Dạng 4 bài tập phương trình mũ logarit số 01

HQ MATHS – 0827.360.796 –

DẠNG 4

Bài tập về phương trình Mũ – Logarit số 01

Cho a , b là các số dương. Tìm x biết log 3 x = 4log 3 a + 7 log 3 b .

Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình log x 2 − log16 x = 0 . Khi đó tích x1 .x2 bằng
A. 4 .

Câu 3:

(

Câu 7:

(

 3−2 2

)

−2 x

D. 2 .

có nghiệm là:
 x  −3
D. 
.

x  1

 x  −1
C. 
.
x  3

B. −3  x  1 .

B. −2 .

C. 2 .

D. 1 .

Số nghiệm của phương trình log 3 ( 2 x + 1) + log 3 ( x − 3 ) = 2 là
A. 0.

Câu 6:

)

x2 − 3

C. 1 .

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 2 ( x + 1) + log 2 x = 1 .
A. −1 .

Câu 5:

B. 3 .

Bất phương trình 3 + 2 2
A. −1  x  3 .

Câu 4:

1

D. x = a4 b 7 .

C. x = a 4 b7 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 2:

1

B. x = a7 b4 .

A. x = a4 b7 .

B. 1.

Nghiệm của phương trình 27 x−1 = 82 x−1 là:
A. x = 2
B. x = 1 .

C. 2.

D. 3.

C. x = −2 .

D. x = −3 .

Tìm tập nghiệm S của phương trình: log 3 ( 2 x + 1) − log 3 ( x − 1) = 1 .
A. S = 3 .

B. S = 1 .

C. S = 2 .

D. S = 4 .

Câu 8:

Ba số a + log 2 3 ; a + log 4 3 ; a + log 8 3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Công bội của cấp
số nhân này bằng
1
1
1
A. 1 .
B. .
C. .
D. .
3
4

2

Câu 9:

Tìm số nghiệm của phương trình 9
A. 0 .
B. 1 .

x2 +1

= 32 − 4 x .

Câu 10: Biết tập nghiệm của bất phương trình 32 −
A. a + b = 11 .

B. a + b = 9 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 1:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

C. 2 .
x2 + 5 x − 6

D. 4 .

1
là một đoạn  a; b  ta có a + b bằng:

3x
C. a + b = 12 .
D. a + b = 10 .



Câu 11: Số nghiệm của phương trình log 2 ( x + 2 ) + log 4 ( x − 5 ) + log 1 8 = 0 là
2

2

A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 4 .

(

)

Câu 12: Tập hợp các số thực m để phương trình ln ( 3x − mx + 1) = ln −x2 + 4 x − 3 có nghiệm là nửa
khoảng  a; b ) . Tổng của a + b bằng
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

1

HQ MATHS – 0827.360.796 –
A.

10
.
3

B. 4 .

C.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

22
.
3

D. 7 .

Câu 13: Cho phương trình log 23 x − 2log 3 x − 2log 1 x − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 . Tính
3

giá trị của biểu thức P = log 3 x1 + log 27 x2 biết x1  x2 .
A. P = 0 .

B. P =

8

.
3

C. P =

1
.
3

D. P = 1 .

Câu 14: Cho số dương a thỏa mãn đẳng thức log 2 a + log 3 a + log 5 a = log 2 a.log 3 a.log 5 a , số các giá
B. 0 .

C. 1 .

(

D. 3 .
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

trị của a là
A. 2 .

)

Câu 15: Biết rằng phương trình log 3 3x +1 − 1 = 2 x + log 1 2 có hai nghiệm là x1 và x2 . Tính tổng
3

S = 27 + 27 .

A. S = 252 .
x1

x2

B. S = 9 .

Câu 16: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
B. −3 .

A. 3 .

C. S = 180 .
1
log
2

3

D. S = 45 .

( x + 3) + 41 log ( x − 1)
9

C. 2 3 .

8

= log 3 ( 4 x ) là

D. 2 .

Câu 17: Tích các nghiệm của phương trình log x (125x).log 225 x = 1 là:
B.

1
.
125

C.

630
.
625

Câu 18: Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình log
nghiệm thực phân biệt là:
A. Vô số.
B. 4 .

C. 5 .

D.

2

7
.
125

( x − 1) = log ( mx − 8 ) có hai
2

D. 3 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 630 .

1
 
Câu 19: Cho x   0;  . Biết log sin x + log cos x = −1 và log ( sin x + cos x ) = ( log n − 1) . Giá trị của
2
 2
n là
A. 11.
B. 12.
C. 10.
D. 15.

a
a − 4b
. Giá trị của bằng
b
12
C. 2 .
D. 4 .

Câu 20: Cho hai số thực a , b thỏa mãn log100 a = log 40 b = log16
A. 6 .

B. 12 .

Câu 21: Phương trình 4 x − m.2 x+1 + 2m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3 khi
A. m = 4 .

B. m = 3 .

C. m = 2 .

D. m = 1 .

Câu 22: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

)

(

9.32 x − m 4 4 x 2 + 2 x + 1 + 3m + 3 .3x + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

A. Vơ số.

HQ MATHS –

2

B. 3.

C. 1.

D. 2.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 23: Giả sử phương trình log 22 x − ( m + 2 ) log 2 x + 2 m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa
mãn x1 + x2 = 6 . Giá trị của biểu thức x1 − x2 là
A. 3 .

