Dạng 5 bài tập phương trình mũ logarit số 02

HQ MATHS – 0827.360.796 –

DẠNG 5

Bài tập phương trình Mũ – Logarit số 02

A. 2 − log 5 2 .
Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

2

Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x
A. 1 .
B. 2 − log 3 5 .

2

Câu 12:

= 5x +1 là
C. P = − log 3 45 .

D. P = log 3 5 .
D. 1 − log 2 3.

)

B. 1 .

C. 7 .

(

D. 3 .

(

)

)

Cho hai số thực a , b phân biệt thỏa mãn log 3 7 − 3a = 2 − a và log 3 7 − 3b = 2 − b. Giá trị
B. 18 .

C. 31 .

(

D. 82 .

)

Tổng các nghiệm của phương trình log 2 17.2 x − 8 = 2 x bằng
C. −2 .

B. 2 .

D. 3

(

)

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 5 25x − 3.5x + 15 = x + 1 bằng
1 − log 3 5
.
log 3 5

B.

1 + log 3 5
.
log 3 5

C. 8 .

D.

Cho a , b là các số dương thỏa mãn log 9 a = log16 b = log12
a
= −1 + 6 .
b

B.

a 7+2 6
=
.
b
25

C.

1 + log 5 3
.
log 5 3

a
5b − a
. Giá trị của bằng
b
2

a 1+ 6
=
.
b
5

(

D.

a
=7−2 6 .

b

)

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình log 5 25 − 5x + x − 3 = 0 .
A. T = 1 .

Câu 11:

D. P = log 3 5 .

(

A.
Câu 10:

−2

= 5x +1 là
C. P = − log 3 45 .

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 3 7 − 3x = 2 − x bằng

A.
Câu 9:

−2

D. 2 − log 2 5 .

2

A. 1 .
Câu 8:

= 1. Khi đó tổng x1 + x2 bằng

Tính tích các nghiệm thực của phương trình 2 x −1 = 32 x + 3 .
A. −3log 2 3.
B. − log 2 54.
C. −1.

biểu thức 9 a + 9b bằng
A. 67 .
Câu 7:

−2 x

C. 2 + log 5 2 .

B. −2 + log 5 2 .

Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x
A. 1 .
B. 2 − log 3 5 .

A. 2 .
Câu 6:

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x.5x

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 1:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

B. T = 3 .

Số nghiệm của phương trình 2 x
B. 2 .
B. 1 .

3

C. T = 25 .

+ 2 x2 − 3 x

Xác định m để phương trình 2log m

(

2

D. T = 2 .

.3x −1 = 1 là:
C. 0 .

+2

)(

D. 3 .

)(

)

x − 1) = log m2 + 2 mx 2 + 1 có nghiệm

(

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

1


HQ MATHS – 0827.360.796 –
A. m  1 .
Câu 13:

B. −1  m  1 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

m  1
D. 
.
 m  −1

C. m  1 .

Cho số thực m và hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình có

Câu 14:

B. 3 .

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

C. 4 .

D. 5 .

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các

giá trị thực của tham số m để phương trình f ( sin x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0;  ) là

A.  −1;3) .
Câu 15:

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

D.  −1;1) .

C. ( −1;3) .

B. ( −1;1) .

và có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên của tham số m để phương trình: f  4 sin 6 x + cos6 x  = m có nghiệm.

HQ MATHS –

2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 2 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

f ( 2 x + 2− x ) = m nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn  −1; 2 ?

HQ MATHS – 0827.360.796 –
A. 2 .
Câu 16:

B. 4 .

Biết x1 , x2
x1 + 2 x2 =

A. 5.
Câu 17:

(x

1

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

C. 3 .

D. 5 .

 x2 ) là hai nghiệm của phương trình log 3

(

)

(

x2 − 3x + 2 + 2 + 5x

2

− 3 x +1

= 2 và

)

1
a + b với a , b là hai số nguyên dương. Tính a − 2b ?
2
B. −1.
C. 1.

D. 9.

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x + 3 = m 4 x + 1 có hai nghiệm thực phân

(

)

A. S = 29 .
Câu 18:

Phương trình log 2

B. S = 28 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

biệt là a; b . Tính S = 2a + 3b
D. S = 36 .

C. S = 32 .

x2 + 3x + 2
= x 2 − 4 x + 3 có nghiệm các nghiệm x1 ; x2 . Hãy tính giá trị
3x2 − 5x + 8

của biểu thức A = x12 + x22 − 3x1 x2
A. 31
Câu 19:

B. −31 .

D. −1 .

C. 1

Cho phương trình 5x + m = log 5 ( x − m ) . Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong khoảng

( −20; 20 ) để phương trình có nghiệm.
B. 14.

C. 19.

D. 17.



Câu 20:

1 

 2 x 2 + 1   x + 2 x 
= 5.
Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log 2 
+2
 2x 

A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .

D.

1
.
2

Câu 21:

Tìm m để phương trình log 2 2 x − log 2 x2 + 3 = m có nghiệm x  1; 8  .
A. 6  m  9 .
B. 2  m  3 .
C. 2  m  6 .

D. 3  m  6 .

Câu 22:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 9
nghiệm?
A. 27 .
B. 25 .
C. 23 .

