Xác suất thống kê câu hỏi 4 điểm

XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Câu hỏi 4 điểm:
CHƯƠNG V: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
1. Để kiểm tra trọng lượng của một loại sản phẩm (kg) trong kho, đem cân một
số sản phẩm người ta thu được số liệu sau:
Trọng lượng 5,5
Số sản phẩm 8
Cho độ tin cậy 95%:

5,7
17

5,8
25

6,0
12

6,2
13

6,4
10

6,5
5

a. Những sản phẩm có trọng lượng từ 6,2kg trở lên là những sản phẩm loại I.
Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I?
b. Muốn sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa thì cần kiểm tra thêm ít
nhất bao nhiêu sản phẩm.

(Biết trọng lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn)
Giải
a. Gọi p là tỷ lệ sản phẩm loại I
28

Ta có: n = 90; fn = 90 ; γ = 0,95
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
28

 fn = 90 = 0,31
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Suy ra: ɛ = U α2 ×
⟺ ɛ = 1,96 ì





f n ì(1 f n )
n

0,31ì(1 0,31)
90

ị = 0,0956

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ sản phẩm loại I:
p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,31 - 0,0956; 0,31 + 0,0956)
= (0,2144; 0,4056)
= (21,44%; 40,56%)


ɛ

b. Sai số ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = 2 =
n≥

U 2α × f n (1 − f n )

n

2

,2

0,0956
= 0,0478
2

1,962 ì 0,31ì(1 0,31)
n 359,64
0,04782

ị n = 360 sản phẩm
Vậy cần kiểm tra thêm ít nhất: 360 - 90 = 270 sản phẩm
2. Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng sau một thời gian gieo trồng,

quan sát một mẫu thu được số liệu sau:
X
40 - 45 45 -50
Số cây 7
12
Cho độ tin cậy 95%:

50 - 55
18

55 - 60
27

60 - 65
20

65 -70
8

70 - 75
5

75 - 80
3

a. Những cây có chiều cao dưới 55cm là những cây tăng trưởng kém. Hãy ước
lượng tỷ lệ cây tăng trưởng kém.
b. Muốn sai số của ước lượng trên giảm đi một nửa cần khảo sát thêm ít nhất
bao nhiêu cây giống nữa?
Giải

a. Gọi p là tỷ lệ cây tăng trưởng kém
37

Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,95
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
37

 fn = 100 = 0,37
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Suy ra: ɛ = U α2 ×
⟺ ɛ = 1,96 ×

√

√

f n ×(1− f n )
n

0,37ì(1 0,37)
100

ị = 0,0946
Vy tin cy 95%, tỷ lệ cây tăng trưởng kém:
p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,37 - 0,0946; 0,37 + 0,0946)

= (0,2754; 0,4646) = (27,54%; 46,46%)


ɛ

b. Sai số của ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = 2 =
n≥

U 2α × f n (1 − f n )
2

ɛ ,2

⟺n≥

0,0946
= 0,0473
2

1,962 × 0,37 ×(1− 0,37)
⟺ n ≈ 400,25
0,0473, 2

Þ n = 400 cây giống
Vậy cần khảo sát thêm ít nhất: 400 - 100 = 300 cây giống
3. Để nghiên cứu nhu cầu một loại hàng, người ta khảo sát nhu cầu của mặt
hàng này ở 500 hộ gia đình ở địa bàn A có 5000 hộ dân, thu được số liệu sau:
Nhu cầu (kg/tháng)
Số gia đình
Cho độ tin cậy 95%:

0-2
70

2-4
110

4-6
180

6-8
100

8 - 10
40

a. Những hộ sử dụng từ 8 kg/ tháng trở lên là những hộ có nhu cầu cao. Hãy ước
lượng tỷ lệ hộ có nhu cầu cao trên địa bàn.
b. Hãy ước lượng số hộ có nhu cầu cao trên địa bàn.
Giả thiết nhu cầu về mặt hàng này của các hộ là biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn.
Giải
a. Gọi p là tỷ lệ hộ có nhu cầu cao trên địa bàn
40

Ta có: n = 500; fn = 500 ; γ = 0,95
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
40

 fn = 500 = 0,08

γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Suy ra: ɛ = U α2 ×
⟺ ɛ = 1,96 ×

√

√

f n ×(1− f n )
n

0,08ì(1 0,08)
500

ị = 0,0238
Vy tin cy 95%, tỷ lệ hộ có nhu cầu cao trên địa bàn:
p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,08 - 0,0238; 0,08 + 0,0238)


= (0,0562; 0,1038)
= (5,62%; 10,38%)
b. Ta có: N = 5000
Gọi M là số hộ có nhu cầu cao
M

p = N Þ M = p × N = p × 5000
Vậy số hộ có nhu cầu cao là (281; 519)
Hướng dẫn: Những bài liên quan đến kích thước của mẫu hay của tổng thể thì dùng
M

cơng thức p = N

4. Số liệu thống kê về doanh số bán hàng (triệu đồng/ngày) của một siêu thị
trong một số ngày được cho ở bảng số liệu sau:
Doanh số
20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65
Số ngày
5
13
25
35
24
17
15
10
6
Cho độ tin cậy 95%:
a. Những ngày có doanh số bán hàng từ 50 triệu đồng trở lên là những ngày bán
đắt. Hãy ước lượng tỷ lệ những ngày bán đắt ở siêu thị này.
b. Muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì cần khảo sát doanh số của ít
nhất bao nhiêu ngày?
Giải
a. Gọi p là tỷ lệ những ngày bán đắt ở siêu thị này
31

Ta có: n = 150; fn = 150 ; γ = 0,95
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
31

 fn = 150 = 0,21
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Suy ra: ɛ = U α2 ×
⟺ ɛ = 1,96 ×

√

√

f n ×(1− f n )
n

0,21×(1 −0,21)
150


Þ ɛ = 0,0651
Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ những ngày bán đắt ở siêu thị này:
p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,21 - 0,0651; 0,21 + 0,0651)
= (0,1449; 0,2751)
= (14,49%; 27,51%)

ɛ

b. Sai số của ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = 2 =
n≥

U 2α × f n (1 − f n )
2

ɛ ,2

0,0651
= 0,0326
2

1,962 ì 0,21ì(1 0,21)
n
n 599,69
0,0326,2

ị n = 600 ngày
Vậy cần khảo sát doanh số của ít nhất: 600 - 150 = 450 ngày.
5. Một đại lý sữa theo dõi việc bán hàng trong một số ngày thu được bảng số liệu
sau:
Số thùng bán
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
Số ngày

10
15
35
25
15
Biết số thùng sữa bán mỗi ngày là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn.
Cho độ tin cậy 95%:
a. Hãy ước lượng số thùng sữa trung bình bán ra hàng ngày.
b. Muốn sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa cần theo dõi thêm ít nhất bao
nhiêu ngày?
Giải
a. Gọi m là số thùng sữa trung bình bán ra hàng ngày.
Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ)
Ta có: n = 100; x´ = 37; S x = 11,7207; γ = 0,95
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Suy ra: ɛ = U 2 ì
= 1,96 ì
ị = 2,2973

Sx
n

11,7207
100

Vậy ở độ tin cậy 95%, số thùng sữa trung bình bán ra hàng ngày:
m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ)
= (37 - 2,2973; 37 + 2,2973)
= (34,7027; 39,2973) thùng
ε

b. Sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = 2 =

2,2973
= 1,1487
2

S 2x
ε '2

2

n ≥ U 2 ì
n 1,962 ì

11,72072
n 399,95 ị n = 400 ngày
1,1487 2

Vậy cần theo dõi thêm ít nhất: 400 - 100 = 300 ngày
6. Quan sát tuổi thọ của một lồi cơn trùng cho bảng kết quả:
Xi
5-10
10-15

15-20
20-25
25-30
ni
10
15
20
30
15
Xi là tuổi thọ, ni là số con cơn trùng có tuổi thọ tương ứng.

30-36
10

Tuổi thọ của mỗi con côn trùng là biến ngẫu nhiên X (ngày) có phân phối chuẩn.
Cho độ tin cậy 95%:
a. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại cơn trùng này.
b. Muốn sai số của ước lượng giảm đi 3 lần cần quan sát ít nhất bao nhiêu con
côn trùng loại này?
Giải
a. Gọi m là tuổi thọ trung bình của loại cơn trùng này
Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ)
Ta có: n = 100; ´x = 20,3; S x = 7,2777; γ = 0,95
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Suy ra: = U 2 ì

= 1,96 ì

Sx
n

7,2777
100

ị ɛ = 1,4264
Vậy ở độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của loại cơn trùng này:


m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ) = (20,3 - 1,4264; 20,3 + 1,4264) = (18,8736; 21,7264) tuổi
ε

b. Sai số ước lượng giảm đi 3 lần: ɛ’ = 3 =
2

n ≥ U α2 ×
⟺ n ≥ 1,962 ×

1,4264
= 0,4755
3

S 2x
ε '2
7,27772
0,47552

⟺ n ≥ 899,91
Þ n = 900 con
Vậy cần quan sát ít nhất 900 con cơn trùng loại này.
7. Trọng lượng của một loại thực phẩm đóng hộp do một nhà máy tự động sản
xuất là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Cân thử 25 hộp thực phẩm loại
này ta thu được bảng sau:
Trọng lượng (g)
57
Số hộp
1
Với độ tin cậy 95%:

58
2

59
6

60
10

61
4

62
2

a. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các hộp thực phẩm do máy đó sản
xuất ra.
b. Muốn độ chính xác của ước lượng khơng q 0,2g thì cần thêm ít nhất bao

nhiêu hộp nữa.
Giải
a. Gọi m là trọng lượng trung bình của các hộp thực phẩm do máy đó sản xuất ra.
Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ)
Ta có: n = 25; ´x = 59,8; S x = 1,1902; γ = 0,95
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Mà n = 25 < 30
Cho nên, suy ra: ε = T (nγ −1) ×
−1)
⟺ ε = T (25
0,95 ×

1,1902
√25

Sx
√n


= T 24
0,95 ì

1,1902
25

= 2,0639 ì

1,1902
5

ị ε = 0,4913
Vậy ở độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình của các hộp thực phẩm do máy đó sản
xuất ra:
m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ)
= (59,8 - 0,4913; 59,8 + 0,4913)
= (59,3087; 60,2913) gam
b. Độ chính xác của ước lượng khơng q 0,2g Þ ɛ’ = 0,2
2
S 2x
U
α
n≥ 2× 2
ε'

1,19022
⟺ n ≥ 1,96 ×
0,22
2

⟺ n ≥ 136,05
Þ n = 137 hộp
Vậy cần thêm ít nhất: 137 - 25 = 112 hộp nữa.
8. Điều tra mức chi tiêu (tính theo năm) cho một loại thực phẩm của 100 hộ gia
đình có 4 người ở một thành phố ta có bảng số liệu sau:
Chi tiêu (triệu đồng)

10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
11,0
Số hộ
10
15
20
30
15
10
Giả thiết rằng mức chi tiêu cho thực phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Cho độ tin cậy 95%:
a. Hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình về loại thực phẩm đó của mỗi hộ gia
đình nói trên.
b. Muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa cần điều tra thêm ít nhất bao
nhiêu hộ gia đình nữa?
c. Hãy ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên?
Giải
a. Gọi m là mức chi tiêu trung bình về loại thực phẩm đó của mỗi hộ gia đình.
Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ)


Ta có: n = 100; ´x = 10,755; S x = 0,1438; γ = 0,95
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Do: n = 100 > 30
Sx
√n

Suy ra: ɛ = U α2 ×
⟺ ɛ = 1,96 ×

0,1438
√ 100

Þ ɛ = 0,0282
Vậy ở độ tin cậy 95%, mức chi tiêu trung bình về loại thực phẩm đó của mỗi hộ gia
đình:
m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ)
= (10,755 - 0,0282; 10,755 + 0,0282)
= (10,7268; 10,7832) triệu đồng
ε

b. Sai số của ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = 2 =

0,0282
= 0,0141
2

2
S 2x
U

ì
n
2
'2

0,14382
n 1,96 ì
0,01412
2

n 399,57
ị n = 400 hộ
Vậy cần điều tra thêm ít nhất: 400 - 100 = 300 hộ gia đình nữa.
c. Gọi p là tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên
55

Ta có: fn = 100 = 0,55
Suy ra: ɛ = U α2 ×
⟺ ɛ = 1,96 ì





f n ì(1 f n )
n

0,55ì(1 0,55)
100

ị = 0,0975
Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên:


p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
= (0,55 - 0,0975; 0,55 + 0,0975)
= (0,4525; 0,6475)
= (45,25%; 64,75%)
9. Để nghiên cứu tuổi thọ của một loại bóng đèn sau khi cải tiến kỹ thuật người
ta lắp thử 25 bóng và thu được kết quả sau:
Tuổi thọ (giờ)
1015
1045
1075
1105
1135
1165
Số bóng
1
6
8
5
2
3
Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên,
biết tuổi thọ bóng đèn là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Giải
Gọi m là tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên
Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ)

Ta có: n = 25; ´x = 1087; S x = 41,5331; γ = 0,95
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Mà n = 25 < 30
Cho nên, suy ra: ε = T (nγ −1) ×
−1)
⟺ ε = T (25
0,95 ×

⟺ ε = T 24
0,95 ×

Sx
√n

41,5331
√ 25

41,5331
25

= 2,0639 ì

41,5331
5

ị = 17,1441
Vy độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên:
m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ)
= (1087 - 17,1441; 1087 + 17,1441)
= (1069,8559; 1104,1441) giờ
10. Điều tra ngẫu nhiên 100 hộ ở huyện A thì thấy có 8 hộ nghèo. Với độ tin cậy
95% hãy ước lượng:


a. Tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu ở huyện A.
b. Số tối đa hộ dân trong huyện A biết số hộ nghèo trong huyện là 1800 hộ.
Giải
a. Gọi p là tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu ở huyện A
8

Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,95
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; + ∞)
8

 fn = 100 = 0,08
 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45
Þ U α = 1,645
Suy ra: ɛ = U α ×
⟺ ɛ = 1,645 ì




f n ì(1 f n )
n

0,08ì(1 0,08)
100

ị = 0,0446
Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu ở huyện A
p ∈ (fn - ɛ; + ∞)
= (0,08 - 0,0446; + ∞)
= (0,0354; + ∞)
= (3,54%; + ∞)
b. Ta có: M = 1800
Gọi N là số tối đa hộ dân trong huyện A
M

M

1800

p = N Þ N = p = 0,0 354 = 50847 hộ
Vậy số tối đa hộ dân có trong huyện A là 50847
11. Tuổi thọ của mỗi con côn trùng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Quan sát tuổi thọ của một loại cơn trùng ta có bảng kết quả sau:
Tuổi thọ (ngày)
5-10
Số con
10
Với độ tin cậy 95%:

10-15
15

15-20
20

20-25
30

a. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của các con cơn trùng.

25-30
15

30-36
10


b. Để sai số của ước lượng không vượt quá nửa ngày thì cần điều tra mẫu có
kích thước ít nhất là bao nhiêu?
c. Hãy ước lượng tỷ lệ côn trùng có tuổi thọ khơng q 25 ngày ở mức tối đa.
Giải
a. Gọi m là tuổi thọ trung bình của các con côn trùng
Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ)
Ta có: n = 100; ´x = 20,3; S x = 7,2777; γ = 0,95
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Do: n = 100 > 30
Suy ra: = U 2 ì

= 1,96 ì

Sx
n

7,2777
100

ị ɛ = 1,4264
Vậy ở độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của các con cơn trùng:
m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ)
= (20,3 - 1,4264; 20,3 + 1,4264)
= (18,8736; 21,7264) tuổi
b. Để sai số ước lượng không vt quỏ na ngy ị = 0,5
2
S 2x
U

n 2ì 2
'

n 1,962 ì

7,27772
0,5 2

n 813,88
ị n = 814
Vậy cần điều tra mẫu có kích thước ít nhất là 814.
c. Gọi p là tỷ lệ côn trùng có tuổi thọ khơng q 25 ngày ở mức tối đa

Khoảng ước lượng p ∈ (-∞ ; fn + ε )
75

 fn = 100 = 0,75


 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45
Þ U α = 1,645
Suy ra: ɛ = U α ×
⟺ ɛ = 1,645 ×

√
√

f n ì(1 f n )
n
0,75ì(1 0,75)
100

ị = 0,0712
Vy độ tin cậy 95%, tỷ lệ cơn trùng có tuổi thọ không quá 25 ngày ở mức tối đa:
p ∈ (-∞ ; fn + ε )
= (-∞ ; 0,75 + 0,0712)
= (-∞ ; 0,8212)
= (-∞ ; 82,12%)
12. Điều tra ngẫu nhiên mức doanh thu của 100 hộ kinh doanh mặt hàng A ta
thu được bảng số liệu sau:
Doanh thu (triệu đồng)
Số hộ
Với độ tin cậy 95%:

18-20
12

20-22
15

22-24
35

24-26
28

26-28
10

a. Hãy ước lượng tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu trên 24 triệu đồng.
b. Để sai số của ước lượng không vượt quá 5% thì cần điều tra thêm ít nhất bao
nhiêu hộ nữa?
c. Hãy ước lượng doanh thu trung bình tối đa của các hộ kinh doanh trên.
Giải
a. Gọi p là tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu trên 24 triệu đồng
38

Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,95
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
38

 fn = 10 0 = 0,38
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Suy ra: ɛ = U α2 ×

√

f n ×(1− f n )
n


= 1,96 ì



0,38ì(1 0,3 8)
10 0

ị = 0,0951
Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu trên 24 triệu đồng
p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,38 - 0,0951; 0,38 + 0,0951)
= (0,2849; 0,4751)
= (28,49%; 47,51%)
b. Để sai số của ước lượng khơng vượt q 5% Þ ɛ’ = 0,05
n≥

U 2α × f n (1 − f n )
2

ɛ ,2

1,962 × 0,38 ×(1 − 0,38)
⟺n≥
⟺ n ≈ 362,03
0,052

Þ n = 363 hộ
Vậy cần điều tra thêm ít nhất: 363 - 100 = 263 hộ nữa.
c. Gọi m là doanh thu trung bình tối đa của các hộ kinh doanh trên
Khoảng ước lượng m ∈ (-∞ ; ´x + ε )
 ´x = 23,18
 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45
Þ U α = 1,645
Suy ra: ε = U α ×

Sx
2,2935
⟺ ε = 1,645 ×
⟺ ε = 0,3773
√100
√n

Vậy ở độ tin cậy 95%, doanh thu trung bình tối đa của các hộ kinh doanh trên:
m ∈ (-∞ ; ´x + ε ) = (-∞ ; 23,18 - 0,3773) = (-∞ ; 22,8027) triệu đồng
13. Chiều cao của thanh niên độ tuổi từ 18 đến 20 ở một vùng A là biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn. Quan sát chiều cao (cm) của một số thanh niên từ 18
đến 20 tuổi được chọn ngẫu nhiên ở vùng A người ta có kết quả cho ở bảng dưới
đây:

Chiều cao
154-156 156-158 158-160 160-162 162-164 164-166 166-168
Số người
3
15
18
22
20
18
4
Những thanh niên có chiều cao từ 162 cm trở lên là những thanh niên có chiều
cao tăng trưởng tốt. Hãy ước lượng tỷ lệ thanh niên có chiều cao tăng trưởng tốt
với độ tin cậy 95%.
Giải


Gọi p là tỷ lệ thanh niên có chiều cao tăng trưởng tốt
42

Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,95
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
42

 fn = 10 0 = 0,42
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96

Suy ra: ɛ = U α2 ×

√

f n ×(1− f n )
⟺ ɛ = 1,96 ×
n

√

0, 42ì(1 0,42)
ị = 0,0967
10 0

Vy tin cy 95%, tỷ lệ thanh niên có chiều cao tăng trưởng tốt:
p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,42 - 0,0967; 0,42 + 0,0967) = (0,3233; 0,5167) = (32,33%;
51,67%)
14. Thu nhập của công nhân làm việc ở một khu công nghiệp là biến ngẫu nhiên
phân phối chuẩn. Quan sát thu nhập (triệu đồng/ tháng) của một số công nhân
làm việc ở một khu cơng nghiệp ta có kết quả cho ở bảng dưới đây:
Thu nhập
3,0-3,5 3,5-4,0 4,0-4,5 4,5-5,0 5,0-5,5 5,5-6,0 6,0-6,5
Số cơng nhân
3
15
18
22
20
18
4

Những cơng nhân có thu nhập từ 5 triệu đồng/ tháng trở lên là những người có
thu nhập khá. Hãy ước lượng tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khá ở khu cơng
nghiệp này với độ tin cậy 99%.
Giải
Gọi p là tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khá ở khu cơng nghiệp này
42

Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,99
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; +∞ )
42

 fn = 10 0 = 0,42
 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,99 - 0,5 = 0,49
Þ U α = 2,33
Suy ra: ɛ = U α ×

√

f n ×(1− f n )
n


= 2,33 ì



0,42ì(1 0,42)
100

ị = 0,1149

Vy độ tin cậy 99%, tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khá ở khu công nghiệp này:
p ∈ (fn - ɛ; +∞ ) = (0,42 - 0,1149; +∞ ) = (0,3051; +∞ ) = (30,51%; +∞ )
15. Trọng lượng của sản phẩm A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Cân
thử 100 sản phẩm A được chọn ngẫu nhiên từ kho hàng ta thu được kết quả:
Trọng lượng (gr) 800-

850-

900-

950-

1000-

1050-

1100-

850
Số sản phẩm
5
Với độ tin cậy 95%:

900
10

950
20

1000

30

1050
16

1100
10

1150
9

a. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình tối đa của loại sản phẩm này.
b. Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng trên 1050gr. Để sai số của ước
lượng không vượt q 4% thì cần điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm?
Giải
a. Gọi m là trọng lượng trung bình tối đa của loại sản phẩm này
Ta có: n = 100; ´x = 979; S x = 78,0702; γ = 0,95
Khoảng ước lượng m ∈ (-∞ ; ´x + ε )
 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45
Þ U α = Þ U α = 1,645
Suy ra: ε = U α ×

Sx
78,0702
⟺ ε = 1,645 ×
Þ ε = 12,8425
√100
√n

Vậy ở độ tin cậy 0,95%, trọng lượng trung bình tối đa của loại sản phẩm này

m ∈ (-∞ ; ´x + ε ) = (-∞ ; 979 + 12,8425) = (-∞ ; 991,8425) gr
b. - Gọi p là tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng trên 1050gr
Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
19

 fn = 10 0 = 0,19
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96


Suy ra: ɛ = U α2 ×

√

f n ×(1− f n )
= 1,96 ì
n



0,19 ì(1 0,19)
ị = 0,0769
10 0

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng trên 1050gr
p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,19 - 0,0769; 0,19 + 0,0769) = (0,1131; 0,2669) = (11,31%;

26,69%)
- Để sai số của ước lượng khơng vượt q 4% Þ ɛ’ = 0,04
n≥

U 2α × f n (1 − f n )
2

ɛ ,2

1,962 × 0,19 ì(1 0,19)
n
n 369,51
0,04 2

ị n = 370 sản phẩm
Vậy cần điều tra thêm ít nhất 370 - 100 = 270 sản phẩm
16. Trọng lượng lợn khi xuất chuồng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Cân
ngẫu nhiên một số lợn ở trang trại A thu được bảng số liệu sau:
Trọng lượng (kg)
Số con

75-78
2

78-81
16

81-84
19

84-87
24

87-90
20

90-93
16

93-96
3

Với độ tin cậy 95%:
a. Hãy ước lượng trọng lượng lợn trung bình tối đa khi xuất chuồng.
b. Hãy ước lượng tỷ lệ lợn khi xuất chuồng có trọng lượng trên 90 kg.
c. Từ đó hãy ước lượng số lợn của trang trại, biết cả trang trại có 300 con lợn
có trọng lượng khi xuất chuồng trên 90kg.
Giải
a. Gọi m là trọng lượng lợn trung bình tối đa khi xuất chuồng
Ta có: n = 100; ´x = 85,62; S x = 4,3884; γ = 0,95
Khoảng ước lượng m ∈ (-∞ ; ´x + ε )
 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45
Þ U α = Þ U α = 1,645
Suy ra: ε = U α ×

Sx
4,3884
⟺ ε = 1,645 ×
Þ ε = 0,7219
√ 100

√n

Vậy ở độ tin cậy 95%, trọng lượng lợn trung bình tối đa khi xuất chuồng
m ∈ (-∞ ; ´x + ε ) = (-∞ ; 85,62 + 0,7219) = (-∞ ; 86,3419) kg
b. Gọi p là tỷ lệ lợn khi xuất chuồng có trọng lượng trên 90kg


Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)
19

 fn = 10 0 = 0,19
γ

0,95

 Từ ϕ0 (U α2 ) = 2 = 2 = 0,475
Þ U α2 = 1,96
Suy ra: ɛ = U α2 ×

√

f n ×(1− f n )
= 1,96 ì
n



0,19 ì(1 0,19)
ị = 0,0769
10 0

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ lợn khi xuất chuồng có trọng lượng trên 90kg
p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,19 - 0,0769; 0,19 + 0,0769) = (0,1131; 0,2669) = (11,31%;
26,69%)
c. Ta có: N = 300
Gọi M là số lợn của trang trại
M

p = N ị M = p ì N = p × 300
Vậy số lợn của trang trại là (34; 81) con