Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI
VŨ THỊ HẢI THANH
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 40
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Nguyễn Đình Sang
Hà Nội - 2012
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Cực trị hàm số 1
1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Các phương pháp tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ . . . . . . . 2
1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . 9
1.3 Một số bài toán tổng quát và ứng dụng . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 19
2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . 19
2.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp 20
2.1.3 Một số tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Một số định lý về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 24

2.2 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . 26
2.2.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Phương pháp tập giá trị . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . 44
i
MỤC LỤC
2.2.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . 51
2.2.6 Một số bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . 63
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ii
Lời nói đầu
Bài toán cực trị địa phương và cực trị tuyệt đối là những bài toán
rất quan trọng trong giải tích toán học và có nhiều ứng dụng khác nhau
trong toán học cũng như trong nhiều ngành khoa học khác như: Kinh
tế, Khoa học công nghệ, v.v.
Để giải bài toán cực trị, có nhiều phương pháp khác nhau. Mục đích
của luận văn là giới thiệu các phương pháp giải dạng toán này, cho bình
luận về các phương pháp đó đồng thời đưa ra một số ứng dụng. Những
ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong
phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản
luận văn chỉ nêu ra một số ứng dụng cơ bản.
Bản luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Cực trị hàm số.
Trình bày bài toán cực trị địa phương, đưa ra điều kiện cần, điều kiện
đủ để có cực trị. Cho những ví dụ không thỏa mãn điều kiện đủ nhưng
vẫn có cực trị. Trình bày các phương pháp khác nhau để giải bài toán
cực trị, tổng quát hóa một số bài toán về cực trị với mong muốn đưa ra
cách giải nhanh gọn cho các bài toán dạng này.

Chương 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Phần đầu của chương trình bày định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên một tập, điều kiện đủ để tồn tại giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm một biến và các tính chất của giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất. Trong phạm vi chương trình phổ thông, hàm số nhiều
biến không được nghiên cứu. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất, giá nhỏ nhất
của hàm nhiều biến, ta phải quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của một tập hợp số. Phần tiếp theo luận văn trình bày một
số phương pháp khác nhau để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trong đó dành nhiều thời gian cho phương pháp bất đẳng thức.
Phần cuối chương là một số bài toán vận dụng phối hợp nhiều phương
pháp.
Lời cảm ơn
Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy, cô giáo, gia
đình và bạn bè.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS.TS.
Nguyễn Đình Sang, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, quyết định
hướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, những
người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại
trường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ,
động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận
văn này.
Ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong
phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản
luận văn mới chỉ trình bày được một phần nào đó. Do thời gian có hạn
và năng lực có phần hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi

những thiếu sót. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô
và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2012
Học viên
Vũ Thị Hải Thanh
Bảng kí hiệu
N tập các số tự nhiên
N
∗
tập các số tự nhiên khác không
Z tập các số nguyên
Z
+
tập số nguyên không âm
Z
∗
+
tập số nguyên dương
R tập số thực
R
∗
tập số thực khác không
R
+
tập số thực không âm
R
∗
+
tập số thực dương

C tập số phức
[a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
(a; b) = {x ∈ R|a < x < b}
(a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}
v
Chương 1
Cực trị hàm số
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày khái niệm về cực trị hàm số.
Điều kiện để có cực trị hàm số, đưa ra một số ví dụ minh họa điều kiện
cần, điều kiện đủ cũng như giới thiệu các phương pháp tìm cực trị kèm
theo các ví dụ và bài tập.
1.1 Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1. Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R.
Ta nói rằng, hàm f đạt cực đại địa phương(tương ứng cực tiểu địa
phương) tại x
0
∈ (a; b) nếu: ∃δ sao cho (x
0
− δ; x
0
+ δ) ⊂ (a; b) và
f(x
0
) ≥ f(x) (tương ứng f(x
0
) ≤ f(x)), với mọi x ∈ (x
0
− δ; x
0
+ δ) và

f không phải là một hằng số trong một lân cận nào đó của x
0
.
Điểm x
0
mà tại đó hàm đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa
phương được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
Định lý 1.1. (Định lý Fermat - Điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R.
Nếu điểm c ∈ (a; b) là điểm cực trị của hàm số f và nếu tồn tại f

(c)
thì f

(c) = 0.
Điểm x
0
mà tại đó f

(x
0
) = 0 hoặc đạo hàm không xác định được gọi
là điểm dừng của hàm f.
Nhận xét: Nếu hàm f : (a; b) → R là hàm khả vi trên (a; b) thì những
điểm cực trị của f phải nằm trong số các điểm dừng của f .
Định lý 1.2. (Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị)
Giả sử hàm số f liên tục trên (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên
1

Chương 1. Cực trị hàm số
các khoảng (a; x
0
) và (x
0
; b).
- Nếu f

(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x
0
thì hàm số
đạt cực tiểu tại điểm x
0
.
- Nếu f

(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x
0
thì hàm số
đạt cực đại tại điểm x
0
.
Định lý 1.3. Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b), x
0
là một
điểm dừng của f (x). Hàm f(x) khả vi cấp 1 và cấp 2 tại x
0
. Khi đó:
- Nếu f


(x
0
) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x
0
.
- Nếu f

(x
0
) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x
0
.
1.2 Các phương pháp tìm cực trị
1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ
Dựa vào điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị, ta xây
dựng các quy tắc tìm cực trị của hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a; b)
sau đây:
Quy tắc 1.
- Tìm f

(x) ;
- Tìm các điểm x
i
, (i = 1, 2, 3, ) mà tại đó f có đạo hàm bằng 0
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm;
- Xét dấu f

(x).Nếu f

(x) đổi dấu khi x qua điểm x

i
thì hàm số đạt
cực trị tại x
i
.
Ví dụ 1.1. Tìm cực trị của hàm số:
y =
3

x(1 − x)
2
Lời giải.
Hàm y xác định và liên tục trên R.
Với mọi x = 0 và x = 1
y

=
1 − 3x
3
3

x
2
(1 − x)
2
Chương 1. Cực trị hàm số
y

= 0 ⇔ x =
1

3
Lập bảng biến thiên của hàm y:
x
y

y
−∞
0
1
3
1
+∞
+ +
0
− +
−∞−∞
3
√
4
3
3
√
4
3
00
+∞+∞
0
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đạt cực đại tại x =
1

3
, giá trị cực đại của hàm số là y(
1
3
) =
3
√
4
3
.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 0.
Chú ý: Khi qua điểm x = 0 đạo hàm y

không đổi dấu nên hàm số đã
cho không có cực trị tại điểm x = 0.
Ví dụ 1.2. Tìm cực trị của hàm số:
y =


−x
2
+ 2x + 3


Lời giải.
Hàm y xác định trên R.
Ta có
y =



−x
2
+ 2x + 3


=

(|−x
2
+ 2x + 3|)
2
⇔ y =
(−x
2
+ 2x + 3)(−2x + 2)
|−x
2
+ 2x + 3|
=
f(x)
|−x
2
+ 2x + 3|
Xét f(x) = (−x
2
+ 2x + 3)(−2x + 2) = 0 ⇔

x = ±1
x = 3
Lập bảng biến thiên của hàm y

x
y

y
−∞
−1
1 3
+∞
− +
0
− +
+∞+∞
00
44
00
+∞+∞
3
Chương 1. Cực trị hàm số
Từ bảng biến thiên ta suy ra
Giá trị cực đại của hàm số y(1) = 4
Giá trị cực tiểu của hàm số y(−1) = 0; y(3) = 0
Ví dụ 1.3. Tìm cực trị của hai hàm số sau:
f(x) =

xe
−
1
x
với x = 0
0 với x = 0

g(x) =

e
−
1
x
2
với x = 0
0 với x = 0
Lời giải.
Ta có:
f

(x) = e
−
1
x
2
+
2
x
2
e
−
1
x
2
, ∀x = 0
Nhận thấy f


(x) > 0, ∀x = 0
Mặt khác, do
lim
x→0
−
xe
−
1
x
= −∞
Nên hàm f (x) không liên tục tại x = 0.
Từ đó suy ra hàm f (x) không có cực trị.
Hàm g(x) liên tục với mọi x,vì lim
x→0
e
−
1
x
2
= 0.
Ta thấy với mọi x = 0
g

(x) =
2
x
3
e
−
1

x
2
Lập bảng biến thiên của hàm g(x):
x
g

(x)
g(x)
−∞
0
+∞
− +
+∞+∞
00
+∞+∞
4
Chương 1. Cực trị hàm số
Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị cực tiểu của hàm số là g(0) = 0.
Nhận xét: Hai hàm f (x) và g(x) đều có đạo hàm không xác định tại
điểm x = 0. Nhưng khi qua điểm x = 0: hàm g(x) có đạo hàm đổi dấu
nên g(x) mới có cực trị, còn hàm f(x) thì đạo hàm không đổi dấu nên
không tồn tại cực trị.
Ví dụ 1.4. Tìm cực trị của hàm số:
y = (1 + x +
x
2
2!
+ +
x
n

n!
)e
−x
, n ∈ N
∗
.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có
y

= −
x
n
n!
e
−x
, n ∈ N
∗
• Với n = 2k, k ∈ N
Khi đó
y

= −
x
n
n!
e
−x
< 0, ∀x ∈ R

Do đó hàm số không có cực trị.
• Với n = 2k + 1, k ∈ N
Ta có y

= 0 ⇔ x = 0
Lập bảng biến thiên của hàm y :
x
y

y
−∞
0
+∞
+
0
−
−∞−∞
00
−∞−∞
Vậy giá trị cực đại của hàm y là y(0) = 0.
Ví dụ 1.5. Tìm cực trị của hàm số sau:
f(x) =

2 − x
2
(2 + sin
1
x
) với x = 0
2 với x = 0

5
Chương 1. Cực trị hàm số
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R vì lim
x→0
f(x) = 2.
Nhận thấy: f(x) − f(0) = −x
2
(2 + sin
1
x
) < 0, ∀x = 0
Mặt khác
f

(x) = −2x(2 + sin
1
x
) + cos
1
x
Với x
k
=
1
kπ
, k ∈ Z, ta có:
cos
1
x

k
=

1 với k chẵn
−1 với k lẻ
Từ đó suy ra:

f

(x) > 0 với k chẵn
f

(x) < 0 với k lẻ.
Như vậy f

(x) đổi dấu trong khoảng (0;
1
kπ
)
Tuy vậy ta vẫn kết luận được giá trị cực đại của hàm f(x) là f(0) = 2.
Nhận xét: Như vậy không phải hàm số nào cũng có đạo hàm không
đổi dấu về một lân cận ở phía phải (hay phía trái) của điểm cực trị. Hàm
số trong ví dụ (1.5) không thỏa mãn điều kiện đủ nhưng vẫn có cực trị.
Các hàm sơ cấp thường không có tình trạng này.
Quy tắc 2.
- Tìm f

(x) ;
- Tìm các nghiệm x
i

, (i = 1, 2, 3, ) của phương trình f

(x) = 0;
- Tìm f

(x) và tính f

(x
i
) :
Nếu f

(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x
i
.
Nếu f

(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x
i
.
Ví dụ 1.6. Tìm cực trị của hàm số:
y = x − sin2x + 2
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có y


= 1 − 2 cos 2x;
y

= 0 ⇔ x = ±
π
6
+ kπ (k ∈ Z)
6
Chương 1. Cực trị hàm số
• Vì y

= (
π
6
+ kπ) = 4 sin(
π
3
+ k2π) > 0
Nên hàm số đạt cưc tiểu tại x =
π
6
+ kπ và giá trị cực tiểu của hàm
số là y(
π
6
+ kπ) =
π
6
−
√

3
2
+ 2 + kπ, k ∈ Z.
• Vì y

(−
π
6
+ kπ) = 4sin(
π
3
+ k2π) < 0
Nên hàm số đạt cực đại tại x = −
π
6
+ kπ và giá trị cực đại của hàm
số là y(−
π
6
+ kπ) = −
π
6
+
√
3
2
+ 2 + kπ, k ∈ Z.
Ví dụ 1.7. Tìm cực trị của hàm số:
y =
e

x
+ e
−x
2
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có
y

=
e
x
− e
−x
2
y

= 0 ⇔ e
x
= e
−x
⇔ x = 0
Lại có
y

=
e
x
+ e
−x

2
⇒ y

(0) = 1 > 0
Như vậy y

(0) = 0; y

(0) > 0
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 1
Ví dụ 1.8. Tìm cực trị của hàm số:
y =

x
2
+ x + 1 +

x
2
− x + 1
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có
y

=
2x + 1
2
√
x

2
+ x + 1
+
2x − 1
2
√
x
2
− x + 1
y

= 0 ⇔ (2x + 1)

x
2
− x + 1 − (1 − 2x)

x
2
+ x + 1 = 0
⇔ 2x[(

x
2
− x + 1 +

x
2
+ x + 1) − 1] = 0
⇔


x = 0
√
x
2
− x + 1 +
√
x
2
+ x + 1 = 1
7
Chương 1. Cực trị hàm số
Do

x
2
− x + 1+

x
2
+ x + 1 =

(x +
1
2
)
2
+
3
4

+

(x −
1
2
)
2
+
3
4
≥ 2
√
3
2
> 1, ∀x
Nên y

= 0 ⇔ x = 0
Mặt khác
y

=
4
√
x
2
+ x + 1 −
(2x+1)
2
√

x
2
+x+1
4(x
2
+ x + 1)
+
4
√
x
2
− x + 1 −
(2x−1)
2
√
x
2
−x+1
4(x
2
− x + 1)
Suy ra y

(0) =
3
2
> 0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu của hàm số là
y(0) = 2.
Ví dụ 1.9. Cho hàm số y = (x − m)

3
− 3x.
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có y

= 3(x − m)
2
− 3, y

= 6(x − m).
Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0 khi:

y

(0) = 0
y

(0) < 0
⇔

3m
2
− 3 = 0
−6m < 0
⇔







m = −1
m = 1
m > 0
⇔ m = 1
Vậy m = 1 hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x = 0.
Ví dụ 1.10. Cho hàm số y = −2x + k
√
x
2
+ 1.
Tìm k để hàm số có cực tiểu.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục với mọi x ∈ R.
Ta có
y

= −2 +
kx
√
x
2
+ 1
=
kx − 2
√
x
2

+ 1
√
x
2
+ 1
8
Chương 1. Cực trị hàm số
y

=
k
(x
2
+ 1)
√
x
2
+ 1
Do đó y

và y

xác định và liên tục với mọi x ∈ R
Xét các trường hợp:
• Nếu k = 0 thì y = −2x, nên hàm số không có cực tri.
• Nếu k < 0 thì y

< 0, ∀x ∈ R, nên hàm số hoặc không có cực trị, hoặc
chỉ có cực đại.
• Nếu k > 0 thì y


> 0, ∀x ∈ R, nên hàm số đã cho có cực tiểu khi và
chỉ khi phương trình y

= 0 có nghiệm.
y

= 0 ⇔ 2

x
2
+ 1 = kx
⇔

kx ≥ 0
4(x
2
+ 1) = k
2
x
2
⇔

x ≥ 0 (1)
(k
2
− 4)x
2
= 4 (2)
Phương trình y


= 0 có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm.
Suy ra k
2
− 4 > 0 hay k > 2.
Vậy k > 2 hàm số đã cho có cực tiểu.
Nhận xét: Quy tắc 2 tìm cực trị hàm số được áp dụng trong trường
hợp hàm số chứa tham số hoặc khó xét dấu đạo hàm bậc nhất.
1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Khi tìm cực trị của các hàm số không tính được đạo hàm hoặc tính
được đạo hàm nhưng việc tìm nghiệm của phương trình y

= 0 gặp nhiều
khó khăn, ta có thể sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm cực trị
của hàm số. Nội dung của phương pháp như sau:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
+ Nếu ta tìm được giá trị x
0
mà f (x) ≥ f(x
0
), ∀x
0
∈ (x
0
−δ, x
0
+δ)
với (x
0
− δ, x

0
+ δ) ⊂ D, ∀δ > 0 và f không phải là hằng số trong một
lân cận của x
0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
+ Nếu ta tìm được giá trị x
1
mà f (x) ≤ f(x
1
), ∀x
1
∈ (x
1
−δ, x
1
+δ)
với (x
1
− δ, x
1
+ δ) ⊂ D, ∀δ > 0 và f không phải là hằng số trong một
lân cận của x
1
thì hàm số đạt cực đại tại x
1
.
9
Chương 1. Cực trị hàm số

Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ vận dụng phương pháp bất đẳng thức
để tìm cực trị hàm số.
Ví dụ 1.11. Tìm cực trị của hàm số:
y =
√
sin x −
4
√
cos x
Trong trường hợp này, nếu sử dụng phương pháp xét dấu đạo hàm
thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Mặc dù đây là hàm lượng giác nhưng ta
cũng không vận dụng được quy tắc 2 cho ví dụ này, do đó ta cần vận
dụng một phương pháp khác.
Lời giải.
Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số, ta luôn có:

0 ≤
√
sin x ≤ 1
−1 ≤ −
4
√
cos x ≤ 0
Suy ra −1 ≤ y =
√
sin x −
4
√
cos x ≤ 1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

π
2
+ k2π, k ∈ Z, giá trị cực đại của hàm
số là y = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = k2π, giá trị cực tiểu của hàm số là
y = −1.
Ví dụ 1.12. Xét hàm số:
f(x, y) = (x
2
+ y
2
)e
−(x
2
+y
2
)
Tìm cực trị của hàm số f.
Đây là một hàm số 2 biến, trong phạm vi chương trình phổ thông ta
không sử dụng được hai quy tắc tìm cực trị trong trường hợp này. Ví dụ
này được giải bằng phương pháp bất đẳng thức như sau.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta thấy

f(x; y) ≥ 0, ∀(x; y)
f(0; 0) = 0
Suy ra f (x; y) ≥ f(0; 0), ∀(x; y)
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại một điểm duy nhất khi x = y = 0, và giá
trị cực tiểu của hàm số là f (0; 0) = 0.

10
Chương 1. Cực trị hàm số
Ví dụ 1.13. Tìm cực tiểu của hàm số
f(x) =

x
3
+ 2(1 +

x
3
+ 1) +

x
3
+ 2(1 −

x
3
+ 1) với x ≥ 0
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định với mọi x ≥ 0 Ta có
f(x) =

(

x
3
+ 1 + 1)
2

+

(

x
3
+ 1 − 1)
2
=




x
3
+ 1 + 1



+




x
3
+ 1 − 1




≥ 2

x
3
+ 1
Suy ra f (x) ≥ 2
Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số f(0) = 2
1.3 Một số bài toán tổng quát và ứng dụng
1.3.1 Bài toán tổng quát
Bài toán 1. Cho hàm số f(x) > 0, ∀x ∈ TXĐ và hàm F (x) = cf
2
(x),
với c > 0 bất kỳ.
Chứng minh rằng F (x) và f(x) có cùng các điểm cực trị.
Chứng minh.
• Giả sử x
0
là điểm cực đại của hàm f(x), tức là
0 < f(x) < f(x
0
), x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}
Từ đó suy ra cf
2
(x) < cf
2
(x
0

), với c > 0
Hay F (x) < F (x
0
), x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}
Vậy x
0
cũng là điểm cực đại của hàm F (x).
Tương tự với trường hợp x
1
là điểm cực tiểu.
• Giả sử x
0
là điểm cực đại của hàm F (x), tức là
0 < F (x) < F (x
0
), x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}
Lại có F (x) = cf
2
(x), với c > 0, f(x) > 0, x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}
Từ đó suy ra f(x) < f (x
0
), x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}

Vậy x
0
cũng là điểm cực đại của hàm f (x).
11
Chương 1. Cực trị hàm số
Tương tự với trường hợp x
1
là điểm cực tiểu.
Kết luận: f (x) và F (x) có cùng cực trị.
Nhận xét: Tổng quát hóa bái toán trên, ta được kết quả sau đây:
Cho hàm số f(x) > 0, ∀x ∈ TXĐ và hàm F (x) = cf
2n
(x), với c > 0
bất kỳ và n ∈ N
∗
.
Khi đó hai hàm F (x) và f(x) có cùng các điểm cực trị.
Ví dụ 1.14. Tìm cực trị của hàm số:
f(x) =
4

x
2
+ x + 1
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Đặt F (x) = f
4
(x) = x
2

+ x + 1 ⇒ F

(x) = 2x + 1
F

(x) = 0 ⇔ x = −
1
2
Lập bảng biến thiên của hàm F (x):
x
F

(x)
F (x)
−∞
−
1
2
+∞
−
0
+
+∞+∞
3
4
3
4
+∞+∞
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm F (x) đạt cực tiểu tại x = −
1

2
Lại có: f (x) > 0, ∀x ∈ R và hàm F (x) = f
4
(x).
Nên hàm F (x) và f(x) có cùng các điểm cực trị.
Do đó hàm f(x) cũng đạt cực tiểu tại x = −
1
2
, giá trị cực tiểu của hàm
f(x) là f (−
1
2
) =
4

3
4
.
Bài toán 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên D ⊂ R và ϕ(x)
là một hàm đồng biến, liên tục với mọi x ∈ R.
Chứng minh rằng hàm f(x) có cùng cực trị với hàm ϕ[f(x)].
Chứng minh.
Giả sử hàm f(x) đạt cực đại tại điểm x
0
, tức là f(x) ≤ f(x
0
), ∀x ∈ D.
12
Chương 1. Cực trị hàm số
Vì ϕ(x) là hàm đồng biến với mọi x ∈ R.

Nên ϕ[f(x)] ≤ ϕ[f(x
0
)], ∀x ∈ D
Như vậy hàm ϕ[f(x)] cũng đạt cực đại tại điểm x
0
Chứng minh tương tự với trường hợp cực tiểu.
Kết luận: hàm f(x) và ϕ[f(x)] có cùng các điểm cực trị.
Ví dụ 1.15. Tìm cực trị của hàm số:
y = 2
x
x
2
+1
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R.
Vì hàm y = log
2
x là hàm đồng biến với x > 0, nên hàm y = 2
x
x
2
+1
có
cùng các điểm cực trị với hàm f(x) = log
2
2
x
x
2
+1

=
x
x
2
+1
.
Ta có f

(x) =
1−x
2
(x
2
+1)
2
.
f

(x) = 0 ⇔ x = ±1
Lập bảng biến thiên của hàm f(x):
x
f

(x)
f(x)
−∞
−1
1
+∞
−

0
+
0
−
+∞+∞
−
1
2
−
1
2
1
2
1
2
−∞−∞
Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm f (x) đạt cực tiểu tại x = −1 và đạt
cực đại tại x = 1.
Do đó hàm y cũng đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu của hàm y
là y(−1) =
1
√
2
.
Hàm y đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại của hàm y là y(1) =
√
2.
Bài toán 3. Cho hàm số ϕ(x) là hàm liên tục, đồng biến với mọi x ∈ R
và f(X) là hàm số đạt cực tiểu tại X
0

= ϕ(x
0
).
Chứng minh rằng hàm f[ϕ(x)] cũng đạt cực tiểu tại x
0
.
Chứng minh.
Giả sử hàm f(X) đạt cực tiểu tại điểm X
0
= ϕ(x
0
), tức là
f(X) ≥ f (X
0
), ∀x ∈ (X
0
− δ; X
0
+ δ) với δ > 0
13
Chương 1. Cực trị hàm số
Giả sử ϕ(x
0
− α) = X
0
− δ , ϕ(x
0
+ α) = X
0
+ δ, .

Nên ϕ[f(x)] ≤ ϕ[f(x
0
)], ∀x ∈ D
Như vậy hàm ϕ[f(x)] cũng đạt cực tiểu tại điểm x
0
Chứng minh tương tự với trường hợp cực đại.
Kết luận: hàm f(x) và ϕ[f(x)] có cùng các điểm cực trị.
Ví dụ 1.16. Tìm cực trị của hàm số:
y = sin ln x
Lời giải.
Vì hàm y = sin X là hàm tuần hoàn nên ta chỉ cần xét trong

−
π
2
;
π
2

Nhận thấy: hàm y = sin X đạt cực đại tại X =
π
2
.
Áp dụng kết quả bài toán 3 ta suy ra hàm y = sin ln x đạt cực đại tại
ln x =
π
2
⇔ x = e
π
2

.
Tương tự: y = sin X đạt cực tiểu tại X = −
π
2
.
Suy ra hàm y = sin ln x đạt cực tiểu tại ln x = −
π
2
⇔ x = e
−
π
2
.
1.3.2 Bài tập tham khảo
Bài tập 1.1. Tìm cực trị của hàm số
y = (x − 1)e
x
2
−5x+6
x−1
Lời giải.
Hàm số dã cho xác định với mọi x = 1
Ta có
y

= e
x
2
−5x+6
x−1

+
x
2
− 2x − 1
x − 1
e
x
2
−5x+6
x−1
y

= 0 ⇔
x
2
− x − 2
x − 1
e
x
2
−5x+6
x−1
= 0
⇔
(x + 1)(x − 2)
x − 1
e
x
2
−5x+6

x−1
= 0
⇔

x = −1
x = 2
Lập bảng biến thiên của hàm số y
14
Chương 1. Cực trị hàm số
x
y

y
−∞
−1
1 2
+∞
−
0
+ −
0
+
00
−2e
−6
−2e
−6
0
+∞
11

+∞+∞
Từ bảng biến thiên ta suy ra:
Giá trị cực tiểu của hàm số y(−1) = −2e
−6
, y(2) = 1
Bài tập 1.2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = |x|e
−|x−1|
b) y = |x|
1
√
2
|1 − x|
1−
1
√
2
c) y =
1
2
(cos x + |cos x|)
Lời giải.
a) Xét các trường hợp:
• Với x < 0, ta có
y =
−x
e
1−x
y


=
−1 − x
e
1−x
; y

= 0 ⇔ x = −1
Lập bảng biến thiên của hàm y trong (−∞; 0)
x
y

y
−∞
−1
0
+
0
−
−∞−∞
1
e
2
1
e
2
00
Do đó hàm số đạt cực đại tại x = −1, giá trị cực đại của hàm số là
y(−1) =
1
e

2
.
• Với 0 ≤ x < 1, ta có
y =
x
e
1−x
; y

=
x + 1
e
1−x
15
Chương 1. Cực trị hàm số
Nhận thấy y

> 0, ∀x [0; 1)
Suy ra y ≥ y(0), ∀x [0; 1)
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu của hàm số là
y(0) = 0.
• Với x ≥ 1, ta có
y =
x
e
x−1
y

=
1 − x

e
x−1
; y

= 0 ⇔ x = 1
Lập bảng biến thiên của hàm y trong (1; +∞)
x
y

y
1
+∞
0
+
11
+∞+∞
Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại của hàm số là
y(1) = 1.
b) Chứng minh tương tự phần a), ta được kết quả
• Tại x = 0 hàm số đạt giá trị cực tiểu y = 0
• Tại x = 1 hàm số đạt giá trị cực tiểu y = 1
• Tại x = 1 +
1
√
2
hàm số đạt giá trị cực tiểu
y = (1 +
1
√
2

)
1
√
2
(
1
√
2
)
1−
1
√
2
c) Giá trị cực tiểu của hàm số là y = 0, tại điểm x =
π
2
.
Giá trị cực đại của hàm số là y = 1, tại điểm x = 0
Bài tập 1.3. Cho f (x) = x
n
+ (a − x)
n
với a > 0 và n ∈ Z, n ≥ 2
Tìm cực trị của hàm f (x).
Lời giải.
Hàm số dã cho xác định với mọi x ∈ R
Ta có
f

(x) = nx

n−1
− n(a − x)
n−1
= n

x
n−1
− (a − x)
n−1

16
Chương 1. Cực trị hàm số
f

(x) = 0 ⇔ x
n−1
= (a − x)
n−1
(∗)
• Nếu n chẵn, khi đó
(∗) ⇔ x = a − x ⇔ x =
a
2
• Nếu n lẻ, khi đó
(∗) ⇔

x = a − x
x = x − a
⇔


2x = a
a = 0
⇔ x =
a
2
Từ đó suy ra f

(x) = 0 ⇔ x =
a
2
.
Lại có
f

(x) =n(n − 1)

x
n−2
+ (a − x)
n−2

⇒ f

(
a
2
) =n(n − 1)

(
a

2
)
n−2
+ (
a
2
)
n−2

=2n(n − 1)(
a
2
)
n−2
> 0,

a > 0
2 ≤ n ∈ Z
.
Do f

(
a
2
) = 0 và f

(
a
2
) > 0 nên giá trị cực tiểu của hàm số f (

a
2
) = 2(
a
2
)
n
.
Bài tập 1.4. Cho m, n là các số tự nhiên. Tìm cực trị của hàm số
y = x
m
(1 − x)
n
Gợi ý:
• Tại x = 0: khi m chẵn, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu của hàm
số là: y(0) = 0
Khi m lẻ, hàm số không có cực trị.
• Tại x = 1: khi n chẵn, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu của hàm
số là: y(1) = 0
Khi n lẻ, hàm số không có cực trị.
• Tại x =
m
m+n
hàm số đạt cực đại, giá trị cực đại của hàm số là:
y(
m
m + n
) =
m
m

n
n
(m + n)
m+n
Bài tập 1.5. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)f(x) =

e
−
π
2
x
2
(
√
2 + sin
π
2
x
2
) với x = 0
0 với x = 0
17
Chương 1. Cực trị hàm số
b)g(x) =

e
−
1
|x|

(
√
2 + cos
1
x
) với x = 0
0 với x = 0
Lời giải.
a) Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R, vì lim
x→0
f(x) = 0
Do
f

(x) =
2π
2
x
3
e
−
π
2
x
2
(
√
2 + sin
π
2

x
2
− cos
π
2
x
2
)
Nên

f

(x) > 0 với x > 0
f

(x) < 0 với x < 0
Lại có f (x) − f (0) = e
−
π
2
x
2
(
√
2 + sin
π
2
x
2
) > 0, ∀x = 0

Từ đó suy ra giá trị cực tiểu của hàm số là f(0) = 0
b) Chứng minh tương tự phần a), ta có:
Giá trị cực tiểu của hàm g(x) là g(0) = 0.
18
Chương 2
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
2.1 Các khái niệm cơ bản
Trong phần này ta sẽ nêu ra một số khái niệm cơ bản về giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến, hàm số nhiều biến và của
một tập hợp.
2.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên D ⊂ R. Khi đó:
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trong miền D nếu
đồng thời xảy ra hai điều kiện:
1) f (x) ≤ M với mọi x ∈ D;
2) Tồn tại x
1
∈ D sao cho f(x
1
) = M.
Ký hiệu: M = max
x∈D
f(x).
• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trong miền D
nếu đồng thời xảy ra hai điều kiện:
1) f (x) ≥ m với mọi x ∈ D;
2) Tồn tại x
2
∈ D sao cho f(x
2

) = m.
Ký hiệu: m = min
x∈D
f(x).
Định nghĩa 2.2. Cho hàm số n biến
F = f (x
1
, x
2
, , x
n
) : D ⊂ R
n
→ R
19