Câu 23:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

4 x − x2

− 4.3

4 x − x2

+ 2m − 1 = 0 có

D. 24 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 15.

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây
y

3

1

O

-2
-1

x

1
2

-1

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

3


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

( )

Số các giá trị nguyên của tham số m khơng vượt q 5 để phương trình f  x −

m2 − 1
=0
8

có hai nghiệm phân biệt là
A. 5 .

B. 4 .

C. 7 .

D. 6 .

Câu 24: Cho phương trình 5x + m = log 5 ( x − m ) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m  ( −20 ; 20 ) để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 20.

C. 9.

D. 19.

các điều kiện trên?
A. 2019.

B. 2018.

C. 1.

D. 4.

Câu 26:

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15x.5x = 5x+1 + 27 x + 23 là
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. −1 .

Câu 27:

x
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình x + 3 = me có 2 nghiệm phân biệt?
A. 7.
B. 6.
C. 5.
D. Vơ số.

Câu 28:

Phương trình log 3
A. 1 .

a
2x − 1
= 3x 2 − 8 x + 5 có hai nghiệm là a và . Giá trị của b là
2
b
( x − 1)

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 29:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình x + 3 = me x có 2 nghiệm phân biệt?
A. 7 .
B. 6 .
C. 5 .
D. Vơ số.

Câu 30:

Có bao nhiêu số ngun a  ( −200; 200 ) để phương trình e x + e x + a = ln ( 1 + x ) − ln ( x + a + 1)
có nghiệm thực duy nhất.
A. 399 .
B. 199 .

C. 200 .

D. 398 .

Câu 31:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  −
 2019 ; 2019  để phương trình

2 x − 1 mx − 2m − 1
2019 x +
+
= 0 . Có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
x+1
x−2
A. 4038 .
B. 2019 .
C. 2017 .
D. 4039 .

Câu 32:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x , y thỏa mãn
đồng thời e 3 x+ 5 y −10 − e x+ 3 y −9 = 1 − 2 x − 2 y và
log 25 ( 3 x + 2 y + 4 ) − ( m + 6 ) log 5 ( x + 5 ) + m2 + 9 = 0 .

A. 3 .
Câu 33:

B. 5 .

Nghiệm dương của phương trình log 2
a+ b
( a, b, c 
c
A. 20 .

HQ MATHS –

4

C. 4 .

(

)

D. 6 .
1− 2 x2 + 3 x

1
2 x − 3x + 1 +  
2
2

= 2 có dạng

) . Giá trị của a + b + c bằng:
B. 23 .

C. 24 .

D. 42 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Cho 0  x  2020 và log 2 (2 x + 2) + x − 3 y = 8 y .Có bao nhiêu cặp số ( x ; y) nguyên thỏa mãn

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 25:

B. 21.


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Câu 34:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Cho a, b là các số dương lớn hơn 1, thay đổi thỏa mãn a + b = 2019 để phương trình
5log a x.log b x − 4log a x − 3log b x − 2019 = 0 ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Biết giá trị

S = m + 2n.
A. 22209.

Câu 35:

3  m 4 n
ln   + ln   , với m , n là các số nguyên dương. Tính
5  7  5 7

B. 20190.

C. 2019.

Xét các số thực dương x , y thỏa mãn 2019

(

D. 14133.

) = 2 x + y . Giá trị nhỏ nhất P của biểu
min
2

2 x2 − y +1

( x + 1)

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

lớn nhất của ln ( x1 x2 ) bằng

thức P = 2 y − x bằng

Câu 36:

C. Pmin =

(

)

Tìm số nghiệm của phương trình x − 1 e(
A. 3 .

Câu 37:

1
B. Pmin = .
2
2

)

x −1

B. 4

7
.
8

15
.
8

− log 2 = 0 .

C. 0

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

D. Pmin =

D. 2

và có đồ thị như hình vẽ.

(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1
A. Pmin = .
4

( )) = 1 là

Số nghiệm thực của phương trình f 2 + f e x
A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 38:

1
b
Cho các số dương a , b , c thỏa mãn a  1,log 3 a + b = 0,log a b = ,ln = c − b . Tổng
c
c
S = a + b + c nằm trong khoảng nào dưới đây?

3 
6 3
5 
 7
A.  ; 2  .
B.  ;  .
C.  ; 3  .
D.  3;  .
2 
5 2
2 
 2

Câu 39:

Tìm các giá trị m để phương trình 3
A.

6 m 6 .

sin x + 5 cos x − m + 5

B. −5  m  5 .

= log sin x +

5 cos x +10

( m + 5) có nghiệm.

C. 5 − 6  m  5 + 6 .

D.

− 6  m 5.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

5


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Câu 40:

Cho hai số thực x , y thỏa mãn log
lớn nhất của biểu thức P =
A.

Câu 41:

43 + 3 249
.
94

B.

3

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

x+y
= x ( x − 3 ) + y ( y − 3 ) + xy. Tìm giá trị
x + y 2 + xy + 2
2

x + 2y + 3
.
x+y+6

37 − 249
.
94

C.

69 − 249
.
94

D.

