www.VNMATH.com1. . ` ˆ ˆ BAI TAP PHU O NG TR` INH VI PHAN .1). . '''' nh: Giai phu o ng pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (449.57 KB, 47 trang )
www.VNMATH.com
1
. .
`
ˆ
ˆ
BAI TAP PHU O NG TR`
INH VI PHAN
.
1)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
2xy y” = y 2 − 1
2xpp = p2 − 1
√
dx
2pdp
.
2
V i x(p − 1) = 0 ta co :
o
=
⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± C1 x + 1
p2 − 1
x
√
dy
2
3
p=
= C1 + 1 ⇒ y =
(C1 x + 1) 2 + C2
dx
3C1
-
Dat
.
’
HD giai:
2)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
-
Dat
.
’
HD giai:
.
V i
o
y =p:
p=0
√
y.y” = y
y = p ⇒ y” = p
dp
dy
. .
'.
nh tro thanh:
(ham theo y). Phu o ng tr
. .
. .
ta d u o c phu o ng tr
.
nh:
√
yp
dp
=p
dy
dy
dy
√
√
= 2 y + C1 ⇒
dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔
y
dx
dy
dx = √
2 y + C1
.
'
e
o
T d nghi^m t^ ng qua t:
u o
.
Ngoai ra
3)
y = c:
x=
√
y−
C1
√
ln |2 y + C1 | + C2
2
~
h ng cu ng la nghi^m.
a
e
.
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
a(xy + 2y) = xyy
’
HD giai: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay
N^ u
e
y = 0,
Ngoai ra
4)
y=0
.
V ip
o
-
Dat
.
2a
a−y
dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C
y
x
~
cu ng la nghi^m.
e
.
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
.
V i
o
. .
. .
. .
.
ta co phu o ng tr
nh tu o ng d u o ng v i
o
y” = y ey
y = p ⇒ y” = p
dp
dy
. .
thay vao phu o ng tr
nh:
p
dp
= pey
dy
dy
dy
dp
= ey ⇔ p = ey + C1 ⇒
= ey + C1 ⇔ y
= dx
dy
dx
e + C1
1
1
dy
ey + C1 − ey
=
dy =
(y −
C1 = 0 ta co :
ey + C1
C1
ey + 1
C1
=0:
1
ln(ey + C1 )
C1
−e−y
dx
.
nhu v^y:
a
=
1
.
ey + C1 (y − ln |ey + C1 |)
C1
Ngoai ra y = C : h ng la m^t nghi^m
a
o
e
.
.
5)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
xy = y(1 + ln y − ln x)
´
nˆ u C1 = 0
e
´
nˆ u C1 = 0.
e
.
v i
o
y(1) = e
ey dy
y
) =
−
ey + C1
C1
www.VNMATH.com
2
y
y
(1 + ln ), d at y = zx d u.o.c: xz = z ln z
.
.
x
x
dx
y
dz
=
⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx
• z ln z = 0 ⇒
z ln z
x
x
y(1) = e → C = 1. V^y y = xex
a
.
’
HD giai:
6)
. .
- .
Du a phu o ng tr
nh v^:
e
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
-
Dat
.
y =
y”(1 + y) = y 2 + y
y = z(y) ⇒ z = z
dz
dy
. .
thay vao phu o ng tr
nh:
⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔
• C1 = 0 ⇒ (∗)
cho
• C1 = 0 ⇒ (∗)
cho
Ngoai ra
y=C
dy
= dx (∗)
C1 y + C1 − 1
y =C −x
1
ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2
C1
la nghi^m.
e
.
'
To m lai nghi^m t^ ng qua t:
e
o
.
.
7)
dy
dz
=
z+1
y+1
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
y = C, y = C − x;
y = y2 −
1
ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2
C1
2
x2
'
’
HD giai: Bi^ n d o i (3) v^ dang: x2 y = (xy)2 − 2 (∗)
e
^
e .
- at z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra:
D
.
xz = z 2 + z − 2 ⇔
V^y TPTQ:
a
.
8)
dx
dz
=
⇔
+z−2
x
3
z−1
= Cx
z+x
xy − 1
= Cx3 .
xy + 2
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
z2
-
Dat
.
yy” + y 2 = 1
y = z(y) ⇒ y” = z.
dz
dy
z
C1
dy
⇔ z2 = 1 + 2
dz =
2
1−z
y
y
dy
C1
dy
⇒
=± 1+ 2 ⇔±
= dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2
dx
y
C1
1+ 2
y
2
2
'
Nghi^m t^ ng qua t: y + C1 = (x + C2 )
e
o
.
. .
'
Bi^ n d o i phu o ng tr
e
^
nh v^:
e
9)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai: y −
√
2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0
3x + 4
1
.y = − √
; x = 0, x = −1
2x(x + 1)
x+1
. .
'
'
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
nh thu^n nh^ t:
a
a
.
dy
=
y
3x + 4
2
1
Cx2
dx = ( −
)dx ⇔ y = √
2x(x + 1)
x 2(x + 1)
x+1
www.VNMATH.com
Bi^ n thi^n h ng s^ :
e
e
a
o
1
1
⇒ C = − + ε.
2
x
x
x2
1
y=√
( + ε)
x+1 x
C =−
'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
e
o
.
.
10)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
-
Dat
.
3
y” = e2y
z = y → y” = z.
dz
dy
'
thoa
y(0) = 0
y (0) = 0
. .
'.
phu o ng tr
nh tro thanh
z.
z2
e2y
dz
= e2y ⇔
=
+ε
dy
2
2
1
a
u o
y (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^y z 2 = e2y − 1. T. d :
.
2
√
dy √ 2y
dy
’ ´
√
= e −1⇒
z=
= x + ε. d ˆ i biˆ n t = e2y − 1
¯o e
dx
e2y − 1
√
arctg e2y − 1 = x + ε
1
'
y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^y nghi^m ri^ng thoa d i^u ki^n d bai: y = ln(tg 2 x + 1).
a
e
e
e
e
^
e
.
.
.
2
11)
. .
'
nh:
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
’
HD giai:
. .
nh lai:
Vi^ t phu o ng tr
e
.
. .
nh ta ch bi^ n:
e
phu o ng tr
'
t
ch ph^n t^ ng qua t:
a
o
ri^ng c^n t
e
a
m la:
12)
xy + 2y = xyy
y(−1) = 1.
x(1 − y)y = −2y ;
1−y
dx
dy = −2
y
x
x2 ye−y = C .
do
y(−1) = 1
. .
Thay d i^u ki^n vao ta d u o c
e
e
.
.
C=
x2 ye1−y = 1.
B ng ca ch d at
a
.
y = ux,
. .
~
'
nh:
ha y giai phu o ng tr
xdy − ydx −
. .
’ -
nh
.
√ HD giai: Dat y = ux; du = udx + xdu thay vao phu o ng tr . .va
~
1 − u2 dx = 0. Ro rang u − ±1 la nghi^m. khi u ≡ ±1 d u.a phu o ng
e
.
du
dx
. TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x > 0).
=
1 − u2
x
y
. .
'
V^y NTQ cu a phu o ng tr
a
= ln x + C .
nh: y = ±x; arcsin
.
x
13)
. .
'
nh:
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
xy =
y(1) = 0.
x2 − y 2 + y
’
HD giai:
xy =
d at
.
u=
y
x
hay
y = ux
. .
phu o ng tr
nh thanh:
x2 − y 2 + y ⇐⇒ y =
1−
y2 y
+
x2 x
y = xu + u
√
du
dx
xu = 1 − u2 ⇐⇒ √
=
x
1 − u2
suy ra
n^n
e
1
.
e
y ≡ 0.
- .
Du a v^
e
V^y t
a
ch ph^n
a
.
x2 − y 2 dx = 0. (x > 0)
. .
'
gia n u o c
x: xdu −
tr
nh v^ ta ch bi^ n:
e
e
www.VNMATH.com
4
⇐⇒ arcsin u = ln Cx
~
'
thoa ma n d i^u ki^n d u
e
e
a
^
.
