Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh

Mục lục
Mục lục
Lời nói đầu

Trang 1
2

Đ1

Một số yếu tố cơ bản của hình học afin

4

Đ2

Một số yếu tố cơ bản của hình học xạ ảnh

7

Đ3

Mô hình afin của không gian xạ ảnh

12

Đ4

Mô hình xạ ảnh của không gian afin

17

Đ5

ứng dụng của các mô hình
Lời kết
Tài liệu tham khảo

26
38
39

Lời nói đầu
Qua việc nghiên cứu hình học afin và hình học xạ ảnh cho ta thấy từ một
không gian afin đà cho ta có thể xây dựng đợc một mô hình của không gian xạ ảnh,
1


ngợc lại từ một không gian xạ ảnh ta cũng có thể xây dựng đợc một không gian
afin. Nh vậy giữa không gian afin và không gian xạ ảnh có mét sè mèi quan hƯ mËt
thiÕt víi nhau. Do vËy giữa hình học afin và hình học xạ ảnh cũng có sự quan hệ với
nhau.Trong giáo trình hình học cao cấp (Hình học xạ ảnh ) đà đề cập đến mối quan
hệ đó. Vì vậy trong bản luận văn này chúng tôi tổng hợp và hệ thống lại một số mối
quan hệ giữa một số tính chất của hình học afin và hình học xạ ảnh trong hai mô
hình, mô hình afin của không gian xạ ảnh và mô hình xạ ảnh của không gian afin
cùng ứng dụng trong mối quan hệ giữa chúng.
Nội dung của luận văn này gồm năm mục :
Đ1 Một số yếu tố cơ bản của hình học afin.
Trong mục này chúng tôi đa ra một sè kiÕn thøc cđa h×nh häc afin phơc vơ
cho mơc Đ3, Đ4 và Đ5
Đ2 Một số yếu tố cơ bản của hình học xạ ảnh.
Trong mục này chúng tôi tiếp tục đa ra một số kiến thức của hình học xạ ảnh

để phục vụ cho mục Đ3, Đ4 và Đ5
Đ3 Mô hình afin của không gian xạ ảnh.
Trong mục này chúng tôi đa ra cách xây dựng mô hình afin của không gian
xạ ảnh và trình bầy các thể hiện afin trong mô hình nh : Mục tiêu và toạ độ, vị trí tơng đối giữa các phẳng, tỷ số đơn ..xuất phát từ không gian afin An- chiều
Đ4 Mô hình xạ ảnh của không gian afin.
Mục này diễn tả quá trình ngợc laị của quá trình xây dựng mô hình afin của
không gian xạ ảnh. Từ cách xây dựng mô hình đi đến xây dựng mục tiêu, toạ độ, vị
trí tơng đối của các phẳng, tỷ số kép và các tính chất của chúng.
Ngoài ra trong mục này còn trình bày thêm một số kiến thức của siêu mặt
bậc hai và các thể hiện afin của đờng cô níc trong A2.
Đ5 ứng dụng của các mô hình.
Trong mục này chúng tôi chia ra làm ba mục.
Mục - A : Là ứng dụng mô hình afin của không gian xạ ảnh ở mục này mỗi
bài toán afin ban đầu ta chuyển sang bài toán xạ ảnh bằng cách thêm một đờng
thẳng vô tân và ta giải bài toán đó trong không gian xạ ảnh.
Mục - B : Là ứng dụng mô hình xạ ảnh của không gian afin trong mục này
chúng tôi trình bày một số bài toán xạ ảnh gốc sau đó bớt đi một đờng thẳng vô tận
thì nó sinh ra một bài toán afin trong không gian afin, ứng với một đờng thẳng vô
tận đợc bớt đi thì sinh ra một bài toán afin tơng ứng.Vì vậy khi có một bài toán xạ
2


ảnh cho trớc thì có một họ bài toán afin đợc sinh ra từ đó, nên kết quả đợc chứng
minh trong bài toán xạ ảnh vẫn đúng trong các bài toán afin đợc sinh ra từ nó
Mục -C chúng tôi trình bày quan hệ qua lại giữa bài toán afin và bài toán xạ
ảnh, tức là từ một bài toán afin cho trớc ta bổ sung thêm đờng thẳng vô tân để đợc
bài toán xạ ảnh và từ bài toán xạ ảnh đó ta lại bớt đi các đờng thẳng vô tận thì đợc
một họ bài toán afin đợc sinh ra từ nó ta gọi các bài toán đó là các bài toán dẫn xuất
.
Khoá luận này đợc hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn nhiệt

tình của thầy giáo TS : Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòng
biết ơn chân thành đến thầy, đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy giáo cô giáo, gia
đình cùng bạn bè đà tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại
trờng Đai Học Vinh .
Do sự hạn chế về mặt thời gian cũng nh năng lực nên chắc chắn rằng bản
luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong đ ợc sự đánh giá phê
bình góp ý của các thầy giáo cô giáo cùng bạn bè. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Vinh ngày 26 tháng 4 năm 2004
Sinh viên : Lê Văn Duy