69 + 249
.
94

Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất:

(

)

1
C. − .
2

B. 2 .

D.

1
.
2

Câu 42: Cho phương trình m ln 2 ( x + 1) − ( x + 2 − m ) ln ( x + 1) − x − 2 = 0 (1) . Tập hợp tất cả các giá trị
của tham số m để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0  x1  2  4  x2 là
khoảng ( a ; +  ) . Khi đó a thuộc khoảng
B. ( 3,6 ; 3,7 ) .

A. ( 3,8 ; 3,9 ) .
Câu 43:

D. ( 3,5; 3,6 ) .

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3x−3+

3

m−3 x

(

)

+ x 3 − 9 x 2 + 24 x + m .3x − 3 = 3x + 1 có ba nghiệm phân biệt bằng

A. 45 .
Câu 44:

C. ( 3,7 ; 3,8 ) .

B. 38 .

(

C. 34 .

)

(

D. 27 .

)

2
x−m
x −1

Cho phương trình 2( ) .log 2 x2 − 2 x + 3 = 4 log 2 2 x − m + 2 với m là tham số thực.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn −
 2019; 2019  để phương trình có đúng 2
nghiệm phân biệt.
A. 4036 .
Câu 45:

B. 4034 .

C. 4038 .

Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log 3

D. 4040 .

1− y
= 3xy + x + 3 y − 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất
x + 3xy

Pmin của P = x + y .

A. Pmin =
Câu 46:

4 3 −4
.
3

Phương trình log 3

A. 1 .

Câu 47:

4 3+4
.
3

C. Pmin =

4 3+4
.
9

D. Pmin =

4 3 −4
.
9

a
2x − 1
= 3x 2 − 8 x + 5 có hai nghiệm là a và . Giá trị của b là
2
b
( x − 1)

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −
 10 ;10  để bất
phương trình log 3
bằng
A. 20.

HQ MATHS –

B. Pmin =

6

2x2 + x + m + 1
 2 x2 + 4 x + 5 − 2m có nghiệm. Số phần tử của tập hợp S
x2 + x + 1

B. 10.

C. 15.

D. 5.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 0 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2
mx 1− m
1 +  2 x 2 − m ( m + 1) x − 2  .21+ mx − x = x 2 − mx − 1 .2 ( ) + x 2 − m2 x.


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Cho hàm số f ( x ) = ln
nhiêu nghiệm thực?
A. 3 .
Câu 49:

)

( )

x 2 + 1 + x + e x − e − x . Hỏi phương trình f 3x + f ( 2 x − 1) = 0 có bao

B. 0 .

C. 2 .

D. 1 .

Có bao nhiêu số nguyên a  ( −2019; 2019 ) để phương trình
nghiệm phân biệt?
A. 0 .

Câu 50:

(

B. 2022 .

1
1
+ x
= x + a có hai
ln ( x + 5 ) 3 − 1

C. 2014 .

D. 2015 .

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để

(

)

(

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 48:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

)

A. 4 .
Câu 51:

B. 1 .

Câu 53:

D. 3 .

Có bao nhiêu số nguyên a  ( −2019; 2019 ) để phương trình
nghiệm phân biệt?
A. 0 .

Câu 52:

C. 2 .

B. 2022 .

C. 2014 .

Số nghiệm của phương trình 50 x + 2 x + 5 = 3.7 x là:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Cho hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d với a , b , c , d 

1

1
+ x
= x + a có hai
ln ( x + 5 ) 3 − 1

D. 2015 .
D. 0 .

có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp

tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn −
 10;10  của tham số m để bất phương trình

(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

f sin x
f sin x
f x
bất phương trình  x m − 2 ( ) + 2.2 ( ) + m2 − 3  . 2 ( ) − 1  0 nghiệm đúng với mọi


x  . Số tập con của tập hợp S là

)

2
8
1 − x 2 + x 3 − x 2 + − f ( m )  0 có nghiệm. Số phần tử của tập hợp S bằng

3
3
A. 9.
B. 10.
C. 12.
D. 11.
f

Câu 54: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

7


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Giá trị lớn nhất của m để phương trình: e

2 f 3 ( x)−

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

13 2
3
f ( x)+7 f ( x )+
2
2

= m có nghiệm trên đoạn 0; 2  .

15

A. e 5 .
Câu 55:

B. e 13 .

C. e 3 .

D. e 4 .

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng
thời e3 x +5 y −10 − e x +3 y −9 = 1 − 2 x − 2 y và log52 ( 3x + 2 y + 4 ) − ( m + 6 ) log5 ( x + 5) + m2 + 9 = 0

2

+ 4 x + 5 − m2

(

)

= log x2 + 4 x + 6 m2 + 1 có

C. −2 .

B. 0 .

D. 4 .

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
1
2 x2 − 4 x + 6
log 2
+ x 2 = 2 x + x − m có đúng ba nghiệm phân biệt là
2
x−m +1

(

A. 2 .
Câu 58:

D. 6 .

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x
đúng 1 nghiệm là
A. 1 .

