Mối liên hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh

-1Mục lục
Mục lục
Lời nói đầu
Đ1. Mô hình xạ ảnh của không gian afin
Đ2. Phép biến đổi trong An
Đ3. Siêu mặt bậc hai trong An
Đ4. ứng dụng của mô hình An
Đ5. Mô hình afin của không gian xạ ảnh
Đ6. Phép biến đổi trong PAn
Đ7. ứng dụng của mô hình PAn
Kết luận
Tài liƯu tham kh¶o

Trang
1
2
4
9
12
17
29
32
36
43
44


-2-

Lời nói đầu
Nh chúng ta đà biết từ một không gian afin đà cho ta có thể xây

dựng một mô hình của không gian xạ ảnh. Ngợc lại, từ một không gian xạ
ảnh ta cũng có thể xây dựng đợc một mô hình của không gian afin. Nh vậy
là giữa hai không gian afin và không gian xạ ảnh có sù liªn quan mËt thiÕt
víi nhau. Bëi vËy, hiĨn nhiªn là giữa hình học afin và hình học xạ ảnh cũng
có những sự liên hệ. Trong một số giáo trình hình học cao cấp đà đề cập
đến mối quan hệ đó. Trong bản luận văn này, chúng tôi tổng hợp, hệ thống
các mối quan hệ giữa một số tính chất afin với các tính chất xạ ảnh và ứng
dụng của chúng.
Nội dung luận văn đợc chia làm 7 mục:
Đ1 Mô hình xạ ảnh của không gian afin.

Trong mục này, chúng tôi trình bày các thể hiện afin nh: mục tiêu và
toạ độ, các phẳng, tỉ số kép
Đ2 Phép biến đổi của An.

ở đây chúng tôi trình bày các phép biến đổi afin và các thể hiện afin
của phép thấu xạ.
Đ3 Siêu mặt bậc hai trong An.

Trong mục này, chúng tôi tiếp tục trình bày các thể hiện afin của
siêu mặt bậc hai và các khái niệm: tâm, phơng tiệm cận, đờng tiệm cận
và sau đó là các thể hiện afin của đờng cônic, mặt trái xoan và mặt kẻ bậc
hai.
Đ4 ứng dụng của mô hình An.

Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của mô hình A n để
chuyển một số định lý trong không gian xạ ảnh thành những định lý trong
không gian afin nh: Định lý Paquýt, Định lý Đơdac thứ nhất
Đ5 Mô hình afin của không gian xạ ảnh.

Trong mục này, chúng tôi trình bày các thể hiện xạ ảnh nh: Mục tiêu
và toạ độ afin, các phẳng và vị trí tơng đối giữa các phẳng, tỉ số đơn
Đ6 Phép biến đổi trong PAn .

ở đây chúng tôi trình bày các phép biến đổi xạ ảnh và các thể hiện
xạ ảnh của một số phép biến đổi afin đặc biệt nh: phép m-thấu xạ, phép
thấu xạ trợt
Đ7 ứng dụng của mô hình PAn .


-3-

Qua mục này chúng tôi trình bày ứng dụng của mô hình PAn để
chuyển một số bài toán afin thành bài toán xạ ảnh.
Luận văn này đợc hoàn thành tại Khoa Toán trờng Đại học Vinh với
sự hớng dẫn nhiệt tình của TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy. Đồng thời tôi xin cảm ơn các
thầy cô giáo, gia đình và bạn bè đà tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập và rèn luyện tại trờng Đại học Vinh.
Do thời gian có hạn nên chắc chắn rằng bản luận văn này không
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đợc sự đánh giá, phê bình và
góp ý của các thầy cô giáo cùng bạn bè. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Vinh, ngày 30 tháng 4 năm 2002.
Sinh viên:

Lê Thị Quỳnh Phơng

Đ1. Mô hình xạ ảnh của không gian afin

1.1. Xây dựng mô hình.
Nh đà biết (xem 2), từ không gian xạ ảnh P n nếu ta bỏ đi một siêu

phẳng nào đó và xây dựng phần còn lại thành một không gian afin. Bằng
cách đó ta đợc mô hình xạ ảnh của không gian afin.
Giả sử Pn là không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ thực
Vn+1 và Pn-1 là một siêu phẳng của Pn. Ta đặt An = Pn\ Pn-1 .
Trong Pn ta chän mơc tiªu { A1,A2,…,An+1;E} sao cho A1, A2,, An
thuộc Pn-1. Khi đó Pn-1 có phơng trình: xn+1 = 0.
Nếu điểm X thuộc An có toạ độ (x1, x2,…, xn+1) th× xn+1  0. Ta ký
hiƯu: Xi =

xi
, i = 1,2,…,n (Xi  R). Khi ®ã bé sè (X1, X2,., Xn) gọi là
x n 1

toạ độ không thuần nhất của điểm X và viết là X = (X 1, X2,…, Xn,). Râ


-4ràng có một song ánh từ tập An vào Rn bằng cách cho mỗi điểm thuộc An tơng ứng với toạ độ không thuần nhất của nó.
Ký hiệu: XY là vect¬ (Y1 - X1, Y2 - X2,…, Yn - Xn,) của Rn, trong đó
X,Y là các điểm của An mà X = (X1, X2,,Xn), Y= (Y1,Y2,,Yn).
Ta đặt :
AnxAn Rn
(X,Y) XY .
Khi đó ánh xạ thoà mÃn các tiên đề của không gian afin.
Thật vậy:
* X An, X = (X1, X2,…, Xn) vµ  v = (V1, V2,…, Vn)  Rn
  ! (Y1, Y2,…, Yn ), víi Yi = Xi + Vi, (i=1,2,…,n). Sao cho
(X,Y) = v .
*  X,Y,Z  An : X = (X1, X2,…, Xn)
Y = (Y1, Y2,…, Yn)
Z = (Z1, Z2,…, Zn)

 (X,Z) = XZ = (Z1-X1, Z2-X2,…, Zn-Xn)
= (Z1-Y1, Z2-Y2,…, Zn-Yn) + (Y1-X1, Y2-X2,…, Yn-Xn)
= YZ + XY
= (Y,Z) + (X,Y).
n
VËy A là không gian afin n- chiều liên kết với không gian véctơ R n
bởi ánh xạ liên kết . Ta gọi An là mô hình xạ ảnh của không gian afin.
Chú ý: Từ Đ1 đến Đ4 ta dùng ký hiệu An nghĩa là mô hình xạ ảnh của
không gian afin và Pn-1 gọi là siêu phẳng vô tận của A n và nó luôn có phơng trình là: xn+1 = 0.
1.2. Mục tiêu và toạ độ afin trong An.
Vẫn xét mục tiêu xạ ảnh trong Pn nh trên. Gọi Ei là giao điểm của đờng thẳng AiAn+1 với siêu phẳng Pi đi qua tất cả các đỉnh của mục tiêu trừ
các điểm Ai và An+1(i=1,2,,n). Khi đó dễ dàng suy ra toạ độ của các điểm
Ei là (0,0,,1,0,0,,0). Vì vậy toạ độ không thuần nhất của các điểm E i vµ
An+1 lµ:
E1 = (1,0,…,0)
E2 = (0,1,…,0)
En = (0,0,…,1)
An+1 = (0,0,…,0).


-5-

Nếu đặt

A n 1 E i e i

(i=1,2,,n) thì {An+1;E1,E2,,En} là mục tiêu

afin trong An và đợc gọi là mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh {A 1,A2,
,An+1;E}.

Nếu XAn,X = (X1, X2,…, Xn) th×:
A n 1 X X 1 e 1  X 2 e 2  ... X n e n

.

Suy ra (X1,X2,,Xn) là toạ độ afin của X đối với mục tiêu afin sinh
bởi mục tiêu xạ ảnh.

1.3. Các phẳng trong An.
Giả sử là r-phẳng trong Pn và không nằm trên Pn-1. Khi đó =
\ Pn-1 là một r-phẳng afin trong An.
Thật vậy, với mục tiêu xạ ảnh nh trên, giả sử r-phẳng có phơng
trình:
n 1

a
j 1

ij

x j 0 , i = 1,2,,n-r.

(1.1)

Trong đó ma trận (aij)n-r x n+1 có hạng bằng n-r.
Vì phẳng không nằm trên Pn-1 nên khi ta thêm vào hệ phơng trình
(1.1) một phơng trình thứ n-r+1 là x n+1=0 thì ta đợc hệ n-r+1 phơng trình
độc lập mà ma trận hệ số của nó có hạng b»ng n-r+1. Do ®ã ma trËn (a ij)n-r x
n cã hạng bằng n-r.
Với mỗi điểm X thuộc có toạ độ X(x1,x2,,xn+1) thì xn+1 0 và

(x1,x2,,xn+1) là nghiệm của hệ phơng trình (1.1). Vì vậy toạ độ không
thuần nhất của X thoà mÃn hệ phơng trình:
n

a
j 1

ij

X j a in 1 0 , i=1,2,…, n - r.

(1.2)

Tõ (1.2) suy ra là r - phẳng afin trong An.
Nh đà biết, với hai phẳng phân biệt và trong Pn thì chúng hoặc
cắt nhau hoặc chéo nhau. Bây giờ ta sẽ xét vị trí tơng đối giữa các phẳng
và trong An.
Giả sử và là các phẳng phân biệt trong Pn (không nằm trên Pn-1)
có số chiều tơng ứng là m,k (m k). Ta chú ý đến các khả năng sau:
* Nếu Pn-1 Pn-1 thì khi đó các phẳng afin và song
với nhau. Thật vậy:
Giả sử có phơng trình:


-6-

n 1

a
j 1

ij

x j 0, i = 1,2,…,n-m.

  Pn-1 có phơng trình:
n 1 a x 0, i 1,2,..., n  m.
 ij j
 j1

 x n 1 0.

