Các phương pháp toán kinh tế phần 2

CHƯƠNG IV
BÀI TỐN VÂN TẢI

4.1. MƠ HÌNH TỐN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI
4.1.1. Nội dung
Cần vận chuyển một loại hàng hoá thuần nhất từ m
trạm phát (các kho, các xí nghiệp sản xuất,...) ký hiệu là
Ax, A2,...Am vởi khả năng cung cấp tương ứng là ax, a2,
...,am đơn vị hàng tới n trạm thu (các trung tâm tiêu thụ),
ký hiệu là Bx, B2,....,Bn vởi nhu cầu tiêu thụ tương ứng
là bx, b2,...., bn đơn vị hàng. Biết cước phí vận chuyển một
áơn vị hàng hoá từ mỗi trạm phát Aj đến mỗi trạm thu
Bj là Cy (i = 1, 2,...,m; j = 1, 2,...,n).
Giả thiết rằng các cước phí vận chuyển này là các hằng
sô không phụ thuộc vào lượng hàng vận chuyển, nghĩa là
chi phí vận chuyển ở một cung đường nhất định tỷ lệ thuận
với lượng hàng vận chuyển. Tuy nhiên trong thực tế giả
thiết này không phải khi nào cũng thực hiện được.
Để đơn giản chúng ta giả thiết rằng:

1=1

j=i

nghĩa là tổng khả năng cung cấp của các trạm phát bằng
tổng nhu cầu của các trạm thu.
145


Nhiệm vụ đặt ra là hãy xây dựng một phương án vận
chuyển hợp lý nhất, tức là xác định lượng hàng cần vận

chuyển từ mỗi trạm phát đến từng trạm thu sao cho:
a. Mỗi trạm phát đều phát hết hàng, mỗi trạm thu đều
nhận đủ hàng yêu cầu.
b. Tổng chi phí vận chuỵển là nhỏ nhất.
Chúng ta ký hiệu Cjj là cước phí vận chuyển một đơn
vị hàng hố từ trạm phát Aj đến trạm thu Bj (i = 1, 2,...,m;
j= 1, 2,..., n). Ký hiệu Xjj (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) là
lượng hàng chưa biết phải vận chuyển từ Ai đến Bj. Như
vậy sô biến trong bài toán vận tải là m.n
Từ các giả thiết đã cho ta thấy:

a. Từng trạm phát phải phát hết khả năng cung cấp
hiện có và từng trạm thu phải được nhận đủ theo yêu cầu.
Nói cách khác các biến Xý- cần phải thoả mãn m + n phương
trình (ràng buộc)X11 + x12 + •••• + xln

= al

X21 + x22 + •••■ + x2n

xml
+ X21 + ...........

X11

= a2

xm2 +•••+ xmn
aìn
+ xml

= bl

+ x22 + ..................... + xm2 = b2

x12.

x2n +••■+ xmn

xln

(4.1)

(4.2)

bn

b. Tổng chi phí vận chuyển (hàm mục tiêu)
(4.3)
i=i j=l

cần đạt giá trị cực tiểu

146


c. Các biến Xjj không âm (suy từ thực tế, khơng thể vận
chuyển một lượng hàng hố âm), tức là:
Xjj > 0 (i=l, 2, ..., m ; j = 1,2, ..., n)

(4.4)

d. ỉ ai=ỉ bj (điểu kiện cân bằng thu phát) (4.5)
i=i

j=i

Tởi đây ta có thể phát biểu mơ hình tốn học của bài
tốn vận tải như sau:

4.1.2. Mơ hình tốn học
Tìm bộ mxn số thực {Xjj} thoả mãn các điều kiện sau:

Ề CjjXjj -> min
i=l j=l
ỉ Xij =

Si

(i=l,2,...,m)

(4.1a)

bj

0=1,2,. ...,n)

(4.2a)

j=l

Ề Xụ =

i=l
Xjj > 0 (i=l, 2, .... , m ; j=l, 2, ...., n)

(4.4a)

Vối giả thiết:

5

¿ bj (cân bằng thu phát) (4.5)

i=i

j=i

Nhận xét: Bài toán vận tải là một bài tốn q hoạch
tuyến tính dạng chính tắc. Vì vậy mọi định nghĩa (phương
án, phương án cực biên, phương án tối ưu, cơ sở của phương
án cực biên, véctơ và biến cơ sở, véctơ và biến phi cơ sỏ,...)
147


các định lý của qui hoạch tuyến tính đều có thể áp dụng
cho bài toán vận tải và đương nhiên có thể giải nó bằng
phương pháp đơn hình. Nhưng do cấu tạo đặc biệt của bài
toán vận tải, người ta đã xây dựng một sơ phương pháp
khác giải nó đơn giản và tiện lợi hơn mà duới đây chúng
ta sẽ trình bày một phương pháp thơng dụng để giải bài

tốn vận tải - phương pháp thế vị.

