIỆM.

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
A. 6 .

 a  b

4

có bao nhiêu số hạng?

B. 3 .

C. 5 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn C
a  b
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 

4

 2 x  3

4

Câu 10. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
A. 6 .

có 4  1 5 số hạng.
có bao nhiêu số hạng?

B. 3 .

C. 5 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn C
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
Câu 11. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
k  1 k 5 k
A. C4 a b .

 2 x  3
 a  b

4

có 4  1 5 số hạng.

4

, số hạng tổng quát của khai triển là

k 4 k k
B. C4 a b .

k 1 5  k k 1
C. C4 a b .

k 4 k 4 k
D. C4 a b .

Lời giải
Chọn B
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 8


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
4
k n k k
k 4 k k

a  b

Số hạng tổng quát của khai triển
là Cn a b C4 a b .
Câu 12. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

 2 x  3

4

, số hạng tổng quát của khai triển là

k

k k 4 k 4 k
A. C4 2 3 .x .

B.

C4k 24 k   3 .x 4 k

k 4 k k 4  k
. C. C4 2 3 .x .

D.

C4k 2k   3

4 k

.x 4  k

.

Lời giải
Chọn B
Số hạng tổng quát của khai triển

 2 x  3

4

là

C4k  2 x 

4 k

Câu 13. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
A. 1 .

  3

k

k

C4k 24 k   3 .x 4  k

 1  2x 

.

C. 81 .

B.  1 .

.

4

D.  81 .

Lời giải
Chọn A
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

 2 x  3

4

 2 x  3

4

chính là giá trị của biểu thức

tại x 1 .
4

Vậy

S  1  2.1 1

.

 1  3x 

Câu 14. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
2
B. 54x .

A. 108x .

4

, số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x là
D. 12x .

C. 1 .
Lời giải

Chọn D
Ta có

 1  3x 

4

4

k

4

 C4k  3x   C4k 3k x k
k 0

k 0

.

1 1
Do đó số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x ứng với k 1 , tức là C4 3 x 12 x .
4

2 2
x  2y
Câu 15. Tìm hệ số của x y trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 
.

A. 32 .

B. 8 .

C. 24 .

D. 16 .

Lời giải

Chọn C
4

4

Ta có

k

4

 x  2 y   C4k x 4 k  2 y   C4k .2k.x 4 k y k
k 0

k 0

.

 4  k 2
 k 2

k

2
x
y

Số hạng chứa
trong khai triển trên ứng với
.

2

2

4

2 2
2 2
x  2y
Vậy hệ số của x y trong khai triển của 
là C4 .2 24 .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 9


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
4
2
P  x  4 x 2  x  x  2 
x
Câu 16. Tìm số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
.
2
A. 28x .

2
B.  28x .

2
C.  24x .

2
D. 24x .

Lời giải
Chọn B
4

2

Ta có

P  x  4 x  x  x  2 

4

4

k

k

4 x 2  x  C4k x 4 k   2  4 x 2   C4k   2  x 5 k
k 0

k 0

.

 4  C43   2  3  x 2  28 x 2
2
P  x

k

3
x
Số hạng chứa
(ứng với
) trong khai triển
là 
.
3
2
3
Câu 17. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn An  2 An 48 . Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức

1  3x 
Niu-tơn của 
A.  108 .

n

.

B. 81 .

C. 54 .
Lời giải

D.  12 .

Chọn A
ĐK: n 3; n   .

n!
n!
 2.
48
A  2 A 48   n  3 !
 n  2 !
 n  n  1  n  2   2.n  n  1 48
 n3  n 2  48 0  n 4 (thỏa).
3
n

Ta có

2
n

 1  3x 

4

4

k

4

k

 C4k   3 x   C4k   3 x k

.
Hệ số của x trong khai triển trên ứng với k 3 .
k 0

k 0

3

4

3

3
1  3x 
C 3 .  3  108
Vậy hệ số của x trong khai triển 
là 4  
.
4

1
3
 x 
 .
Câu 18. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  x
A. 1 .

C. 6 .

B. 4 .

D. 12 .

Lời giải
Chọn B.
4

4
1
3
k  1

x


  C4  

 x
k 0
Ta có  x

4 k

k

4

 x3   C4k x4 k  4
k 0

.

