Hình học afin và hình học ơclít những ví dụ và bài tập phần 1

PHẠM KHẮC BAN - PHẠM BÌNH ĐŨ

Hình hoc afin
va hinh hoc Oclit
trên những ví dụ và bài tập
EBOOKBKMT.COM

NHA XUAT BAN DAI HOC SU PHAM


PHẠM KHẮC BAN - PHẠM BÌNH ĐƠ

HINH HOC AFIN VA HINH HOC OCLIT
trên những ví tlụ và bài tap
EBOOKBKMT.COM

NHA XUAT BAN DAI HOC SU PHAM


LỜI NÓI ĐẦU
Nội dung được đề cập trong quyển sách này nhằm hai
chủ ý cơ bản sơu đây:
1. Cung cấp cho sinh uiên ngành Toán các trường Đại
học Sư phạm một hệ thống bài toán chọn lọc thuộc dạng mẫu

mực thường gặp uà những kĩ thuật giải chúng. Qua đó sinh uiên
có thể thực hiện được các bời thì hết mơn hoặc thi tốt nghiệp

mơn Hình học afin Hình học Oclit,

9. Cung cấp cho sinh uiên một số bài tốn có nội dung

sâu sắc hơn để những sinh uiên có thiên hướng uê hành học
hoặc muốn biết nhiều hơn hình học có dịp đi sâu tùm hiểu

nó. Tuy nhiên để bảo đảm cho hâu hết sinh uiên có thể sử

dụng được tồn bộ sách chúng tơi khơng đưa o sách những

bời tập q khó có tính chất chuyên khảo.
Sách được chia làm hai phần uà phân công biên soạn

chính như sau :

Phân thứ nhất. Hình học afin: Phạm Khắc Ban.

Phần thứ hai. Hình học Ơclit: Phạm Bình Đơ.

Trong mỗi phân, chúng tơi nêu ra một số dụ sau đó

là những bài tập. Ví dụ thường là dạng bài tốn mẫu, hoặc
dài, hoặc tương đối khó uới lời giải đây đủ, nhằm giảm nhẹ

cho sinh vién uê thời gian học tập. Các bài tập đêu có hướng

dẫn cách giải hoặc có lời giải cẩn thận. Chúng tôi không đưa
vao trong sách những bài tập quá dễ mang tính chất kiểm tra


kĩ năng thuần tuý. Người học lần đầu có thể tạm thời để tại
những vi du va bai tập có đánh dấu (*), sau đó tiếp tục xem

xét chúng.

“Chúng tơi đã cố gắng tỉnh lọc để nội dung quyển sách
ngắn gọn mà uẫn đầy đủ mọi uấn đê cơ bản của mơn học,
nhưng chắc chắn có những uấn đê mị các bạn đông nghiệp
va sinh vién sé phat hién va thấy cần bổ khuyết. Chúng tơi
mong nhận được sự góp ý phê bình của độc giả. Chúng tơi

xin chân

thành

cảm

ơn

GS

Đồn

Quỳnh,

PGS

Văn

Như

Cương đã dành thời gian đọc kĩ nội dung quyển sách uà

đóng góp những ý kiến q báu để quyển sách được hoàn

hảo hơn uà sớm ra mắt bạn đọc.

CÁC TÁC GIẢ


PHẦN THỨ NHẤT

HÌNH HỌC AFIN


§1. KHƠNG

GIAN AFIN, m- PHẲNG

AFIN

1. Khơng gian afin
Cho tap A # Ø và không gian véctơ V" trên trường sé K.

Giả sử có ánh xạ:
@:AxA->V"

thỏa mãn hai điều kiện:

@) Với bất kì M e A và bất kì ÿ e V" đều có duy nhất
Ỳ

N eA sao cho 9 (M, N) =¥.

đì) Với bất kì M, N, P e A đều có

9 (M, N) + 9 (N, P)=9 4M, P).
Khi đó bộ ba (A, ọ, V") gọi là một khơng gian añn liên kết

với V" bởi ánh xạ liên kết ọ.