Câu 57:

C. 4 .

)

B. 3 .

C. 1 .

D. 0 .

Tìm số giá trị nguyên của m thuộc −
 20 ; 20  để phương trình
log 2 ( x2 + m + x x2 + 4) = (2m − 9)x − 1 + (1 − 2m) x 2 + 4 có nghiệm?

A. 12.
Câu 59:

B. 23.

C. 25.

Cho hai số dương x ; y thỏa log 2 ( 4 x + y + 2 xy + 2 )

y+2

của P = 2x + y là số có dạng M = a b + c với a , b 
A. S = 17 .
Câu 60:

Câu 63:

, a  2 . Tính S = a + b + c .

(

C. 1 .

(

)

D. 2 .

)

Biết rằng phương trình log 2 2 x − 1 + m = 1 + log 3 m + 4x − 4x2 − 1 có nghiệm thực duy
C. m  ( 3; 6 ) .

D. m  ( 6; 9 ) .

2m
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x log 3 ( x + 1) = log 9 9 ( x + 1) 


có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m  ( −1; 0 ) .
B. m  ( −2; 0 ) .
C. m  ( −1; + ) .
D. m  −1; 0 ) .

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để phương trình
2cos x − 2 +

3

m − 3cos x

(

)

+ cos 3 x + 6sin 2 x + 9cos x + m − 6 2 cos x −2 = 2 cos x +1 + 1 có nghiệm thực. Khi đó

tổng của hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập S bằng
A. 28 .
B. 21 .
C. 24 .

HQ MATHS –

D. S = 3 .

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình: ( m + 1) .16 x − 2 ( 2 m − 3 ) .4 x + 6 m + 5 = 0

nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m  ( 0;1) .
B. m  ( 1; 3 ) .
Câu 62:

= 8 − ( 2 x − 2 )( y + 2 ) . Giá trị nhỏ nhất

C. S = 19 .

B. S = 7 .

có hai nghiệm trái dấu là
A. 4 .

B. 8 .
Câu 61:

D. 10.

8

D. 4 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 56:

B. 5 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 3 .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Câu 64:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2log 2 x 4 + 2log 2 x8 − 2 m + 2018 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 2  . Số phần tử
của S là

A. 7.
B. 9.
C. 8.
D. 6.

Câu 65:

a
a
Cho hàm số f ( x) = 3x−4 + ( x + 1).27 − x − 6 x + 3 . Giả sử m0 = ( a , b  , là phân số tối giản)
b
b

)

(

có số nghiệm nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức P = a + b2 .
A. P = 11.
B. P = 7.
C. P = −1.
Câu 66:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình f 7 − 4 6 x − 9 x 2 + 2 m − 1 = 0
D. P = 9.

Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −
 2019 ; 2  để phương trình

( x − 1) log ( 4x + 1) + log ( 2x + 1) = 2x − m có đúng hai nghiệm thực là
3

5

Câu 67:

B. 2022 .

D. 2021 .

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3
có đúng ba nghiệm phân biệt là
A. 3 .
B. −2 .

Câu 68:

C. 1 .
x2 + 2 x +1− 2 x − m

(

= log x2 + 2 x + 3 2 x − m + 2

C. −3 .

)

D. 2 .

 x + 3y 
Cho x , y  0 thỏa mãn log 
 = xy − x − 3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 xy 

P=

9y2
x2
?
+
1 + 3y 1 + x

A. 10 .

B.

71
.
7

C.

72
.
7

D.

73
.
7

BẢNG ĐÁP ÁN
1.AA
11.D
21.C
31.C
41.C
51.D
61.D

2.C
12.B
22.B
32.B
42.C
52.D
62.C

3.C
13.B
23.A
33.C
43.D
53.D
63.A

4.B
14.D
24.D
34.A
44.C
54.D
64.A

5.A
15.D
25.D
35.D
45.A
55.C
65.D

6.C
16.B
26.B
36.B
46.D
56.B
66.B

7.D
17.D
27.A
37.B
47.B
57.B

67.C

8.B
18.C
28.D
38.B
48.D
58.B
68.C

9.D
19.C
29.A
39.C
49.D
59.D

10.B
20.D
30.B
40.D
50.C
60.D

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 2 .

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Chọn A

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

9


HQ MATHS – 0827.360.796 –
2 x.5x

2

−2 x

(

= 1  log 5 2 x.5x

2

−2 x

) = 0  x log 2 + x
5

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

− 2 x = 0  x ( log 5 2 + x − 2 ) = 0

.

x = 0
 1
.
 x2 = 2 − log 5 2

Câu 2:

Chọn C
3x

2

−2

= 5x +1  x 2 − 2 = ( x + 1) log 3 5  x2 − x log 3 5 − 2 − log 3 5 = 0 .

Ta có  = log 23 5 + 4log 3 5 + 8 = ( log 3 5 + 2 ) + 4  0  Phương trình có hai nghiệm phân
2

Câu 3:

Chọn C
3x

2

−2

= 5x +1  x 2 − 2 = ( x + 1) log 3 5  x2 − x log 3 5 − 2 − log 3 5 = 0 .

Ta có  = log 23 5 + 4log 3 5 + 8 = ( log 3 5 + 2 ) + 4  0  Phương trình có hai nghiệm phân
2

biệt.
Theo Vi-ét, ta có x1 x2 = −2 − log 3 5 = − log 3 32 − log 3 5 = − log 3 45 .
Câu 4:

Chọn B
Ta có: 2 x

2

−1

= 32 x + 3

 x2 − 1 = log 2 32 x + 3  x2 − 1 = (2 x + 3)log 2 3
 x2 − 1 = 2 x log 2 3 + 3log 2 3  x 2 − 2 x log 2 3 − 1 − 3log 2 3 = 0 (*)

Phương trình có hệ số a = 1, c = − ( 1 + 3log 2 3 )  0  a.c  0 , do đó phương trình có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo vi-et: x1 .x2 = −1 − 3log 2 3 = − log 2 2 − log 2 33 = − log 2 54.
Câu 5:

Chọn A

(

)

Ta có log 3 7 − 3x = 2 − x  7 − 3x = 32 − x  7 − 3x =

9
.
3x

 7 + 13
t =
( tm )
9
2
Đặt t = 3x ( t  0 ) . Phương trình trở thành 7 − t =  −t 2 + 7 t − 9 = 0  
t
 7 − 13
( tm )
t =
2



 7 + 13 
 x 7 + 13
x
=
log




3


3 =
2


.
2


 x 7 − 13
 7 − 13 

x = log 3 
3 =




2

2



HQ MATHS –

10

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Theo Vi-ét, ta có x1 x2 = −2 − log 3 5 = − log 3 32 − log 3 5 = − log 3 45 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

biệt.


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 7 + 13 
 7 − 13 
Tổng các nghiệm của phương trình log 3 
 + log 3 
=2.




2
2






Câu 6:

Chọn C
Từ giả thiết ta có a , b là hai nghiệm phân biệt của phương trình
log 3 (7 − 3x ) = 2 − x  7 − 3x = 32− x  32 x − 7.3x + 9 = 0

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

3a + 3b = 7
Theo định lí Vi-ét ta có  a b
.
3 .3 = 9

Do đó: 9a + 9b = (3a + 3b )2 − 2.3a.3b = 7 2 −2.9 = 31 .
Câu 7:

Chọn D
ĐKXĐ: 17.2 x − 8  0 .

(

)

( )

Khi đó log 2 17.2 x − 8 = 2 x  17.2x − 8 = 22 x  2x

2

− 17.2 x + 8 = 0 .

Đặt 2 x = t ( t  0 ) . Khi đó phương trình trở thành t 2 − 17t + 8 = 0 . Phương trình có hai nghiệm
t1 ; t 2 thỏa mãn t1 .t2 = 8  2 x1 .2 x2 = 8  2 x1 + x2 = 2 3  x1 + x2 = 3 .

Chọn B

(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 8:

)

log 5 25x − 3.5x + 15 = x + 1  25 x − 3.5x + 15 = 5 x +1
 5x = 3
 x = log 5 3
 25x − 8.5x + 15 = 0   x

.
x = 1
 5 = 5

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1 + log 5 3 =
Câu 9:

1 + log 3 5
.
log 3 5

Chọn D

a = 9t
2t

5b − a
a 3
t
 =  .
log 9 a = log16 b = log12
= t . Khi đó b = 16
2
b 4
 5b − a
t

= 12
 2
t

t

2t

t

3
 9 
 3
 12 
Ta có: 5.16 − 9 = 2.12  5 −   = 2.    −   − 2.  + 5 = 0 .
4
4
 16 
 16 
t

t

t

t

2t

3
a 3
Suy ra   = −1 + 6  =   = 7 − 2 6 .
b 4
4

Câu 10: Chọn B

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

11


HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

(

)

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

)

Ta có: log 5 25 − 5x + x − 3 = 0  log 5 25 − 5x = 3 − x
 25 − 5x = 53− x  25 − 5x =

53
 25.5x − 52 x = 125. ( 1)
x
5

Đặt 5x = t với t  0 . Phương trình ( 1) trở thành:

2

 = 25 − 4.125 = 125  0
Phương trình ( 2 ) có 

nên phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt

S = 25  0, P = 125  0
t1 , t2 dương thỏa mãn t1 + t2 = 25 và t1 .t2 = 125 .

Khi đó, phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: 5x = t1 , 5 x = t2 .
1

2

Ta có 5x + x = 5x .5x = t1 .t2 = 125  x1 + x2 = 3 .
1

2

1

2

Vậy T = 3.
Câu 11: Chọn D
Nhận xét x = 1 không là nghiệm pt.
( x −1)( x2 + 3 x ) x −1 
 log 2  2
.3  = 0  ( x − 1) x2 + 3x + ( x − 1) log 2 3 = 0



(

x = 1
 2
.
x
+
3
x
+
log
3
=
0
(1)
2

 = 9 − 4log 2 3  0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1 vì 
.
4 + log 2 3  0

Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Nhận xét x = 1 khơng là nghiệm pt.
Câu 12: Chọn B
Ta có 0  m2 + 2  1 m 
Phương trình 2log m

(

2

+2

)(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

)

.