V× không nằm trên Pn-1 nên ma trận (aij)n-m x n có hạng bằng n-m.
Tơng tự; có phơng trình:
n 1

b
j1

ij

x j 0 , i=1,2,,n-k.

Pn-1 có phơng trình:
n 1 b x 0, i 1,2,..., n  k .
ij j
j 1

x n 1 0.

Phơng trình của và lần lợt là:
n

a
j 1

ij

X j a in 1 0 , i=1,2,…,n-m.

n

b
j 1

ij

X j  b in 1 0 , i=1,2,…,n-k.

Do   Pn-1   Pn-1 nên phơng trình của Pn-1 là hệ quả của
phơng trình của Pn-1. Vì vậy '  ' hay ’ song song víi ’.
* NÕu = , là một r-phẳng (r < m) trên P n-1 thì và chéo
nhau.
Thật vậy, giả sử các phẳng , , tơng ứng với các không gian vectơ
m+1
V , Vk+1, Vr+1 = Vm+1 Vk+1. Khi đó và có phơng tơng øng lµ
k 1
 Vn .
' V m 1  V n , ' V

Từ đẳng thức:
(Vm+1 Vn) (Vk+1 Vn) = (Vm+1 Vk+1)  Vn.
Suy ra: '  ' V hay không song song với .
Mặt khác,  ’ =   \ Pn-1 = .
VËy ’ vµ ’ chÐo nhau.
* NÕu    lµ mét r - phẳng (r < m) không nằm trên Pn-1 thì các
phẳng và sẽ cắt nhau theo một r - phẳng .
Kết quả này đợc suy ra từ đẳng thức:
= (\Pn-1) (\Pn-1)
= (  )\Pn-1.
r 1


-7Nh vậy, nếu hai phẳng phân biệt cắt nhau trong P n (không nằm trên
Pn-1) thì sau khi bỏ đi những điểm thuộc Pn-1 ta sẽ thu đợc các phẳng afin tơng ứng song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau. Hơn nữa, nếu các phẳng
xạ ảnh đó chéo nhau thì trong An các phẳng afin tơng ứng cũng chéo nhau.
1.4. Tû sè kÐp trong An.
Trong An cho bèn ®iĨm phân biệt A, B, C, D thẳng hàng. Đối với
mục tiêu đà chọn, giả sử toạ độ của các điểm A vµ B lµ: A(a 1, a2, …, an, 1),
B(b1, b2, , bn, 1). Khi đó toạ độ của C vµ D lµ:
C(k1a1 + l1b1, k1a2 + l1b2, …, k1an+ l1bn, k1 + l1)
D(k2a1 + l2b1, k2a2 + l2b2, …, k2an + l2bn, k2 + l2).
Trong Pn, tû sè kÐp cđa A, B, C, D lµ:
[A, B, C, D] =

l1 l 2
:
.
k1 k 2

Toạ độ afin của A, B, C, D trong An lµ:
A = (a1, a2, …, an); B =(b1, b2, …, bn);
C = (c1, c2, …, cn);
D = (d1, d2, …, dn).
Trong ®ã:
ci 

k 1 a i  l1 b i
;
k 1  l1

di 

k 2a i  l2 bi
,
k 2  l2

i = 1, 2,…, n.

Suy ra:
a i  ci 

l1  a i  b i 
 k a  b 
; b i  c i  1 i i , i = 1, 2, …, n.
k 1  l1
k 1  l1

Do ®ã, CA 

l1
l
CB hay (A,B,C) = - 1 .
k1
k1

T¬ng tù ta cã: (A, B, D) = 
V× vËy: [A, B, C, D] =

l2
.
k2

( A, B, C)
( A, B, D)

.

VËy trong An ta có thể xem tỷ số kép của bốn điểm thẳng hµng A, B,
C, D lµ tû sè cđa hai tû số đơn (A, B, C) và (A, B, D).
Đ2. Phép biÕn ®ỉi trong An.

2.1. PhÐp biÕn ®ỉi trong An.
Trong Pn, ta xét những phép biến đổi f: Pn Pn mà f(Pn-1) = Pn-1.
Giả sử phơng trình của f đối với mục tiêu đà chọn là:


-8-

n 1

kx 'i  a ij x j , i = 1, 2, …, n+1; k  0.
j 1

V× f(Pn-1) = Pn-1 nên nếu xn+1 = 0 thì x 'n 1 0 . Do đó từ phơng trình
sau cùng của hƯ trªn ta suy ra an+1i = 0 (i = 1, 2, , n).
Vậy phơng trình của f có dạng:
kx '  n 1 a x ,
i 1,2,..., n.

i
ij
j

j1

kx '

n 1 a n 1 n 1 x n 1 .

Trong đó hạng của ma trận (aij)nn = n và an+1 n+1, k  0.
Do f(Pn-1) = Pn-1 nªn f(An) = An. Bởi vậy ta có ánh xạ
f = f | A : An An.
n

Bằng cách chuyển từ toạ độ xạ ảnh của một điểm trong A n thành toạ
độ afin của nó thì phơng trình của f là:
n

X 'i  a 'ij X j  a 'i n 1 , i = 1, 2, …, n.

j1

Chó ý: a 'ij 

a ij
a n 1 n 1

vµ ma trËn (a 'ij ) nn có hạng bằng n.

Suy ra f là một phép biến đổi afin trong An.
Nh vậy, với mỗi phép biến đổi afin trong P n mà giữ nguyên một siêu
phẳng thì nó sẽ sinh ra trong An một phép biến đổi afin.
2.2. Phép thấu xạ trong An.
Định nghĩa: Một phép biến đổi xạ ảnh f: Pn Pn của không gian xạ
ảnh Pn gọi là một phép thấu xạ nếu có một siêu phẳng sao cho mọi điểm
của nó đều là điểm kép. Siêu phẳng đó gọi là nền cđa phÐp thÊu x¹.
NhËn xÐt: * NÕu phÐp thÊu x¹ f: Pn Pn không phải là phép đồng
nhất thì sÏ cã mét ®iĨm kÐp O duy nhÊt sao cho mọi đờng thẳng qua O đều
biến thành chính nó. Điểm O nh thế gọi là tâm của phép thấu xạ.
* Một phép thấu xạ f sẽ đợc xác định nếu biết tâm thấu xạ, nền thấu
xạ và một cặp điểm t¬ng øng M, M’ = f(M) (M  M’).
* NÕu M không là điểm kép của f và B = OM Pn-1 thì [M,M,O,B]
không phụ thuộc vào M và giá trị đó đợc gọi là tỷ số thấu xạ của phép thấu
xạ f, ký hiệu là: k = [M,M,O,B]. Sau đây ta sẽ xét một số thể hiện afin của
phép thấu xạ trong An.
2.2.1. Phép thấu xạ có tâm kh«ng thc nỊn.


-9* NÕu ta chän Pn-1 trïng víi nỊn cđa phÐp thấu xạ và gọi B là giao
của OM và Pn-1 thì khi đó trong An ta có:

(M, M, O) = [M,M’,O,B] = k.
Suy ra OM'  1 OM .
k

VËy f sinh ra trong An một phép vị tự f tâm O, tỷ số 1 .
k

* Nếu chọn Pn-1 là siêu phẳng qua O, không trùng với nền của f,
khi ®ã trong An:
(M’, M, B) = [M’, M, B, O] = k.
Suy ra BM' k BM .
Ngoài ra, MM' luôn cïng ph¬ng víi vect¬ v ( v , v ,..., v ) sinh ra
bởi điểm vô tận O.
Vậy phép thấu x¹ f sinh ra trong A n mét phÐp thÊu xạ afin f với nền
là , phơng thấu xạ là v (sinh ra bởi điểm vô tận O), tỷ số thấu xạ là k.
Trờng hợp đặc biệt k = -1. Khi đó BM' BM nên f là phép đối
xứng xiên qua siêu phẳng theo phơng là véctơ v (sinh ra bởi điểm vô
tận O).
1

2

n

2.2.2. Phép thấu xạ có tâm thuộc nền.
* Nếu tâm thấu xạ là O thuộc nền của phép thấu xạ f thì với 2 cặp
điểm tơng ứng M, M và N, N thì M M cắt NN' tại O, MN cắt MN tại
điểm I thc . NÕu chän Pn-1 trïng víi  th× trong An, MMNN' là hình
bình hành. Từ đó suy ra f sÏ sinh ra trong An mét phÐp tÞnh tiÕn.
* NÕu chọn Pn-1 là siêu phẳng đi qua O, không trùng với thì trong

An với 2 cặp điểm tơng ứng không phải điểm kép của f là M, M và N, N
thì MM và NN' song song với nhau. Nh vËy, phÐp thÊu x¹ f sinh ra trong
An mét phÐp thấu xạ trợt afin với nền là siêu phẳng và phơng là v =(v1,
v2, , vn) sinh ra bởi ®iĨm O (v1, v2, …, vn, 0).
2.3. PhÐp thÊu x¹ m - cặp.
Trong Pn cho m - phẳng U(0 m  n-1) vµ (n - m - 1) - phẳng V
chéo nhau. Cặp (U, V) nh thế gọi là m cặp.
Định nghĩa: Cho m - cặp (U, V) trong Pn một phép biến đổi
f:PnPn sao cho mọi điểm trên U hoặc V là điểm kép thì f đợc gọi là phép
thấu xạ m - cặp hay m - thấu xạ. Các phẳng U và V gọi là các phẳng thÊu
x¹ cđa phÐp m - thÊu x¹ f.


