PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

i
PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007
TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA

TRẦN ÍCH THỊNH
NGÔ NHƯ KHOA
HÀ NỘI 2007
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Pp
 Lý thuyết
 Bài tập
 Chương trình MATLAB
GS, TS Trần Ích Thịnh
TS. Ngô Như Khoa
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007
MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn
dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên
trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích
trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ

thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ,
Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu
hàn v.v.:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác
nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử
hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương
4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình
tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và
khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và
hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần
áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được
giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán
động lực học một số kết cấu.
i
Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình
Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến
thức của mình.
Giáo trình được biên soạn bởi:
- GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9.
- TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình

Matlab.
Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối
nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng
trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình.
Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên
Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.
Tập thể tác giả
ii
MỤC LỤC
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Chương 1 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
5.1. GIỚI THIỆU CHUNG 1
5.2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
5.3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 2
3.1. Nút hình học 2
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 2
5.4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 2
5.5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC 4
5.6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU 5
5.7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 6
5.8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
7
5.9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN 8
Chương 2 12
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 12
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN 12

1.1. Véctơ 13
1.2. Ma trận đơn vị 13
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận 13
1.4. Nhân ma trận với hằng số 13
1.5. Nhân hai ma trận 14
1.6. Chuyển vị ma trận 14
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 15
1.8. Định thức của ma trận 15
1.9. Nghịch đảo ma trận 16
1.10. Ma trận đường chéo 17
1.11. Ma trận đối xứng 17
1.12. Ma trận tam giác 17
2. PHÉP KHỬ GAUSS 18
2.1. Mô tả 18
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 19
Chương 3 22
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 22
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 22
1. CÁC VÍ DỤ 22
iii
1.1. Ví dụ 1 22
1.2. Ví dụ 2 24
2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 28
2.1. Nguyên tắc chung 28
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: 29
Chương 4 31
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 31
1. MỞ ĐẦU 31
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 31
3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 32

4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 36
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 37
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 38
7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU
HẠN 39
8. VÍ DỤ 41
9. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU MỘT CHIỀU - 1D 47
10. BÀI TẬP 51
Chương 5 53
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 53
1. MỞ ĐẦU 53
2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 53
3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 55
4. ỨNG SUẤT 56
5. VÍ DỤ 56
6. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH HỆ THANH PHẲNG 58
7. BÀI TẬP 68
Chương 6 72
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 72
1. MỞ ĐẦU 72
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng 73
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng 73
2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 74
3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 77
4. THẾ NĂNG 81
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 81
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 82
7. VÍ DỤ 85
5.1. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU TRẠNG THÁI ỨNG
SUẤT PHẲNG 90

8. BÀI TẬP 101
iv
Chương 7 105
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI
XỨNG 105
1. MỞ ĐẦU 105
2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 105
3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 107
4. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU ĐỐI XỨNG TRỤC 116
5. BÀI TẬP 125
Chương 8 129
PHẦN TỬ TỨ GIÁC 129
1. MỞ ĐẦU 129
5.1. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 129
5.2. HÀM DẠNG 130
5.3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 132
5.4. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 134
5.7. TÍCH PHÂN SỐ 135
5.8. TÍNH ỨNG SUẤT 139
5.9. VÍ DỤ 140
5.10. CHƯƠNG TRÌNH 142
5.11. BÀI TẬP 154
Chương 9 156
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 156
1. GIỚI THIỆU 156
5.12. THẾ NĂNG 157
5.13. HÀM DẠNG HERMITE 157
5.14. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 159
5.15. QUY ĐỔI LỰC NÚT 161
5.16. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 163

5.17. KHUNG PHẲNG 163
5.18. VÍ DỤ 166
5.19. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH DẦM CHỊU UỐN 171
5.20. BÀI TẬP 180
Chương 10 183
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 183
1. GIỚI THIỆU 183
2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 183
2.1. Mô tả bài toán 183
2.2. Phần tử một chiều 183
2.3. Ví dụ 185
3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 187
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 187
v
3.2. Điều kiện biên 188
3.3. Phần tử tam giác 189
3.4. Xây dựng phiếm hàm 191
3.5. Ví dụ 195
4. CÁC CHƯƠNG TRÌNH TÍNH BÀI TOÁN DẪN NHIỆT. .197
4.1. Ví dụ 10.1 197
4.2. Ví dụ 10.2 202
5. BÀI TẬP 208
Chương 11 212
PHẦN TỬ HỮU HẠN 212
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 212
1. GIỚI THIỆU 212
2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 212
3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 215
1. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 222
2. PHẦN TỬ VỎ 225

4. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU UỐN 228
5. BÀI TẬP 237
Chương 12 240
PHẦN TỬ HỮU HẠN 240
TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE 240
1. GIỚI THIỆU 240
2. PHÂN LOẠI VẬT LIỆU COMPOSITE 240
3. MÔ TẢ PTHH BÀI TOÁN TRONG TRẠNG THÁI ỨNG
SUẤT PHẲNG 242
3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng 242
3.2. Ví dụ 244
4. BÀI TOÁN UỐN TẤM COMPOSITE LỚP THEO LÝ
THUYẾT MINDLIN 247
4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết
Mindlin 247
4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn. 252
5.21. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM COMPOSITE LỚP CHỊU
UỐN 256
2. BÀI TẬP 274
Chương 13 275
PHẦN TỬ HỮU HẠN 275
TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU 275
1. GIỚI THIỆU 275
2. MÔ TẢ BÀI TOÁN 275
3. VẬT RẮN CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ 277
vi
4. MA TRẬN KHỐI LƯỢNG CỦA PHẦN TỬ CÓ KHỐI
LƯỢNG PHÂN BỐ 279
4.1. Phần tử một chiều 279
4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng 279

4.3. Phần tử tam giác 280
4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục 281
4.5. Phần tử tứ giác 283
4.6. Phần tử dầm 283
4.7. Phần tử khung 284
5.1. VÍ DỤ 284
5. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA
DẦM VÀ KHUNG 285
6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm 285
6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung 290
6. BÀI TẬP 295
TÀI LIỆU THAM KHẢO 297
vii
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
5.1.GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề
án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát
và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân
tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô
tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán
của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi,
khí đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin
và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi
tiết một cách dễ dàng.
Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN,
ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây
dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở

lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương
pháp.
5.2.XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển
vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con v
e
có kích
thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính
trong tập hợp các miền v
e
.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v
e
được gọi là phương pháp xấp xỉ
bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v
e
chỉ liên quan đến những biến nút gắn
vào nút của v
e
và biên của nó,
1
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v
e
được xây dựng sao cho chúng
liên tục trên v
e
và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền
con khác nhau.
- Các miền con v

e
được gọi là các phần tử.
5.3.ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các
PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các
phần tử v
e
có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử v
e
cần chọn sao cho nó được xác
định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là
các toạ độ nằm trong v
e
hoặc trên biên của nó.
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử v
e
phải thoả mãn hai qui tắc sau:
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên
biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử.
Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử v
e
phải tạo thành một miền càng gần
với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các
phần tử.
5.4.CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều.
Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần

2
biên giới
biên giới
v
2
v
1
biên giới
v
2
v
1
v
1
v
2
Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử
tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số
dạng phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều
Phần tử hai chiều
Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử lăng trụ
3
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
5.5.PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng
phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn
hoá, ký hiệu là v
r
. Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định
trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử
thực v
e
nhờ một phép biến đổi hình học r
e
. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam
giác (Hình 1.2).
Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn
các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình
học phải được chọn sao cho có các tính chất sau:
4
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r
v
3
v
2
v
1

1,00,0
y
ξ
x
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
η
r
3
r
2
r
1
0,1
Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm ξ trong
phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của v
r
ứng với một và chỉ một
điểm của v
e
và ngược lại.
b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên
đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.
Chú ý:
- Một phần tử qui chiếu v
r

được biến đổi thành tất cả các phần tử
thực v
e
cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui
chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ.
- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến
đơn giản.
- ζ (ξ, η) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần
tử.
5.6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều
Phần tử qui chiếu hai chiều
5
0 1-1
ξ
0 1-1
ξ
-1
/
2
1
-1
ξ
1
/
2
0
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
ξ

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r
10,0
1
ξ
v
r
10,0
1
ξ
v
r
10,0
1
η
η η
1
/
2
,1
/
2
1
/
2
1
/
2
1

/
3
,
2
/
3
2
/
3
,
1
/
3
2
/
3
1
/
3
1
/
3
2
/
3
Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử sáu mặt
5.7.LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:

