Giải bài toán tối ưu hóa ứng dụng bằng matlab maple tối ưu hóa tĩnh và điều khiển tối ưu phần 2

PHAN I: ĐIỀU KHIỂN TÔI ƯU
e Điều khiển tối ưu hệ mở
e Điều khiển tối ưu thời gian

e Điều khiển tơi ưu hệ tuyến tính

63


se eet
yt
° LF FRA

Pada

#3018
?

_

Sis°

| oF

7

out
gthatt

»

Bid
hy

eA
tà

8

wh, p eh
wer ei edie


CHUONG 6: DIEU KHIEN TOI UU HE MO
BAI TOAN

Gọi x =(xị,...X„);0 =(u,,....ú,): Biển trạng thái tà điều khiển.

Cho

+ _ Hệ PTVP cấp 1 của hệ động lực:

(x, u)

tới điều kiện đầu tai t, hodc dieu kién cudi tai t,
*_ Tiêu chuẩn tối tru (mục tiêu):

Ju) =g(x(t)+ f(x,)dt > min

a)

@

Có thể: g=0 hoặc í,=\

Tìm điều khiển tối ưu tr (Ð, quỹ đạo x'(t) va gid tri J(u’),
Phương pháp giải tổng quát:

“_ Xây dựng hàm Hamillon:
H@,u,p) =~6 + Š`p,{
“_ Xây dựng PTVP liên hợp:
2H

lì

Pilts) = Py

@)

@)

Khi diém cuối bắt buộc thuộc vào tập đích S, (x) =0, giá trị p,(t,) được xác định

theo transversality condition:
Tổng quát: p(t,) YA LVS (x(t); AL >0
a
Dic biệt: Đối với hệ PTVP tuyén tính, phim hàm mục tiêu có dạng tồn
phương thì: p(t,)= 2 grad[g(x(t,))] =
“ Đặt
2(t) = fy; 2(0) = 0 > J(u)=g(x(t,))+Z(t,)

6)


+ Gradient của H theo w:
+

-ãi
a

Tìm w theo x tà p t iu kin:

gH=F

ou

=0~>u
= u(x,p)

â6
đ

[ Diộu kiộn tong quat: H(p,x,u")
= max H(p’,x",u) ]

“_ Thay quan hé (7) ào (1),(4) ,(5), nhận được (1°), (49, (5°.
“- Giải (1), (49, (5) theo điều kiện biên trong thoi gian từ L =0 đến t
Trong dé: x, p, u, gH: céc vécta.
Các thí dụ:
Các thí dụ 6.1 đến 6.6: Giải bài tốn tới các dạng khác nhau của điều kiện biên tà tiêu
chuẩn tối wu theo phương pháp biến phân.

Thi du 6.7: Dùng nguyên lý Pontryagin
Thí dụ 6.8: Giải bài tốn tới điều khiển giới hạn.

Thi du 6.9: Lap trình tổng quát, phương pháp biến phân.

Thí dụ 6.1

trình tổng qt, pháp lặp điều khiển.

Thí dụ 6.11: Giải xi tà giải ngược phương trình tỉ phân.
Thí dụ 6.1. Điểm cuỗi cỗ định

Cho hệ động lực được mơ tả bởi PTVP:

X+‡k=u

Tiêu chuẩn tối ưu có dạng:

f=
J = be

ot +i 4324 pur)
uta

dt

Hãy tìm điều khiển tối tru u'(t) sao cho hệ được chuyển từ trạng thái đầu tề vi tri can bing
tà làm min tiêu chuẩn tối tru J.

Giải

1. Đưa PTVP trang thái của hệ uề hai PTVP cấp1 tới điều kiên biên

Kam
%5 X;y+u
x,(0) 107 X2(0) = Xạn; Xị(t,)
=0; x;(t,) =0

2. Dua vio biến liên hop p, xdy dung him Hamilton va tim quan hé u & p

a)


H =2 GÌ +x xiểuP)+ px + p‡(h

Điều kiện:
2H

KT.