Số hạng không chứa x trong khai triển trên ứng với 4k  4 0  k 1 .
4

1
3
1
 x 
 là C4 4 .
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển  x
Dạng 2.

a  b
Khai triển biểu thức dạng 

5

.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 10


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1 PHƯƠNG PHÁP.
=
=
5
a  b  C50 a 5  C51 a 4 b1  C52 a 3b 2  C53 a 2 b3  C54 a1b 4  C55 b5

=
Sử dụng công thức:
 aI5  5a 4b1  10a 3b 2  10a 2b3  5a1b 4  b5

2
=
=
=
CâuI 1:

BÀI TẬP TỰ LUẬ
N

.

5

 a  b
Khai triển biểu thức

.
Lời giải

a  b
Ta có: 

Câu 2:

5

a5  5a 4b1  10a 3b 2  10a 2b3  5a1b 4  b5

.

5
Khai triển biểu thức ( x  1) .

Lời giải
Ta có:
Câu 3:

 x  1

5

x5  5 x 4  10 x3  10 x 2  5x  1

 x  1
Khai triển biểu thức

.

5

.
Lời giải

x  1
Ta có: 

Câu 4:

5

x 5  5 x 4  10 x 3  10 x 2  5 x  1

 x  2
Khai triển biểu thức

.

5

.
Lời giải

Ta có:
Câu 5:

 x  2

5

 x 5  5 x 4 21  10 x 3 22  10 x 2 23  5 x1 2 4  25  x5  10 x 4  40 x3  80 x 2  80 x  32

 2x  y 
Khai triển biểu thức

.

5

.
Lời giải

Ta

có:

 2x  y 

5

5

4

3

2

1

 2 x   5  2 x  y1  10  2 x  y 2  10  2 x  y 3  5  2 x  y 4  y 5

5

32 x  80 x 4 y  80 x 3 y 2  40 x 2 y 3  10 xy 4  y 5 .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 11


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Câu 6:

 x  3y 
Khai triển biểu thức

5

.
Lời giải

Ta

 x  3y

có:
5

5

1

2

3

4

5

 x 5  5 x 4  3 y  10 x 3  3 y   10 x 2  3 y   5x1  3 y    3 y 

 x  15 x y  90 x 3 y 2  270 x 2 y 3  405 xy 4  243 y 5 .
Câu 7:

4

 2 x  3y 

Khai triển biểu thức

5

.
Lời giải

Ta có:

 2x  3y 

5

5

 2 x   5  2 x 

4

 3y 

1

3

2

2

3

1

4

5

2

3

1

4

5

10  2 x   3 y   10  2 x   3 y   5  2 x   3 y    3 y 

32 x 5  240 x 4 y  720 x 3 y 2  1080 x 2 y 3  810 xy 4  243 y 5 .
Câu 8:

 2 x  3y 
Khai triển biểu thức

5

.
Lời giải

Ta có:

 2x  3y 

5

5

4

1

3

2

 2 x   5  2 x   3 y   10  2 x   3 y   10  2 x   3 y   5  2 x   3 y    3 y 

32 x 5  240 x 4 y  720 x3 y 2  1080 x 2 y 3  810 xy 4  243 y 5 .

3

BÀI TẬP TRẮC N
GHIỆM.
5

Câu 1:

( x +1) .
Viết khai triển theo công thức nhị thức newton

5
4
3
2
A. x + 5 x +10 x +10 x + 5 x +1 .

B.
C.
D.

x 5 - 5 x 4 - 10 x3 +10 x 2 - 5 x +1 .
x 5 - 5 x 4 +10 x3 - 10 x 2 + 5 x - 1 .
5 x 5 +10 x 4 +10 x3 + 5 x 2 + 5 x +1 .

Lời giải
Chọn A
5

( x - 1) = C50 x 5 + C51x 4 + C52 x 3 + C53 x 2 + C54 x + C55 = x 5 + 5 x 4 +10 x 3 +10 x 2 + 5x +1 .
5

Câu 2:

Viết khai triển theo công thức nhị thức newton

( x - y) .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Sưu tầm và biên soạn

Page 12


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
2 3
4
5
A. x - 5 x y +10 x y - 10 x y + 5 xy - y
5

4

3

2

5
4
3 2
2 3
4
5
B. x + 5 x y +10 x y +10 x y + 5 xy + y
5
4
3 2
2 3
4

5
C. x - 5 x y - 10 x y - 10 x y - 5 xy + y
5
4
3 2
2 3
4
5
D. x + 5 x y - 10 x y +10 x y - 5 xy + y .

Lời giải
Chọn A
5

2

3

4

( x - y ) = C50 x5 + C51 x 4 ( - y ) + C52 x 3 ( - y ) + C53 x 2 ( - y ) + C54 x ( - y ) + C55 ( - y )

5

= x 5 - 5 x 4 y +10 x 3 y 2 - 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 - y 5 .
Câu 3:

Khai triển của nhị thức

 x  2

5

.

5
4
3
2
A. x - 100 x + 400 x - 800 x +800 x - 32 .
5
4
3
2
B. 5 x - 10 x + 40 x - 80 x +80 x - 32 .
5
4
3
2
C. x - 10 x + 40 x - 80 x +80 x - 32 .
5
4
3
2
D. x +10 x + 40 x + 80 x +80 x + 32 .

Lời giải
Chọn C
5

2

3

4

( x - 2) = C50 x5 + C51 x 4 ( - 2) + C52 x 3 ( - 2) + C53 x 2 ( - 2) + C54 x ( - 2) + C55 ( - 2)

5

= x 5 - 10 x 4 + 40 x3 - 80 x 2 + 80 x - 32 .
5

Câu 4:

( 3 x + 4) là
Khai triển của nhị thức
5
4
3
2
A. x +1620 x + 4320 x + 5760 x + 3840 x +1024 .
5
4
3
2
B. 243 x + 405 x + 4320 x + 5760 x + 3840 x +1024 .
5
4
3

2
C. 243 x - 1620 x + 4320 x - 5760 x + 3840 x - 1024 .
5
4
3
2
D. 243 x +1620 x + 4320 x + 5760 x + 3840 x +1024 .

Lời giải
Chọn D
5

5

4

3

2

1

( 3x + 4) = C50 ( 3x) + C51 ( 3x) .4 + C52 ( 3x ) .4 2 + C53 ( 3x ) .43 + C54 ( 3x ) .44 + C55 .45
= 243x 5 +1620 x 4 + 4320 x 3 + 5760 x 2 + 3840 x +1024 .
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 13

Câu 5:

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
5
1- 2x )
(
Khai triển của nhị thức
là
2
3
4
5
A. 5 - 10 x + 40 x - 80 x - 80 x - 32 x .
2
3
4
5
B. 1 +10 x + 40 x - 80 x - 80 x - 32 x .
2
3
4
5
C. 1- 10 x + 40 x - 80 x - 80 x - 32 x .
2
3
4
5
D. 1 +10 x + 40 x +80 x + 80 x + 32 x .

Lời giải
Chọn C
5

1

2

3

4

( 1- 2 x) = C50 + C51 ( - 2 x ) + C52 ( - 2 x ) + C53 ( - 2 x ) + C54 ( - 2 x ) + C55 ( - 2 x )

5

= 1- 10 x + 40 x 2 - 80 x 3 - 80 x 4 - 32 x 5 .

Câu 6:

5
4
3
2
Đa thức P ( x) = 32x - 80x + 80x - 40x +10x- 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
5
A. ( 1- 2x) .

5

B. ( 1+ 2x) .

5
C. ( 2x- 1) .

5
D. ( x- 1) .

Lời giải
Chọn C
Nhận thấy

P ( x)

có dấu đan xen nên loại đáp án B.

5
Hệ số của x bằng 32 nên loại đáp án D và cịn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì
5
khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32x . )

5

Câu 7:

Khai triển nhị thức

( 2x + y ) . Ta được kết quả là

5

4
3 2
2 3
4
5
A. 32 x +16 x y + 8 x y + 4 x y + 2 xy + y .
5
4
3 2
2 3
4
5
B. 32 x + 80 x y + 80 x y + 40 x y +10 xy + y .
5
4
3 2
2 3
4
5
C. 2 x +10 x y + 20 x y + 20 x y +10 xy + y .
5
4
3 2
2 3
4
5
D. 32 x +10000 x y + 80000 x y + 400 x y +10 xy + y .