- Lực thể tích
f
: f = f[ f
x
, f
y
, f
z
]
T
- Lực diện tích
T
: T = T[ T
x
, T
y
, T
z
]
T
6
ξ
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r
0,1,0
0,0,0
0,0,1
ξ
v

r
0,1,0
0,0,1
v
r
ζ
η
η
1,0,0
ζ
1,0,0
ξ
η
ζ
0,1,0
1,0,0
0,0,1
v
r
ξ
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
0,1,1
ξ
v
r
ζ
η
η
1,1,0
ζ

0,1,1
1,1,0
ξ
v
r
η
ζ
0,1,1
1,1,0
- Lực tập trung P
i
:

P
i
= P
i
[ P
x
, P
y
, P
z
]
T
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w]
T
(1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:

ε
= [
ε
x
,
ε
y
,
ε
z
,
γ
yz
,
γ
xz
,
γ
xy
]
T
(1.2)
Trường hợp biến dạng bé:
T
x
v
y
u
x
w

z
u
y
w
z
v
z
w
y
v
x
u






∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂

+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
ε
(1.3)
Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
σ
= [
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
,
σ
yz
,
σ
xz
,

σ
xy
]
T
(1.4)
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với
biến dạng:
σ
= D
ε
(1.5)
Trong đó:
( )( )





















−
−
−
−
−
−
−+
=
ν
ν
ν
ννν
ννν
ννν
νν
5000000
0500000
0050000
0001
0001
0001
211
,
,
,
E
D

E là môđun đàn hồi,
ν
là hệ số Poisson của vật liệu.
5.8.NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần Π của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến
dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:
Π
= U + W (1.6)
7
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị
thể tích được xác định bởi:
εσ
T
2
1

Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:
∫
=
V
T
dvU
εσ
2
1
(1.7)
Công của ngoại lực được xác định bởi:
∑
∫∫
=

−−−=
n
i
i
T
i
S
T
V
T
PuTdSuFdVuW
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
∑
∫∫∫
=
−−−=∏
n
i
i
T
i
S
T
V
T
V
T
PuTdSudVfudV

1
2
1
εσ
(1.9)
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P
i
là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là u
i
Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất
cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho
thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái
cân bằng ổn định.
5.9.SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả
nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu
(môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác
dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của
mỗi phần tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả
hệ (ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma
trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;
8
Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị
chung Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ,
v.v.) ;

Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các
đại lượng theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);
9
10
Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên
Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
11
Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan
đến một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma

trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính
sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong chương này.
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công
cụ cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng
như sau:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=++
=++
=++




2211
22222121
11212111
(2.1)
trong đó, x
1
, x
2
, …, x
n
là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được

biểu diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b (2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n
×
n), và x và b là các véctơ (n
×
1),
được biển diễn như sau:












=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A





21
22221
11211














=
n
x
x
x
x

2
1















=
n
b
b
b
b

2
1
12
1.1. Véctơ
Một ma trận có kích thước (1
×
n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích
thước (n
×
1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 × 4):
{ }

61222
−=
r
và véctơ cột (3 × 1):










=
34
2
11
c
1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo
chính bằng 1, ví dụ:











=
100
010
001
I
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m
×
n). Tổng của chúng là 1
ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau:
c
ij
= a
ij
+ b
ij
(2.3)
Ví dụ:






−
−
=







−−
−
+






−
34
75
21
58
15
23
phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[ca
ij
] (2.4)
Ví dụ:







−
=






−
100500
200300
15
23
10
2
13
1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thước (m
×
n) với ma trận B kích thước (n
×
p) là 1
ma trận C kích thước (m
×
p), được định nghĩa như sau:
A

×
B = C (2.5)
(m
×
n) (n
×
p) (m
×
p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (c
ij
) được tính theo biểu thức:
∑
=
=
n
k
kjikij
bac
1
(2.6)
Ví dụ:






=











×






3638
7054
46
52
54
413
582
Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A
×
B là số cột của ma trận A
phải bằng số hàng của ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A
×

B và
B
×
A, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A
×
B
≠
B
×
A.
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [a
ij
] kích thước (m
×
n) là 1 ma trận, ký hiệu là
A
T
có kích thước là (n
×
m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của
ma trận A thành cột của ma trận A
T
. Khi đó, (A
T
)
T
= A.
Ví dụ:











=
46
52
54
A
thì:






=
455
624
T
A
Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành
phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:
(A
×

B
×
C)
T
=C
T
×
B
T
×
A
T
. (2.7)
14