Kí hiệu

Ấ" =V",

"=(A,9, V)

MN = 9 (M, N)
Me

A"

©

ve AT

eo

MeA.

tev

Nếu K = R thì A" gọi là khơng gian afïn thực. Nếu K = C

thì A" là khơng gian afin phức. Một không gian afin mà Â, Ọ@,
V" đã cho cụ thể thì gọi là một mơ hình của khơng gian afin

tổng qi. Có hai mơ hình hay được sử dụng là :


a. Mơ hình thơng thường
A là khơng gian thơng thường hay một
mặt phẳng thông
thường, V là không gian véc tơ tự do trên khơ
ng gian (hay mặt

phẳng) A, cịn ọ (M, N) là một véc tơ tự do
xác định bởi véc tơ
buộc MN.
b. Mơ hình chính tắc

A=Vv

@(ä, b)= b- ä (với ä, b e A= V),
2.m- phẳng añn
Trong A” = (A, ọ, V"), cho điểm I e A, không
gian véc tơ

con m chiều W c V". Tập hợp

'

a={MeA| IM e W)}, Gịn kí hiệu ơ là ơ =M + W)

gọi là cái phẳng

m chiêu

(hay nói gon hon 1a m —

cudt phat titI, có phương W. Kí hiệu & là W.
Rõ ràng là với mọi J e ơ ta đều có ơ = {M

phẳng)

e A | JMeW}.

đậy mọi điểm của œ đều có thể đóng vai trị điểm xuất
phát.

Với m = 0 thì œ là một điểm. Với m = n thì ơ = A. Ta gọi

n — 1) - phẳng

là siêu phẳng;

2 - phẳng

là mặt phẳng;

— phẳng là đường thẳng. Nếu œ là m — phẳng thì ta viết

lima = m.

Cho hai cái phang a, B của A", cái phẳng nhỏ nhất chứa

a a, B gọi là phẳng tổng của œ, B và kí hiệu
là œ +. Nếu
.zØ thì ø© B là một cái phẳng, gọi là phẳng giao của œ,
B.
'6 hai công thức liên hệ số chiều của a, Bla:


dima + đimB = dim(œ + B) + dim(ơ ¬ 8) , nếu œ ¬ B z Ø.
dima + dimB = dim(u + B) + dim(é 4B )—- 1 nếu œ¬B=Ø.

8. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho khơng gian véctơ V" trên trường K, một dạng

tuyến

tính

Ä =6 '0),

0:

V"

->

K

mà

0

:AxA->V": ựŒ, ÿ) = ÿ -.

a) Chứng minh rằng y (Ax A)c

+

0.

Đặt

A=0'),

A.

b) Dat 9: AxAA, oŒ, ÿ)= (Œ, ÿ)=ÿ —Ẩ.
Chứng minh rằng bộ ba (A, ọ, A)

là một khơng gian n

(n~ 1) chiều trên trường K.
c) Chứng minh rằng A là một siêu phẳng của khơng gian

afin chính tắc xây dựng từ V".
Giải

a) Cho (x, ¥)eAxA thi ä, ÿ e6ˆ!4), do đó 6 (4) = 0(ÿ) = 1

=0(ÿ—§) =0=ÿ
- še A =W( ÿ) eÄ
=>wAxA)c

A.

b) Thu nghiém cac tién dé cua khéng gian afin:
@) Cho
OX.)

= yo

X.veA
xe

thì có duy nhất

ÿ=x+v

thoả mãn

Vv, trong dd ye A (vi O(y) = OX) 4 OV) 5 1+0 <1).

9


(ii) cho & y, Ze Athi
ọŒ, ÿ)+ 0Œ, 2) =

- Ä) + (2-ÿ)=2~

X =0(, 2)

Vậy hai tiên đề (), đi) được nghiệm đúng.

Vì 0 là dạng tuyến tính trên V", A =Ker@nén dimA=n-1.

Do do (A, ọ, A) là một không gian n (n —1) chiếu trên K.
© Gọi A" là khơng gian aBn chính tắc xây dựng từ V"

thì A" = V", ánh xạ lên kết n là
quy

tắc

(,ÿ)=ÿ-.

Lấy

một

Ta

có

xeAkhi

chỉ

khi

và

W: V" x V" -› V" với

điểm

0(X)=lhay

© O(%-X,)=0%-%,
cA ws, x)eA. Vi
véc td (n — 1) chiều nên

A={s|w(Œ,

ãạeAthì

8) }.

A

@(%)=1.
®(X)=9(ạ)

la khong

gian

,

Chứng tỏ rằng A là siêu phẳng có phương A.
Ví dụ

2. Cho khơng

gian véc. tơ V" trên trường K và

không gian con (n — 1) chiểu H của V". Gọi A là tập hợp các
không gian con một chiều X của V" sao cho H ¬ X = {0}, nhu
thế V"=H@X.

a) Chứng minh rằng với hai phần tử X, Y e A có thể xác

định được một ánh xạ tuyến tính duy nhất

f: V"/H->H

theo quy tắc như sau:

Cho [ý] eV"/H. Viết ý=h,
+

với h,e H, äe X và viết

ÿ=h,+yvới h,eH,ÿYVvà đặt f([2])=ÿ-# (Như thế
fe Hom( V⁄4,,H]).
10


b) Chứng

minh rằng ánh xạ

Hom

o:AxA—>

cho bởi quy tắc:

(V4.4)

với X, Y) e A x A thì ọŒX, Y) = f là một ánh xạ liên kết n,

nói cách khác (A, ọ, Hom (VZ⁄4®)) là một khơng gian n
trên trường K. Hãy xác định số chiều của khơng gian afđin này.
Giải

a) Với X, Y e A, có thể mơ tả ánh xạ
ọŒ, Y): V"/H
Xét py: V

>

—› H như sau:
@G, Y):

V’, py: VW

—

Why

H la cắc

phép chiếu chính tắc lên thành phần thứ hai của các tổng trực

tiép V" = H © Y, thi ánh xạ
vov

VE py (¥)—Px (V)
là đồng cấu và triệt tiéu trén H nén né gay nén déng cau
ọ(X, Y): V"/H-—>H

có ảnh trong H.

Nhu thé9 (X, Y) « Hom

(Y4)

.b) Cho X e A và đồng cấu

f:V"/H>H.

)

Lấy

#eXMØ

thì

f[s]+#=ÿeH. Đặt (ÿ)=YeA

p(@=š

và

thì p@)=ÿ

có

H

cV

thi

và @(x.Y)[x]=f[x]

đo đó dim Ÿ⁄(=I nên @ŒX, Y) = F.
11


2) Ngược

Py

lại, nếu có Y' để ọ(X, Y') = f thì với nói

=f [X]+ py (8) =f [X]+ = ý suy

ra Y'=(y)=Y.

trên.

Vậy

có

duy nhất Y e A để @(X, Y) =f.
Với mọi X, Y, Z thuộc A, @Œ, Y) = oY,
Py ~ Px + pz — py = pz ~ Px.
Vi dim

V"/H=1

Z) + o(X, Z) do

nén dim Hom(V"/H, H) = dimH = dimV —

1, tức là A khéng phai afin c6 sé chiéu dimV— 1.
Vi du 3. Cho khéng gian véc to V" trén trường K và
không gian véc tơ con W" của V", véc tơ äye V", tập hợp

œ = {ä,+ §:Xe W" }. Xem V" là khơng gian afđin chính tắc
xây dựng từ V",

a) Ching minh rang œ là một cái phẳng xuất phát từ a,,
có phương ở = W",

b) Chứng minh rằng tổn tại m véc tơ ä,,..., ä„ e V" để có
thể viết:
Kiểm nghiệm rằng ä, e ơ ( = 0,..... m).
Giải

a) Dat ÿ= á,+ # thì š = ÿ — ä,
œ={ýeV"| ý =á,+š,# eW"}
c=ơ={yeV"'|

ý —8,e W"

©ơ=lýeV"|

äy

e W°,

vb

œ={ÿ 6V": ÿ =tấ, +tuấ,+
tấu, f,#...
...
+ tạ+= 1},


Vì „ý

là véc tơ nối hai điểm á, và

y nên đẳng thức cuối

cùng chứng tỏ œ là m— phẳng đi qua ä,„. có phương W",

b) Lấy một cơ sở é,,....é„ của W" và đặt

á, =á, +ế, (=1, ... m) thì
œ =lá,+#|xeW"}
= {At XX =, tot Ame grrr km € K)}
2gl&y, — HyI}
={ÿ | |ÿ — ä, =,(4,— a) +.+..