4.3. MÔ TẢ BÀI TỐN DƯỚI DẠNG BẢNG
Trước khi nghiên cứu các tính chất riêng và phương
pháp giải bài toán vận tải, ta hãy chuyển nó thành dạng
bảng như sau:

Ta xây dựng một bảng gồm m hàng, n cột. Mỗi hàng
đặc trưng cho một trạm phát, còn mỗi cột đặc trưng cho
một trạm thu.
- Hàng trên cùng ghi tên các trạm thu Bj và nhu cầu
bj tương ứng (j = 1, 2,...,n)
- Cột đầu ghi tên các trạm phát Aj và khả năng cung
cấp aj tương ứng (i = 1, 2,...,m)
- Trong bảng giao của hàng i và cột j gọi là ô (ij), đặc
trưng cho đoạn đưịng nơi trạm phát Aị với trạm thu
Bj nên ở ô này ta ghi Cjj. Mỗi ô (ij) còn tương ứng
với một biến Xịj, đồng thời tương ứng với một véctơ
Ajj (hệ sô của biến Xịj trong hệ ràng buộc 4. la và 4.2a).
Như vậy mọi dữ liệu của bài toán vận tải đều được
thể hiện trên bảng 4.1 gọi là bảng vận tải.

148


Bảng 4.1
Thu
Phát\

Aựa-i)

B1

b2

Bn

(bi)

(b2)

(bn)

C11

C12

X11

A2(a2)

X12
C22

C21

Cm1

Xm1

Xin

C2n
X22

X21

Mam)

cin

Cm2

Xm2

X2n

Cmn
Xmn

Nếu trong bảng thay cho cước phí vận chuyển ta ghi
khoảng cách tính theo km giữa các trạm, thì thay cho tổng
chi phí vận chuyến ít nhất sẽ là tổng số tấn km cần vận
chuyển là ít nhất.

4.2. CÁC TÍNH CHẤT cơ BẢN CỦA BÀI TỐN
VẬN TẢI
Ngồi những tính chất chung của bài tốn qui hoạch
tuyến tính, bài tốn vận tải cịn có những tính chất riêng
được phát biểu dưới đây.

149


Định lý 4.1. Bài toán vận tải cân bằng thu phát có phương
án cực biên tơi ưu.
Chứng minh
Đặt d = ỉa.-ỉ bj , xác định hệ thống sô {Xjj} như
1=1

sau*

j=l

aịbj
Xjj = d

(1=1, 2,

m J J —1, 2,..., n),

Rõ ràng Xịj > 0 (Vij), ngồi ra :
ai

s

= bjS^ =

«ij =

i=l

f

0-1,2,...,n)

i=l a

i=l

Như vậy |Xjj : Xÿ =

bj

(i=l,2,...,m)

ai°i

.

1

(i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,..., n) j là

một phương án của bài tốn. Hơn nữa Cịì > 0 (Vij), Xjj >
0 V(ij) nên:

CÿXjj > 0 nghĩa là hàm mục tiêu bị chặn dưởi
i=i j=l

bởi khơng. Do đó, theo tính chất của bài tốn qui hoạch
tuyến tính, bài tốn vận tải đã có phương án và hàm mục
tiêu bị chặn dưới thì chắc chắn có phương án tốt nhất và
do đó có phương án cực biên tơt nhất.
Nhìn vào hệ ràng buộc (4.1) và (4.2) ta thấy ma trận
hệ sô của các ẩn có dạng

150


1

1 .... 1

A

Véctơ Ajj hệ số của ẩn Xjj có thành phần thứ i và (m+j)
bằng một còn (m + n - 2) thành phần khác bằng 0
0
0

Aii

1
0

- thứ tự i

1
0

- thứ tự m+j

=

O J - thú tự m+n
Véctơ cột Ajj có thể viết:

Ajj = Ej + Ej+m

(4.6)

Trong đó Ej và Ej+m là hai véctơ đơn vị (m + n) chiều
tương ứng có thành phần thứ i và thứ j + m bằng 1.
Khơng khó khăn ta có thể chứng minh được ma trận A
có hạng bằng m + n -1. Nói cách khác hệ (4.1) và (4.2) có
151


(m + n -1) ràng buộc độc lập, tức là bất kỳ phương trình
nào trong hệ (4.1) và (4.2) cũng là hệ quả của (m 4- n -1)
phương trình cịn lại (hiển nhiên với giả thiết cân bằng
thu phát) chẳng hạn ta cộng các phương trình (4.1) và trừ
vào tổng đó (n-1) phương trình đầu của (4.2) ta sẽ nhận
được phương trình cuối của (4.2).

Như vậy ta có thể phát biểu tính chất hai của bài tốn
vận tải: Ma trận hệ số A của hệ ràng buộc (4.1) và (4.2)
có hạng bằng (m +n -1)
Từ đây liên hệ với định nghĩa phương án cực biên của

bài toán quy hoạch tuyến tính ta suy ra:
- Phương án cực biên của bài tốn vận tải có khơng
q m + n - 1 thành phần dương.

- Phương án cực biên của bài toán vận tải gọi là khơng
suy biến nếu nó có đúng m + n -1 thành phần dương
và gọi là suy biến nếu nó có ít hơn m + n -1 thành
phần dương.
- Mỗi phương áñ cực biên đều ứng với ít nhất một cơ
sở gồm m + n -1 véctơ Ajj độc lập tuyến tính. Trong
trường hợp phương án cực biên khơng suy biến Xo =
{Xij(0)} thì chỉ có một cơ sở duy nhất đó là hệ (A¡j :
x¡j > 0} gồm m + n -1 véctơ độc lập tuyến tính.

Trở lại bảng vận tải ta thấy giữa các ơ (ij) và các véctơ
Ajj của ẩn Xjj có sự tương ứng 1 -1.
0 (ĩj) được gọi là ô chọn nếu có lượng hàng phân phối
Xjj > 0 và gọi là ô loại nếu Xÿ = 0. Như vậy một phương
án cực biên có khơng q (m +n -1) ơ chọn.
152


Phương án cực biên được gọi là không suy biến nếu nó
có đúng m + n -1 ơ chọn và là suy biến nếu nó có ít hơn
m + n -1 ơ chọn.

Đê thấy rõ hơn tính độc lập hay phụ thuộc của hệ véctơ
(Ajj} gắn với sự phân bố của các ô tương ứng vởi chúng
trong bảng vận tải ta xét hệ véctơ sau:

Ah

Ajz ’ • • • ’ \jk Ají

trong đó tất cả các chỉ số thứ nhất (chỉ số chỉ hàng) và
các chỉ sô thứ hai (chỉ sô chỉ cột) chỉ xuất hiện hai lần.
Nếu ta cho tương ứng giữa các véctơ này với những ô của
bảng vận tải ta sẽ thấy trong một hàng của bảng hoặc có
2 ơ hoặc khơng có ơ nào tương ứng với các véctơ trên. Tương
tự như vậy đối với các cột của bảng. Nếu chúng ta nối những
Ô tương ứng của bảng với hệ véctơ (4.7) bởi những đoạn
nằm ngang và thảng đứng chúng ta sẽ nhận được một chu

Hình 4.1
Như vậy vịng là một tập hợp ơ trong bảng vận tải mà
trong đó mỗi ơ đều nằm cùng hàng (cùng cột) chỉ với một
ơ đứng trưốc nó, đồng thời nằm cùng cột (cùng hàng) chỉ
với 1 ô đứng sau nó.
153


Tứ định nghĩa ta thấy một hàng hoặc một cột mà vịng
đi qua bao giờ cũng chỉ có hai ơ thuộc vịng, do đó tổng
số ơ trên vịng là một sơ chẵn và ít nhất là bốn ơ. Có thể
mơ tả vịng dưới dạng các ơ của bảng như sau:
(iiJi); (Í1J2); Ơ2jạ);-(ifcjfc); (ikJi)

Định lý 4.2.

Điều kiện cần và đủ để một tập hợp ơ đã cho có chứa

vịng là hệ các véctơ {Ajj} tương ứng phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh

Điêu kiện càn.
<Ì1J1MÌ1 j2)(Ĩ2,j2){Ajj} tương ứng
tính. Muốn thế

Giả sử tập hợp ơ đã cho có chứa một vịng
•(ikdkXiữi) ta phải chứng minh hệ véctơ
với tập hợp ô đã cho là phụ thuộc tuyến
ta chỉ cần chứng minh hệ véctơ

{AiiJ1 ’\j2 A2j2 > ■ ■ • >
AkjJ phụ thuộc tuyến tính là
đủ (vì một hệ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính thì hệ
đó cũng phụ thuộc tuyến tính) .
Theo (4.6) ta có:

A:u-h: — Aị j + A¿
;+...+ Aj~kJkj — Aị
j = (Ej*1 + E Jl+rn
j ) —
”2^2
~kh
(E:h + EjJ2-1H) + (E;*2 + EjJ2-m/) + ... + (EjK + E:Jk-in ) — (E;
+ EjJl-m') = 0
v ‘k

Chứng tỏ hệ véctơ:

{

i, A1 j2 A2j2. • • •, \jk AkJ1 1 phụ thuộc tuyến tính.

Điêu kiện đủ. Giả sử tập hợp ơ đã cho tương ứng với một
hệ véctơ {Aý-} phụ thuộc tuyến tính, ta phải chứng minh
tập hợp ơ đã cho có chứa vòng.
154


Từ sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ {Ajj} ta suy
ra:

Z E «ijAij = 0
(4.8)
i j
Trong (4.8) có ít nhất một hệ số djj 0 (ở đây ij chạy
trên tập hợp các chỉ số dòng và cột của tập hợp ơ đã cho).
Chẳng hạn oq j
0 và ta có thể coi cq
= 1 (nếu khơng

(4.8) phải chứa ít nhất một véctơ khác, cùng chỉ số Ỉ! để
làm triệt tiêu E^, chẳng hạn đó là véctơ
Aj j2 =

E: + Ej và như vậy thì tổng (4.8) lại phải chứa ít nhất

một véctơ khác cùng chỉ số j2 để làm triệt tiêu Ej2

. Chẳng

hạn đó là vểctơ Ạ-n2->2; = E;*2 + E:J2Lập luận tương tự ta sẽ có một dẫy véctơ:
^1J1 ,Aii Í2 ,Ai2j2 ’ ^2 j3

Vì số véctơ Aịj là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước
ta phải gặp véctơ Ajkjk rồi véctơ Ajkji để triệt tiêu Ej^..^

Như vậy dẫy véctơ: AiJi ,Ai1J2 A2j2 • • • ■’ \jk ’ Aikh mà
dẫy ơ tương ứng:
ƠIJi)(iiJ2XÍ2J2)--(ikjk)ơkJ1) tạo nên một vịng. Vậy tập
hợp ơ đã cho có chứa vịng.
Hệ quả 4.1.

Một tập hợp gồm m + n ô của bảng vận tải bao giờ
cũng chứa vòng.
155


Thật vậy: Do hệ (m + n) véctơ Ajj tương ứng là phụ thuộc
tuyến tính (do số véctơ của hệ lớn hơn hạng của ma trận
A) nên tập hợp m + n ơ ấy chứa vịng.
Hệ quả 4.2

Một phương án của bài toán vận tải là phương án cực
biên khi và chỉ khi tập hợp ơ chọn của nó khơng chứa vịng.
Thật vậy: xo = {Kijí0)} là một phương án cực biên thì hệ
véctơ {Aịj : Xjj(0) > 0} độc lập tuyến tính nên các ơ chọn
của Xo khơng chứa vịng.
Định lý 4.3

Một phương án cực biên của bài tốn vận tải có đủ số
tối đa (m + n - 1) ơ chọn thì một ơ loại bất kỳ sẽ tạo nên
một vịng duy nhất với một sơ ơ chọn.

Chứng minh

Ta lấy một ơ loại bất kỳ thì ơ loại này cùng vởi m + n
-1 ơ chọn đã có tạo thành một tập hợp có m + n ơ. Theo
hệ quả 4.1 tập hợp ơ này có chứa vịng, nghĩa là ô loại ấy
sẽ cùng vởi một số ô chọn tạo thành vịng. Ta chứng minh
vịng đó là duy nhất.
Giả sử ô loại ấy tạo vởi một sô ô chọn hai vịng như sau:
¥-------¥

0 loại

Hình 4.2
156


Thê thì nếu bỏ ơ loại ấy đi thì các ô chọn trên hai vòng
ây sẽ lập thành một vòng. Điều này trái với giả thiết:

Phương án đang xét là phương án cực biên.