Lời giải
Chọn B

5

5

4

3

2

( 2 x + y ) = C50 ( 2 x) + C51 ( 2 x) y + C52 ( 2 x ) y 2 + C53 ( 2 x ) y 3 + C54 ( 2 x ) y 4 +C55 y 5
= 32 x 5 + 80 x 4 y + 80 x 3 y 2 + 40 x 2 y 3 +10 xy 4 + y 5 .
Câu 8:

Đa thức
đây?

P ( x) = x 5 - 5 x 4 y +10 x 3 y 2 - 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 - y 5

là khai triển của nhị thức nào dưới

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 14


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP

5
5
5
x + y)
2x - y )
x - 2 y)
(
(
(
B.
.
C.
.
D.
.

5

A.

( x - y) .

Lời giải
Chọn A
Nhận thấy

P ( x)

có dấu đan xen nên loại đáp án B.

5
Hệ số của x bằng 1 nên loại đáp án C và cịn lại hai đáp án A và D thì chỉ có A phù hợp (vì
5
khai triển số hạng cuối của ỏp ỏn A l - y ).

Cõu 9:

5
ổ 1ử
ữ
ỗ
ỗx - ữ
ữ
ỗ
Khai trin ca nh thc ố x ứ l

A.

B.

C.

D.

x 5 + 5 x 3 +10 x +
x 5 - 5 x3 +10 x -

10 5
1
+ 3+ 5

x x
x .

10 5
1
+ 3- 5
x x
x .

5 x 5 - 10 x3 +10 x -

10 5
1
+ 3- 5
x x
x .

5 x 5 +10 x3 +10 x +

10 5
1
+ 3+ 5
x x
x

Lời giải
Chọn B
2
3
4

æ 1÷
ư5
ư1
ư5
- 1÷
- 1ư
- 1ư
- 1ư
- 1÷
0 5
1 4 ỉ
2 3ỉ
3 2ổ
4 1ổ
5ổ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
x - ữ = C5 .x + C5 .x .ỗ ữ
+ C5 x ỗ ữ
ữ+ C5 x ỗ
ữ + C5 ỗ
ỗ
ỗ ứ

ỗ ứ
ỗ ữ
ữ + C5 x ố
ỗ
ỗx ữ
ỗx ứ
ỗ
ố xữ
ứ
ố
ứ
ố
ố
ố
ứ
x ữ
x ữ
xữ

= x 5 - 5 x 3 +10 x -

10 5
1
+ 3- 5
x x
x .
5

( xy + 2) là
Câu 10: Khai triển của nhị thức

5 5
4 4
3 3
2 2
A. x y +10 x y + 40 x y + 80 x y + 80 xy + 32 .
5 5
4 4
3 3
2 2
B. 5 x y +10 x y + 40 x y + 80 x y + 80 xy + 32 .
5 5
4 4
3 3
2 2
C. x y +100 x y + 400 x y +80 x y + 80 xy + 32 .
5 5
4 4
3 3
2 2
D. x y - 10 x y + 40 x y - 80 x y + 80 xy - 32 .

Lời giải
Chọn A

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 15

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
4
3
2
1
( xy + 2) = C ( xy ) + C51 ( xy ) .21 + C52 ( xy ) .22 + C53 ( xy ) .23 + C54 ( xy ) .24 + C55 .25
5

5

0
5

= x5 y 5 +10 x 4 y 4 + 40 x3 y 3 + 80 x 2 y 2 + 80 xy + 32 .
Dạng 3. Xác định một hệ số hay một số hạng trong khai triển của bậc 4 hay bậc 5:

2
=
=
=
Câu 1:
I

BÀI TẬP TỰ LUẬ
N

.
4

3
2 x  1
Tìm số hạng chứa x trong khai triển 
.

Lời giải
Ta xét khai triển
Tk 1 C4k  2 x 

4 k

 2 x  1
  1

k

4

có số hạng tổng quát là
k

  1 C4k 24 k x 4 k

3
Số hạng chứa x trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : 4  k 3  k 1 .
1

3
C1  1 23 x3  32 x 3

Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: 4  
.
5

Câu 2:

4
2  3x 
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 
.

Lời giải
Ta xét khai triển

 2  3x 

5

có số hạng tổng quát là

k

Tk 1 C5k 25 k  3 x  C5k 25 k 3k x k

.

4

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : k 4 .
4 5 4 4

4
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là: C5 2 3 810 .