+iẩ, + +A„ấ„}
lý =Œ—3:—..—Àu)ấ,

Lay t,= 1, t, =... =t, = 0, t

S
2
o

tị=Ây
1> 0}

Lấy t,= 0, tị = 1, tạ=.... tụ = 0,
Lay tị = 1 còn tụ = 0, k #j, ta có y=ajea.
Vay moi điểm 4, đều thuộc ơ.

Ví dụ 4. Trong A" cho hai cái phẳng ơ, B. Chứng minh rằng:
a) Véc tơ ÿ

khi và chỉ khi có hai điểm M, N sao cho

b) ac § khi và chỉ khi œ ¬ B # Ø và äcB.
c) a =f khi va chi chi &@=f va có điểmM

e ơœ, N e B sao

cho MNeử.
13


Giải
a) Lấy điểm M bất kỳ thuộc œ thì có thể viết
œ={NeA"[MN

e ở}.

Theo tiên để thứ nhất của không gian n: cho
M e A" và ÿ
€ & c A” thì có duy nhất N e A" sao cho MN = ÿ. Do đó nếu

cho ¥ € & thicdM, Neadé + = MN.

Ngược lại, nếu cho M, N e ơ thì lấy M làm điểm xuất

phát của œ ta có ÿ = MN

e ư.

b) Cho œ c B thì có điểm M e œ 5 . Với ÿ e ở thì có

Neadé
MN = ¥.ViM,NeBnén

ve B (theo cau a). Vay

Ngược lại, giả sử có điểm M e œ ^ B vàđ

kỳ N e ơ ta có MN cỡ,
do đó MN
MN

c

c Ư..

B thi véi bat

eB, suy ra N e

(vì M e §,

cổ). Vậy ơœ c 8.

c) Néu a = B thi tất nhiên ữ = ỗ và với hai điểm bất kì
M,Neư,Bta

có MN

Ngược lại, giả sử ở =

e ư =ỗ.

và có M e œ, N e B để MÑN

e đ=

Nea(iMea, MN ed) vaMeB(WiNe
B, NM =— MN

nghia 1a M, N € a. B. Theo câu b) thì œ c B (vì có M
vaac

B) vaBca(vicéNe anf va

thi

ỗ),
e œ¬ B

ac B). Vay a=B.

Ví dụ ð. Trong A" cho hai cai phang a va 8. Chứng
minh rằng:
14


a) Nếu ơ ¬ B = Ø thì với mọi điểm P e ơ và mọi điểm Q eB

ta đều có PQ £ d + Ổ. Ngược lại, nếu có điểm P e ơ, điểm

Qe

thianp=.

#£ d +

B sao cho. PQ

b) Cho tùy ý điểm P e a và điểm Q e B thi

Giải
a) Giả sử œ=Ø

mà có P e œ. Q e B sao cho PQez+B

Ae œ
thì có thể viết PQ = ä + bvới äcữ, b e . Lấy điểm
sao cho PA=

4 thib = PQ

suy rad OB

#@,

-PA

= AQ

ef. Do do A € B,

diéu nay trai vdi gia thiết. Vậy với moi

điểm P e œ, Q e B đều phải có PQ £ õ + B.

lại, nếu có P e a, Q € B sao cho PQ sẽ +
mà œ ¬ B #Ø thì lấy một điểm chung A e œ B, ta có
PQ = PA + AQeat 8, nhưng điểu này mâu thuẫn với giả
từ PQ £ð + B phải suy ra œ ¬ B = Ø.
thiết PQ £ ä + §. Vậy
Ngược

b) Vi đ, Ư, <PQ> là những không gian con của œ+B
nên

c a+p. (*)

@ + B + (P8)

Ngược lại, cho tùy ý các điểm P € a, Q « B thi cái
phẳng y đi qua
(vì Pe

y, ở cy)

suy ra œ+B

P có phương
và chứa B (vìQ

Cÿy =ở

+

+ (PQ).

¡+đ+(P8)

cũng

đi qua

Q

e y, ð c7). Nhưng điều này

(**)

15


Từ

(*) va Œ*) ta suy ra: a +6 =o

+B

+ (PQ).

Nhận xét : + Néop

ua
#@ thi lấy P trùng với Q thuộc

œ8,

lúc đó œ+B

+ Nếu

= ä +.

.

a OB = © thi với mọi

P e ơ,

Q e B ta đều có

PQ # 0. Véi moi ¥e (& + B) A (PQ)
€ a +B

ma PQ¢

a +B

nénk=05%

(4 +B) (PQ) = {0} va a+B=(a +B) @
4. Bài tập

—

X=kPQ

ta đều viết được
= 0. Vay

(PQ).

1.1.1. Cho không gian véc tơ n chiều V trên trường
K, va
không gian con m chiều W của V, (m < n). Goi p:V > V/W
la

phép chiếu chính tắc lên khơng gian thương.
a) Dat â l tp hp tt c cỏc ỏnh
9:V/W>Vsao

V=Wđ9(V/W)

cho

peo=]ld,

va anh xa F:@—>(V/W)

Ching

xạ

tuyến

minh

tính
rằng

là một song ánh từ

®lên tập các khơng gian véc tơ con bù tuyến tín
h của W
trong V.
b) Đặt A = Hom(V/W,

V) và xem

A là khơng gian n

chính tắc xây dựng không gian véc tơ Hom(V/W, V). Chứ
ng
minh rằng ® là các phẳng của A. Tìm phương ®
cia ©
và số chiều của œ.
1.1.2. Cho hai khơng gian n (A, @¡, Vị) và (Á;,
@;, V;)

trên cùng một trường K. Dat A = ÂixÁ;,
@:  x  -> VÌà ánh xạ cho bởi

16

V=V,

x V, và


ø (MỤ,M,), (Nụ, N2) = (60M, NỤ), @(M,, N,)).
Chứng

minh rằng bộ ba (A, ọ, V) là một khơng gian n

trên trường R. Tính dimA theo dimÂ; và dimÂ;.
1.1.3.

khơng

Cho

gian

afin

(A,

9, V")

trén

trường

K,

khơng gian con W" c V"- Hai điểm M, N e A gọi là ¿ương

đương nếu MN e W".
a) Chứng minh rằng quan hệ M, NÑ tương đương vừa định

nghĩa là một quan hệ tương đương theo nghĩa thuyết tập hợp

(tức quan hệ ấy có tính tự ứng, đối xứng, bắc cầu).
b) Gọi

Ä

là tập hợp các lớp tương đương

theo quan hệ

tương đương nói trên. Kí hiệu lớp tương đương của điểm M là

[M] va @: A x K > VW

cho bdi quy tắc:

ø(MỊ, [N]) = [MN] 1a lớp tương đương của véc tơ MN
trong

không

gian véc tơ thương V"/W".

Chứng

minh ring

(Ã,s, V"'W") là một khơng gian afin trên trường K có số

chiều là (n — m).
1.1.4. Trong khơng gian n Â" = (A, ọ, V") trên trường

K, cho một m— phẳng ơ. Lập ánh xạ

: œx œ-> đ cho bởi

quy tắc ự(M, N) = o(M, N) với M, N cơ. Chứng minh rằng
(œ, , ở) là một không gian an m — chiều (gọi là không

gian con của Â").

2-HHAVHHƠ

17


1.1.5. Trong khong gian afin A" (n > 1), chứng minh rằng:

a) Hai

một điểm.

đường

thẳng phân

biệt mà

cắt nhau

thì giao là

b) Hai siêu phẳng phân biệt mà cất nhau thì giao là
(n-)
- phẳng.
c) Mét đường thẳng không thuộc siêu phẳng mà cắt siêu
phẳng thì giao là một điểm.
3 Moi m

— phẳng a va (n — m) — phẳng B mà có ở ¬ B ={Ư}

thì đều cắt nhau và œ ¬ B là một điểm.

1.1.6. Trong khơng gian n A" (n > 1). Chứng mỉnh rằng:
a) Tổng của một điểm và một đường

thẳng là một đường

thẳng hoặc là một mặt phẳng. Chỉ rõ phương của phẳng tổng.

b) Tổng của hai đường thẳng phân biệt hoặc là một mặt

phẳng hoặc là một 3 — phẳng. Chỉ rõ phương của phẳng tổng.

1.1.7. Trong không gian añn A" cho họ hữu hạn điểm P,,

P, s+) Pa» Họ đó gọi là họ độc lập nếu hệ {B,P,..., PP,} độc

lập tuyến tính. Họ chỉ có một điểm cũng gọi là #o độc lập.

a) Chứng minh rằng định nghĩa trên vẫn còn đúng khi ta

lấy một điểm P, bất kì của họ cho đóng vai trị Pạ.

b) Chứng minh rằng qua m + 1 điểm độc lập có duy nhất
một m — phẳng và trên mỗi m — phẳng ln tìm được những

họ k điểm độc lập với k < m + 1, còn họ p điểm trên m —

phẳng với p > m + 1 là họ không độc lập.


phẳng œ và mặt
1.1.8. Trong không gian afin A” cho mặt

phang B (dim a = dim

= 2). Cho điểm P e ơ và diém Q € B.

ra giữa œ và
Nêu tất cả các vị trí tương đối có thể xảy

và

hợp.
chỉ ra điều kiện cần và đủ đối với mỗi trường

Chứng minh
1.1.9. Trong A" cho hai siêu phẳng ơ và B.
rằng với

g song
œ¬ B = Ø thì d = 8. Khi đó ta néi ava Ø son

uới nhau.

19


§2. TỌA ĐỘ AFTN. PHƯƠNG TRINH CUA m- PHANG
1. Mục tiêu afñin và tọa độ afin

Trong A” trên trường số K cho điểm O và một cơ sở

(6, ẻ,, ... ế,) của A”. Ta gọi bộ (O; é,, ẽ,,... ế,) là một
mục tiêu afin cua A". Điểm O gọi là gốc của mục tiêu. Cơ sở

(ề,,6;,.... 6„) gọi là cơ sở củœ mục tiêu.

Giả sử M là một điểm bất kì của A". Khi đó có thể biểu
thị một cách duy nhất.

OM = x,6, +... +x,8, (x, € K).
B6 sé (x,,..., x,) goi la toa dé afin của điểm M đối với muc

tiêu đã cho và ki hiéu M =

Véi véc td ¥ bat kica

dưới dạng

ÿ = viề,

(x,,..., x,) hay M (x,...., x,).

A” cing biéu thị được ÿ duy nhất

+... + v,6,

được gọi là toa dé afin cia

hiéu

(Vv;

K).

Bộ số (vị, Voy +) Vp)

ý đối với mục tiêu đã cho và kí

¥ =(v,,..., v,) hay ¥ (Vụ,..., V.).

Rõ ràng rằng nếu MŒx,,.... Xu), NƠy,... y„) thi
MN

= yi —Xị,..., Vạ — Xg).

2. Đổi tọa độ afin
Trong A” (n 2 1) cho hai muc tiéu afin (O; 6, ... 6.) và

(O) ẽ/,.... 6,"). Gia stt cho biét OO'= a,6, +... +.a,6
nen
20

+


-..ằ...

G=|........

đa có |C| #0).

với mục tiêu thứ
đối
độ
tọa
có
A"
e
M

ểm
đi
nếu
Khi đó,
nhất là (xị,... x„)

... xu) thì
và đối với mục tiêu thứ hai là @),

co jXp x! to FC QXn' FA
Xj HCy

từ mục tiêu thứ
Công thức này gọi là công thức đổi tọa độ

nhất sang mục tiêu thứ hai.

Kí hiệu

ma trận
thì cơng thức trên có thể viết dưới dạng
Cx+a

tọa độ.
Ma trận € được gọi là ma tran đổi