4.3. THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI
Có nhiêu phương pháp khác nhau để giải bài tốn vận
tải. ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu một trong các phương
pháp đó là phương pháp thế vị.

Đường lối chung là: Xuất phát từ một phương án cực
biên, kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu đối với phương án này.
Nếu thoả mãn thì thuật tốn dừng. Nếu chưa tlioả mãn
thì ta chuyển sang một phương án cực biên khác tốt hơn
và sau một số hữu hạn bước ta sẽ tìm được phương án tối
ưu.

4.3.1 Xây dựng phương án cực biên xuất phát

Có nhiều phương pháp khác nhau để xây dựng phương
án cực biên xuất phát, ở đây chúng ta trình bày hai phương
pháp thông dụng: Phương pháp giá cước bé nhất và phương
pháp Phôghen.
4.3.1.1. Phương pháp giá cước bé nhất

Nguyên tắc phân phối hàng của phương pháp này như
sau: Ưu tiên phân phối hàng tới mức tơi đa vào ơ có giá
cước Cjj nhỏ nhất trong phạm vi các ơ cịn xét.
Ban đầu tất cả các ô (ij) trong bảng đều thuộc vào các
ơ cịn xét. Giả sử

crk = min {Cij}
157


Ta phân cho ô (r,k một lượng hàng xrk lớn nhất có thể
được, tức là xrk = min {ar, bk}.

- Nếu xrk = bk thì nhu cầu của trạm thu Bk được thoả

mãn, ta loại các ô ồ cột Bk ra khỏi phạm vi các ơ
cịn xét và sửa lại khả năng của trạm phát Ar.
a’r = ar - xrk = ar - bk > 0

- Nếu xrk = ar thì ồ trạm Áj. đã phát hết hàng, ta loại
các ô trên hàng Ar ra khỏi phạm vi các ô còn xét và
sửa lại nhu cầu của trạm thu Bk:
b’k = bk - xrk

= bk - ar > 0

- Nếu xrk = ar = bk thì loại cả hàng Ar và cột Bk ra
khỏi phạm vi các ơ cịn xét.
Với các ơ cịn xét mởi này ta lại tiến hành như trên.
Cứ như thế tiếp tục cho đến khi tất cả các hàng và các
cột của bảng vận tải bị loại khỏi phạm vi các ộ còn xét.
Tất nhiên, khi đó mọi trạm phát đều hết hàng và nhu cầu
tại mọi trạm thu đều được thoả mãn (do giả thiết bài tốn
cân bằng thu phát). Những ơ khơng được phân phối thì
Xjj = 0.
Định lý 4.3

Hệ thống số X = {Xjj} (i = 1, 2,...., m; j = 1, 2,....,n) xây
dựng theo phương pháp giá cưởc bé nhất là một phương
án cực biên.

Chứng minh
Trong quá trình thực hiện phương pháp giá cước bé nhất,
tá chỉ loại những hàng và cột đã thoả mãn, tức là

158


ỉ *ij

j=i

=

&i

và

ỉ Xij

= bj

Í=1

Hơn nữa mọi Xij > 0 nên X = {Xý-1 i = 1, 2,....,m; j - 1,
2,....n thu được là một phương án. Ta phải chứng minh nó
là phương án cực biên.
Giả sử X = {Xịj} (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2,...,n) không phải
là phương án cực biên nghĩa là tồn tại ít nhất một vịng
chứa các ơ chọn:
(iljlXilj2Xi2Ì2)>--(ĩữkXÌÚi).

Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả thiết ơ
được
phân phối trước nhất trên vịng này. Theo nguyên tắc phân

phối tô? đa, khi phân phối cho ơ (iiji) thì:
- Hoặc trạm phát đã phát hết hàng, hàng Ỉ! bị loại
khỏi bảng các ơ cịn xét nên ô (1^2) không thể được
phân phối.

- Hoặc yêu cầu của trạm thu đã thỏa mãn, cột jj ’bị
loại khỏi nên ô (ik, jx) không thể được phân phối.
- Hoặc yêu cầu của trạm thu và khả năng của trạm
phát đều thỏa mãn thì hàng Ỉ! và cột jx bị loại khỏi
bảng, nên ô (1^2) và (ifcji) không thể được phân phối.
Một trong ba trưòng hợp đều dẫn tới mâu thuẫn. Như
vậy từ các ô được phân phối không thể tạo vòng, nén X
= {Xij} xây dựng được ở trên phải là một phương án cực
biên.

Chú ý: Nếu trong phạm vi các ơ cịn xét có nhiều ơ có
cùng giá cước nhỏ nhất thì phân cho ơ nào có thế nhận
lượng hàng lớn nhất. Nếu lượng hàng có thể nhận của các

159


ỗ này lại bằng nhau thì phân phối cho một ô bất kỳ trong
chúng.
- Nếu kết quả của quá trình phân phối cho tổng số ô
được phân là m + n -1 ơ chọn thì ta được một phương án
cực biên tương ứng không suy biến. Các biến ứng với các
ơ chọn ấy chính là m + n -1 biến cơ sở duy nhất. Nhưng
nếu phương án cực biên thu được chưa đủ m + n -1 ô chọn
(phương án cực biên suy biến) thì ta phải bổ sung thêm

cho đủ m + n -1 ô với điều kiện là m + n -1 ơ ấy khơng
chứa vịng. Những ơ chọn bổ sung thêm có lượng hàng phân
phối bằng 0 và được gọi là ô chọn bổ sung. Tập hợp m +
n - 1 ô chọn (kể cả ô chọn bổ sung) khơng chứa vịng ấy
sẽ ứng với m + n -1 biến cơ sỏ. Tất nhiên có nhiều cách
chọn ô bổ sung cho đủ số tối đa m + n -1 ơ, miễn là chúng
khơng tạo vịng (phương án cực biên suy biến có nhiều cách
chọn cơ sở), thơng thường thì ta chọn ơ có giá cước bé.

Ví dụ 4.1. Dùng phương pháp giá cước bé nhất xây dựng
phương án cực biên xuất phát của bài toán vận tải cho
bởi bảng sau:
Bảng 4.2
Thu
Phát
A-| : 150

A2 : 50

Bi

b2

B3

B4

100

25

125

50

160

10
[100]

16

7
5

13

[100]

15

[50]
16

[25]

[25]

[0]
A3:100

11

16

16

8

7


Với phạm vi các ơ cịn xét là tồn bảng thì

min {Cij} = 5 = C31

Ta phân cho ơ (3,1) một lượng hàng
X31 = min {a3, bx} = min {100, 100} = 100

Như vậy trạm A3 hết hàng và nhu cầu trạm B1 cũng
thoả mãn nên cả hàng A3 và cột Bx đều bị loại ra khỏi
phạm vi các ô cịn xét, ta đánh dấu X vào các ơ loại của
hàng và cột này.
Trong phạm vi các ơ cịn xét mới thì min {Cjj} = 10 =
C14, ta phân cho ô (1,4) một lượng hàng:
x14 = min {ax, b4} = min {150, 50} = 50

Như vậy nhu cầu của trạm B4 được thoả mãn, ta loại
cột B4 ra khỏi phạm vi các ơ cịn xét (đánh dấu X vào các
ơ loại của cột này) và sửa lại khả năng của trạm Ax:

a’x = ax - 50 = 150 - 50 = 100

Trong phạm vi các ơ được xét cịn lại, ta tiếp tục thực
hiện phân phôi như trên...
Cuối cùng ta thu được phương án cực biên ghi trong
bảng 4.2.
ở đây m + n-l = 3 + 4-l = 6 mà phương án thu được
chỉ có 5 ơ chọn nên ta phải bổ sung thêm một ơ. Ta có
thể chọn chẳng hạn ô (2,1) làm ô chọn bổ sung và ghi
lượng hàng phân phối 0 vào ô này.
4.3.I.2. Phương pháp Phôghen

Trưởc tiên ta nêu ra khái niệm giá cước chênh lệch:
161


Trên mỗi hàng (cột) thuộc phạm vi còn xét gọi ô có Cjj
bé nhất và ô có Cjj bé thứ hai lần lượt là ơ thấp nhất và
ơ thấp nhì của hàng (cột) ấy. Nếu một ơ nào đó vừa là ơ
thấp nhất của hàng và cột thì gọi nó là ơ trũng.

- Hiệu Cjj của ơ thấp nhì và ô thấp nhất của hàng (cột)
gọi là giá cước chệnh lệch của hàng (cột) ấy.
- Nguyên tắc phân phối. Phân vào ơ thấp nhất của hàng
hay cột có giá cước chênh lệch lớn nhất và phân với
lượng tối đa có thể. Sau khi phân vào một ơ thì ta
tính lại giá cưởc chênh lệch của các hàng và các cột
trong phạm vi cịn xét và phân phơi tiếp.
Sau khi tất cả các hàng và các cột đều thoả mãn, ta
được một phương án' cực biên (chứng minh giống như ở

trường hộp dùng phương pháp giá cước bé nhất). Nếu
phương án này chưa có đủ m + n -1 ơ chọn thì ta bổ sung
cho đủ và (m + n -1) ơ này khơng được tạo vịng.
Chú ý:

- Trong q trình phân phối cho các ơ, nếu một hàng
nào đó đã thoả mãn (tủc là phân hết khả năng hiện
có) thì ta chỉ cần tính lại giá cước chênh lệch của
các cột và nếu một cột nào đó đã thoả mãn thì ta
tính lại giá cước chênh lệch của các hàng.
- Khi có nhiều hàng, cột cùng có giá cưốc chênh lệch
lởn nhất thì cách xử lý như sau:
- Nếu việc phân phối cho nơi này mà không ảnh hưỏng
đến việc phân phối cho nơi kia thì có thể phân phơi
đồng thời cho các nơi đó. Nếu ảnh hưởng thì ưu tiên
phân phối cho ơ trũng. Nếu khơng có ơ trũng thì phân
162


phối cho ơ có giá cước bé nhất trong các ơ có Cjj thấp
nhất.
Ví dụ 4.1.b. Dùng phương pháp Phơghen tìm phương án
cực biên xuất phát của bài tốn cho trong ví dụ 4.1.
Khi tính giá cước chênh lệch của các hàng và các cột
ta thấy hàng A2 có giá cước chênh lệch lớn nhất, ta phân
cho ô thấp nhất của hàng này là ô (2,1).

Bảng 4.3
Thu
Phát

A< 150

Bi

b2

B3

B4

100

25

125

50

16

11

16

[125]

[25]

A2: 50

7

10

16

15

16

13

8

7

[50]
A3: 100

5
[50]

[0]

[50]

Trong phạm vi các ơ đang xét ta tính lại giá cước chênh
lệch và thấy cột B4 có giá cước chênh lệch lớn nhất, ta
phân cho ơ có giá cước thấp nhất của cột này, đó là ơ (3,1).
Lần thứ ba, ta thấy các cột B2, B3, B4 đều có giá cước

chênh lệch lớn nhất, nhưng cột B4 có ơ (3,4) là ô trũng
nên ta phân cho ô này.

Sau khi phân lần thứ ba, chỉ cịn lại hai ơ (1,2) và (1,3)
ta phân cho ơ có giá cước bé trước: ơ (1,3) rồi phân cho ô
kia (1,2).
163


Phương án cực biên nhận được có 5 ơ chọn. Ta chọn ô
(3,3) làm ô chọn bổ sung cho đủ sơ' tối đa sáu ơ khơng tạo
vịng.
4.3.2. Phương pháp thê vị giải bài tốn vận tải
Sau khi đã có một phương án cực biên xuất phát, vấn
đề đặt ra là phương án cực biên ấy đã là phương án tối
ưu chưa? Nếu chưa phải thì phải xây dựng một phương
án cực biên mới sao cho tốt hơn phương án cũ.

Dưới đây chúng ta sẽ nghiên cứu một phương pháp khá
hiệu quả giải bài toán vận tải trên cơ sở phân tích quan
hệ của cặp bài tốn đổi ngẫu.
43.2.1. Tiêu chuẩn tối ưu

Ta viết lại bài toán vận tải
Cỹ- Xy

Z(X) =

-> min (4.9)

i=i j=i
ỉ Xjj = aj (i=l,2,...,m) (4.10)

< j=1
Ẽ «ij = bj (j=l,2,...,n) (4.11)

i=l

Xý- > 0 (i = 1, 2,..., m); (j = 1, 2,...., n) (4.12)

(4.13).

164

i=l