4

Câu 3:

( 3 x - 2) .
Tìm số hạng chứa x trong khai triển
Ta xét khai triển
Tk 1 C4k  3 x 

4 k

4
( 3x - 2) có số hạng tổng quát là

  2

k

k

C4k 34 k   2  x 4 k

.

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : 4  k 1  k 3 .
3

C 3 34 3   2  x  96 x
Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: 4
.
Câu 4:

1  2x 
Tính tổng các hệ số trong khai triển 

5

.
Lời giải

Đặt

1

5

2

2 x  a0  a1 x  a2 x  ...  a5 x

5

.
5

a  a  a  ...  a5  1  2   1
Cho x 1 ta có tổng các hệ số 0 1 2

.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 16


Câu 5:

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
5
 3 1
x  
3
x  ( với x 0 ).
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 
Lời giải
5

 3 1
x  
x  ( với x 0 ) có số hạng tổng quát là
Ta xét khai triển 
k

1
Tk 1 C   . x 3

 x
k
5

 

5 k

C5k .x15 4 k

.

3
Số hạng chứa x tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 15  4k 3  k 3 .
3
3
Vậy hệ số của số hạng chứa x là C5 10 .
4

Câu 6:

 x 4
  
Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển  2 x  với x 0 .
Lời giải
4

 x 4
  
Ta xét khai triển  2 x  ( với x 0 ) có số hạng tổng quát là

 x
Tk 1 C .  
 2
k
4

4 k

k

3k  4
4 2 k
 4
k
 x
  C4 .  2 
 x
.

Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 4  2k 0  k 2 .
2
x trong khai triển là C4 .  2 
Vậy hệ số của số hạng không chứa

3.2  4

24

.

4

Câu 7:

3

  2x 
 với x 0 .
Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  x
Lời giải
4

3

  2x 
 ( với x 0 ) có số hạng tổng quát là
Ta xét khai triển  x
k  3
Tk 1 C4k  2 x   
 x

4 k

C4k 2k 34 k x 2 k  4

Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 2k  4 0  k 2 .
2 2 2
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C4 2 3 216 .

Câu 8:

1
2
Tìm số hạng chứa x trong khai triển

4

1 

 2x  2 
x  , x 0 .

Lời giải

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 17


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
4
1 

 2x  2 
x  ( với x 0 ) có số hạng tổng quát là
Ta xét khai triển 
k

Tk 1   1 C4k 24 k x 4  3k

.

1
2
Số hạng chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 4  3k  2  k 2 .
1
24
2
  1 C42 24 2 x 4 3.2  2
2
x .
Vậy số hạng chứa x trong khai triển là
4

Câu 9:

 2 1 
 2x  2  .
x 
x
(VD). Tìm số hạng không chứa trong khai triển 
Lời giải
Xét số hạng tổng quát
(với 0 k 4 ).

k
4

Tk 1 C  2 x

2 4 k



k

k 1
k
 1 
k 4  k 8 2 k
  1 2k C4k 24 k x 8 4 k   1
  2  C4 2 x
x
 x 

Số hạng không chứa x ứng với 8  4k 0  k 2 .
2

2 2
Vậy số hạng không chứa x là T3 C 4 2   1 24 .

1
2
Câu 10: (VD). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn  Cn 15 . Tìm số hạng không chứa x trong

n

2

x 4 .
x 
khai triển 
Lời giải
*

Điều kiện: n 2, n  
Cn1  Cn2 15  n 

(1)

n  n  1
15  n 2  n  30 0 
2

5

 n 5
 n  6  n 5.


k

5
5
2 

k

k 5 k  1 
k k 5 5 k
 x  4   C5 .2 x .  4   C5 .2 x
x  k 0
x 
k 0
Khi đó, 

Số hạng khơng chứa x tương ứng 5  5k 0  k 1
1 1
Suy ra số hạng không chứa x là: C5 .2 10

1  2x 

Câu 11: (VD). Cho khai triển
trị của số nguyên dương n.

n

a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n

thỏa mãn a0  8a1 2a2  1 . Tìm giá

Lời giải

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 18


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Ta có:

1 2x

n

n

 2k Cnk x k ; k  
k 0

k
k
0 0
1
. Suy ra: ak 2 Cn . Thay a0 2 Cn 1 , a1 2Cn ,

a2 4Cn2 vào giả thiết ta có: 1  16Cn1 8Cn2  1 2Cn1 Cn2
2

 n 0
n!
n!
n  n  1




2
n

2
 n  1 !  n  2  !2!
 n 5 .
 n  5n 0
2

Do n là số nguyên dương nên n 5 .
2
3 5
10
Câu 12: (VDC). Tìm hệ số của x trong khải triển thành đa thức của (1  x  x  x )