)(

x − 1) = log m2 + 2 mx 2 + 1

(

)

x − 1  0
 x  1
2

2


 m = 1 − với x  ( 1; +  ) .
2
2
2
log

x
−
1
=
log
mx
+
1
)
x
 ( m2 + 2 ) (
( m2 + 2 )
( x − 1) = mx + 1

(

)

2
Yêu cầu bài toán trở thành định m để phương trình m = 1 − có nghiệm trên khoảng ( 1; +  ) .
x
HQ MATHS –

12

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

25t − t 2 = 125  t 2 − 25t + 125 = 0. ( 2 )

HQ MATHS – 0827.360.796 –
Xét hàm số f ( x ) = 1 −
Ta có f  ( x ) =

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2
trên khoảng ( 1; + ) .
x

2
 0 x  ( 1; + ) và lim+ f ( x ) = −1, lim f ( x ) = 1 .
x →+
x →1
x2

Bảng biến thiên

1

x

f ( x)

( x)

1

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

f

+

+

−1

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi −1  m  1 .
Câu 13: Chọn B
Đặt t = t ( x ) = 2 x + 2− x với x   −1; 2 .
Hàm số t = t ( x ) liên tục trên  −1; 2 có t  ( x ) = 2 x ln 2 − 2− x ln 2 và t  ( x ) = 0

 2 x ln 2 − 2− x ln 2 = 0  2 x = 2− x  x = 0 .

–

 5
Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên với mỗi t   2;  có 2 giá trị của x thỏa mãn
 2
 5 17 
t = 2 x + 2− x và với mỗi t  2   ;  có duy nhất 1 giá trị x thỏa mãn t = 2 x + 2− x .
2 4 

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Bảng biến thiên:

 17 
Xét phương trình f ( t ) = m với t   2;  .
 4

(

)

Dựa vào đồ thị phương trình f 2 x + 2− x = m có số nghiệm nhiều nhất khi và chỉ khi phương
 5 17 
 5
trình f ( t ) = m có 2 nghiệm t1 , t 2 trong đó có: t1   2;  và t2   ;  .
2 4 
 2

(

)

Vậy phương trình f 2 x + 2− x = m có nhiều nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  −1; 2 .
Câu 14: Chọn D
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

13


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Đặt t = sin x , do x  ( 0;  ) nên t  ( 0;1 .
Khi đó phương trình trở thành: f ( t ) = m, t  ( 0;1 . Đồ thị f ( t ) trên ( 0;1 như hình vẽ.
Từ đồ thị ta có: Phương trình f ( sin x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0;  )
 phương trình f ( t ) = m có nghiệm trên nửa khoảng ( 0;1  m   −1;1) .

Câu 15: Chọn D
 3

Đặt t = 4 sin 6 x + cos6 x = 4 1 − sin 2 2 x  = 4 − 3sin 2 2 x  t  1; 4 .
 4


(

)

Do đó phương trình f  4 sin 6 x + cos6 x  = m có nghiệm  phương trình f ( t ) = m có
nghiệm trên đoạn 1; 4  .
Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy: phương trình f ( t ) = m có nghiệm t với t  1; 4  1  m  5
. Vậy m  1; 2;3; 4;5 .
Câu 16: Chọn B
x  2
Điều kiện xác định của phương trình: x 2 − 3x + 2  0  
.
x  1

Đặt t = x 2 − 3x + 2 với t  0 . Phương trình đã cho trở thành log 3 ( t + 2 ) + 5t
Xét hàm số f ( t ) = log 3 ( t + 2 ) + 5t

Ta có: f  ( t ) =

2

−1

−2.

2
1
+ 2t.5t −1 ln 5  0 , t  0 .
( t + 2 ) ln 3

Suy ra f ( t ) luôn đồng biến trên ( 0; + ) . Mà f ( 0 ) = log 3 2 −

9
0
5

Do đó phương trình f ( t ) = 0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng ( 0; + ) .
Xét t = 1 ta có log 3 (1 + 2 ) + 51 −1 − 2 = 0
2

Suy ra t = 1 là nghiệm duy nhất.

t =1


3− 5
 x1 =

2  x + 2x = 1 9 + 5 .
x2 − 3x + 2 = 1  
1
2

2
3+ 5
 x1 =
2


(

)

Suy ra a = 9, b = 5 . Vậy a − 2b = −1 .
HQ MATHS –

14

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

2

−1

−2 = 0.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

)

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 17: Chọn D
Ta có 2 x + 3 = m 4 x + 1  m =

Xét hàm số f ( x ) =

2x + 3
4x + 1

2x + 3
4x + 1

.