- 10 Mệnh đề: Giả sử f: PnPn là phép m- thấu xạ (khác phép đồng nhất)
với các phẳng thấu xạ là U và V. Khi đó với điểm M không thuộc U và V
thì đờng thẳng MM (M = f (M)) sẽ cắt U và V tơng ứng tại A vµ B sao
cho [M, M’, A, B] = k không phụ thuộc vào vị trí của M và gọi là tỷ số thấu
xạ.
Chứng minh: Xem 2.
Ta hÃy xét một thĨ hiƯn afin cđa phÐp m - thÊu x¹ trong An.
Chän Pn-1 sao cho Pn-1 chøa V. Khi ®ã trong An:
(M, M’, A) = [M, M’, A, B] = k.
Suy ra AM'  1 AM .
k

Ngoµi ra, MM' thuéc  ( là không gian con n - m chiều sinh ra
bëi V).
VËy phÐp m - thÊu x¹ f sinh ra trong An mét phÐp m - thÊu x¹ afin f
với cơ sở là m - phẳng afin và phơng thấu xạ là phơng (n - m) - chiều
xác định bởi (n - m - 1) - phẳng vô tận V, tỷ số thấu xạ là 1 .

k

Đ3 Siêu mặt bậc hai trong An.

Giả sử S là siêu mặt bậc 2 trong Pn có phơng trình đối với mục tiêu
đà chọn là:
n 1

a

i , j1

ij

x i x j 0 .

Ta đặt S = S \ Pn-1. Lúc này các ®iĨm cđa S’ sÏ cã to¹ ®é afin tho·
m·n:
n

a

i , j1

n

ij

X i X j  2 a in 1 X i  a n 1n 1 0 .
i 1

NÕu c¸c aij không đồng thời bằng 0 (i,j = 1,2,,n) thì S là mặt siêu
mặt bậc hai trong An. Khi đó ta nói siêu mặt bậc hai xạ ảnh S sinh ra siêu
mặt bậc hai afin S.
Sau đây ta sẽ xét các thể hiện afin của siêu phẳng đối cực, siêu
phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai xạ ảnh liên quan đến khái niệm:
Tâm, tiệm cận của siêu mặt bậc hai afin.
Chú ý: * Định nghĩa, tính chất về điểm liên hợp, siêu phẳng đối
cực (xem 2).
* Hai điểm của An gọi là liên hợp với nhau đối với S nếu
chúng liên hợp với nhau đối với S.


- 11 3.1. Giả sử Y,Z thuộc P n và liên hợp với nhau đối với S ; YZ cắt S tại
hai điểm phân biệt M,N không thuộc Pn-1. Khi đó Z là điểm vô tận của A n
khi và chỉ khi Y là trung điểm của NM. Vì vậy, I thuộc An là tâm của S khi
và chỉ khi I liên hợp với mọi điểm của P n-1 đối với S. Nếu S không suy biến
và không tiếp xúc với Pn-1 thì S có tâm duy nhất chính là ®iĨm ®èi cùc cđa
Pn-1 ®èi víi S.
3.2. NÕu ®iĨm C thuộc S Pn-1 thì toạ độ xạ ảnh của C lµ (c 1, c2,…,
cn,0) tho· m·n :
n

a

i , j 1

ij

c i c j 0.

Vậy điểm C xác định một phơng c = (c1, c2,, cn) của An chính là
phơng tiƯm cËn cđa S’.
NÕu S’ cã t©m duy nhÊt I thì đờng tiệm cận của S với phơng c =
(c1, c2,, cn) chính là đờng thẳng đợc sinh ra bởi ®êng th¼ng IC trong Pn,
víi C(c1, c2,…, cn,0) thc S và I là điểm đối cực của Pn-1.
Vậy ta đi đến kết luận: Nếu S Pn-1 không rỗng và S không suy biến
thì S có phơng tiệm cận và đờng tiệm cận.
3.3. Nếu S suy biến thì hệ phơng trình: A[x] = 0 có nghiệm không
tầm thờng, nó xác định một cái phẳng nằm trên S. Ta gọi cái phẳng đó là
phẳng kỳ dị của S. Mỗi điểm của phẳng kỳ dị là một điểm kỳ dị của S.
Giả sử điểm O thuộc An có toạ độ xạ ảnh là O(x 1,x2,,xn+1). Khi đó
O là điểm kỳ dị của S khi vµ chØ khi bé sè (x 1,x2,…,xn+1) lµ nghiệm của hệ
phơng trình:
n 1

a
j1

ij

x j 0 , i=1,2,,n+1.

Suy ra toạ độ afin của O thoà mÃn:
n a X  a
0 , i 1,2,..., n ,
ij
j
in 1



j 1
 n
 a n 1i X j  a n 1 n 1 0
 i 1


 (Aa' (X)) (X()a  a) 0, 0.
n 1

t

n 1

Víi (X) =

 X1 
X 
 2
 
 
 Xn 

,

(an+1) =

 a n 11 
a


 n 12 
  


 a n 1 n 

n 1 n 1

, A = (aij)nxn.

Từ đó suy ra O cũng là ®iĨm kú dÞ cđa S’.


- 12 3.4. Ta sẽ chứng tỏ rằng mỗi siêu phẳng kính của S liên hợp với phơng c (khác phơng tiệm cận) đợc sinh ra bởi siêu phẳng đối cực của điểm
C thuộc Pn-1\ S .
Thật vậy, giả sử là siêu phẳng đối cực của điểm C thuộc Pn-1\ S.
Lúc đó C(c1, c2,, cn,0) và c = (c1, c2,, cn) không phải là phơng tiệm cận
của S.
Phơng trình cđa  lµ:
n

n

j1

i 1

 a ijc i x j   a in 1c i x n 1 0 .

(3.1)

Tõ (3.1) suy ra điểm X thuộc sẽ có toạ ®é afin tho· m·n:
n

n

i , j1

i 1

 a ijc i X j   a in 1c i 0

hay

Víi (c) =

 c1 
c 
 2
 
 
 cn 

(c)t[A’(X) + (an+1)] = 0. (3.2)

.

(3.2) chính là phơng trình của siêu phẳng kính của S liên hợp với phơng
= (c1,c2,,cn) trong An.

c

3.5. Giả sử M(m1,m2,,mn+1) thuộc S, M có siêu phẳng tiếp xúc với
S là . Khi đó có phơng trình:
n 1

a

i , j1

ij

m i x j 0 .

Mỗi điểm X thuộc sẽ có toạ độ afin thoà mÃn :
n

a

i , j 1

n

n

i 1

j 1

M i X j   a in 1 M i   a n 1 j X j  a n 1n 1 0.

ij

(3.4)

Tõ (3.3) vµ (3.4) suy ra: [(M)tA’- (an+1)t][(X) - (M)] = 0 (3.5)
Do M không là điểm kỳ dị của S nên M cũng không là điểm kỳ dị
của S, tức là (M)tA- (an+1)t 0. Vì vậy (3.5) là phơng trình của siêu phẳng
tiếp xúc của S tại M.
3.6. Các thể hiện afin của đờng cônic trong A2 .
Giả sử S là đờng cônic trong P2 và có phơng trình:
x 12  x 22  x 32 0 .

Trong A2, đờng bậc hai S có phơng trình:

(3.6)


- 13 -

X 12  X 22  1 0 .

Đó chính là một elíp. Trong trờng hợp này đờng cônic S không cắt đờng thẳng vô tận P1.
Bằng cách hoán vị các đỉnh của mục tiêu toạ độ ta đa phơng trình
(3.6) về dạng:
x 12 x 22 x 32 0 .

(3.7)

Khi đó trong A2, phơng trình của S’ cã d¹ng:
X 12  X 22  1 0 .

Đó chính là một hypecbol. Trong trờng hợp này đờng thẳng P1 cắt S
tại hai điểm có toạ độ (1,1,0) và (1,-1,0).
Bằng phép đổi toạ độ:

'
x 1 x 1
1 '

'
x 2  ( x 2  x 3 )
2

x 3  1 ( x '2  x '3 )

2

Ta ®a (3.6) vỊ d¹ng:
x 1' 2  x '2 x '3 0 .

(3.8)

Lúc này đờng cônic (3.8) chỉ cắt đờng thẳng x '3 = 0 tại một điểm kép
có toạ ®é (0,1,0), ta nãi ®êng th¼ng ®ã tiÕp víi ®êng cônic. Vì vậy, trong
A2 đờng cônic (3.8) trở thành :
X 12 X 2 0 .

Đó chính là một parabol.
Kết luận: Nếu ta lấy một đờng thẳng của P2 làm đờng thẳng vô tận
thì một đờng cônic của P2 sẽ là elíp, hypecbol, parabol của A2 tuỳ theo đờng cônic đó không cắt, cắt tại hai điểm, tiếp với đờng thẳng vô tận.

3.7. Bằng cách xét tơng tự nh trong 3.6 đối với mặt trái xoan và mặt
kẻ bậc hai ta đi đến kết luận sau:
* Nếu S là mặt trái xoan trong P3 thì S sẽ trở thành một trong các
mặt sau đây của A3:
Elípxôit nếu S không cắt P2.
Hypecboloit hai tầng nếu S cắt P2 theo một đờng cônic.
Paraboloit elíptic nếu S chỉ cắt P2 tại một điểm.
* Nếu S là mặt kẻ bậc hai trong P3 thì S sẽ là một trong các mặt sau
đây trong A3:


- 14 Hypecboloit một tầng nếu S cắt P2 theo một đờng cônic.
Mặt yên ngựa nếu S cắt P2 theo một cặp đờng thẳng.
Đ4. ứng dụng của mô hình An.

Giả sử ta có một định lý trong không gian xạ ảnh, bằng cách bỏ đi
một siêu phẳng nào đó ta sẽ đợc một không gian afin và định lý nói trên sẽ
trở thành định lý của không gian afin. Vì ta có thể bỏ đi bất kỳ một siêu
phẳng nào, nên ta có thể thu đợc nhiều định lý afin khác nhau từ định lý
ban đầu.
4.1. Định lý Paquýt.
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai đờng thẳng và . Giả sử A,B,C
là các điểm trên và A,B,C là các điểm trên . Khi đó các giao điểm
M = AB’  BA’, N = BC’  CB’, P = AC CA thẳng hàng.
Chứng minh:
Định lý này đợc chứng minh bằng phơng pháp toạ độ với việc chọn
mục tiêu xạ ảnh trong P2 là: {A,B,B;A}. Khi đó toạ độ của các giao điểm
là N(-1,-a,-b), M(1,0,1), P(ab- b +1,a,ab). Do định thức ma trận cột toạ độ
của các điểm M,N,P bằng 0 nên ba điểm đó thẳng hàng (hình 4.1).
C

B
A


M

N

P

C



A
Hình 4.1

B


Gọi O là giao điểm của và , xét mô hình A2 = P2\ CC. Khi đó
trong A2: OB vµ B’N, AP vµ OB’, BN vµ OB’, OA vµ AP trở thành các cặp
đờng thẳng song song. Do đó OBNB và OAPA là các hình bình hành và
ta có định lý:
Định lý 1: Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai hình bình hành OBNB
và OAPA, với A và A tơng ứng thuộc OB và OB. Khi đó ba điểm M,N,P
thẳng hàng (với M = AB BA).
Chứng minh:

- 15 Ta sử dụng phơng pháp véctơ để chứng minh định lý 1 (hình 4.2).
Đặt OB a , OB' b .
Do O,A,B thẳng hàng và O,A,B thẳng hàng nên:
OA k OB
OA' lOB'

Do A,M,B thẳng hàng nên :
OM OA (1  )OB'

T¬ng tù,
OM OB  (1  )OA' .
Tõ các đẳng thức véctơ trên ta có:

OM k a (1   ) b


OM a  (1  )l b

Vì

a

và

b không

(4.1)

cộng tuyến nên từ (4.1) suy ra = 1  l .
1  kl

V× vËy OM  k(1  l) a  l(1  k ) b .
1  kl

Suy ra

MN

=
=

ON
a

1  kl

-

+

OM

k (1  l)
a
1  lk

-

b

- l(1  k ) b
1  lk

= 1 k a  1 l b.
1  lk

(4.2)

1  lk

Gäi E lµ giao điểm của AP và BN khi đó:
PN = PE + EN
= OB'  OA'  OB  OA
=

b'  l b  a  k a

= (1-l) b + (1-k)

a

.

(4.3)

Tõ (4.2) vµ (4.3) suy ra PN = (1-kl) MN hay M,N,P thẳng hàng.
Vậy từ định lý Paquýt trong P2 nếu ta bỏ đi một đờng thẳng thì sẽ suy ra đợc một định lý trong A2 mà định lý ®ã cịng ®óng.
B

N

A

P
M

O

E

B’

A’
H×nh 4.2


- 16 NÕu lÊy A2 = P2 \ AC’ th× trong mô hình này, các cặp đờng thẳng BC
và MB, BN và AB song song với nhau. Vì vậy ta có định lý:
Định lý 2: Cho tứ giác BCBA (BC không song song với AB) qua
B kẻ đờng thẳng song song với BC cắt BA tại M, qua B kẻ đờng thẳng
song song AB cắt CB tại N. Khi đó MN song song AC (hình (4.3)).
C

B

N

A

M

B

Hình 4.3

4.2. Định lý Đơdac thứ nhất ( trong P2).
Trong không gian xạ ảnh P2 cho 6 điểm A,B,C,A,B,C trong đó
không có ba điểm nào thẳng hàng. Nếu các đờng thẳng AA, BB,CC đồng
quy thì các giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và AB, BC và BC, CA
và CA thẳng hàng ”.
Chøng minh:


- 17 Bằng phơng pháp toạ độ với việc chọn mục tiêu xạ ảnh: {A,B,S;C}
(hình 4.4), ta có kết quả: P(-b, 1– c– b, -bc), Q(a+c–1, a, ac), R(-b,a, 0).
Tõ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.
Nếu chọn là đờng thẳng không đi qua các điểm A, B, C, A, B,
S

R1 C

A
P
A

B
R2

Q

R
C

B

Hình 4.4

H
ì
n
h
4
.
4

C, S thì trong mô hình A2 = P2\ định lý Đơgiac thứ nhất trở thành định lý
sau:
Định lý 3: Trong mặt phẳng cho 2 tam giác ABC và ABC. Nếu
các đờng thẳng AA, BB, CC đồng quy và cá cặp đờng thẳng AB và AB,
BC và BC, AC và AC cắt nhau thì các giao điểm của chúng thẳng
hàng.
Nếu bỏ đi đờng thẳng AA thì trong mô hình A2 = P2\ AA, các cặp
đờng thẳng B’R1 vµ C’R2, BR2 vµ RR1, BB’ vµ CC’ song song với nhau. Vì
vậy RR1PR2 là hình bình hành (R1 = A’B’  CR, R2 = BP  C’R) vµ
BB’CC’ là hình thang nội tiếp hình bình hành đó (hình 4.5).
Vậy ta có định lý trong A2 là:
Định lý 4: “NÕu h×nh thang BB’CC’ (BB’ // CC’) néi tiÕp h×nh bình
hành RR1PR2 thì các điểm R, P và giao điểm Q của CB và CB thẳng
hàng.

- 18 Chứng minh:
Dùng phơng pháp vectơ với việc chọn cơ sở
quả:




QR = -k QP k

CC'
.
BB'

R1

{QC , QC'} .

Ta cã kÕt

Suy ra P, Q, R th¼ng hàng.

B

P

C

Q

R

C
Hình 4.5

B
R2

H
ì
n
h
4
.
5

Nếu gọi là đờng thẳng đi qua S nhng không đi qua các điểm A, B,
C, P, Q, R và lấy mô hình A 2 = P2\ . Khi đó trong A2 các đờng thẳng AA,
BB, CC trở thành các đờng thẳng đôi một song song. Do đó AABB,
AACC là các hình thang (hình 4.6). Vậy ta có định lý trong afin là:
Định lý 5: Cho hình thang AACC (AA//CC) và đờng thẳng a
song song với các cạnh đáy của hình thang. Giả sử B, B là các ®iÓm thuéc
a sao cho trong 6 ®iÓm A, B, C, A, B, C không có 3 điểm nào thẳng hàng
và các cặp đờng thẳng: AB và AB, BC và BC, AC và AC cắt nhau. Khi
đó, các giao điểm của các đờng thẳng đó thẳng hàng.


- 19 -

R

A’

A
P

a

B

B’
Q
C

C’
H×nh 4.6

Chøng minh:
Do AA’ // BB’ // CC’ nªn:
RA AA'
=
RC CC'
QC CC'
=
QB BB'

PB BB'
=
PA AA'



RA QC PB
.
.
=1
RC QB PA



P, Q, R thẳng hàng (Định lý Mênêlaúyt cho ABC).

4.3. Định lí Mênêlauýt và định lý Xêva.
Trong P2 cho 3 điểm A1, A2, A3 không thẳng hàng. Một đờng thẳng
d không đi qua 3 điểm đó và cắt các đờng thẳng A2A3, A3A1, A1A2 tơng
ứng tại K1, K2, K3. L1, L2, L3 là các điểm tơng ứng trên các đờng thẳng
A2A3, A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3). Điều kiện cần và đủ để L1, L2, L3
thẳng hàng là: [A2, A3, K1, L1] . [A3, A1, K2, L2] . [A1, A2, K3, L3] = 1, điều
A
kiện cần và đủ để A1L1, A2L2,1 A3L3 đồng quy là: [A2, A3, K1, L1] . [A3, A1,
K2, L2] . [A1, A2, K3, L3] = -1”.
Chøng minh:
K2
Định lý đợc chứng minh bằng phơng
với việc chọn mục
O. pháp toạLđộ
2
tiêu {A1, A2, A3; A
O} (O không
L

. 1 thuộc A1A2, A2A3, A3A1), (h×nh
A 4.7).

.

2

.L

K1

3

K3
d

H×nh 4.7

3


- 20 -

ở đây, ta chọn d làm đờng thẳng vô tận thì trong mặt phẳng afin tơng ứng ta cã:
[A2, A3, K1, L1] =

1
(A 2 , A 3 , L 1 )

[A3, A1, K2, L2] =

1
(A 3 , A 1 , L 2 )

[A1, A2, K3, L3] =

1
.
(A 1 , A 2 , L 3 )

Tõ ®ã suy ra định lý trong A2 là:
Định lý 6: Cho tam giác A1A2A3 và các điểm L1, L2, L3 lần lợt
thuộc các đờng thẳng A2A3, A3A1, A1A2 và khác A1, A2, A3. Điều kiện cần
và đủ để 3 điểm L1, L2, L3 thẳng hàng là:
(A2, A3, L1) . (A3, A1, L2) . (A1, A2, L3) = 1
cần và đủ để A1L1, A2L2, A3L3 đồng quy là:
(A2, A3, L1) . (A3, A1, L2) . (A1, A2, L3) = -1.

4.4. Định lý Pascan.
Chú ý: Trong P2 ta sẽ dùng các định nghĩa sau:
* Hình 3 đỉnh A1A2A3 (hay đơn hình A1A2A3) là tập hợp gồm 3 điểm
A1, A2, A3 (gọi là các đỉnh) và 3 đờng thẳng A1A2, A2A3, A3A1 (gọi là các
cạnh).
* Hình 4 đỉnh A1A2A3A4 là tập hợp gồm 4 điểm A 1, A2, A3, A4 mà
không có 3 điểm nào thẳng hàng (gọi là các đỉnh) và 4 đờng thẳng A1A2,
A2A3, A3A4, A4A1 (gọi là các cạnh). A1 và A3, A2 và A4 gọi là các cặp đỉnh
đối diện; A1A2 và A3A4, A2A3 và A4A1 gọi là các cặp cạnh đối diện của
hình 4 đỉnh.
Định nghĩa tơng tự đối với các hình n - đỉnh (n 5).