3. PTVP đối u

`

hop

Pr

(2)

A

P=
4, Tiéu chuẩn tối tru.
Tiêu chuẩn tối tru có dạng: ] = [ot +xX) +uổt?)dt —> min
Dua vio bién trạng thái phụ z(t) thoả mãn PTV?:
3

+

+wu?)

2(0)=0
Khi đó: J =2(t,)
5. Thay quanhệ (*) vio các PTVP (1) tà (3);

@)

Xị=X;

Ky =o, + Pe
.

Bị =X

ụ

Pa =%2-Pi+P2

1

2

pote +E)

4)

Điều kiện biên: x, (0) = x4;X; (0) = X97; (t,) =0;x2(t,) = 0; 2(0) =O

Chú ý:
a)_ Khi điều khiển w bị ràng buộc, quan lệ (*) được tìm tie nguyen ly Pontryagin.
b)_ Khi điểm cuối x(t) bi ràng buộc bởi tập đích SỊx)=0, phải xác định p(t) theo điều
kiện transversality.
Cho các giá trị

115 X4(0) = X95 X2(0) = Xap 5% (ty) =05x3(t,)=0

6


Hệ PTVP
(4) có thể giải bằng Maple
như dưới đây.
> # DKTU 6.1:Dat
>
>

restar'
# Phuong

> PTL:=D

PT2

7 = z(t£)

ith (plots) :
trinh vi phan

(x1) (t) =x2(t) ;

trang

thai:

(x2) (t) =x2 (t) #p2 (t) /mu*2;

PT3:=D(p1) (t)=x1 (t) ;

PT4:=D

(p2) (t) =x2 (t)p1
(t) +p2(t) ;

PTS:=D(z) (t)=

„5# (x1 () ^2+x2 (t) ^2+p2 (t) ^2/nu^2) ;
PTI = D(x!)
= x2(0)

PT2 := D(x2)(1)= —x2(1)+
PT3 := D(p1J()=

p2(r)

„2

x1)

PT4 = D(p2)(1)
= x(t) ~ pl(t) + p2()
PT§ := D(z)(1)
= 0.5 xI(f)Ê + 0.5 x21)?+ 354

> # So1.

>

#

Dieu

730.2;

kien

T= 1.0
"02

bien:

=x1 (0)2,x2 (0) “2.5, x1 (T£) =0, x2 (T£) =0, Z(0)=0;
DKB := xI(0) = 2, x2(0) = 2.5, xI(1.0) = 0, x2( 1.0) = 0, 2(0)= 0

> # Giai PTVP theo numeric
> solution:=dsolve ((PT1,PT2,PT3,PT4,PT5,DKB) ,numeric) ;
2 (t) /mu^2;
u(t
solution := proc (x_byp) .... end proc

1u(1) := 25.00000000p2(7)

> # Ve do thi:
> odeplot (solution, [t,u(t) ,color=red, style =
POINT] ,t=0..T£,title="DIEU KHIEN TOI
vu") ;odeplot (solution, [[t,x1(t) ,color=
blue, thickness=2] , [t,x2(t) ,color=magenta, thickness=2]],t=0.. T
£,title="QUY DAO THEO THOT
GIAN") ;odeplot (solution, [x1 (t) ,x2(t) ,color=blue, thickness=2] ,
„.Tf,tỉtle="QUY DAO PHA");


DIEU KHIENs To! UU

2 ees se _2600000000°g2
QUY DAO THEO THOI GIAN.
x1,x2

QUY DAO PHA
x2

2
o
+

05

1

x1

is

2
3

> # Xac dinh phiem ham muc tieu:
> solution (Tf) ;Jopt:=rhs (solution
(TE) [6]);
[1= 1.0, pl(1) = -3.90616925642132751 p2(/ = 0.761000533306186444 x1(1) = 0.,
)., 2(1) = 6.6785 1737530171539
Jopt := 6.67851737530171530

> Nghiem giai tich co dang phuc tap!

69


Thí dụ 6.2. Điểm cuỗi cỗ định, tơi ưu uễ năng lượng

Cho PTVP của hệ:

(0) =xụ; y(0) = yạ x(2n) =0; y(2n) =0,

2
é
Xác định ĐKTƯ tà trạng thái tương ứng.
Giải
1. PTVP trang thái
x=y
ÿ=-xtu
Tiêu chuẩn tối wu: J= [u(t)dt > min

X(0) = xọ; y(0) = yạ; x(2m) =0; y(2x) =0

a)

2. Ham Hamilton , Quan hé u & p

H=-u? +p,y+p2(-x+u)

Fi _-au+p,-0 54-2

eC)

3. Phương trình vi phân lién hop
@)
4. Phiém hàm mục tiêu.
J=z(2n)

#=u?; z(0)=0
5. Thay (*) vio (1) va (3) ta được hệ PTVP tơi điều kiện biên
xey
Sa Pa

@)

4)

=PP:
4

x(0) = x9; ¥(0) = Yo: x(2n) =0; y(2n) =0; 2(0)=0


Hệ PTVP (4) có thể giải bằng Maple như sau.

> # DKTU 6.2:Dat J = z(t£)
> restart;with (plots) :
> # Phuong trinh vi phan trang thai:
>_PT1:=D
(x) (E)
=y (t) ;

PT2 :=D (y) (t)=-x(t)+1/2*p2
(t) ;
PT3
(p1) (t)=p2(t);
PT4
(p2) (t)

1(E);

PTS:=D (2) (t)=p2
(t) ^2/4;

PTI :=D(v)0) =y()

1

PT2 = D(y)(t)= 80) + 5 p21)

PT3 = D(pl n= pr)
PT4 :=D(p2)(0)==p1(t)

PTS ;=D(\(0)=„ 1

p2)?

> # Dieu kien bien & Tim nghiem dang so va ve do thi:
> DRB:=x (0) =1, x(2*Pi) =0,y (0) =0,y (2*Pi) =0, 2 (0)=0;
solution:=dsolve ({PT1,PT2,PT3,PT4,PTS
,DKB) ,numeric) ;
DKB := x(0)=
1, x(2 x) = 0, (0) = 0, y(2. x)= 0, 2(0)
=0
solution := proc (x byp) .... end proc
> u(t)

.5*p2(t) ;odeplot (solution,

[t,u(t)],t=0..6.282,title

=" DIEU KHIEN TOT
UU") ;odeplot (solution, [t,x(t)] ,t=0..6.282,title =" x TOI
vu");

4) = 05 p2)
DIEU KHIEN Tol UU

7


x TO! UU,

> # Gia

tri

phiem

ham

muc

tieu:

Jopt=z(2Pi)

> solution (6.28318) ;Jopt:=rhs (solution (6.28318) [6]);

[1= 6.28318, pl(1)= -0.636619826893451978 p2() = -0.32654887286779652810",
x(£) = -0.26956237336392689010"S, y(¢) = 0.41835222226573304210"!,

2{1) = 0.318309897572346454

Jopt := 0.318309897572346456

> # Dieu kien bien tong quat & Tim nghiem dang giai tich
> DKBTQ:=x(0)=x0,x(2*Pi)=0,y(0)=y0,y(2*Pi)=0,2(0)=0;

DKBTQ := x(0) = x0, x(2 ) =0, y(0) = y0, y(2 x) = 0, (0) =0

> nghiem:=dsolve({PT1,PT2,PT3,PT4,PTS,DKBTQ}) ;

(yO + +2x0 8)
:=|Y()= 31 cos(t)(x0-+2y0-n)_1
7
: sin(r)

nghiem

1 2x0 cos(1) sin(t) — 230
"
3

1
x0
cos(1)?
230(;
nh) s89+ 5) cos()

agli
——.=
.
©
2 \
}
(

| sey?

Ụ 20280)
2

gy:

x
( 220 (—Zeos(s)
1
. + $'
sine)
©

72

tại

90 cos(t) sin() cos(r)
©

—

gaya


xu?(-

€o5(/)Cesk
sin(/)+ +5] 00 cos(1)? 0 2” {5(2% cos( ) SSID
sin STt
r
x
1 sin(1)
(x0 + 290m) | 1 cos(s) (301+ 2x0 x)
â
đ

|

G

a(t sos0)
3395

sững60P

9+ ị1 Ì

©
+?

pcr)=

2x0 sin(s) — 2 y0 cos(),

yO

cos(r)
£98k

pl()=

)

xgyg

we

sin(s)

| €0S(/),

2x0 cos(r) _ 2y0 since)

_

:

Thí dụ 6.3. Điễu khiển uận tốc chất điểm

Xét chất điểm khối lượng m, lị xo có độ cứng c, toạ độ suy rồng q.

Động năng và thế năng: T

Ham Lagrange L=T-V =

Tmgt;v- Tuy
27080

Tổ

Chọn điều khiển u là van téc: u=mq

Tiêu chuẩn tối ưu: J=just = [den + x w)dt > min

é

Hãy xác định ĐKTU u*(t) để đưa chất điểm từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối

và quỹ đạo tối ưu tương ứng.

Giải
1..PTVP trang thái:

u=mgs4q=

m

w; 4(0)=qora(t,)=0

a

u=p

©đI

2. Him Hamilton wi quan hệ u Ép;
loa tia,
Heleg?-tuyt
2°90 am im PY
Hd
Hedy lpeosue
Hưng

3


(2)

@)

4)

2) 'anP

(0) =qo; q(t,) =0; z(0) =0

Hệ PTVP (4) có thể được giải bằng Maple như sau.

> # DKTU 6.3: J = z(t£)
> restart:with (plots)

:

> # Phuong trinh vi phan trang thị
> PT1:=D(q) (t)=1/m*p
(t) ;

PT2:=D (p) (t) ==e*q(t) ;
PT3:=D(z) (t)= =0.5*c*q(E)
^2+1/ (2*m) *p () ^
PTI :=D(4)(0)= mạ

?T2 := D(p)(1)= ~e 4)
PT3 := D(z)(0)
= ~0.5 e q()°+
>

# Dieu

kien

bien

&

So

1 pứ}

2m

lie\

> DKB:=g(0)=1,q(1)Z _0,z(0)
DKB := q(0)

> # Tim nghiem dang so:
> solution :=dsolve({PT1,PT2,PT3,DKB) , numeric) ;
74


> # Ve
> u(t)
POINT]
W(t) &

solution := proc (x_hyp) .. end proc

do thi:
:=p(t) ;odeplot (solution, ['t,u(t) ,style
1,title="Do THI
, [t, q(t) , color=blue, thickness=2] },
q(E)");
wr) =p)

DO TH ut) & a(t)

v v

v v

pg

# Tinh gia tri phiem ham muc tieu:
solution (1); Jopt:=rhs (solution (1) [(4]);
[1= 1, pl) = 18.3816396069595669 q(¢) = 0., 2(1)= 7.71175522643349964]
Jopt = 7.71175522643349964
# Tim nghiem theo giai tích:
u(t) :=p(t) ;solution:=dsolve ((PT1,PT2,PT3,DKB));
u(t) = p(t)

solution :=

10

(1) = =10 sin 101) - “OSE

(/)= cos(10/)=

cos(104

SL

)

cos(10) sin( 10 ) + (1) = ~S cos( 101) sin( 101)
sin( 10)

— 10eQ10/°2sx00)- 50cos( 10

sin(10)

th

10)

30 cos(10) š/ (ap¢08(1010 sin 107) ~
sin(10)Ẻ

1 9 c08(s(10104) sin

10

132) 'z

sin( 10)?

10eos(10)
sin(10)
75


Thí dụ 6.4. Điểm cuỗi khơng cỗ định, điều kiện transuersality
Khi điểm biên di động hoặc thuộc vào tập đích S được xác định bới các rằng buộc

S¿(X),X;.-..Xe

mãn điều kiệ

1,2,.„r thì biến liên hợp p=[P;, pz...p„|

phải thỏa

transversality' (tức là p(t,) phải vng góc với mặt phẳng tiếp.

tuyến của siêu điện S) sau:

p(t)=~Š)A„VS,
(x(t)
&

trong đó VS, (x(t,)) là gradient của S, tại điểm cuối x(t,), A, là nhân tử chưa xác
định.
PTVP của hệ có dạng:
x¡(0)=0; x;(0)
Tip dich S: x} +x} =1
Tiêu chuẩn lối ưu:

1

a futat > min
2

Tìm ĐKTU t tà trạng thái tối ưu tương ứng.

Giải

1. PTVP trang thái uới điều kiên đầu

=X,

%
X¡(0) =0; x;(0) =~3;02. Hàm Hamilton, quan hệ u & p
H=-Lul +p +p > F -0-9u=p,

qa)

°

3. PTVP lién hop
Pi
Dùng điều kiện transversality để xác định giá trị

* Có thể tạm dịch là điều kiện hoành.
76

@)


a

niin = ast)

Ẻ

pa(0|””ˆ|s(0 |

Ta nhận được

2=6; Py 6; p„=6

4, Phiém ham muc tiêu:
J=z(t)
pes

2(0)=0

@)

Thay quan hệ (*) vào PTVP (1) và (3), ta được hệ PTVP với điều kiện đầu là:
Ã\=Xg?

Đi=U

1

X;=P¿;

P2E-Pi

@)

3h
(0)
= 0; x2(0) = =3; p,(0)
= 6; pa(0) =6

Hệ PTVP (4) có thể giải bằng Maple như sau.
> # DKTU_6.4: Tinh J=x (te)

D (p2) (t) =~p1 (E) +

D(z)

(t)=1/2*p2 (t)*2;

PTT = D(xI
1) = x21)
PT2 := D(x2
4) = p21)
PT3 := D(pI )(r)=0

PT4 :=D(p2t)=~pI()
PTS = D(eKny=! p21?

> # Dieu kien dau:
> DED: =x1 (0) =0, x2 (0)
DKD :=xI(0)
>
>

3,p1 (0) =6,p2 (0) =6, z (0)0;

, X2(0)= -3, pI(0)
= 6, p2(0) = 6, z(0)
=0

# Tim nghiem dang numeric:
solution:=dsolve({PT1,PT2,PT3,PT4,PT5,DKD)

solution := proc (x rkf45)... end proc

,numeric)

;


> # Ve do thi:
> u(t) :=p2(t)
;odeplot (solution, [t,u(t)],t
..1,sty1le =
POINT, title="DIEU KHIEN TOT
UU") ;odeplot (solution, [x1 (t) ,x2(t) ,thickness=2],t=0..1,title
=" QUY DAO PHA");

u(t) = p(n)
DIEU KHIEN TO! UU

Bye,
Bìh
9, heo,
p2 3
2
1

g

4. .

>

#

Gia

tri

02

,06

QUY DAO PHA
208,087 04.02

phiem

> solution (1);

04

ham

muc

tieu:

08

1

4
05

-1
“15 ¥2
2
25
3

Jopt:=rhs (solution (1) [6]) ;

>
[= 1., pÏ() = 5.99999999999999912 p2(r)= -0.5898059818321 1441210",

x1(t) = -0.99999999999999944 x2(r) = 0.83266726846886740510"%, z(t) = 6.]

Jopt =

> # Tim nghiem dang giai tich:
> solution:=dsolve((PT1,PT2,PT3,PT4,PT5,DKD}) ;

~ 6)

solution = {p2(1) =~61+ 6, 2(0)= L2L=9) «6, pics) = 6, xA1)=-3:2
+ 61-3,

78


Thi dy 6.5. Diém cudi cho trong phiém ham mục tiêu, phải xác định giá trị
biên của biển liên hợp
Tìm điều khiển tối tru. tà trạng thái tương ứng
Cho PTVPcủa hệ với điều kiện đầu:

Ä\ =X;;X;ạ=U
we Xio;X;(0)= Xe.
Mục tiêu:

1
a

J =x(00+x:.)*2 Jos+u?)dt > min
Tìm điều khiển tối ưu và trạng thái tương ứng.

Giải

1. PTVP trang thái ới điều kiên đầu:

Ä\=x;;#;=u
Xi(0)
= Xie¡X;(0)
= Xap
2 Hàm Hamillon tà quan hệ w Ẽ p:

mn

H= “Sod +uÈ)+ px; +pạu
“
Pi

Bây giờ phải xác định giá trị biên của biển li
.
Do PTVP trạng thái là tuyến tính, hàm mục tiếu có dang tồn phương (xem [1],
chương VI, các cơng thức (26), (2), (33).

Đặt g(t)=x¡(1) +x;(1), thì:
Vg(x(t,))
>Pi)= Pz(1)=
tụ chuẩn tối tru:

1

1

1}

zm00*2x:0)+ 3 Jo +u?)dt—> min

Q)


Đặt
š=3 0Ä +uy 2(0)=0

J= 3x) +30) + 200)

(0) = X10 X2(0) = X20/ Px (1) = P2(1) =

;z(0)=0

Hệ PTVP (4) có thể giải bằng Maple như sau:

> # DKTU 6.5:Tinh J=g (x(T£))+z (T£)
> restart:with (plots) :

PT2 := D(x2)(1)= p2(1)
PT3 = D(pl \(t)= x11)

PT4 = D(p2)\t)=-pl(t)
PTS = DEED =f x1CF + 5 pac?

> # Thoi gian Tf & Dieu kien bien:
:
x1 (0)=1,x2 (0)= 0.2,p1(Tf)=-0.5,

p2(Tf) =~

T:
DKB := xI(0)= 1, x2(0)= 0.2, pI(1)=-0.5, p2(1)= -0.5, 2(0)=0

> # Tim nghiem dang numeric:
> selution:=dsolve ((PT1,PT2,PT3,PT4,PT5,,DKB) ,nunerie) ;
solution ‘=proc (x_byp) . . end proc
> # Ve do thi:
80


>
u(t) :=p2(t) sodeplot (solution, [{t u(t) ,style=POINT]
, [¢,x1(t) ,¢
color=blue, thickness=2] , [t,x2(t) ,color =
red, thickness=2]],t=0..T£,citle="DIEU KHIEN TOT UU VA TRANG
THAI THEO THOT
GIAN") ;odeplot (solution,
[x1 (t) ,x2(t)],t=0. Tf, title=" QUY DAO

PHA") ;

u(t) = pre)
DIEU KHIEN TO! UU VA TRANG THAI THEO THO! GIAN
tị

p2,x1,x2

a

05:

ee

t

ki
02
04
08
op
HC
05
_—=
+1

1

0000oF `
QUY DAO PHA

07,075

08

x1

085

09

095

> # Tinh gia tri cac bien tai diem cuoi:

> solution (TE) ;
[/= 1, pl(z) = -0.499999999999999888 p2() = -0.499999999999999888,

x1(1) = 0.679676690094862200 x2(r) = -0,586888325063618188
2) = 0.850853180176535995
> # Tinh gia tri phiem ham muc tieu:
>
hs (0.5*solution
(T£) [4]+0.,5*solution
(T£) [5]+solution
(T£
Jopt:
)[6]);

6 TUHUb

Jopt := 0.8472473626
81


Thí dụ 6.6. Mục tiêu là giá trị cuỗi của biễn trạng thái, điểm cuỗi chưa xác

định
Khảo sát một phản ứng hố học được mơ tả bởi hệ PTVP:
Ä;

=x,u=bxx; =Éj b=pu";p:const

Xi(Ø)=Xịo;

X¿(0)=Xz,

Hãy xác định điều khiển u(t) sao cho sản phẩm x;(t,) — max ; t,~ cố định.

Giải
1.PTVP trang thái

uới điều kiên đầu:

q;a=bX; =f; b=pu*;p:const
xi(0)=Xe; Xz(Ú)=Xa,

@)

2. Ham Hamilton H nà quan hé u & p:

H= p,(—xu)+ p2Qqu- bx) =(-Py + P2)Xi4~ P2bx2

TT =0(Cp, +p,)x,~pkppxạu9") =0
=us[—1 7bx (Pa=
Oe * ‘ Pa

3. Phuong trink vi phân liên hợp:
°

4

Pile

)

HH

P2 =-<—= prb=ppiu*
Oxy

Xac dinh diéu kién transversality ctia bién liên hợp:

4g~ 2fa p£etj+S>pdlý
‹

=0 p.=pÉ9)

dg~(pfidt+p;f,d0|.+(p,đx, +p¿dx;)|g =0 | dg =-dx,(t,)

Thời gian đầu, thời gian cuối cố định và trạng thái đầu của hệ có định, nên:

Do đó:

dty =0; dt, =0; dx(ty)=0; dxq(t)=0
dx;(t,)+P(t,)đx¡(,)+pa(t)dx;(t,)
=0

= pi,)dx¡(t,)+[pa(t,)~1]dx;(t,)=0
82

®"


Vì dx¡(t,),dx;(t,)
độc lập nên: pi(t/)=0;
4. Phiém him muc liêu:

s;(L/=1

oy
@)

(a)

10/%2(0) = Xan Pa(t,) = 05 Palty)=1
trong dé: u(t) theo (*), p(t.) theo (**).
Sau day ta ding Maple dé giải các PTVP (4) và giá trị của mục tiêu.
> # DKTU 6.6: Control of chemical reactor & Transversality
> restart:with (plots) :
> # Phuong trinh vi phan trang thai:

> PTL:=D (x1) (t) =—x1 (t) #u(t);
PT2:=D (x2) (t)=x1 (t) *u (t) =rho*x2 (E) *ú (E) ^k;
PT3:=D (p1) (t)=((p1) (t) -p2(t)) #u(t) ;
PT4:=D

>

(p2) (t) =rho*p2
(t) *u(t) *k;
PTI = D(x! )(t)=-xI(t) u(t),
PT2 := D(x2)(0)
= x1(1) ule) = p x20) ut
PT3 := D(p1 J0) = (pÌ(1)~
p2(0)) Wn)

# Bieu

thuc

cua

PT4 := D(p2)(0)=
p p2(7) w(t)’

u(t):

= (p2 (t) ~pl (t) ) *x1 (E) ;MS:=rho*k*p2
(t) *x2 (E) ;k1:=1/ (k~1) ;

(TS/MS) ^k1;

TS == (p2(t)
~ pl(t)) x1)
MS = pk p21) x21)

wn =(HO pI()) xI() Ì (

pkp2(1) x2)
> # Cac thong so. Thoi gian TẾ. Dieu kien bien:
>
rho:=2.5
-5;T£:=1.2
;DKB:=x1 (0)=1.0,x2(0)=0.18,p1
(T£)=0 ,p2
83


(TE)=1;

=25
15

DKI

T712

x1(0)= 1.0, x2(0)
= 0.18,

p1(1.2)
= 0, p2(1.2)= 1

> # Tim nghiem dang numeric:
> solution:=dsolve ((PT1,PT2,PT3,PT4,DKB) ,numeric);
Solution := proc (x_bvp)... end proc
> # Ve do thi:
> odeplot (solution, [{t, (TS/MS) *k1,style=POINT] ,
[t,x1(t) ,color=blue, thickness=2] , [t,x2(t) ,color=magenta, thick
ness=2]],t=0..T£,title = " DIEU KHIEN TOI UU & TRANG THAT
THEO THOT
GIAN") ;odeplot (solution, [x1 (t) ,x2(t)],t=0..T£, thickness=2,
title = " QUY DAO PHA");
DIEU KHIEN TOI UU & TRANG THAI THEO THOI GIAN
1

08
06
8.4:
0.2:

002040608

So

ph 1

1

12

QUY DAO PHA.