Lời giải
5

5

(1  x  x 2  x 3 )5  (1  x )  x 2 (1  x )    (1  x ).(1  x 2 )  (1  x )5 .(1  x 2 )5 .
Ta có
5

Xét khai triển

5

2 5

k
5

5

l 2l
5

5

l 0

k 0

k
5

5

(1  x) .(1  x )  C x . C x  (C . C5l .x k 2l ).
k 0

k

l 0

10
Số hạng chứa x tương ứng với k , l thỏa mãn k  2l 10  k 10  2l.

Kết hợp với điều kiện, ta có hệ :
k 10  2l

0 k 5, k  N  (k , l )   (0;5),(2; 4),(4;3) .
0 l 5, l  N

k
l
0
5
2
4
4
3
10
Vậy hệ số của x bằng tổng các C5 .C5 thỏa mãn C5 .C5  C5 .C5  C5 .C5 101.
n

 3 2 2
  x 
Câu 13: (VDC). Tìm số hạng có hệ số ngun trong khai triển thành đa thức của  2 3  biết n là
0
2
4
2n
số nguyên dương thỏa mãn: C2 n 1  C2 n 1  C2 n1  ...  C2 n 1 1024

Lời giải
Ta có

 x  1

2 n 1

0
2 n 1
2 n 1

C

x

1
2n
2 n 1

C

x  ...  C22nn1 x  C22nn11

 1 .

1
22 n 1 C20n 1  C21n 1  ...  C22nn1  C22nn11

x

1
Thay
vào

ta được

 2 .

 1 ta được 0  C20n1  C21n 1  ...  C22nn1  C22nn11
Thay x  1 vào

 3 .

Lấy

 2    3

vế theo vế ta được

22 n 1 2  C20n 1  C22n 1  ...  C22nn1  .

2 n 1
2.1024  n 5.
Theo đề 2
n

 3 2 2
  x 
Số hạng tổng quát của khai triển  2 3  là

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 19


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 3
Tk 1 C5k .  
 2

5 k

k

k
 2 
.   x 2  C5k .   1 .35 2 k.22 k  5 x 2 k .
 3 

Ta có bảng sau

k

1
135
C .   1 .3 .2

8
4
Vậy số hạng có hệ số nguyên là 15 x .
k

k
5

5 2 k

2k  5

0
243
32

2
15

3
20

3

4
40
27

2
P  x   3  x  x2
x
Câu 14: (VDC) Tìm số hạng chứa
trong khai triển của biểu thức



nguyên dương thỏa mãn

Cn2 

5
32

243



n

với n là số

An3
12.
n
Lời giải

Xét

Cn2 

 1 

3
n

A
12  1
n
(Điều kiện : n  Z , n 3 ).

n!
n!

12
2!  n  2  ! n.  n  3 !

n  n  1
  n  1  n  2  12
2
 n 4 (tm )
2
 3n  7n  20 0  
5
 n  ( L)
3




4
4
4
k
 k


i
P  x   3  x  x 2   C4k 34 k  x  1  x    C4k 34 k x k   Cki   1 x i 
k 0
k 0
 i 0

Với n 4 thì
4

k

i

 P  x   C4k Cki 34 k   1 x i k
k 0 i 0

 i 0, k 2
i  k 2  i, k  ,0 i k 4   
2
 i 1, k 1
Theo đề bài số hạng chứa x thỏa mãn với

 C42C20 32   1 0  C41C11 33   1 1  x 2  54 x 2

Vậy số hạng chứa x là 
.
2

3

BÀI TẬP TRẮC N
GHIỆM.

Câu 15: Khai triển theo công thức nhị thức Newton
4
3
2 2
3
4
A. x  4 x y  4 x y  4 xy  y .
4
3
2 2
1 3
4
C. x  4 x y  4 x y  4 x y  y .

 x  y

4

.

4
3
2 2
1 3
4
B. x  4 x y  4 x y  4 x y  y .

4
3
2 2
1 3
4
D. x  4 x y  4 x y  4 x y  y .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 20