B. 8 .

C. 2 .

D. 4 .

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 0; 2019  của tham số m để phương trình
4 x − ( m + 2018 ) 2 x + ( 2019 + 3m ) = 0 có hai nghiệm trái dấu?

A. 2016

B. 2019 .

C. 2013

D. 2018 .

hai nghiệm dương phân biệt.
A. 3 .
B. 4 .

C. 5 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 4 x − ( m + 3 ) .2 x +1 + m + 9 = 0 có
D. Vơ số.

Câu 26: Cho phương trình 4 x − 2 x+ 2 + m − 2 = 0 với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên
của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 0  x1  x2 ?
B. 3 .

C. 2 .

D. 0 .

Câu 27: Giả sử phương trình log 2 2 ( 2 x ) − 3log 2 x − 2 = 0 có một nghiệm dạng x = 2
và b  20 . Tính tổng a + b + c 2 .
A. 10.
B. 11.

C. 18.

a+ b
c

với a , b , c

D. 27.

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình log 2 cos x − m log cos 2 x − m2 + 4 = 0 vô
nghiệm.
A. m 

(

)

(

)

B. m  − 2; 2 .

2; 2 .

+

(

)

C. m  − 2; 2 .

(

)

D. m  −2; 2 .

Câu 29: Cho phương trình log 2 2 x − 2log 2 x − m + log 2 x = m ( * ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m  −
 2019; 2019  để phương trình có nghiệm?
A. 2021 .
B. 2019 .
C. 4038 .

D. 2020 .

Câu 30: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình
16 x − m.4 x −1 + 5m2 − 44 = 0 có hai nghiệm đối nhau. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 1 .

Câu 31: Cho phương trình 9 x − 2 ( 2 m + 1) 3 x + 3 ( 4 m − 1) = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn

(x

1

+ 2 )( x2 + 2 ) = 12 . Giá trị của m thuộc khoảng

B. ( 3; 9 ) .

A. ( 9; +  ) .

C. ( −2;0 ) .

D. ( 1; 3 ) .

Câu 32: Cho phương trình ( m − 5 ) .3x + ( 2m − 2 ) .2 x. 3 x + (1 − m ) .4 x = 0 , tập hợp tất cả các giá trị của
tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là khoảng ( a ; b ) . Tính S = a + b .
B. S = 5 .

A. S = 4 .

C. S = 6 .

D. S = 8 .

Câu 33: Tìm số giá trị nguyên của tham số m  ( −10;10 ) để phương trình

(

)

10 + 1

x2

+m

(

)

10 − 1

x2

= 2.3x

2

+1

có đúng hai nghiệm phân biệt?

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

3


HQ MATHS – 0827.360.796 –
A. 14 .

B. 15 .

(

Câu 34: Phương trình 1 + 2
x1 − x2 = log 1+

2

)

x

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

C. 13 .

+ (1 − 2a )

(

)

D. 16 .

x

2 − 1 − 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?


3

A. a   −; −  .
2


 3 
B. a   − ;0  .
 2 

3

D. a   ; +  .
2


 3
C. a   0;  .
 2

Câu 35: Trên đoạn 0 ; 2019  có bao nhiêu số nguyên m để phương trình
9 x − 2 ( m + 2 ) .3 x + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu?

C. 5 .

D. 4 .

(

Câu 36: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 log 2 x

)

2

− log 1 x + m = 0 có nghiệm
2

thuộc khoảng ( 0;1) .
 1
A. m   0;  .
 4

1

C.  ; +  .

4

(

B. m  −;0  .


1
D. m   −; 
4


Câu 37: Cho phương trình log 3 2 x − 4log 3 x + m − 3 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1  x2 thỏa mãn x2 − 81x1  0.
A. 4 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 6 .

Câu 38: Cho phương trình log 3 2 x − 4log 3 x + m − 3 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1  x2 thỏa mãn x2 − 81x1  0.
A. 4 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 6 .

Câu 39: Cho phương trình 4 x +1 − ( 8 m + 5 ) 2 x + 2 m + 1 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 ,
x2 thỏa mãn x1 x2 = −1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

B. m  ( −5; − 3 ) .

A. m  ( 1; 3 ) .

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

C. m  ( −3; 0 ) .

D. m  ( 0 ;1) .

và có đồ thị như hình vẽ dưới

đây. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

( )

8 f e x = m2 − 1 có hai nghiệm thực phân biệt là

A. 5 .
C. 7 .

B. 4 .
D. 6 .

(

Câu 41: Phương trình 2 + 3
x1 − x2 = log 2 +


3
A.  −; −  .
2


HQ MATHS –

4

3

)

x

(

+ (1 − 2a ) . 2 − 3

)

x

− 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

3 . Khi đó a thuộc khoảng

B. ( 0; +  ) .

3

C.  ; +   .
2


 3

D.  − ; +   .
 2


“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

B. 2019 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 2010 .


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp
x2

x2

1
1
Câu 42: Biết rằng tập hợp các giá trị của m để phương trình   − ( m + 1)   − 2m = 0 có
4
2

nghiệm là  −a + 2 b ;0  với a , b là các số nguyên dương. Tính b − a .