Đ1 một số yếu tố của hình học afin
1.1Định nghĩa:
Cho V là không gian véc tơ trên trờng K và tập A không rỗng mà mỗi phần tử
của nó gọi là một điểm. Giả sử có một ánh xạ
với M, N A ) thỏa mÃn hai tiên đề :
i) Với mỗi điểm M A và mỗi véc tơ



: AxA V

uV

(ta ký hiƯu

( MN ) 

cã duy nhÊt mét ®iĨm N  A sao



cho MN  .
u
ii) Víi bÊt kú ba ®iĨm

M , N, P  A

(A, , V ) là

thì

MN NP MP .

Khi đó ta gọi bộ ba

không gian afin A liên kết với không gian véc tơ V ký hiƯu lµ A
*NÕu K= R ta gäi A là không gian afin thực
*Nếu K= C ta gọi A là không gian afin phức
*Trong khuôn khổ là một khóa ln tèt nghiƯp ta chØ xÐt trong kh«ng gian
afin thùc.
1.2 HƯ ®iĨm ®éc lËp :
3


(m 1) cđa

Mét hƯ m+1 ®iĨm A0, A1, . . ., Am,
độc lập nếu và chỉ nếu m- véc tơ

không gian afin A đợc gọi là

A 0 A1, A 0 A 2, . . . , A 0 A m độc lập

tuyến tính.
Hệ không độc lập tuyến tính gọi là hệ phụ thuộc.
1.3 Định nghĩa mục tiêu afin :
Cho không gian afin n- chiều A liên kết với không gian vÐc t¬ A . Gäi
 

 {o ; e1, e 2, . . .



e n } là một cơ sở cđa
 

tËp hỵp  ;  hay  { ; , , . . .
o e1 e 2
gọi là điểm gốc của mục tiêu,

1.4 Định nghĩa :
Trong không


{o ; e1, e 2, . . .
nhất

n

phần

tử







ei

gian



A và O là một điểm thuộc A. Khi đó

en }

gọi là một mục tiêu afin của A, O

là véc tơ thứ i của mục tiêu.

afin

A

n-chiều

cho

mục

tiêu

afin



e n } với mỗi điểm X A ta có véc tơ OA A , vì vậy cã duy
x1, x2, . . ., xn

OX x1 e1  x 2 e 2 . . .

cña

trêng

R

sao

cho



xn en .

Bé n phần tử (x1,x2, ... , xn) đó đợc gọi là toạ độ của điểm X đối với mục
tiêu đà chọn ký hiƯu lµ X(x1,x2, ... , xn) hay X = (x1,x2, ... , xn)

1.5 Các phẳng trong không gian afin :
1.5.1 Định nghĩa :
Cho không gian afin A liên kết với không gian véc tơ A . Gọi I là một điểm
của A và





là một không gian véc tơ con của A . Khi đó tập hợp


{M A \ IM } đợc gọi là cái phẳng (gọi tắt là "phẳng") qua I có phơng là
*Nếu









.

có số chiều bằng m thì là phẳng m- chiều hay còn gọi là

m-phẳng.
4

1.5.2 Phơng trình tham số của m-phẳng :
Định nghĩa :
Phơng trình tham số của m-phẳng là phơng trình có dạng x
(i=1, 2, . . ,n) hay X = At +b trong đó
X

t












t1
t 2

t

m

i

j 1

A (aij) là ma trận n dòng, m cét.


x1


x2

.

 .

 .

xn


.

.
.

m

 a ij t j  b j












;

;

b

b1
b2
.
.
.

b

n












1.5.3 Phơng trình tổng quát của m- phẳng :
Phơng trình tổng quát của m- phẳng là phơng trình có dạng :
n

 a ij x j  bi 0

(i= 1,2, . . .,n-m)

j 1

trong đó ma trận A (a ij) là ma trận có hạng bằng n-m
1.6 Vị trí tơng đối của các phẳng :
1.6.1 Định nghĩa :
Trong không gian afin An cho p-phẳng và q-phẳng
phơng là



,

(với p q )

lần lợt có



.

a) Cái phẳng và



gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung .

b) Cái phẳng gọi là song song với



nếu





là không gian con của





.

c) Các phẳng và gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và cũng
không song song với nhau.
d) Giao   hiĨu theo nghÜa th«ng thêng cđa lý thut tập hợp và gọi là
giao của hai cái phẳng vµ  .
e) Tỉng (  +  ) cđa hai cái phẳng và là giao của tất cả các phẳng
chứa và
1.6.2 Định lý :
Giao của hai cái phẳng và hoặc là tập rỗng hoặc là một cái phẳng có
phơng

.
5


Chứng minh : xem[1].
1.7 Siêu mặt bậc hai :
1.7.1 Định nghĩa :
Trong không gian afin An trên truờng số thực chän mơc tiªu afin




 {O; e1, e 2, . . .

ta cho phơng trình bậc hai :
Trong đó các hệ sè
b»ng 0 vµ a ij



e n} .

n

n

i , j1

i 1

 a ij xi x j  2 a i xi a 0

aij , ai , a o

0

a ij

đều là các số thực, các

(1)
không đồng thời

a ji .