0.34
0.32

0.28
0.24
0.22

X2 028

0.18

07

0.75 08

x

q85

098

095

1


> # Xac dinh gia tri muc tieu:

> solution (T£) ;Jopt:=rhs (solution (T£) [5] ) ;
odeplot(solution, [t,x2 (k)],t=0..T£, title " GIA TRI J =
x2 (TE) ") ;
[r= 1.2, ple 0., p2(1) = 1.00000000000000044 x1(1) = 0.65746 1766290772464
x0
1.3493 1940807790664,
Jopt

0

= 0.349319406807790666

GIA TRI J = x2(T1)

02 04

06

08

1

12

Thí dụ 6.7. Khơng dùng được phép tính biễn phân

Trong các thí dụ trên, điều khiển u (1) không bị giới hạn, quan hệ giữa điều khiển

ạ và biến liên hợp p được tìm từ điều kiện a l

„ Thí đụ này, u bị giới hạn, quan

hệ u và p khơng thể tìm được từ điều kiện trên mà phải dùng nguyên lý minimum.

Pontryagin.

Cho PTVP với điều kiện đầu, điều khiển u bị giới hạn:

kex-u
x(0)=5
Ìsusi
2

Tiêu chuẩn tối ưu:
J=

1

[(x+u)dt> min

a

Tìm điều khiển tối ưu và trạng thái tối ưu tương ứng.

Giải

1. Xâu dựng hàm Hamilton tà PTVP liên hơp tới điều kiên cuối:

85

H=x+u+p(x~u)=(1+p)x+(1~p)u
éH

ee

a

P(1)=0

2. Tìm u déH min

Nếu tính:

S=I-p=0

®

ta thấy (*) khơng cho quan hệ u & p, mặt khác p không thể đồng thời thoả mãn (*)

và PTVP (1). Vì vậy, theo nguyên lý Pontryagin, ta phải xác định u sao cho hàm
Hamilton H đạt giá trị min.

®$ Nếu p<1:uph:
já trị nhỏ nhất trong giới hạn, tức là u =0.5
®- Nếu p>1:u phải lấy giá trị lớn nhất trong giới hạn, tức là u =1
= 1 gọi là thời điểm chuyển mạch để chuyển từ u =0.5
Thời điểm t, ứng với

sang u=1.

Vì vậy ta phải giải PTVP (1) để xác định t„ Từ đó xác định được quy luật điều

khiển tối ưu uˆ

kex-u

Q)

x(0)=

2=x+u”

@)

2(0)=0

Các PTVP (1), (2) và (3) có thể giải bằng Maple nhu dudi day.
> # DKTU 6.7:

Nguyen

> xestart:with (plots.

ly Pontryagin

> # PTVP lien hop,PTVP

> PT1:=D (p) (t)=-1-p(t);
PT2:=D (x) (t)=x(t)-u;

PT3:=D(z) (t)=x(t) tu;

tong quat

trang thai,PTVP muc tieu:

PTI D(p)()= =1 ~ p()
PT2 := (x)(1)
= x) =u
PT3 D(z (1) =x(1)
+u

> # Giai PT1 voi dieu kien bien:tim nghiem dang giai tích va
dang so:
86


>_T£:=1;DKB:
(T£)=p
=0;
> nghiem1
> nghiem1
>

impLi£y (dso1ve( (PT1 ,DKB} ) ) ;

nghieml

isolve ({PT1,DKB)

:Zp(1)= =l + e"”
,numeric)

;nghieml (0) ;

nghiem| := proc (x_rk/45) ... end proc
[f=0., p(t) = 1.71828173795964756,

odeplot (nghiem1,

[t,p(t)],t=0..T£, thickness=2, titl

p(t");

Ham p(t)

16:
12
° 08

04
a

02

04,05

08

i

> # Xac dinh diemm chuyen mạch tì:
> p(t)
=evalf (solve (p(t) ,t)) ;
> w_opt:=piecewise(t<t1,1, (t>=t1 and
t
api
OPEN 9 5

0ø
08
07

1

¡.< 013068528194
930685281945 rand 1< 1

Ham dieu khien optimal

06:

5

0702

04,08

08

1
87