A. 1 .
B. −11 .

C. −1 .
D. 11 .
Câu 43: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình m.3x

−3 x+ 2

+ 34 − x = 36 − 3 x + m ( 1) có
2

C. 3 .

D. 1 .
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

đúng 3 nghiệm phân biệt.
A. 4 .
B. 2 .

2

BẢNG ĐÁP ÁN
2.C
12.D
22.C
32.D
42.A

3.A
13.A
23.C

33.D
43.C

4.D
14.D
24.B
34.B

5.B
15.C
25.A
35.D

6.C
16.C
26.A
36.D

7.D
17.B
27.A
37.C

8.D
18.D
28.C
38.C

9.B
19.B

29.A
39.D

10.A
20.A
30.B
40.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Chọn A

(

Ta có log 3 x = 4log 3 a + 7 log 3 b  log 3 x = log 3 a4 + log 3 b7  log 3 x = log 3 a4b7

)

 x = a 4 b7 .

Câu 2:

Chọn C
Điều kiện: 0  x  1 .
log x 2 − log16 x = 0  log x 2 − log 24 x = 0 

1
1
− log 2 x = 0

log 2 x 4

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1.A
11.A
21.A
31.D
41.D

 x1 = 4
x = 4
log 2 x = 2


 (log 2 x) = 4  

1
1.

x=
x2 =
log 2 x = −2


4
4

2

1
Vậy tích x1 .x2 = 4. = 1 .
4

Câu 3:

Chọn A
Tập xác định: D =

(

.

)(

)

(

)

Nhận xét: 3 + 2 2 3 − 2 2 = 1  3 − 2 2 =

1
3+2 2

(

= 3+2 2

)

−1

.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

5


HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

Phương trình: 3 + 2 2

)

x2 − 3

(

 3−2 2

)

−2 x

(

 3+2 2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

)

x2 − 3

(

 3+2 2

)

2x

.

 x2 − 3  2 x  x2 − 2 x − 3  0  −1  x  3 .

Câu 4:

Chọn D
Điều kiện: x  0 .
x = 1
log 2 ( x + 1) + log 2 x = 1  log 2 ( x 2 + x) = 1  x 2 + x = 2  
.

 x = −2

Chọn B
Điều kiện xác định của phương trình là x  3 .
Với điều kiện đó, ta có
log 3 ( 2 x + 1) + log 3 ( x − 3 ) = 2  log 3 ( 2 x + 1)( x − 3 ) = 2  ( 2 x + 1)( x − 3 ) = 3 2

x = 4
.
 2 x 2 − 5x − 12 = 0  
x = − 3

2

Kết hợp với điều kiện của phương trình, suy ra phương trình có một nghiệm duy nhất x = 4 .
Câu 6:

Chọn C
3 2 x −1
Ta có: 27 x−1 = 82 x−1  27 x−1 = 2 ( )  7 x − 1 = 3 ( 2 x − 1)  x = −2 .

Vậy nghiệm của phương trình là x = −2 .
Câu 7:

Chọn D
x  1
x  1


log 3 ( 2 x + 1) − log 3 ( x − 1) = 1  


 x=4.
 2x + 1
2x + 1
log
=
1
=
3
 3 x −1
 x −1



Câu 8:

Chọn D
Do các số a + log 2 3 ; a + log 4 3 ; a + log 8 3 theo thứ tự là cấp số nhân nên

( a + log 3 ) = ( a + log 3 )( a + log 3 )
2

4

2

8

 a + 2a log 4 3 + log 3 = a + a log 2 3 + a log 8 3 + log 2 3.log 8 3
2

2
4

2

1
4
1
1
1
1
 a log 2 3 + log 22 3 = a log 2 3 + log 22 3  a = − log 2 3  a = − log 2 3 .
4
3
3
3
12
4

HQ MATHS –

6

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 5:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

So điều kiện nhận x = 1 . Vậy tổng tất cả các nghiệm là 1 .


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1
1 1
− log 2 3 + log 4 3 − +
1
Suy ra công bội của cấp số nhân là: 4
= 4 2 = .
1
1
3
− log 2 3 + log 2 3 − + 1
4
4

Câu 9:

Chọn B
9

x2 +1

=3

2 −4 x

9

x2 +1


1

1 − 2x  0
 x
 x + 1 = 1 − 2x   2

2
2
x + 1 = 1 − 4x + 4x
3x2 − 4 x = 0


1− 2 x

=9

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp


1

x 2

  x = 0  x = 0 .

4
 x =
3
 

Câu 10: Chọn A
Điều kiện: x2 + 5x − 6  0  x  1  x  −6
Ta có: 32 −

x2 + 5 x − 6



1
 32 −
3x

x2 + 5 x − 6

 3− x  2 − x 2 + 5 x − 6  − x  x 2 + 5 x − 6  x + 2

HQ MATHS – 0827.360.796 –

 x 2 + 5x − 6  0
 x  −6  x  1



 x + 2  0
  x  −2
 x  1;10 
 x 2 + 5x − 6  x 2 + 4 x + 4
 x  10



Vậy a + b = 11
 x  −2
Câu 11: Chọn A Điều kiện: 
.
x  5

(

)

Ta có: log 2 ( x + 2 ) + log 4 ( x − 5 ) + log 1 8 = 0  log 2 ( x + 2 ) x − 5 = 3 .
2

2

 ( x + 2 )( x − 5 ) = 8

 x  5
 ( x + 2) x − 5 = 8  
 ( x + 2 )( x − 5 ) = −8
x  5

 

  x 2 − 3x − 18 = 0

x = 6
  x  5

 2
 x = 3  17 .

x
−
3
x
−
2
=
0



2
  x  5


Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 12: Chọn D
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

7


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

− x 2 + 4 x − 3  0
Phương trình ln ( 3x − mx + 1) = ln −x2 + 4 x − 3  
2
3x − mx + 1 = − x + 4 x − 3

(

)

1  x  3

1  x  3
.

 2
x2 − x + 4
x
−
x
+
4
=

mx
m
=
*)
(


x


Xét hàm số f ( x ) =

Bảng biến thiên của hàm số f ( x ) =

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

x = 2
x2 − 4
; f '( x) = 0  
.
2
x
 x = −2
x2 − x + 4
trên khoảng ( 1; 3 )
x

Nhận xét: Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( * ) có nghiệm trên
khoảng ( 1; 3 ) .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Khi đó f ' ( x ) =

x2 − x + 4
với 1  x  3 .
x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ( * ) có nghiệm trên khoảng ( 1; 3 ) khi và chỉ khi
3  m  4 hay m   3; 4 ) . Do đó a = 3 , b = 4 .

Vậy a + b = 7 .
Câu 13: Chọn A
Điều kiện x  0 .
log 23 x − 2log

3

x − 2log 1 x − 3 = 0  log 23 x − 4log 3 x + 2log 3 x − 3 = 0
3


1
log 3 x = −1  x =

 log x − 2log 3 x − 3 = 0 
3.

log 3 x = 3  x = 27
2

3

Do x1  x2 nên x1 =

HQ MATHS –

8

1
và x2 = 27 .
3

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1
Vậy P = log 3 x1 + log 27 x2 = log 3 + log 27 27 = 0 .
3

Câu 14: Chọn D
log 2 a + log 3 a + log 5 a = log 2 a.log 3 a.log 5 a
 log 2 a ( 1 + log 3 2 + log 5 2 ) = ( log 2 a ) .log 3 2.log 5 2
3

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2
 log 2 a 1 + log 3 2 + log 5 2 − log 3 2.log 5 2 ( log 2 a )  = 0



log 2 a = 0



1 + log 2 + log 2 
1 + log 2 + log 2
2
( log 2 a ) = log 32.log 25   = log 32.log 25 do log 3 2  0, log 5 2  0 
3
5
3
5




 a = 1 ( TM )

  a = 2 ( TM ) .

−
 a = 2 ( TM )

Điều kiện xác định: 3x+1 − 1  0  x  −1 .

(

)

Phương trình đã cho tương đương với log 3 3x+1 − 1 = 2 x − log 3 2

(

)

(

)

 log 3 3x+1 − 1 + log 3 2 = 2 x  2 3x +1 − 1 = 32 x
 32 x − 6.3x + 2 = 0 (1)
3x1 + 3x2 = 6
Do x1 , x2 cũng là hai nghiệm của phương trình (1) nên theo Viet, ta có:  x x
.
1
2
3
.3
=
2


(

Ta có: S = 27 x + 27 x = 3x + 3x

1

Câu 16:

2

1

2

)

3

(

)

− 3.3x1 .3x2 . 3x1 + 3x2 = 6 3 − 3.2.6 = 180 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 15: Chọn C

Chọn C

x  1
Điều kiện: 
.
x  0

Ta có:

1
log
2

3

( x + 3) + 41 log ( x − 1)
9

8

= log 3 ( 4 x )

 log 3 ( x + 3 ) + log 3 x − 1 = log 3 ( 4 x )  log 3 ( x + 3 ) . x − 1  = log 3 ( 4 x )
 ( x + 3 ) . x − 1 = 4 x ( 1) .

Nếu 0  x  1 thì phương trình ( 1) trở thành
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

9


HQ MATHS – 0827.360.796 –

( x + 3 ) .(1 − x ) = 4 x  − x

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 x = −3 + 2 3 ( tm )
.
− 6x + 3 = 0  
 x = −3 − 2 3 ( l )


Nếu x  1 thì phương trình ( 1) trở thành

( x + 3 ) . ( x − 1) = 4 x  x

2

 x = 3 ( tm )
− 2x − 3 = 0  
.
 x = −1( l )





Câu 17: Chọn B
x  0
Điều kiện: 
. Ta có:

x  1
2
 3
 1
log x (125x ) .log 225 x = 1  ( log x 125 + log x x ) log 52 x − 1 = 0  
+ 1  . log 52 x − 1 = 0
 log 5 x  4
 x = 5 ( tmdk )
log 5 x = 1
1
3
2
 log 5 x + log 5 x − 1 = 0  

 x = 5−4 = 1 tmdk
4
4
(
)
log 5 x = −4
625


(

Vậy tích các nghiệm là: 5.

)

1

1
=
.
625 125

Câu 18: Chọn D
x − 1  0
x  1

 x  1


log 2 ( x − 1) = log 2 ( mx − 8 )  mx − 8  0

2
x2 − 2x + 9
x
−
1
=
mx
−
8
m
=
)


2
(

x

( x − 1) = mx − 8
x2 − 2 x + 9
x2 − 9
1;
+
Xét hàm số y =
trên (
) , ta có y ' = x2 . Giải y ' = 0  x = 3
x

Bảng biến thiên

Để thỏa mãn yêu cầu thì 4  m  8 nên các giá trị nguyên của tham số m là 5,6,7 .
HQ MATHS –

10

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 2 3 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Phương trình đã cho có tập nghiệm là S = −3 + 2 3; 3 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 19: Chọn B
Ta có log sin x + log cos x = −1  log ( sin x cos x ) = −1  sin x cos x =
1
( log n − 1)
2

 2log ( sin x + cos x ) = log n − log10  log ( sin x + cos x ) = log
2

 log ( 1 + 2sin x cos x ) = log

n
10

n

1 
 n = 10  1 + 2    n = 12.
10
10 


Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Ta có log ( sin x + cos x ) =

1
.
10

Câu 20: Chọn A
Điều kiện: a , b  0 và a − 4b  0
a = 100t

a − 4b
Đặt log100 a = log 40 b = log 16
= t  b = 40t
12
a − 4b = 12.16t


HQ MATHS – 0827.360.796 –

 5  t
  = 6
2t
t
5
5
 2
t
t
t
Suy ra 100 − 4.40 − 12.16 = 0    − 4.   − 12 = 0   t
.
2

2

5


= −2 ( l )
 2 
t

a 5
Vậy =   = 6 .
b 2

Câu 21: Chọn A
Ta có phương trình: 4 x − m.2 x+1 + 2m = 0
Đặt: 2 x = t  0 , phương trình trở thành: t 2 − 2mt + 2m = 0
Để phương trình có hai nghiệm thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
 '  0
2

m − 2 m  0
 S  0  
m2
2
m

0


P  0



Khi đó phương trình có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:
t1 .t2 = 2 m  2 x1 + x2 = 2 m  8 = 2 m  m = 4

Vậy m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Câu 22: Chọn C
Ta có

(

)

9.32 x − m 4 4 x 2 + 2 x + 1 + 3m + 3 .3x + 1 = 0  3x +1 +

(

)

1
m
−
4 x + 1 + 3m + 3 = 0 (1)
x +1
3
3

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

11


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

(

)

1 m
−
4 t + 3m + 3 = 0
( 2) .
3t 3
Bài tốn trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình ( 2 ) có đúng 3 nghiệm thực

Đặt t = x + 1 , phương trình thành 3t +

phân biệt.
Nhận xét: Nếu t0 là một nghiệm của phương trình ( 2 ) thì −t0 cũng là một nghiệm của
phương trình ( 2 ) . Do đó điều kiện cần để phương trình ( 2 ) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt

m = 1
Với t = 0 thay vào phương trình ta có −m2 − m + 2 = 0  
.
 m = −2
Thử lại:

1 2
Với m = −2 phương trình thành 3t + t + 4 t − 3 = 0
3 3
1
2
4 t − 3  −2, t  suy ra
Ta có 3t + t  2 , t  và
3
3
1 2
3t + t + 4 t − 3  0, t  . Dấu bằng xảy ra khi t = 0 , hay phương trình ( 2 ) có nghiệm
3 3
duy nhất t = 0 nên loại m = −2 .
1 1
Với m = 1 phương trình ( 2 ) thành 3t + t − 4 t + 6 = 0 ( 3)
3 3
Dễ thấy phương trình ( 3) có 3 nghiệm t = −1, t = 0, t = 1 .

(

(

)

)

(

)

Ta chứng minh phương trình ( 3) chỉ có 3 nghiệm t = −1, t = 0, t = 1 . Vì t là nghiệm thì −t
cũng là nghiệm phương trình ( 3) nên ta chỉ xét phương trình ( 3) trên  0; + ) .
Trên tập  0; + ) , ( 3)  3t +

(

)

1 1
− 4 t +6 =0.
3t 3

(

)

1 1
− 4 t + 6 trên  0; + ) .
3t 3
1
2
Ta có f ' ( t ) = 3t ln 3 − 3−t.ln 3 −
, f '' ( t ) = 3t ln 2 3 + 3−t.ln 2 3 +
3 t
3. t

Xét hàm f ( t ) = 3t +

( )

3

 0, t  0 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

)

Suy ra f ' ( t ) đồng biến trên ( 0; + )  f ' ( t ) = 0 có tối đa 1 nghiệm t  0  f ( t ) = 0 có tối
đa 2 nghiệm t   0; + ) . Suy ra trên  0; + ) , phương trình ( 3) có 2 nghiệm t = 0, t = 1 .
Do đó trên tập

, phương trình ( 3) có đúng 3 nghiệm t = −1, t = 0, t = 1 . Vậy chọn m = 1 .

Câu 23: Chọn C
Điều kiện: x  0 . Đặt t = log 2 x .
x = 4
log x = 2
t = 2
Khi đó phương trình đã cho có dạng: t 2 − ( m + 2 ) t + 2m = 0  
 2

m
t = m log 2 x = m  x = 2
.

Do x1 + x2 = 6  4 + 2m = 6  m = 1 . Vậy x1 − x2 = 4 − 21 = 2 .
HQ MATHS –

12

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

là phương trình ( 2 ) có nghiệm t = 0 .


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 24: Chọn B
Ta có 4 x + ( m − 1) 2 x + ( 4 + 3m ) = 0 ( 1) .
Đặt t = 2 x , t  0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 + ( m − 1) t + 4 + 3m = 0 ( 2 )
Phương trình ( 1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm t1 , t2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

af (1)  0
 −1  m  2013
thỏa 0  t1  1  t2  
af (0)  0

Vì m  , m  0; 2019  suy ra m  0;1; 2;...; 2012
Câu 25: Chọn A
Đặt: t = 2 x ( x  0  t  1) , phương trình đã cho trở thành: t 2 − 2 ( m + 3 ) t + m + 9 = 0 .



  = m 2 + 5m  0
   = m 2 + 5m  0


 ( t1 − 1)( t2 − 1)  0  t1t2 − ( t1 + t2 ) + 1  0 ( * )
S
S
 = m+3 1
 = m+3 1
 2
 2

Phương trình: t 2 − 2 ( m + 3 ) t + m + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 nên theo Viet ta có:
t1 + t2 = 2 ( m + 3 )

t1 . t2 = m + 9
  m  −5

 m 2 + 5m  0
m  0


Thay vào hệ ( * ) ta được −m + 4  0  m  4  0  m  4
m + 3  1
m  −2




HQ MATHS – 0827.360.796 –

Bài tốn trở thành: Tìm các giá trị ngun của tham số m để phương trình:
t 2 − 2 ( m + 3 ) t + m + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn 1  t1  t2

Vì m  , 0  m  4  m  1; 2 ; 3 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 26: Chọn A
4 x − 2 x + 2 + m − 2 = 0  4 x − 4.2 x + m − 2 = 0 ( 1) . Đặt t = 2 x ( t  0 )

( 1)  t

2

− 4t + m − 2 = 0 ( 2 )

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

13


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0  x1  x2
 2 0  2 x1  2 x2  1  t1  t2

Thì phương trình ( 2 ) thỏa: 0  t1 − 1  t2 − 1
16 − 4 ( m − 2 )  0
  0

m  6

 4  2

 t1 + t2  2
. Vậy m = 5 thỏa yêu cầu.
m  5
t t − t + t + 1  0
 t −1 t −1  0
( 1 )( 2 )
 1 2 ( 1 2)

Ta có:
log 2 2 ( 2 x ) − 3log 2 x − 2 = 0  (1 + log 2 x ) − 3log 2 x − 2 = 0
2


1+ 5
log 2 x =
2
 log 2 2 x − log 2 x − 1 = 0  

1− 5
log 2 x =
2



1+ 5

x = 2 2

.
1− 5
x = 2 2


Vậy: a = 1; b = 5; c = 2  a + b + c 2 = 10 .
Câu 28: Chọn C
Ta có: log 2 cos x − m log cos 2 x − m2 + 4 = 0  log 2 cos x − 2 m log cos x − m2 + 4 = 0
Đặt log cos x = t . Điều kiện: t  0
Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 2mt − m2 + 4 = 0, t  0.
Phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi phương trình vơ nghiệm hoặc có các nghiệm đều
dương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi

(

)

 m2 − 1. −m2 + 4  0

 2 m2 − 4  0
  0
 2
2
− 2  m  2



 m − 1. −m + 4  0
2





0
2
m
−
4

0


− 2 m2
 
  m  2
   2 m

 t + t  0

2m  0
0


1

2




 1
 −2  m  2
 −m2 + 4  0
 t1 .t2  0
 2

  −m + 4  0
  1

(

)

Câu 29: Chọn A
x  0
Điều kiện: 
.
m + log 2 x  0

log 2 2 x − 2log 2 x − m + log 2 x = m  4log 2 2 x − 8log 2 x − 4 m + log 2 x = 4m

HQ MATHS –

14

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Điều kiện x  0 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 27: Chọn A


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 4log 2 2 x − 4log 2 x + 1 = 4 m + log 2 x + 4 ( m + log 2 x ) + 1

(

 ( 2log 2 x − 1) = 2 m + log 2 x + 1
2

)

2

 2 m + log x + 1 = 2log x − 1
2
2


 2 m + log 2 x + 1 = −2log 2 x + 1

 m + log x = log x − 1
2
2

 m + log 2 x = − log 2 x

m + log 2 x = − log 2 x

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Trường hợp 1:

0  x  1
log x  0
 2

2
2
m + log 2 x = log 2 x
log 2 x − log 2 x − m = 0 (1)

Đặt: t = log 2 x ( t  0 ) , phương trình (1) trở thành: t 2 − t − m = 0  t 2 − t = m ( 2 )
Đặt: g(t ) = t 2 − t(t  ( −; 0  .Bài tốn trở thành: Tìm giá trị của tham số m để phương trình

( 2 ) có ít nhất 1 nghiệm t  0

Ta có: g(t ) = t 2 − t  g(t ) = 2t − 1  0t  0

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình ( 2 ) có ít nhất 1 nghiệm t  0 thì m  0
Trường hợp 2:


log x  1
m + log 2 x = log 2 x − 1   2
2

m + log 2 x = log 2 x − 2log 2 x + 1

log 2 x  1

2
log 2 x − 3log 2 x + 1 − m = 0 ( 3 )

Đặt: t = log 2 x ( t  1) , phương trình (1) trở thành: t 2 − 3t + 1 − m = 0  m = t 2 − 3t + 1( 4 )
Đặt: g(t ) = t 2 − t + 1, t  1; + ) . Ta có: g(t ) = t 2 − 3t + 1  g(t ) = 2t − 3
g(t ) = 0  2t − 3 = 0  t =

3
 1; + )
2 

Bài tốn trở thành: Tìm giá trị của tham số m để phương trình ( 4 ) có ít nhất 1 nghiệm t  1
Ta có bảng biến thiên:
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

15


Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

5
4

Kết hợp và, m  −
 2019; 2019   m  −1; 0;1; 2;...; 2019
Vậy có tất cả 2021 giá trị của m thỏa mãn ycbt
Câu 30: Chọn B

( )

16 x − m.4 x −1 + 5m2 − 44 = 0  4 x

( )

 4 4x

2

2

−

m x
.4 + 5m2 − 44 = 0
4

− m.4 x + 20m2 − 176 = 0 , ( 1) .

Đặt t = 4 x điều kiện t  0 từ ( 1) ta có 4t 2 − m.t + 20m2 − 176 = 0 , ( ) .
Khi đó phương trình ( 1) có hai nghiệm đối nhau x1 ; x2 thì x1 + x2 = 0 khi và chỉ khi phương
trình ( ) có hai nghiệm dương t1 ; t2 thỏa mãn t1 .t2 = 1 . Nhưng vì phương trình ( ) có
c
176
=−
= −44  0 nên khơng có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a
4

Câu 31: Chọn D
Đặt t = 3x , t  0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 − 2 ( 2 m + 1) t + 3 ( 4 m − 1) = 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực x1 , x2 khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm
dương phân biệt

m  1
2

4m − 8m + 4  0
  0
m  1

1





 S  0  2 ( 2 m + 1)  0
 m  −  
1.
2
m

P  0



4


1

3 ( 4 m − 1)  0
m


4

Khi đó phương trình có hai nghiệm là t = 4m − 1 và t = 3 .
Với t = 4m − 1 thì 3x1 = 4m − 1  x1 = log 3 ( 4m − 1) .
Với t = 3 thì 3x = 3  x2 = 1 .
2

HQ MATHS –

16

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình ( 4 ) có ít nhất 1 nghiệm t  1 thì m  −

HQ MATHS – 0827.360.796 –

HQ MATHS – 0827.360.796 –


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

5
Ta có ( x1 + 2 )( x2 + 2 ) = 12  x1 = 2  log 3 ( 4 m − 1) = 2  m = .
2

Vậy giá trị m cần tìm là m =

5
nên m thuộc khoảng ( 1; 3 ) .
2

Câu 32: Chọn D
Ta có ( m − 5 ) .3x + ( 2m − 2 ) .2 x. 3 x + (1 − m ) .4 x = 0 ( 1)

x

x

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

x
 3
 3
3
 ( m − 5 ) .   + ( 2m − 2 ) . 
 + 1 − m = 0 . Đặt t = 
 , điều kiện t  0 .
 2 
 2 
4





Khi đó phương trình trở thành: ( m − 5 ) t 2 + ( 2m − 2 ) t + 1 − m = 0 , ( 2 ) .
Do đó để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình ( 2 ) có hai nghiệm

Vậy a = 3 , b = 5 nên a + b = 8 .
Câu 33: Chọn D

(

10 + 1

)

x2

+m

(

10 − 1

)

x2

x2

= 2.3 x

2

+1

x2

x2

 10 + 1 
 10 − 1 


 + m
 = 6 (1)
 3 
 3 




x2

 10 + 1 
 10 − 1 
1
1
2
Đặt t = 
 , t0
 = ; (1)  t + m. = 6  t − 6t + m = 0 (2)
 3 
 3 
t
t





Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1.

HQ MATHS – 0827.360.796 –

m  5
a  0


  0
m  3
 
 3  m  5  m  ( 3; 5 ) .
dương phân biệt  
P  0
m  1
S  0

1  m  5

(2)  m = −t 2 + 6t . Xét hàm số f (t ) = −t 2 + 6t trên khoảng (1; +) , ta có:
f  ( t ) = −2t + 6; f  ( t ) = 0  t = 3 .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m  5 hoặc m = 9 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

17


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Do m  ( −10;10 ) nên m = −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 0;1; 2; 3; 4; 9 .
Suy ra có 15 giá trị m cần tìm.
Câu 34: Chọn B

(

Vì 1 + 2

)(

(

)

2 − 1 = 1 . Đặt t = 1 + 2

Phương trình trở thành: t +

)

x

(t  0 )  (

2 −1

)

x

=

1
t

1 − 2a
− 4 = 0  t 2 − 4t + 1 − 2t = 0 ( 1) .
t

 = 2 a + 3  0
−3
1

a .
t1 + t2 = 4  0 
2
2
t t = 1 − 2 a  0
12

(

Và thỏa mãn x1 − x2 = log 1+ 2 3  1 + 2

)

x1 − x2

=3 

t1
= 3  t1 = 3t2 .
t2

t1 = 3t2
t1 = 3
t1 = 3



 t2 = 1
t1 + t2 = 4  t2 = 1
t t = 1 − 2a
t t = 1 − 2a = 1.3
a = −1
12
12


Vậy với a = −1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 35: Chọn D
Đặt t = 3x , t  0 ta có phương trình: t 2 − 2 ( m + 2 ) .t + 3m − 2 = 0 ( 1) .
u cầu bài tốn tương đương với tìm số số nguyên m  0 ; 2019  để phương trình ( 1) có
hai nghiệm phân biệt thỏa 0  t1  1  t2 .
m2 + m + 6  0
  = ( m + 2 ) 2 − 3m + 2  0



m  −2
S = 2 ( m + 2 )  0

Hay phương trình ( 1) có: 
2
P
=
3
m
−
2

0
m  3


 t −1 t −1  0
( 1 )( 2 )
t1t2 − ( t1 + t2 ) + 1  0

2

2
m 
m 


3
3 . Vì m 

 3m − 2 − 2 ( m + 2 ) + 1  0
m  5



nên m  1; 2 ; 3; 4 .

Vậy có 4 giá trị của m thỏa đề bài.
Câu 36: Chọn D
ĐKXĐ: x  0 .
HQ MATHS –

18

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

dương t1 , t2 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình ( 1) phải có hai nghiệm


HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

Cách 1: Ta có: 4 log 2 x

)

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp
2

1

− log 1 x + m = 0 ( * )  4  log 2 x  + log 2 x + m = 0
2

2

 log 2 2 x + log 2 x + m = 0  m = − log 2 2 x − log 2 x .

Đặt log 2 x = t , với x  ( 0;1) thì t  0 . Phương trình đã cho trở m = −t 2 − t(**) .
Để phương trình ( * ) có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1)  phương trình (**) có nghiệm t  0.

Vậy để phương trình (**) có nghiệm t  0 thì m 

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1
Xét f (t ) = −t 2 − t với t  0 . Ta có f  ( t ) = −2t − 1 và f  ( t ) = 0  t = − .
2
Bảng biến thiên:



1
1
hay m   −;  .
4
4


(

4 log 2 x

)

2

2

1

− log 1 x + m = 0 ( * )  4  log 2 x  + log 2 x + m = 0  log 2 2 x + log 2 x + m = 0
2

2

Đặt log 2 x = t ,với x  ( 0;1) thì t  0 . Phương trình đã cho trở t 2 + t + m = 0 (**) .
Để phương trình ( * ) có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1)  phương trình (**) có nghiệm
t  0   = 1 − 4m  0  m 

1
.

4

Vì khi   0 phương trình (**) có nghiệm t1 ; t2 thì theo Định lí Viet t1 + t2 = −1 nên ln có ít
nhất một nghiệm âm.

1
Vậy m   −;  thì phương trình ( * ) có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .
4

Câu 37: Chọn C

Xét phương trình: log 3 2 x − 4 log 3 x + m − 3 = 0

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Cách 2: Ta có:

(1) . Điều kiện: x  0.

Đặt t = log 3 x phương trình ( 1) trở thành: t 2 − 4t + m − 3 = 0 ( 2 ) .
Phương trình ( 1) có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt.
 '  0  4 − m + 3  0  m  7 ( i ) .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

19

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Gọi x1  x2 là 2 nghiệm của phương trình ( 1) thì phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm tương ứng là
t1 = log 3 x1 ; t2 = log 3 x2 . Vì x1  x2 nên t1  t2 .

Mặt khác, x2 − 81x1  0  0  x2  81x1  log 3 x2  4 + log 3 x1
 t2  4 + t1  0  t2 − t1  4  ( t2 − t1 )  16  ( t2 + t1 ) − 4t1t2  16 .
2

( ii ) .

Từ ( i ) và ( ii ) suy ra 3  m  7 và m 

nên có 3 số nguyên thỏa mãn.

Câu 38: Chọn C
Xét phương trình: log 3 2 x − 4 log 3 x + m − 3 = 0

(1) . Điều kiện: x  0.

Đặt t = log 3 x phương trình ( 1) trở thành: t 2 − 4t + m − 3 = 0 ( 2 ) .
Phương trình ( 1) có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt.
 '  0  4 − m + 3  0  m  7 ( i ) .

Gọi x1  x2 là 2 nghiệm của phương trình ( 1) thì phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm tương ứng là
t1 = log 3 x1 ; t2 = log 3 x2 . Vì x1  x2 nên t1  t2 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Mặt khác, x2 − 81x1  0  0  x2  81x1  log 3 x2  4 + log 3 x1
 t2  4 + t1  0  t2 − t1  4  ( t2 − t1 )  16  ( t2 + t1 ) − 4t1t2  16 .
2

 4 2 − 4 ( m − 3 )  16  m  3

2

( ii ) .

Từ ( i ) và ( ii ) suy ra 3  m  7 và m 

nên có 3 số nguyên thỏa mãn.

Câu 39: Chọn D
4 x +1 − ( 8 m + 5 ) 2 x + 2 m + 1 = 0

(* )

Đặt t = 2 x , điều kiện t  0 , phương trình ( * ) trở thành

1
t1 =

4t − ( 8 m + 5 ) t + 2 m + 1 = 0  ( 4t − 1)( t − 2 m − 1) = 0 
4

t
=

2
m + 1.
 2
2


1
2m + 1  0
m  − 2

Phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
1  
m  − 3 .
2m + 1  4


8

HQ MATHS –

20

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 4 2 − 4 ( m − 3 )  16  m  3

2

(* * )