14)
y(1) = 0
khi
C = 1.
V^y nghi^m
a
e
.
.
y = ±x.
. .
'
nh:
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
y sin x = y ln y
π
y( ) = e.
2
’
HD giai:
y sin x = y ln y ⇐⇒
~
'
thoa ma n d i^u ki^n
e
e
.
15)
dx
dy
=
y ln y
sin x
x
C tan
x
2
⇐⇒ ln y = C tan
⇐⇒ y = e
2
x
tan
π
2.
a
d u y( ) = e khi C = 1. V^y y = e
a
^
.
2
. .
'
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
nh:
.
(x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
y(0) = 1.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
-
Dat x + y =
.
. .
phu o ng tr
nh thanh:
’
HD giai:
z =⇒ dy = dz − dx
(2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0;
x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C
~
'
thoa ma n d i^u ki^n d u y(0) = 1 khi C = 2.
e
e
a
^
.
16)
-
Dat
.
y =
(z 2 − x2 )dz + 2zxdx = 0;
⇐⇒
⇐⇒ ln |x| + ln
thay
u=
17)
1
xy
. .
d u o c nghi^m
.
e
.
r^i d at
o
.
z = ux,
dx u2 − 1
+ 3
du = 0
x
u +u
u2 + 1
x(u2 + 1)
= ln C ⇐⇒
=C
|u|
u
1 + x2 y 2 = Cy .
. .
'
'
nh sau:
T
m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr
e
o
.
y − xy = x + x3
’
HD giai:
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh c^ p 1 va co nghi^m t^ ng qua t la
a
e
o
.
x2
y = Ce 2 .
.
V^y
a
.
y=
1
. .
d u o c:
.
z
(u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0
’
HD giai:
x − 2z − 3 ln |z − 2| = C .
1
~
'
r^i d at z = ux,ha y giai
o
.
z
(x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0
B ng ca ch d at
a
.
. .
nh:
phu o ng tr
'
gia i ra
x2
+1
2
. .
du o c
.
www.VNMATH.com
18)
. .
'
'
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
nh sau:
.
’
HD giai:
y − y = y2.
. .
- ^
'
nh ta ch bi^ n va co nghi^m t^ ng qua t la
e
e
o
Day la phu o ng tr
.
ln |
19)
5
y
| = x + C.
y+1
. .
'
T
m nghi^m cua ca c phu o ng tr
e
nh sau:
.
y +
y
= ex
x
’
HD giai:
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh c^ p 1 va co nghi^m t^ ng qua t la
a
e
o
.
20)
. .
'
T
m nghi^m cua ca c phu o ng tr
e
nh sau:
.
’
HD giai:
ex
C
x
y = +e − .
x
x
y − y = y3.
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh ta ch bi^ n va co nghi^m t^ ng qua t la
e
e
o
.
C + x = ln |y| − arctgy.
21)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
y =
y
y
+ sin ,
x
x
’
HD giai: y = zx ⇒ y = z x + z ,
z x = sin x ⇔
'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
e
o
.
.
V^y:
a
.
22)
tg
y
= x.
2x
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
-
Dat
.
23)
y
y
(x − y cos )dx + x cos dy = 0
x
x
. .
. .
.
phu o ng tr
nh d u o c d u a v^ dang:
.
e .
cos zdz = −
dx
+ C ⇔ sin z = − ln |x| + C
x
y
= − ln |x| + C
x
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
π
2
. .
'.
nh tro thanh:
phu o ng tr
y
=z ⇒y =zx+z
x
sin
y(1) =
dz
dx
z
z
=
⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx
sin z
x
2
2
y
π
tg
= Cx; y(1) = ⇒ C = 1.
2x
2
x cos z.z + 1 = 0 ⇔
V^y TPTQ:
a
.
.
v i
o
(y 2 − 1)x2 y 2 + y (x4 − y 4 ) = 0
. .
.
.
'
'
La phu o ng tr
nh d ng c^ p nhu ng gia i kha ph c tap.
a
a
u
.
www.VNMATH.com
6
. .
.
nh b^c hai d o i v i
a
^
o
Xem phu o ng tr
.
.
'
e
o
T d co hai ho nghi^m t^ ng qua t:
u o
.
.
24)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
25)
y 2 + x2 y = xyy
. .
Vi^ t phu o ng tr
e
nh lai
.
. .
'
e
o
ra d u o c nghi^m t^ ng qua t:
.
.
y2
x2
= (x4 + y 4 )2 ⇒ y1 = 2 ; y2 = − 2 .
x
y
x
3
3
; x + y = C2
y=
C1 x + 1
y:
y =
y
y2
x2
y
x
−1
. .
'
nh thu^n nh^ t, gia i
a
a
d ay la phu o ng tr
^
y 2 = Cxe x
. .
'
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
nh:
.
(x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0
y(1) = 0.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
’
HD giai:
-
Dat
.
x
y
=u−1
= v + 3.
(u + v)du + (u − v)dv = 0,
2
u + 2uv − v 2 = C .
. .
. .
thay vao phu o ng tr
nh d u o c:
.
. .
'
nh thu^n nh^ t co t
a
a
ch ph^n t^ ng qua t la:
a
o
d ay la phu o ng tr
^
. .
'
'
V^y t
a
ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
o
nh ban d u la:
a
^
.
26)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh
’
HD giai:
-
Dat
.
x
y
x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C
(x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0.
=X −1
,
=Y +3
. .
nh thanh:
phu o ng tr
(X + Y )dX + (X − Y )dY = 0
d at
.
Y = uX
'
Gia i ra
27)
1−u
dX
+
du = 0.
X
1 + 2u − u2
x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C .
.
. .
d u a phu o ng tr
nh v^
e
X 2 (1 + 2u − u2 ) = C
hay
. .
'
'
nh sau:
T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua phu o ng tr
a
o
’
HD giai:
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh d ng c^ p, ta d at
a
a
.
b) y =
z=
y
.
z
2xy
.
− y2
x2
. .
Khi d phu o ng tr
o
nh tr^n
e
z(1 + z 2 )
2z
1
dx
xz =
. Suy ra nghi^m
e
. Hay ( −
)dz =
.
2
2
1−z
z 1+z
x
z
nay la
= Cx, C = 0.
1 + z2
. .
2
2
'
nh d~ cho la x + y = C1 y, C1 = 0.
a
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a
e
.
.
'.
tro thanh
28)
. .
'
'
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
nh sau:
.
’
HD giai:
-
Dat
.
u = 2x + y
. .
.
phu o ng tr
nh d u a v^ dang
e .
5u + 9
du
=
.
dx
2u + 5
y =
. .
'
cu a phu o ng tr
nh
2x + y − 1
.
4x + 2y + 5
www.VNMATH.com
7
. .
. .
'
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c nghi^m 10u + 7 ln |5u + 9| =
.
e
.
. .
~ cho la 10y + 7 ln |10x + 5y
'
nh d a
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a
e
.
.
29)
25x + C.
= 9| − 5x = C.
. .
'
'
T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
a
o
nh sau:
(x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0
’
HD giai:
. .
.
. .
- ^
'
nh d u a v^ dang d ng c^ p d u o c b ng ca ch d t
e
a
a
.
a
a
Day la phu o ng tr
.
.
u + 1, y = v − 3,
tr
nh la
. .
ta d u o c
.
v 2 − 2uv − v 2 = C.
u+v
dv
=
.
du
−u + v
. .
. .
'
'
Gia i phu o ng tr
nh ta co nghi^m cu a phu o ng
e
.
. .
'
nh d~ cho la
a
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a
e
.
.
30)
x =
y 2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1 .
. .
'
'
a) T
m mi^n ma trong d nghi^m cua bai toa n Cauchy cua phu o ng tr
e
o
e
nh
.
y =
√
sau d ay t^n tai va duy nh^ t
^
o
a
.
. .
'
'
nh sau:
b) T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
a
o
x − y.
(x2 − y 2 )dy − 2xydx = 0.
’
HD giai:
a) Bai toa n Cauchy co duy nh^ t nghi^m trong mi^n
a
e
e
.
.
2
y
D = {(x, y) ∈ R |x − y ≥ δ} v i δ > 0 tuy .
o
. .
- .
b) Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e .
z=
y
.
x
dy
xy
.
= 2
dx
x − y2
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh d a ng c^ p, ta d at
a
.
. .
'.
Khi d phu o ng tr
o
nh tr^n tro thanh
e
z(1 + z 2 )
.
xz =
1 − z2
Hay
dx
1
2z
)dz =
( −
.
2
z 1+z
x
z
= Cx, C = 0.
1 + z2
2
2
la x + y = C1 y, C1 = 0.
. .
'
nh nay la
Suy ra nghi^m cu a phu o ng tr
e
.
. .
'
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a
e
nh d~ cho
a
.
.
.
.
2x
2x
2
a
e
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u
.
. .
'
'
nh sau:
b) T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua phu o ng tr
a
o
{e , xe , x } la h^ d oc l^p tuy^ n t nh.
e ^
a
e
.
.
.
(x − y)dy − (x + y)dx = 0;
31)
’
HD giai:
'
~
a) Dung d. nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t
i
e
e ^
a
e
nh .
.
.
.
. .
- .
b) Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e
.
z=
y
.
x
y =
x+y
.
x−y
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh d ng c^ p, ta d t
a
a
a
.
. .
'.
Khi d phu o ng tr
o
nh tr^n tro thanh
e
xz =
1 + z2
.
1−z
. .
. .
'
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c
.
y
x2 + y 2 = Cearctg x .
2
.
.
2
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u
a
e
la h^ phu thu^c tuy^ n t nh.
e
o
e
.
.
.
.
.
'
T nh d .nh th c Wronski cua chu ng.
i
u
. .
'
'
b) T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua phu o ng tr
a
o
nh sau:
32)
{cos 2x, sin 2x, 2}
(x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.
www.VNMATH.com
8
’
HD giai:
2
2
a) H^ nay phu thu^c tuy^ n t
e
o
e
nh v 2 cos 2x + 2 sin 2x − 2 = 0.
.
.
.
. .
.
. .
'
'
b) Phu o ng tr
nh nay co th^ d u a v^ dang d a ng c^ p, ta d u o c
e
e .
a
.
y =
-
Dat
.
1
1
u=x− , v =y+ ,
3
3
x+y
.
x − 2y + 1
. .
'.
khi d phu o ng tr
o
nh tr^n tro thanh
e
v =
. .
. .
'
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c
.
Hay
33)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai: y = C :
y 2 + x2 y = xyy .
y =
y
y2
x2
y
x
−1
. .
'
nh thu^n nh^ t, gia i
a
a
d ay la phu o ng tr
^
y 2 = Cxe x
y” cos y + (y )2 sin y = y
y = p ⇒ y” = p
dp
cos y + p sin y = 1:
dy
dp
dy
(ham theo
t
ch ph^n
a
36)
p = C cos y.
dy
dy
= sin y + C1 cos y ⇔
= dx
dx
sin y + C1 cos y
y
1
1
tg + 1 + 2 −
1
2
C1
C1
d i d^ n:
e
ln
= x + C2
2
y
1
1
C1 + 1
−tg + 1 + 2 +
2
C1
C1
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
y)
. .
phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh.
. .
'
Phu o ng tr
nh thu^n nh^ t co nghi^m t^ ng qua t:
a
a
e
o
.
n thi^n h ng s^ d u o.c C = tgy + C1 .
..
bi^
e
e
a
o
p=
.
h ng la m^t nghi^m.
a
o
e
.
.
-
(h ng). Dat
a
.
thay vao (2):
.
t d
u o
2u)
v
y = zx → y = z x + z
dx
z−1
dz =
→ z − ln |z| = ln |x| + C
z
x
y
y
− ln | | = ln |x| + C
x
x
. .
nh lai
Vi^ t phu o ng tr
e
.
. .
'
ra d u o c nghi^m t^ ng qua t:
.
e
o
.
y=C
√
. .
Phu o ng tr
nh thu^n nh^ t: d at
a
a
.
. .
'
Giai phu o ng tr
nh
’
HD giai:
1
√ arctg(
2
y 2 + x2 y = xyy
. .
'.
Phu o ng tr
nh tro thanh
35)
√
u2 + 2v 2 = Ce
√
1
√ arctg( 2 3x−1 )
3y+1
(3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1 e 2
.
’
HD giai:
34)
u+v
.
u − 2v
Coi
x = x(y)
y +
1
=0
2x − y 2
'
la ham cu a
y
ta co :
y =
1
x
. .
thay vao phu o ng tr
nh:
www.VNMATH.com
1
1
+
= 0 ⇔ x + 2x = y 2 :
x
2x − y 2
9
. .
phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh.
. .
'
'
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
nh thu^n nh^ t:
a
a
.
x = Ce−2y
1
1
1
2 2y
Bi^ n thi^n h ng s^ : C (y) = y e
e
e
a
o
⇒ C(y) = y 2 e2y − ye2y + e2y + C
2
2
4
1
1 2 1
. .
−2y
'
'
nh: x = Ce
+ y − y+
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
e
o
.
.
2
2
4
37)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
-
Dat
.
y = p,
xy” = y + x2
'.
(1) tro thanh:
xp − p = x2
tuy^ n t
e
nh
. .
'
'
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
nh thu^n nh^ t:
a
a
.
Bi^ n thi^n h ng s^ →
e
e
a
o
C(x) = x + C1
Suy ra:
38)
dy
= x(x + C1 )
dx
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
⇔p+y
-
Dat
.
→y=
y=0
xe t
x3
x2
+ C1 . + C2
3
2
y 2 + yy” = yy
p = y (p = 0),
dp
= y,
dy
p = Cx
. .
. .
. .
.
nh tu o ng d u o ng v i:
o
phu o ng tr
.
. .
nh v^:
e
d u a phu o ng tr
. .
'
nh thu^n nh^ t:
a
a
NTQ cu a phu o ng tr
p=
⇒ C(y) =
C
,
y
dp p
+ =1
dy y
p2 + yp
dp
= yp
dy
(tuy^ n t
e
nh)
bi^ n thi^n h ng s^
e
e
a
o
y2
+ C1
2
dy
y 2 + 2C1
2ydy
y 2 + 2C1
⇒
=
⇒ 2
= dx
2y
dx
2y
y + 2C1
⇒ y 2 = A1 ex + A2 .
x
x
2
x
Chu : V^ tra i (yy ) = yy ⇔ yy = C1 e ⇔ ydy = C1 e dx ⇔ y = 2C1 e + C2
y
e
.
a
Nhu v^y:
.
39)
p=
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai: yx =
1
xy
yey = y (y 3 + 2xey )
.
v i
o
. .
'
bi^ n d o i phu o ng tr
e
^
nh v^:
e
'
Nghi^m t^ ng qua t:
e
o
.
y(0) = −1
2
x − x = y 2 e−y
y
x = y 2 (C − e−y )
y(0) = −1 ⇒ C = e.
2
−y
V^y x = y (e − e )
a
.
40)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
-
Dat
.
y = p;
'
Nghi^m t^ ng qua t:
e
o
.
xy” = y + x
1
p − p=1
x
: C = ln |x| + C1
s^
o
. .
'.
phu o ng tr
nh tro thanh:
p = Cx
bi^ n thi^n h ng
e
e
a
www.VNMATH.com
10
⇒p=
dy
= (ln |x| + C1 )x ⇒ y =
dx
(ln |x| + C1 )xdx + C2
= C1 x2 +
41)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
x2
x2
ln |x| −
+ C2
2
4
y + xy = x3
. .
'
'
nh thu^n nh^ t
a
a
Nghi^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
.
x2
−
2
bi^ n thi^n h ng s^ : C(x) = (x − 2)e 2 + ε
e
e
a
o
’
HD giai:
'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
e
o
.
.
42)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
x2
y = Ce− 2
x2
y = εe− 2 + x2 − 2.
(x2 − y)dx + xdy = 0
. .
. .
2
Phu o ng tr
nh vi^ t lai: xy − y = −x , phu o ng tr
e
nh thu^n nh^ t:
a
a
.
'
e
a
e
o
co nghi^m t^ ng qua t: y = Cx bi^ n thi^n h ng s^ suy ra C = −x + ε
e
o
.
'ng qua t : y = −x2 + εx
V^y nghi^m t^
a
e
o
.
.
’
HD giai:
43)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
. .
Phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh:
1
y = εx2 − ;
x
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
-
Dat
.
Xe t
.
v i
o
y(1) = 1
y = Cx2 ; C =
1
3
⇒C =− 3 +ε
4
x
x
y(1) = 1 ⇒ ε = 2
'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
e
o
.
.
44)
2
3
y − y= 2
x
x
xy − y = 0
y = 0,
y = 2x2 −
1
x
(x + 1)(y + y 2 ) = −y
1
.y = −y 2
x+1
1
tr
nh v^ z −
e
.z = 1.
x+1
nh^ t: z = C1 (x + 1) bi^ n thi^n
a
e
e
. .
'
nh v^ dang
e .
bi^ n d o i phu o ng tr
e
^
1
z
= z ⇒ y = − 2 = −y 2 z
y
z
.
. .
d u a phu o ng
. .
'
'
nh thu^n
a
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
.
y +
h ng s^
a
o
C1 = ln |x + 1| + ε.
V^y nghi^m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε)
a
e
.
.
~
ngoai ra y = 0 cu ng la nghi^m.
e
.
'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
e
o
.
.
45)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
t
nh c^ p 1
a
y=
1
(x + 1)(ln |x + 1| + ε)
2xy + y =
va
y=0
nghi^m k di.
e
.
.
1
1−x
. .
- .
Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e
.
y +
1
1
y =
2x
2x(1 − x)
. .
phu o ng tr
nh tuy^ n
e
www.VNMATH.com
'
Nghi^m t^ ng qua t:
e
o
.
C
y=√ ,
x
11
bi^ n thi^n h ng s^ :
e
e
a
o
√
'
V^y nghi^m t^ ng
a
e
o
.
.
46)
√
1
x
x+1
C (x) =
|+ε
⇒ C = ln | √
2x(1 − x)
2
x−1
√
1 1
x+1
qua t: y = √
ln | √
|+ε
x 2
x−1
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai: y −
xy − y = x2 sin x
y
= x sin x,
x
. .
phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh. NTQ:
y = Cx
bi^ n thi^n h ng
e
e
a
s^ :
o
'
Nghi^m t^ ng qua t:
e
o
.
47)
y = (C − cos x)x
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
y cos2 x + y = tgx
. .
nh tuy^ n t
e
nh
Phu o ng tr
→
'
thoa
NTQ
y(0) = 0
y = Ce−tgx ; y = tgx − 1
(m^t nghi^m
o
e
.
.
ri^ng)
e
⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^y nghi^m
a
e
.
.
48)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
√
y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒
1 − x2 + y = arcsin x
'
thoa
y(0) = 0
nghi^m ri^ng c^n t
e
e
a
m:
.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
Xem
x
y = Ce−arcsinx
y = arcsinx − 1
+ arcsinx − 1
. .
'
nh:
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
.
’
HD giai:
y = tgx − 1 + e−tgx .
. .
'
'
nh tuy^ n t
e
nh thu^n nh^ t:
a
a
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
.
~
D^ th^ y nghi^m ri^ng:
e
a
e
e
.
−arcsinx
⇒ NTQ: y = Ce
49)
y
ri^ng c^n t
e
a
m:
'
la a n ham, thay
^
y = e−arcsinx + arcsinx − 1
y =
1
2x − y 2
y(1) = 0.
y =
1
,
x
. .
nh thanh
phu o ng tr
1
1
=
⇐⇒ x − 2x = −y 2
2
x
2x − y
. .
. .
- ^
'
'
nh tuy^ n t
e
nh c^ p m^t, nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
o
e
o
nh tuy^ n
e
Day la phu o ng tr
.
.
. .
.
.
−2y
ng s^ d u o.c NTQ:
. Bi^ n thi^n h
e
e
a
o .
t
nh thu^n nh^ t tu o ng u ng la x = Ce
a
a
y2 y
− +
2
2
3
~
'
thoa ma n d i^u ki^n d u y(1) = 0 khi C =
e
e
a
^
.
.
4
3 −2y
~
'
V^y nghi^m tho a ma n d i^u ki^n d u: x =
a
e
e
e
a
^
e
+
.
.
.
4
x = Ce−2y +
1
4
y2 y 1
− + .
2
2 4
www.VNMATH.com
12
50)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh sau d ay, bi^ t r ng sau khi d at
^
e
a
.
. .
m^t phu o ng tr
o
nh vi ph^n c^ p hai co m^t nghi^m
a
a
o
e
.
.
.
x2 y + 4xy + (x2 + 2)y = ex .
:
z + z = ex ,
z x2 − 4z x + 6z
z x − 2z
. .
;y =
. Phu o ng tr
nh
x3
x4
x
e
. .
∗
'
ri^ng la y =
e
, NTQ cu a phu o ng tr
nh thu^n
a
2
y = zx2 =⇒ y =
-
Dat
.
’
HD giai:
z
. .
, ta nh^n d o c
a
u .
.
x2
1 x
∗
e :
ri^ng y =
e
2
y=
co m^t nghi^m
o
e
.
.
z = C1 cos x + C2 sin x.
thanh
nh^ t:
a
. .
'
nh ban d u la:
a
^
V^y NTQ cu a phu o ng tr
a
.
ex
sin x
cos x
y = C1 2 + C2 2 + 2
x
x
2x
51)
. .
'
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
nh:
.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
’
HD giai:
x
Xem
'
la a n ham, thay
^
yey = y (y 3 + 2xey )
y(0) = −1.
1
,
x
y =
. .
phu o ng tr
nh thanh
. .
. .
.
'
nh tuy^ n t
e
nh thu^n nh^ t tu o ng u ng la
a
a
NTQ cu a phu o ng tr
. .
s^ d u o c
o .
. .
du o c
.
C(y) = −e−y + C .
C=
52)
1
.
e
.
Nhu v^y NTQ la
a
.
'
thoa d u ki^n
i^
e
e
.
bi^ n thi^n h ng
e
e
a
Thay d i^u ki^n d u xa c d. nh
e
e
^
a
i
.
y
y − y = cos x − sin x.
x→∞
bi chn khi
a
.
.
. .
'
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh ra
'
tho a d i^u ki^n
e
e
.
53)
1
C
− y.
y ye
C
;
y
.
T d KL.
u o
. .
'
T
m nghi^m cua phu o ng tr
e
nh
.
’
HD giai:
x=
x=
2
x − x = y 2 e−y .
y
y
bi chn khi
a
.
.
x→∞
y = Cex + sin x
C=0
khi
. .
'
nh:
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
y + sin y + x cos y + x = 0
π
y(0) = .
2
’
HD giai:
y + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y + 2 sin
⇐⇒
d at
.
z = tan
z + z = −x.
y
2
'
Gia i
~
'
thoa ma n d i^u
e
y
y
y
cos + x.2 cos2 = 0
2
2
2
y
y
y + tan 2 + x = 0
2 cos2
2
y
. .
. .
nh thanh phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh
y , phu o ng tr
2
−x
ra: z = 1 − x + Ce
π
ki^n d u y(0) =
e
a
^
khi C = 0. V^y nghi^m ri^ng y = 2 arctan(1 − x).
a
e
e
.
.
.
2
=⇒ z =
2 cos2
www.VNMATH.com
54)
13
. .
'
'
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
nh sau:
.
’
HD giai:
-
Dat
.
z = sin y,
y − x tan y =
. .
'.
khi d phu o ng tr
o
nh d~ cho tro thanh
a
z − xz = x.
z = Ce − 1.
. .
'
nh tuy^ n t
e
nh c^ p 1 va co nghi^m t^ ng qua t la
a
e
o
phu o ng tr
.
x2
. .
'
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a
e
nh d~ cho la sin y = z = Ce 2
a
.
.
55)
x
cos y
. .
'
'
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
nh sau:
.
- ^
Day la
x2
2
−1
y − xy = x
’
HD giai:
. .
- ^
'
nh tuy^ n t
e
nh c^ p 1 va co nghi^m t^ ng qua t la
a
e
o
Day la phu o ng tr
.
56)
. .
'
'
nh sau:
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
.
’
HD giai:
y
√
= x y.
x
. .
- ^
'
nh Bernoulli va co nghi^m t^ ng qua t la
e
o
Day la phu o ng tr
.
√
57)
y +
C
1
y = √ + x2 .
x 5
. .
'
nh sau:
T
m nghi^m cua ca c phu o ng tr
e
.
y −
y
= x3
x
’
HD giai:
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh c^ p 1 va co nghi^m t^ ng qua t la
a
e
o
.
1
y = Cx + x4 .
3
58)
. .
'
T
m nghi^m cua ca c phu o ng tr
e
nh sau:
.
y − y = y2.
’
HD giai:
. .
- ^
'
nh Bernoulli va co nghi^m t^ ng qua t la
e
o
Day la phu o ng tr
.
y2 =
59)
1
Ce−2x
. .
'
T
m nghi^m cua ca c phu o ng tr
e
nh sau:
.
−1
.
y +
y
= sin x
x
’
HD giai:
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh c^ p 1 va co nghi^m t^ ng qua t la
a
e
o
.
y=
C sin x
+
− cos x.
x
x
1 2
y = Ce 2 x − 1.
www.VNMATH.com
14
60)
. .
'
T
m nghi^m cua ca c phu o ng tr
e
nh sau:
.
√
y − y = x y.
’
HD giai:
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh Bernoulli va co nghi^m t^ ng qua t la
e
o
.
√
61)
1
y = Ce 2 x − x − 2.
. .
'
'
nh sau:
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
.
y + 2xy = xe−x
2
’
HD giai:
. .
- ^
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n tuy^ n t
a
e
nh c^ p 1.
a
x2 −x2
'
)e .
Nghi^m t^ ng qua t la y = (C +
e
o
.
2
62)
. .
'
'
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
nh sau:
.
’
HD giai:
y
√
= x y.
x
. .
- ^
Day la phu o ng tr
nh Bernoulli va co nghi^m la
e
.
√
63)
y −4
y=
1
ln x + Cx2 .
2
. .
'
'
nh sau
a) T
m mi^n ma trong d nghi^m cua bai toa n Cauchy cua phu o ng tr
e
o
e
.
d ay t^n tai va duy nh^ t
^
o
a
.
'
b) T
m nghi^m cua bai toa n Cauchy sau d ay
e
^
.
y
= y + 3x.
1
y” − y = x
x
y(x = 1) = 1 va y (x = 1) = 2.
`
’
HD giai:
. .
- ^
'
a) Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh c^ p 1 tho a d. nh ly d i^u ki^n t^n tai duy nh^ t
a
i
e
e
o
a
.
.
2
nghi^m tr^n R .
e
e
.
. .
'
nh
b) Gia i phu o ng tr
y” −
y
= x,
x
. .
'
ta d u o c nghi^m t^ ng qua t
.
e
o
.
y = C1 + C2 x +
x2
.
2
'
V^y nghi^m cu a bai toa n Cauchy la
a
e
.
.
1
x2
y =− +x+ .
2
2
64)
. .
'
nh sau:
T
m nghi^m cua phu o ng tr
e
.
y + ytgx = cos x
’
HD giai:
. .
- ^
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n tuy^ n t
a
e
nh c^ p 1.
a
'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
o
.
y = (C + x) cos x.
www.VNMATH.com
65)
. .
'
nh sau:
T
m nghi^m cua phu o ng tr
e
.
y +
15
y
ex
= x( x
)y 2 .
x
e +1
’
HD giai:
. .
. .
- ^
'
'
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n Bernoulli va co nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
e
o
nh la
.
y=
66)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
-
Dat
.
y = p,
(x + 1)y” + x(y )2 = y
. .
. .
.
'.
phu o ng tr
nh tro thanh phu o ng tr
nh Bernouili (v i
o
p −
-
Dat
.
z = p−1 = 0,
.
du a
1
.
Cx − x ln(ex + 1)
(∗)
x 2
1
p=−
p
x+1
x+1
(∗)
. .
v^ phu o ng tr
e
nh tuy^ n t
e
nh c^ p m^t:
a
o
.
z +
1
x
z=
1+x
x+1
C
x+1
x2 + C1
1
2(x + 1)
z=
⇒y = = 2
2(x + 1)
z
x + C1
. .
'
'
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
nh thu^n nh^ t:
a
a
.
. .
Bi^ n thi^n h ng s^ cu^ i cung d u o c:
e
e
a
o
o
.
z=
. .
'
'
nh:
Suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
.
ln |x2 + C | + √2 arctg √x + C
2
1
C1
C1√
ln |x2 + C1 | + √ 1 ln | x − √−C1 | + C2
−C1
x + −C1
Chu
y
67)
y=C
´
nˆ u C1 > 0
e
´
nˆ u C1 < 0
e
la NKD
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
x2 y = y(x + y)
1
1
= 2 y 2 : phu.o.ng tr
nh Bernouilli
y
x
1
1
−1
-
Dat z = y
(y = 0) : −z − z = 2 .
.
x
x
. .
'
nh thu^n nh^ t:
a
a
z = Cx
NTQ cu a phu o ng tr
1
1
bi^ n thi^n h ng s^ C: C(x) = ε −
e
e
a
o
. V^y z = x(ε − 2 )
a
.
2
2x
2x
2x
'
V^y nghi^m t^ ng qua t la: y =
a
e
o
.
.
εx2 − 1
’
HD giai: x2 y = y(x + y) ⇔ y −
68)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
'
thoa
yy” − (y )2 = y 3
1
y(0) = −
2
y (0) = 0
x = −1)
www.VNMATH.com
16
’
HD giai:
-
Dat
.
y = p(y);
y = p.py
py
d at ti^ p:
e
.
p(y) = y.z(y)
. .
thay vao phu o ng tr
nh
dp
− p2 = y 3 ,
dy
.
. .
nh v^
e
d u a phu o ng tr
1
dy
dz
= ⇒ z 2 = 2(y + C1 ) ⇔
=y
dy
z
dx
|2y + C|
1
y(0) = − ; y (0) = 0 ⇒ C = 1. T. d suy
u o
2
|2y + 1| − 1
dy
= x + C2 .
= y |2y + 1| ⇒ ln
dx
|2y + 1| + 1
1
do y(0) = −
⇒ C2 = 0.
2
|2y + 1| − 1
'
= x.
V^y nghi^m ri^ng c^n t
a
e
e
a
m thoa : ln
.
.
|2y + 1| + 1
Do d i^u ki^n
e
e
.
69)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
√
2y x
dy
ydx + 2xdy =
cos2 y
’
HD giai:
. .
- .
nh v^ dang
e .
Du a phu o ng tr
-
Dat
.
1
z = x2
ta co
1 1
z = x + x− 2 x
2
'
thoa d i^u ki^n
e
e
.
2
2
1
x + x=
.x 2
2y
y
cos
thay vao
ra:
y(0) = π
(Bernoulli)
(∗)
(∗)
1
1
z + z=
y
cos2 y
'
Nghi^m t^ ng qua t:
e
o
.
z=
c
y
C =
V^y
a
.
Z = tgy +
bi^ n thi^n h ng s^ :
e
e
a
o
y
⇒ C(y) = ytgy + ln | cos y| + ε
cos2 y
1
ε
ln | cos y| +
y
y
ε √
1
ln | cos y| + = x
y
y
√
1
tgy + ln | cos y| = x
y
. .
'
Va TPTQ cu a phu o ng tr
nh:
y(0) = π ⇒ ε = 0
70)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
v^ dang:
e .
Do
y=0
1
y − y = y −1
x
V^y TPTQ:
a
.
71)
v^y TPR :
a
.
tgy +
xydy = (y 2 + x)dx
'
kh^ng pha i la nghi^m, chia hai v^ cho
o
e
e
.
-
Bernouilli; Dat
.
z = y2
(y +
√
. .
'
bi^ n d o i phu o ng tr
e
^
nh
.
. .
d u a phu o ng tr
nh v^ dang:
e .
2
z − z = 2 → z = −2x + Cx2
x
2
2
y = −2x + Cx
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
xy
xy)dx = xdy
www.VNMATH.com
’
HD giai:
-
Dat
.
. .
- .
nh v^ dang
e .
Du a phu o ng tr
1
1 1
1
y − y = √ .y 2 ; x = 0
x
x
1
1
z = √ phu.o.ng tr
nh
2x
x
2
'
t^ ng qua t: y = x(ln x + C)
o
z = y2 : z −
V^y nghi^m
a
e
.
.
72)
'
tuy^ n t
e
nh gia i ra
z=
√
x(ln x + C)
√
xy − 2x2 y = 4y
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
17
. .
Phu o ng tr
nh Bernouilli, d at
.
z = y 1−α =
√
1
y⇒z = √
2 y
4
z − z = 2x → NTQ z = Cx4 − x2
x
y = (Cx2 − 1)2 x4 .
. .
'.
phu o ng tr
nh tro thanh:
'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
e
o
.
.
73)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
2x2 y = y 2 (2xy − y)
’
HD giai: Xem x la ham theo bi^ n y : x y 3 − 2xy 2 = −2x2 Bernouilli
e
2
2z
1
. .
-
'.
, phu o ng tr
= 3 → TPTQ: y 2 = x ln Cy 2 ,
Dat z =
nh tro thanh: z +
.
x
y
y
ky di y = 0.
.
74)
. .
'
nh:
T
m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr
e
e
.
~
'
thoa ma n d u ki^n d au
i^
e
e
^
.
x2 y = y(x + y)
y(−2) = −4.
’
HD giai: Do y(−2) = −4 n^n y ≡ 0.
e
y2
e
y − 1y = 2 . Ti^ p tuc d at z = y −1 d u.a
.
.
x
. .
. .
- .
Du a phu o ng tr
nh v^ phu o ng tr
e
nh Bernouilli:
. .
phu o ng tr
nh v^ PT tuy^ n t
e
e
nh
. .
. .
.
'
NTQ cu a phu o ng tr
nh thu^n nh^ t tu o ng u ng:
a
a
z = Cx,
1
.
. .
'
a
e
nh ban d u
a
^
. Nhu v^y nghi^m cu a phu o ng tr
.
.
2x
1
4x
C = . V^y nghi^m ri^ng c^n t la y = 2
a
e
e
a
m
.
.
2
x −1
C(x) = Cx −
d u cho
a
^
75)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai: Phu.o.ng
y (1 + Ce−x ) = 1
tr
nh:
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai: Phu.o.ng
1
y=
.
1 + Cx + ln x
77)
tr
nh
1
1
z + z = − 2.
x
x
. .
bi^ n thi^n h ng s^ d u o c
e
e
a
o .
la:
y=
2x
.
Cx2 − 1
-
Di^u ki^n
e
e
.
y − xy = −xy 3
y − xy = −xy 3
2
76)
nghi^m
e
.
. .
. .
'
la phu o ng tr
nh Bernouilli, gia i ra d u o c
.
xy + y = y 2 ln x.
xy + y = y 2 ln x
. .
. .
'
la phu o ng tr
nh Bernouilli, gia i ra d u o c
.
. .
'
'
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
nh sau:
.
y −4
y
√
=x y
x
www.VNMATH.com
18
. .
- ^
Day la phu o ng tr
nh Bernoulli, b ng ca ch d at
a
.
’
HD giai:
tr
nh v^ dang
e .
x
2
z − z=
x
2
z =
√
y
.
. .
ta d u a phu o ng
'
va co nghi^m t^ ng qua t la
e
o
.
1
z = x2 ( ln |x| + C).
2
. .
'
'
nh la
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
e
o
.
.
1
y = x4 ( ln |x| + C)2 .
2
78)
. .
'
'
nh sau:
T
m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
e
o
.
’
HD giai:
y=
y +
y
= y 2 xtgx.
x
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh Bernoulli va co nghi^m t^ ng qua t la
e
o
.
1
.
Cx + x ln | cos x|
79)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
y 2 dx + (2xy + 3)dy = 0
∂P
∂Q
=
= 2y
∂y
∂x
’
HD giai: P (x, y) = y 2 , Q(x, y) = 2xy + 3;
(1) ⇔ d(xy 2 + 3y) = 0.
80)
V^y
a
.
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
xy 2 + 3y = C
ex (2 + 2x − y 2 )dx − yex dy = 0
∂P
∂Q
=
= −2yex
∂y
∂x
. .
. .
. .
.
nh tu o ng d u o ng v i:
o
suy ra phu o ng tr
d ex (2x − y 2 ) =
0.
V^y
a
.
ex (2x − y 2 ) = C.
81)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
3
(y 2 + 1) 2 dx + (y 2 + 3xy
3
’
HD giai: p = (y 2 + 1) 2 ; Q = y 2 + 3xy
'
'
Suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a
e
o
.
(∗)
1 + y2 ⇒
0
Q(x, y)dy = C
0
⇔
’
HD giai:
1 + y2
y
P (x, 0)dx +
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
∂P
∂Q
=
= 3y
∂y
∂x
la:
x
82)
1 + y 2 )dy = 0
3
y3
+ x(1 + y 2 ) 2 = C
3
(y cos2 x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx
∂P
∂Q
=
= y sin 2x + cos x
∂y
∂x
(∗)
www.VNMATH.com
NTQ:
x
19
y
y2
Q(x, y)dy = C ⇔ y sin x − cos2 x = C
P (x, y0 )dx +
2
y0 =0
x0 =0
83)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
. .
Phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^n:
a
a
’
HD giai:
84)
(2x + 3x2 y)dx = (3y 2 − x3 )dy
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
(
x2 + x3 y − y 3 = C
(x2 + 1) cos y
x
+ 2)dx −
dy = 0
sin y
2 sin2 y
∂Q
x cos y
∂P
=
=−
∂y
∂x
sin2 y
’
HD giai:
TPTQ:
y
x
π
P (x, )dx +
2
0
85)
88)
(y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0
3x2 (1 + ln y)dx = (2y −
x2 + 2(x sin y − cos y) = C.
x3
)dy
y
. .
'
Phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^n: Nghi^m t^ ng qua t:
a
a
e
o
.
. .
'
'
T
m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr
e
o
nh vi ph^n:
a
.
’
HD giai:
xy + ex sin y = C.
(x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
. .
Phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^n: NTQ
a
a
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
x2
(x2 + 1) 1
+ 2x −
(
− 1) = C
2
2
sin y
. .
'
nh vi ph^n toan ph^n, nghi^m t^ ng qua t:
a
a
e
o
Phu o ng tr
.
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
87)
π
2
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
86)
Q(x, y)dy = C ⇔
x3 (1 + ln y) − y 2 = C
3x2 (1 + ln y)dx = (2y −
x3
)dy
y
. .
- ^
'
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^n co t
a
a
ch ph^n t^ ng qua t la:
a
o
x3 (1 + ln y) − y 2 = C
89)
. .
'
~
'
Ha y t
m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr
e
o
nh:
.
’
HD giai:
'
PTVPTP co t
ch ph^n t^ ng qua t:
a
o
(x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
x2 + 2(x sin y − cos y) = C
www.VNMATH.com
20
90)
. .
'
~
'
Ha y t
m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr
e
o
nh:
.
1
y2
−
x (x − y)2
’
HD giai:
91)
1
x2
−
2
(x − y)
y
dx +
dy = 0
'
PTVPTP co t
ch ph^n t^ ng qua t:
a
o
ln
xy
x
+
=C
y x−y
. .
'
'
T
m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr
e
o
nh vi ph^n:
a
.
(sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0
’
HD giai:
92)
. .
'
nh vi ph^n toan ph^n co nghi^m t^ ng qua t la
a
a
e
o
Phu o ng tr
.
.
. .
~
'
Ha y t
m th a s^ t ch ph^n cua phu o ng tr
u
o
a
nh:
x sin(xy) = C .
(x + y 2 )dx − 2xydy = 0
. .
'
'
suy ra nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr
e
o
nh.
.
’
HD giai:
.
. .
'
Th a s^ t
u
o ch ph^n cu a phu o ng tr
a
nh la
. .
.
'
phu o ng tr
nh cho th a s^ t
u
o ch ph^n r^i gia i ra
a
o
93)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
’
HD giai:
2xy ln ydx + (x2 + y 2
µ(x) =
y2
x = Ce x
'
Nh^n hai v^ cu a
a
e
.
y 2 + 1)dy = 0
. .
.
- ^
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^n, th a s^ t
a
a
u
o ch ph^n:
a
.
. .
. .
'
'
th a s^ t
u
o ch ph^n vao hai v^ cu a phu o ng tr
a
e
nh r^i gia i ra d u o c:
o
.
94)
1
.
x2
µ(y) =
1
y
nh^n
a
1
3
x2 ln y + (y 2 +1) 2 = 0
3
. .
'
nh
T
m nghi^m cua phu o ng tr
e
.
'
thoa d u
i^
e
’
HD giai:
(x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0.
ki^n y(0) = 1.
e
.
. .
- ^
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^n NTQ la:
a
a
x4 + 2x2 y 2 + y 4 = C
.
'
tho a d i^u ki^n
e
e
.
95)
y(0) = 1
khi
C = 1.
. .
'
'
T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
a
o
nh sau:
’
HD giai:
. .
.
Ta t
m d u o c th a s^ t
.
u
o ch ph^n
a
1 - .
. .
. Du a phu o ng
2
x
2
2
la x − y = Cx.
µ(x) =
'
dang vi ph^n toan ph^n. Khi d nghi^m t^ ng qua t
a
a
o
e
o
.
.
a) − 2xydy + (y 2 + x2 )dx = 0
tr
nh d~ cho v^
a
e
www.VNMATH.com
96)
21
.
.
2x −x
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u
a
e
la h^ d oc l^p tuy^ n t nh.
e ^
a
e
.
.
.
.
.
' a chu ng.
T nh d .nh th c Wronski cu
i
u
{e , e , cos x}
. .
'
'
b) T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
a
o
nh sau:
x2 − ydy − 2x(1 +
x2 − y)dx = 0.
’
HD giai:
'
~
a) Dung d. nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t
i
e
e ^
a
e
nh.
.
.
.
- inh th.c Wronski W [y , y , y ](x) = 3ex (3 cos x − sin x).
D.
u
1 2 3
. .
. .
- ^
'
'
b) Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^n. T
a
a
ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
o
nh
la
3
2
x2 + (x2 − y) 2 = C
3
97)
. .
'
'
T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr
a
o
nh sau:
’
HD giai:
. .
.
o ch ph^n
a
Ta t
m d u o c th a s^ t
.
u
µ(x) =
'
dang vi ph^n toan ph^n. Khi d nghi^m t^ ng qua t la
a
a
o
e
o
.
.
x2
− y 2 )dy − 2xdx = 0.
y
1 - .
. .
. Du a phu o ng
y
2x2 + y 3 = Cy.
.
.
x 2x
2
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u
a
e
.
. .
'
'
nh sau:
b) T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua phu o ng tr
a
o
{e , e , x }
98)
(
tr
nh d~ cho v^
a
e
la h^ d oc l^p tuy^ n t nh.
e ^
a
e
.
.
.
(x − y)dy + (x + y)dx = 0.
’
HD giai:
. .
'
nh la d oc l^p tuy^ n t
^
a
e
nh .
a) Ki^ m tra h^ phu o ng tr
e
e
.
.
.
. .
- ^
nh vi ph^n toan ph^n n^n ta co
a
a
e
b) Day la phu o ng tr
'
V^y t
a
ch ph^n t^ ng qua t la
a
o
.
x2 − y 2 + 2xy = C.
d(xy −
y 2 x2
+ ) = 0.
2
2
.
.
x
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u
a
e
la h^ d oc l^p tuy^ n t nh.
e ^
a
e
.
.
.
.
. .
2
'ng qua t cua phu o ng tr
'
nh sau:
b) T
m t ch ph^n t^
a
o
{1, x, e }
99)
(x − y)dx + xdy = 0
’
HD giai:
'
~
a) Dung d. nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t
i
e
e ^
a
e
nh .
.
.
.
.
. .
b) T
m th a s^ t
u
o ch ph^n, ta d u o c
a
.
. .
dang phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^n
a
a
.
(1 −
. .
. .
'
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c
.
µ(x) =
1
.
x2
. .
.
. .
nh d~ cho d u a d u o c v^
a
.
e
Phu o ng tr
y
1
)dx + dy = 0.
2
x
x
y = Cx − x2 .
.
.
2x x
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u
a
e
.
. .
'
'
b) T
m t ch ph^n t^ ng qua t cua phu o ng tr
a
o
nh sau:
100)
’
HD giai:
{e , e , x}
la h^ d oc l^p tuy^ n t nh.
e ^
a
e
.
.
.
(x − y)dx − (x + y)dy = 0.
22
www.VNMATH.com
. .
'
a) Ki^ m tra h^ phu o ng tr
e
e
nh la d oc l^p tuy^ n t
^
a
e
nh.
.
.
.
. .
- ^
'
nh vi ph^n toan ph^n. Suy ra t
a
a
ch ph^n t^ ng qua t co dang:
a
o
b) Day la phu o ng tr
.
x2 + y 2 − 2xy = C.
www.VNMATH.com
1
. .
`
ˆ
ˆ
´
BAI TAP PHU O NG TR`
INH VI PHAN (tiˆ p theo)
e
.
101)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
y” + y = x + e−x
. .
.
2
Phu o ng tr
nh d c tru ng λ + λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = −1
a
.
. .
−x
'
'
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
nh thu^n nh^ t: y = C1 + C2 e
a
a
.
. .
. .
.
o
e
T
m nghi^m ri^ng du o i dang y = y1 + y2 , trong d y1 , y2 la ca c nghi^m tu o ng u ng
e
e
.
.
.
. .
−x
'
nh: y” + y = x va y” + y = e
cu a ca c phu o ng tr
.
.
' a phu o.ng tr
• V λ1 = 0 la nghi^m cu
e
nh d c tru ng n^n y1 = x(Ax + B)
a
e
.
.
’
HD giai:
. .
. .
a i
e o
.
B ng phu o ng pha p h^ s^ b^ t d. nh d u o c:
a
.
1
y1 = x2 − x
2
. .
.
'
la nghi^m cu a phu o ng tr
e
nh d c tru ng n^n:
a
e
.
.
−x
a i
Thay vao va dung h^ s^ b^ t d. nh suy ra: y2 = −xe
e o
.
• λ2 = −1
Cu^ i cung NTQ:
o
102)
1
y = C1 + C2 e−x + x2 − x − xe−x
2
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
’
HD giai:
y2 = Axe−x
2y” + 5y = 29x sin x
5
2λ2 + 5λ = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = −
2
5x
−
tr
nh thu^n nh^ t y = C1 + C2 e 2
a
a
. .
.
nh d c tru ng:
a
Phu o ng tr
.
. .
'
'
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng
e
o
.
. .
.
'
'
nh d ac tru ng n^n t
e
m nghi^m ri^ng dang:
e
e
V ±i kh^ng pha i la nghi^m cu a phu o ng tr
o
e
.
.
.
.
y = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x
. .
. .
Thay vao phu o ng tr
nh d u o c:
.
103)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
A = −2; B =
16
185
; C = −5; D = −
29
29
y” − 2y + 5y = x sin 3x
. .
.
2
nh d c tru ng: λ − 2λ + 5 = 0 ⇔ λ1 = 1 − 2i; λ2 = 1 + 2i
a
Phu o ng tr
.
. .
x
'
nh thu^n nh^ t: y = e (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
a
a
NTQ cu a phu o ng tr
. .
.
'
'
'
nh d ac tru ng n^n nghi^m ri^ng cu a (2)
e
e
e
Do ±3i kh^ng pha i la nghi^m cu a phu o ng tr
o
e
.
.
.
. .
. .
d u o c t
.
m du o i dang: y = (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x
.
’
HD giai:
. .
Thay vao (2) ta d u o c:
.
104)
A=
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
3
57
1
41
; B= ; C=− ; D=
26
26
13
13
y” − 2y − 3y = xe4x + x2
. .
.
2
Phu o ng tr
nh d c tru ng: λ − 2λ − 3 = 0 ⇔ λ1
a
.
. .
−x
'
nh thu^n nh^ t: y = C1 e
a
a
+ C2 e3x
NTQ cu a phu o ng tr
.
'
T
m nghi^m ri^ng dang y = y1 + y2 v i y1 la nghi^m cu a
e
e
o
e
.
.
.
’
HD giai:
y1 = e4x (Ax + B) = e4x
con
y2
'
la nghi^m ri^ng cu a
e
e
.
y” − 2y − 3y = x2
= −1; λ2 = 3.
y” − 2y − 3y = xe4x
x
6
−
5 25
co dang:
.
2
4
14
y2 = A1 x2 + B1 x + C1 = − x2 + x − .
3
9
27
'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
e
o
.
.
y = C1 e−x + C2 e3x +
e4x
6
1
4
14
(x − ) − (x2 − x + )
5
5
3
3
9
www.VNMATH.com
2
105)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
x2 y” − 2y = x3 cos x
y1 = x2
. .
'
bi^ t m^t nghi^m cua phu o ng tr
e
o
e
nh thu^n nh^ t la
a
a
.
.
’
HD giai:
Chia 2 v^ cho
e
x2 (x = 0):
y” −
2
y = x cos x.
x2
.
. .
'
T
m nghi^m ri^ng th hai cu a phu o ng tr
e
e
u
nh thu^n nh^ t dang:
a
a
.
.
p(x) = 0; q(x) = −
2
.
x2
1 −
e
2
y1
y2 = y1
p(x)dx
dx = x2
1
dx
=−
4
x
3x
. .
'
'
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
e
o
nh thu^n nh^ t la:
a
a
.
.
Coi
C1 , C2
'
la ham cu a
x,
y = C1 x2 − C2 .
. .
p dung phu o ng pha p h ng s^ bi^ n thi^n:
a
a
o
e
e
.
1
3x
C1 x2 + C2 (− 1 ) = 0
3x
C 2x + C ( 1 ) = x cos x
1
2
3x2
sin x
cos x
C1 =
⇒ C1 =
+ K1
' i ra:
Gia
3
3
C = x3 cos x ⇒ C = x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x + 6 cos x + K
2
2
2
2
1
K2
x sin x
− (x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x + 6 cos x) + K1 x2 −
.
V^y NTQ: y =
a
.
3
3x
3x
106)
2
cotgx
y” + y + y =
x
x
sin x
tr
nh thu^n nh^ t la y1 =
a
a
x
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
. .
'
bi^ t m^t nghi^m cua phu o ng
e
o
e
.
.
x
cotgx
.
, q(x) = 1, f (x) =
. T
m nghi^m ri^ng th hai:
e
e
u
.
2
x
sin x
cos x
sin x
1 − p(x)dx
x2 − 2 dx
dx
x
dx =
y2 = y1
=−
e
dx =
2 e
2
2
y1
x
x
x
sin x
sin x
sin x
cos x
. .
'
nh thu^n nh^ t: y = C1
a
a
NTQ cu a phu o ng tr
− C2
x
x
cos x
sin x
C1
+ C2 (
)=0
x
x
Bi^ n thi^n h ng s^ :
e
e
a
o
C x cos x − sin x + C x sin x + cos x = cotgx
1
2
x2
x2
x
’
HD giai: p(x) =
⇒ C1 =
cos2 x
⇒ C1 (x) =
sin x
=
cos2 x
1 − sin2 x
dx + K1 =
dx + K1
sin x
sin x
dx
x
− sin xdx + K1 = ln |tg | + cos x + K1
sin x
2
C2 = cos x → C2 = sin x + K2
'
V^y nghi^m t^ ng qua t: y = · · ·
a
e
o
.
.
107)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
y” − 2y + y = 1 +
ex
x
www.VNMATH.com
3
. .
.
2
Phu o ng tr
nh d c tru ng: λ − 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1
a
.
. .
x
'
nh thu^n nh^ t: y = e (C1 x + C2 )
a
a
NTQ cu a phu o ng tr
. .
Dung phu o ng pha p bi^ n thi^n h ng s^ t
e
e
a
o m nghi^m ri^ng dang:
e
e
.
.
x
x
y = α1 (x).xe + α2 (x).e .
’
HD giai:
α1 (x).xex + α2 (x).ex = 0
α1 (x)(ex + xex ) + α2 (x).ex = 1 +
ex
x
1
α1 = e−x +
⇔
x
α = −(xex + 1)
2
V^y
a
.
α1 = −e−x + ln |x|
α2 = xe−x + e−x − x
.
−x
a
e
e
)xex + (xe−x + e−x − x)ex
Nhu v^y nghi^m ri^ng: y = (ln |x| − e
.
.
x
x
x
'
Va nghi^m t^ ng qua t: y = e (C1 x + C2 ) + xe ln |x| − xe + 1
e
o
.
108)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
y” + y = xe−x
. .
.
2
Phu o ng tr
nh d c tru ng: λ + λ = 0 ⇔
a
.
. .
'
'
nh thu^n nh^ t:
a
a
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
o
.
−x
T
m nghi^m ri^ng dang: y = xe
e
e
(Ax + B)
.
.
2
x
−x
'
K^ t qua : y = C1 + C2 e
e
− ( + x)e−x
’
HD giai:
λ1 = 0; λ2 = −1
y = C1 + C2 e−x
2
109)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
y” − 4y + 5y = e2x + cos x
. .
.
2
nh d c tru ng: λ − 4λ + 5
a
Phu o ng tr
.
2x
'
Nghi^m t^ ng qua t: y = e (C1 cos x + C2 sin x)
e
o
.
.
T
m nghi^m ri^ng dang: y = y1 + y2 v i y1 =
e
e
o
.
.
’
HD giai:
= 0 ⇔ λ1 = 2 − i; λ2 = 2 + i
Ae2x ; y2 = A cos x + B sin y ⇒ y1 =
1
1
cos x − sin x
8
8
1
2x
2x
'
Nghi^m t^ ng qua t: y = e (C1 cos x + C2 sin x) + e
e
o
+ (cos x − sin x)
.
8
e2x ; y2 =
110)
. .
'
nh:
Giai phu o ng tr
y” + 4y + 4y = 1 + e−2x ln x
.
2
’
HD giai: Phu.o.ng tr
nh d c tru ng: λ + 4λ + 4 = 0 ⇔ λ = −2
a
.
−2x
NTQ : y = e
(C1 x + C2 )
−2x
T
m nghi^m ri^ng dang: y = α1 (x).xe
e
e
+ α2 e−2x .
.
.
α1 (x).xe−2x + α2 e−2x = 0
α (e−2x − 2xe−2x ) + α2 (−2e−2x ) = 1 + e−2x ln x
1
α = e−2x + ln x → α = 1 e−2x + x ln |x| − x
1
1
2
2
2
α = −x(e−2x + ln x) → α = 1 e2x + x − 1 xe2x − x ln x
2
2
4
4
2
2
'
⇒ nghi^m ri^ng ⇒ nghi^m t^ ng qua t:
e
e
e
o
.
.
2
3x
x2
−2x
−2x 1 2x
y = e (C1 x + C2 ) + e ( e −
+
ln x)
4
4
2
111)
. .
'
Giai phu o ng tr
nh:
y” + y = e−x (sin x − cos x)