(1 − 3.2 ).2
 f ( x) =
( 4 + 1) 4
x

trên

x

x
x

ln 2
+1

= 0  x = log 2

1
.
3

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Ta có bảng biến thiên

a = 3
Từ bản biến thiên suy ra m  3; 10 . Do đó 
 S = 2.3 + 3.10 = 36 .
b = 10

)

Câu 18: Chọn C
Ta có : 3x2 − 5x + 8  0 x 

log 2

 x  −2
nên đk của phương trình là: x 2 + 3x + 2  0  
 x  −1

x2 + 3x + 2
= x2 − 4 x + 3
3x2 − 5x + 8

 log 2 ( x2 + 3x + 2 ) − log 2 ( 3x 2 − 5x + 8 ) =
 log 2 ( x2 + 3x + 2 ) +

1 ( 2
2
 3x − 5x + 8 ) − ( x + 3x + 2 ) .
2

1( 2
1
x + 3x + 2 ) = log 2 ( 3x 2 − 5x + 8 ) + ( 3x 2 − 5x + 8 ) .
2
2

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

1
1
1

+  0 t  0 .
f (t ) = log 2 t + t ,( t  0) ; f '(t ) =
Xét hàm số
t ln 2 2
2

Nên hàm số f (t) đồng biến trên tập ( 0; + ) .
Mà phương trình có dạng: f ( x 2 + 3x + 2 ) = f ( 3x 2 − 5x + 8 ) .
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:

( 3x2 − 5x + 8 ) = ( x 2 + 3x + 2 )  2x2 − 8 x + 6 = 0   x = 1 (t / m) .
x = 3

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

15


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Vậy A = x12 + x22 − 3x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 5x1 .x2 = 1 .
2

Câu 19: Chọn C
Đặt 5x + m = log 5 ( x − m ) = t .
x

x
5x + m = t
5 + m = t
5 + m = t
Ta có hệ phương trình: 
.

 t
t
 x − m = 5
5 + m = x
log 5 ( x − m ) = t

Trừ hai vế ta được: 5x − 5t = t − x  5x + x = 5t + t  f ( x ) = f ( t ) .
 Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên

 Phương trình f ( x ) = f ( t ) có nghiệm duy nhất x = t .

Với x = t ta có 5x + m = x  5x − x = −m. Xét hàm số g ( x ) = 5x − x .

 với −m 

1
1
 x = log 5
.
ln 5
ln 5

HQ MATHS – 0827.360.796 –

g ( x ) = 5x.ln 5 − 1  g ( x ) = 0  5 x =

1
1
1
1
− log 5
m−
+ log 5
.
ln 5
ln 5
ln 5
ln 5

Do m là số nguyên và m  ( −20; 20 ) nên m  { − 19; −18;...; −1} .
Vậy có 19 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Câu 20: Chọn D
Điều kiện x  0 . Đặt t = x +

(

)

1
, t 2 .
2x

Phương trình trở thành: log 2 t + 2t = 5 ( 1) . Xét f ( t ) = log 2 t + 2t với t  2 .

Ta có f ( 2 ) = 5 nên x = 2 là một nghiệm của phương trình ( 1) .
f '(t ) =

1
+ 2t ln 2  0 t  2  f ( t ) luôn đồng biến trên khoảng
t ln 2

(

2; +

 Đồ thị hàm số y = f ( t ) cắt đường thẳng y = 5 nhiều nhất tại 1 điểm.
HQ MATHS –

16

.
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Với f ( x ) = 5 x + x  f  ( x ) = 5 x.ln 5 + 1  0 x 

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

)


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Vậy t = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình ( 1) .
Với t = 2 : x +

1
= 2  2x2 − 4x + 1 = 0 ( 2 ) .
2x

Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt và tích tất cả các nghiệm thực của phương trình là
1
.
2
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 21: Chọn C
Ta có: log 2 2 x − log 2 x 2 + 3 = m  log 2 2 x − 2 log 2 x + 3 = m ( 1) .
Đặt t = log 2 x , x  1; 8   t  0 ; 3  . Phương trình ( 1) trở thành t 2 − 2t + 3 = m ( 2 ) .
Phương trình ( 1) có nghiệm x  1; 8  khi và chỉ khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t  0 ; 3  .
Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 2t + 3 với t  0 ; 3  .

Vậy phương trình ( 1) có nghiệm x  1; 8   f ( 1)  m  f ( 3 )  2  m  6 .
Câu 22: Chọn B
ĐKXĐ: x  0; 4  . Đặt t = 4 x − x 2 với x  0; 4  thì t  0; 2 
Đặt u = 3t với t  0; 2  thì u  1; 9 

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Ta có bảng biến thiên:

Khi đó, tìm m đề phương trình u2 − 4u + 2m − 1 = 0 có nghiệm thuộc đoạn 1; 9  .
 2m = −u2 + 4u + 1 , với u  1; 9  . Xét hàm số f ( u ) = −u2 + 4u + 1 .

f  ( u ) = −2u + 4 = 0  u = 2 . Ta có, f ( 1) = 4 , f ( 2 ) = 5 , f ( 9 ) = −44 .

Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −44  2m  5  −22  m 

5
.
2

Vậy có 25 số nguyên của tham số m .
Câu 23: Chọn A
Để phương trình  x = k có 1 nghiệm thì k  0 .
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

17


HQ MATHS – 0827.360.796 –

( )

Do đó để f  x −

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

m2 − 1
m2 − 1
m2 − 1
có 2 nghiệm thì đường thẳng y =

=0  f x =
8
8
8

( )

phải cắt đồ thị y = f ( x ) tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn 0.
Dựa vào đồ thị ta thấy −1 

m2 − 1
 1  −7  m2  9  0  m2  9  m  ( −3; 3 ) .
8

Mà m  5; m  .Vậy m  −2; −1; 0;1; 2 . Có tất cả 5 giá trị.
Câu 24: Chọn D

t = 5x + m
 t − x = 5x − 5t  x + 5x = t + 5t .
Ta có hệ 
t
 x = 5 + m

Xét hàm số f ( u ) = u + 5u có f  ( u ) = 1 + 5u.ln 5  0 , u nên hàm số đồng biến trên

(1)  x = t . Khi đó ta được

.

x = 5x + m  x − 5x = m .

Đây là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 5x và đường thẳng y = m
song song hoặc trùng trục hoành.
 1 
Xét y = x − 5x có y = 1 − 5x ln 5 . Suy ra y = 0  x = log 5 
.
 ln 5 
Bảng biến thiên


 1 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm  m  f  log 5 
   ( −1;0 )
 ln 5  


m 
Vì 
nên m  −19; − 18;...; − 1 . Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.
m  ( −20; 20 )
Câu 25: Chọn D

Do 0  x  2020 nên log 2 (2 x + 2) luôn có nghĩa.
Ta có log 2 (2 x + 2) + x − 3 y = 8 y  log 2 ( x + 1) + x + 1 = 3y − 2 3 y
 log 2 ( x + 1) + 2 log 2 ( x +1) = 3 y + 2 3 y (1) . Xét hàm số f (t ) = t + 2t .

Tập xác định D =
HQ MATHS –

18

và f (t) = 1 + 2t ln 2  f (t)  0 t 

.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Suy ra ( * )  t = log 5 ( x − m )  x − m = 5t  x = 5t + m .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Ta có 5x + m = log 5 ( x − m ) ( * ) . Đặt t = 5x + m .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

. Do đó (1)  log 2 ( x + 1) = 3 y  x + 1 = 23 y

 y = log 8 ( x + 1) .

Ta có 0  x  2020 nên 1  x + 1  2021 suy ra 0  log 8 ( x + 1)  log 8 2021 .
Lại có log 8 2021  3,66 nên nếu y 



thì y  0;1; 2; 3 .

Vậy có 4 cặp số ( x ; y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0;0) , (7 ;1) , (63; 2) , (511; 3) .

1
khơng là nghiệm của phương trình, do đó
3

15x.5x = 5x +1 + 27 x + 23  5 x +1 =

27 x + 23
3x − 1

Xét hai hàm số f ( x ) = 5x +1 và g ( x ) =
Ta có f  ( x ) = 5x +1.ln 5  0, x 

27 x + 23

1 1

trên tập D =  −;    ; + 
3x − 1
3  3



1
−96
1
và g ( x ) =

 0, x  .
2
3
3
( 3x − 1)

Do vậy hàm số f ( x ) là hàm đồng biến và g ( x ) là hàm nghịch biến trên từng khoảng xác
định nên phương trình có tối đa 02 nghiệm.

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Ta thấy x =

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 26: Chọn B

Nhận thấy x = 1 là hai nghiệm của phương trình tren.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 0 .
Câu 27: Chọn A
x
x
Ta có x + 3 = me  me − x − 3 = 0 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

19

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số y = me x − x − 3 cắt
trục Ox tại 2 điểm phân biệt. Ta có y = me x − 1 .
Nếu m  0 thì y  0, x 

nên đồ thị hàm số y = me x − x − 3 không thể cắt trục Ox tại 2

điểm phân biệt.

Suy ra ln m − 2  0  m  e2 . Vậy 0  m  e2 . Do đó các giá trị nguyên của m là 1, 2, …,7.

Câu 28: Chọn D

1
2 x − 1  0
2x − 1
x 

Điều kiện 
= 3x2 − 8 x + 5 .
2 . Ta có: log 3
2
x − 1  0
x  1
( x − 1)


 log 3

2x − 1

( x − 1)

2

− 1 = 3x 2 − 8 x + 4  log 3

(

2x − 1
3 ( x − 1)

= 3 ( x − 1) − ( 2 x − 1) .
2

2

)

 log 3 ( 2 x − 1) + ( 2 x − 1) = log 3 3 ( x − 1) + 3 ( x − 1)
2

Xét hàm số: f ( t ) = log 3 ( t ) + t với t  0 có f  ( t ) =

2

( 1) .

1
+ 1  0 t  0 .
t.ln 3

Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên ( 0; + ) .

(

)

Phương trình ( 1)  f ( 2 x − 1) = f 3 ( x − 1) .
2

x = 2
2
 2 x − 1 = 3 ( x − 1)  3x 2 − 8 x + 4 = 0 hay 
.
x = 2

3

Vậy hai nghiệm của phương trình là 2 và
HQ MATHS –

20

2
suy ra b = 3 .

3

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Nhận xét: Những bài tốn về số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào tham số m ta
thường tìm cách cơ lập m rồi khảo sát hàm số, tuy nhiên với bài tốn này, nếu làm vậy thì gặp
khó khăn trong việc khảo sát hàm số nhận được. Do đó ta xét vị trí tương đối của đồ thị một
hàm khác với trục hồnh. Bài tốn này cần đến các kĩ năng khảo sát hàm số, giải phương
trình mũ và bất phương trình logarit.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Nếu m  0 thì y = 0  x = − ln m . Ta có bảng biến thiên: