Chương 5 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 pptx

Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
Đại học Quốc gia TP.HCM
Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
1.Định nghĩa:
Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng
F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)
•
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1
là hàm y=φ(x,c)
Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và
y’(x) là đạo hàm của nó
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
•
Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi
cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là
nghiệm riêng.
•
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng
nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát
cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm

kỳ dị
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
2
1' yy −=
2
1' y
dx
dy
y −==
VD: Xét phương trình vi phân cấp 1
Ta có:
)1:(
1
2
±≠=
−
⇒ yĐKdx
y
dy
(*)
cxycx
y
dy
+=⇒+=
−
⇒
∫
arcsin
1

2
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
Đây là nghiệm tổng quát
Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên
cũng là nghiệm của phương trình vi phân này
nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng
quát nên là nghiệm kỳ dị
2. Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của
phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điều
kiện ban đầu y(x
o
) = y
o
.
)sin( cxy +=⇒
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
x
y
y ='
x
y
dx
dy
y =='
0: ≠=⇒ yĐK
x
dx

y
dy
cxy
x
dx
y
dy
+=⇒=⇒
∫ ∫
lnln
xcy .=⇒
VD: Xét bài toán Cauchy
Ta có:
thỏa y(1) = 2
Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2
Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2
là y=2.x
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
3 Các loại phương trình vi phân cấp 1
3.1 Phương trình tách biến
a. Dạng: f(x)dx + g(y)dy = 0
b. Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm
tổng quát của phương trình là:
Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là
nghiệm riêng.
∫∫
=+ cdyygdxxf )()(
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1

cyx 2
22
=+⇒
là nghiệm của phương trình.
c
y
x
=+⇒
22
2
2
∫∫
=+ cydyxdx
VD: Giải phương trình vi phân
Ta có:
0=+ ydyxdx
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
c. Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về
dạng tách biến
∗
Phương trình dạng: y’=f(y)
dx
yf
dy
=
)(
•
Nếu f(y) = 0 có nghiệm y=b thì y=b là
nghiệm riêng của phương trình.

•
Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng
tách biến:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
y
y
y
2
1
'
−−
=
2
1
)
2
1
( =y
VD: Tìm nghiệm của phương trình
thỏa điều kiện
y
y
dx
dy
y
2
1
'
−

−==
)1:(
1
2
±≠=
−
−⇒ yĐKdxdy
y
y
∫ ∫
=
−
−⇒ dxdy
y
y
2
1
Ta có:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
2
1
)
2
1
( =y
xy =−
2
1
1±=y

Từ điều kiện đầu
Vậy nghiệm của bài toán là
Trường hợp: không thỏa điều kiện đầu
cxy +=−⇒
2
1
ta giải được c = 0
nên ta loại nghiệm này
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
0)(.)()(.)(
2211
=+ dyygxfdxygxf
0)(.)(
21
≠xfyg
)(.)(
21
xfyg
0
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
=+ dy
yg

yg
dx
xf
xf
∗
Phương trình dạng:
•
Nếu chia 2 vế phương
tách biến:
trình cho
ta được phương trình
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
của phương trình.
0)(
2
=xf
0)(
1
=yg
•
Nếu
riêng của phương trình.
tại x=a thì x=a là 1 nghiệm
•
Nếu
tại y=b thì y=b là 1 nghiệm
0)1()1(
22
=+++ dyxydxyx

0)1).(1(
22
≠++ yx
VD1: Tìm nghiệm của phương trình
Vì
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
)1).(1(
22
yx ++
0
11
22
=
+
+
+
dy
y
y
dx
x
x
∫ ∫
=
+
+
+
⇒ cdy
y

y
dx
x
x
22
11
ta được phương trình tách biến:
chia 2 vế phương trình cho
cyx =+++⇒ )1ln(
2
1
)1ln(
2
1
22
*222
)1).(1( ceyx
c
==++⇒
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
dxydyxy )1(
2
+−=
0)1.( ≠+yx
)1.( +yx
0
1
1
2

=+
+
dx
x
dy
y
y
cxyy
y
=+++−⇒ ln1ln
2
2
VD2: Tìm nghiệm của phương trình:
(*)
, chia 2 vế phương trình cho
ta được
•
Nếu
∫ ∫
=+
+
⇒ cdx
x
dy
y
y
1
1
2
Chương 5: Phương Trình Vi Phân

Cấp 1
0=x
1−=y
)(' cbyaxfy ++=
cbyaxz ++=
'' byaz +=
)(' zbfaz +=
•
Ta thấy và
nên đều là nghiệm của phương trình này.
Đặt
Thay vì tìm hàm y(x) ta tìm hàm z(x).
Thay vào phương trình đầu ta được:
thỏa phương trình (*)
∗
Phương trình dạng
(với z=z(x))
Ta có:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
yxy += 2'
2''2 −=⇒+= zyyxz
zz =−2'
VD: Tìm nghiệm của phương trình
Đặt
Thay y’ vào phương trình đầu ta đươc:
02 ≠+z
dx
z
dz

=
+ 2
cxz +=+⇒ 2ln
•
Trường hợp
ta có:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứng
với
x
ecyx .22 +−=+⇒
22. −−=⇒ xecy
x
2202 −−=⇒=+ xyz
0=c
•
Trường hợp
x
ecz .2 =+⇒
x
ecz .2 +−=⇒
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
)('
x
y
fy =
''. xuuyxuy
x

y
u +=⇒=⇒=
3.2 Phương trình đẳng cấp:
b)Cách giải:
a) Dạng:
Đặt
uufxu −= )('
Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
1' ++=
x
y
ey
xy
''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
1'1' +=⇒++=+
uu
exuuexuu
VD1: Tìm nghiệm của phương trình:
Đặt
Thay y’ và vào phương trình đầu ta được
phương trình:
x
dx
e
du

u
=
+
⇒
1
(đây là phương trình tách biến)
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
cxeu
u
+=++⇒ ln)1ln(
x
y
u =
cxe
x
y
xy
+=++ ln)1ln(
Thay ta được
∫ ∫
=
+
⇒
x
dx
e
du
u
1

Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
0)2( =−+ xdydxyx
)0:(21 ≠+=⇒ xĐK
x
y
dx
dy
''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
VD2: Tìm nghiệm của phương trình
Đặt
uxuu 21' +=+
)01:(
1
≠+=
+
⇒ uĐK
x
dx
u
du
Thay y’ vào phương trình ta được
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
x
y
u =

)1( −= cxxy
0=x
xy −=
Thay
ta có:
Trường hợp
và
trình đầu nên ta nhận 2 nghiệm này.
xcucxu .1ln1ln =+⇒+=+⇒
thỏa mãn phương
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1
)()(' xQyxPy =+
0)( =xQ
0)(' =+ yxPy
0)( ≠xQ
)()(' xQyxPy =+
3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1
•
Nếu thì phương trình
thì phương trình
được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất.
a. Dạng:
(*)
được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
•
Nếu
Chương 5: Phương Trình Vi Phân
Cấp 1

]).([
)()(
∫
+=
∫∫
−
cdxexQey
dxxPdxxP
xxxyy cossincos' =+
b. Cách giải:
VD1: Tìm nghiệm của phương trình
]).([
)()(
∫
+=
∫∫
−
cdxexQey
dxxPdxxP
Áp dụng công thức nghiệm :
Nghiệm tổng quát của phương trình
tuyến tính cấp 1 (*) có dạng: