Chuong 5 Phương Trình Vi Phân Cấp 1.Pdf

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1


Thành lập phương trình vi phân.
PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu
đạo hàm hoặc vi phân.
Khi thành lập ptvp trong các bài toán vật lý ta thường

áp dụng phương pháp vi phân (xử lý các đại lượng thay
đổi nhỏ). Khi đó tỷ số xấp xỉ giữa các số gia nhỏ
( y/x) được thay bằng tỷ số vi phân (dy/dx).
Một phương pháp khác là sử dụng ý nghĩa vật lý của
đạo hàm (tốc độ biến đổi của quá trình).


Thành lập phương trình vi phân.
Khi thành lập ptvp trong các bài tốn hình học ta
thường sử dụng các tính chất của tiếp tuyến, pháp
tuyến hay ý nghĩa của đạo hàm (hệ số góc tiếp tuyến).
Một dạng khác là sử dụng tích phân với cận biến thiên
(định lý cơ bản của vi tích phân)


Thành lập phương trình vi phân.
y
t=
1 + y2 ,
y
M ( x, y )
t

y

st

x sn

n

n = y 1 + y 2

y
st =
y
sn = yy


Bài tốn dẫn về phương trình vi phân
Vận tốc nguội lạnh của một vật trong khơng khí tỷ lệ

với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ khơng khí.
Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của

không khí là 200C và nhiệt độ ban đầu của vật là
1000C.
Quy luật giảm nhiệt  sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian
Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t

dT
0

= k T (t ) − 20 , T (0) = 100 C
dt

 PTVP


Bài tốn dẫn về phương trình vi phân
Tìm một đường cong y=f(x) đi qua điểm (3,2). Biết

rằng đoạn chắn của tiếp tuyến (với đường cong tại 1
điểm bất kỳ) trên hai trục tọa độ luôn bị chia đôi bởi

tiếp điểm.
 y = − y

x

 y (3) = 2

B
y

M
x

A


BÀI TỐN DẪN VỀ PTVP
Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn

[1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y)
thuộc đường cong (x>0, y>0)
x

M(x,y)

1

1

y (t )dt = 2 xy ( x)

Đạo hàm 2 vế
1

Lưu ý: y (1) = 1

x

y ( x) = 2 y ( x) + 2 xy '( x)
 2 xy '( x) + y ( x) = 0


BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP
20cm

100m / s

v = 400m / s

0

Giả thiết: lực cản của tường tỷ
lệ bình phương vận tốc.

Hỏi: thời gian viên đạn xuyên tường.


BÀI TỐN DẪN VỀ PTVP
Khi kéo dãn lị xo khỏi vị trí
cân bằng, lực phục hồi cho bởi
định luật Hooke :

F = −kx
Theo định luật 2 của Newton:
2

d x
m 2 = −kx
dt

ma = F = −kx

d 2x
 2 + 02 x = 0
dt


MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1.PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm

dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân.
2.Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của
ẩn hàm.
3.Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến  PTVP thường.
Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến  PTVP đạo
hàm riêng.
4.Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn
hàm.


NGHIỆM CỦA PTVP
Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y(n)) = 0

(1)

1.Hàm số y = (x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci là
các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1).

Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta được nghiệm
riêng của (1).
2.Hàm (x,c1,…,cn, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích
phân tổng qt của (1) (y được tìm ở dạng ẩn)
Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta đươc tích phân
riêng của (1).


NGHIỆM CỦA PTVP

3.Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong
tích phân.

Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1
Xét ptvp cấp 1: F(x, y, y’) = 0

(1)

Bài tốn tìm hàm y thỏa (1) với điều kiện ban
đầu
y(x0) = y0
Gọi là bài toán Cauchy.


MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1
• Phương trình tách biến
• Phương trình đẳng cấp

• Phương trình tuyến tính cấp 1
• Phương trình vi phân tồn phần( khơng học)

• Phương trình Bernoulli.


PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN
Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác
nhau gọi là phương trình tách biến.
Dạng: y = f ( x ) g ( y )
Phương pháp giải: tích phân 2 vế
Viết lại pt:

f1 ( x ) dx = g1 ( y ) dy

 f ( x ) dx =  g ( y ) dy
1

1


Ví dụ
3 y 2 y = 2 x (1)

(2)
 y ( 0 ) = 1

(1)  3y dy = 2 xdx
2

  3y dy =  2 xdx
2

 y = x +C
3

2

( tích phân tổng quát )

Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ  C = 1.
Vậy tích phân riêng là: y 3 = x 2 + 1

Ví dụ

xy = y
1.y = 0 là 1 nghiệm của pt
2.y  0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0)
dy dx
(1) 
=

ln
y
=
ln
x
+
c
y
x

 ln y − ln x = c

y
y
c
 = e  = C, C  0
x
x
y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quát.

Ví dụ
2

y = 3x y, y ( 0 ) = 2

Hàm y = 0 không thỏa đk ban đầu nên không xét.
dy
dy
2
2
2
y ' = 3x y 
= 3x dx   =  3x dx
y
y
 ln y = x3 + c
Tìm nghiệm riêng

phải bỏ dấu trị tuyệt
đối của y.

x = 0, y = 2  C = 2 

 y =e

x3 + c
x3

 y = Ce ,

y = 2e

x3

c x3

=e e

C0


Ví dụ
y’ –

xy2

= 2xy

 y’ = xy + 2 xy = xy ( y + 2) (1)
2

1 1
1 
dy
dy =  xdx
(1) 
= xdx    −

2  y y + 2

y ( y + 2)
Chia không biện

luận phải dùng .

y
 ln
= x2 + c
y+2
y
x2

= Ce
y+2


Bài tập
An gửi 400 USD trong 1 tài khoản tiết kiệm trả lãi kép theo
tỷ lệ 3%/năm. Cô cũng sắp xếp để gửi tự động 10USD vào
tài khoản mỗi tuần.
Giả sử tiền gửi hàng tuần gần bằng tiền gửi liên tục để
chúng ta có thể ước tính hợp lý số dư bằng cách sử dụng
ptvp. Hãy ước tính số dư của An sau 4 năm bằng cách giải

quyết bài toán giá trị ban đầu so với số dư theo thời gian t.


GIẢI
Một năm có 52 tuần => 1 năm bỏ thêm 520 USD.
P'

P ' = 0, 03P + 520 =
=1
0, 03P + 520
dP
dP
=
= dt = 
=  dt
0, 03P + 520
0, 03P + 520

1 0,03t +C 520
= P(t ) =
e
−
0, 03
0, 03

Với t=0;P=400 = C = ln(532)

532 0,03t 520
= P(t ) =
e
−
0, 03
0, 03

Vậy sau 4 năm:

= P(4)  2660,9USD

Bài tập
Vận tốc nguội lạnh của 1 vật trong không khí tỷ lệ với hiệu

giữa nhiệt độ vật thể và nhiệt độ khơng khí. Hãy tìm quy
luật nguội lạnh của vật nếu nhiệt độ khơng khí là 20 độ C

và sau 20 phút thì nhiệt độ vật giảm từ 100 độ C xuống 60
độ C. Hỏi sau bao lâu nhiệt độ vật giảm tới 30 độ C.

Giải
Gọi T(t) là nhiệt độ của vật ở thời điểm t.
= T '(t ) = k (T − 20)
dT
=
= kdt
T − 20
= T = Ce kt + 20


Vì t=0;T=100 độ C

= C = 80
= T = 20 + 80e

Vì t=20;T=60 độ C

kt

− ln 2
= k =
20

Quy luật nguội lạnh là: = T = 20 + 80e

− ln 2
t
20

Nhiệt độ vật giảm tới 30 độ C: T = 30 = t = 60'