Tập tất cả những điểm X thuộc A n sao cho toạ độ (x1, x2 , . . . , xn) cña nã
tháa mÃn phơng trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi siêu mặt đó .
1.7.2 Định nghĩa :
Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn làm gốc mục tiêu thì
n

xtAx+ao=

phơng trình của (S ) cã d¹ng  a ij x i x j  a o 0 hay
ij 1

0

víi

A (a ij)
1.7.3 Ph¬ng tiƯm cËn :
VÐc t¬



c = (c ,c , . . .,c ) gọi là phơng tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S ) có

phơng trình : xtAx

1

2

n

+2atx +a0 = 0

nÕu





c 0 vµ

n

ctAc = i,j1 a ij ci c j 0 .

1.7.4 Định nghĩa tiếp tuyến :
Đờng thẳng d đợc gọi là một tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai (S) nếu:
+Hoặc phơng của d không phải là phơng tiệm cận của (S) và d cắt (S) tại
đúng một điểm (điểm này gọi là tiếp điểm hay ta còn nói điểm tiếp xúc với (S).
+Hoặc d nằm trên (S ).

6


+Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình

xtAx +2atx +a0 = 0 vµ cho B(b1,

b2, . . . , bn) nằm trên (S) thì đờng thẳng d đi qua B có phơng
sẽ là tiếp tuyến khi và chỉ khi btAc
§2



c =(c , c ,
1

2

. . ., cn)

+atc =0.

mét sè yếu tố của hình học xạ ảnh

2.1 Định nghĩa :
Cho Vn ( n 1) là không gian véc tơ trên trờng K (K là trờng số phức hoặc
thực ). Ta ký hiệu [Vn] là tập tất cả các không gian con mét chiỊu cđa Vn .
LÊy mét tËp P kh«ng rỗng . Nếu có một song ánh P : [V n+1] P thì bộ ba
(P,p,Vn+1) gọi là không gian xạ ảnh n- chiều liên kết với không gian V n+1 chiều ký
hiệu là Pn .
Mỗi phần tử A P đợc gọi là một điểm của không gian xạ ¶nh
NÕu

1

V

V

n 1 ,

P(V1) = A cïng vÐc t¬







1
x 0 sao cho x V thì véc

tơ đợc gọi là véc tơ đại diện của điểm A .

X

Lu ý : Hai véc tơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau.
2.2 Định nghĩa các phẳng trong không gian xạ ảnh :
Cho không gian xạ ảnh (P,p,Vn+1) , Vm+1 là không gian con của Vn+1. Tập hợp
P([Vm+1]) P gọi là một m-phẳng m-chiều của P ký hiệu P m, Pm =P([Vm+1]) là một
không gian xạ ảnh m-chiều .
0-phẳng là một điểm.
1-phẳng là đờng thẳng.
2-phẳng là mặt phẳng.
(n-1)-phẳng gọi là siêu phẳng .
2.3 Hệ điểm độc lập.
Trong không gian xạ ảnh P cho hệ k điểm M1, M2, . . . , Mk có véc tơ đại
diện tơng øng lµ :







 k n 

x1 , x 2 , . . . , x k

HƯ ®iĨm M1, M2, . . . , Mk đợc gọi là độc lập nếu hệ véc tơ đại diện
( i= 1,2, . . .,k) là hệ độc lập tuyến tính .
2.4 Định lý :

7



{x i }


Hệ k điểm (k 2) là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một
(r-2) - phẳng
Chứng minh : xem [2].
2.5 Định lý :
Có duy nhất một (k-1) - phẳng đi qua hệ k điểm độc lập cho trớc .
Chứng minh : xem [2].
2.6 Mục tiêu xạ ảnh :
Trong không gian xạ ảnh Pn. Hệ gồm có n+2 ®iÓm cã thø tù {A0, A1, . . . , An; E} đợc gọi là một mục tiêu xạ ảnh nÕu bÊt kú mét hƯ n+1 ®iĨm trong n+2 ®iĨm độc lập .
2.7 Toạ độ xạ ảnh :
Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu {Ai; E} và



{e i } ,

i =(1, 2 . . . , n) là

cơ sở đại diện cho mục tiêu .Với M Pn và
x là véc tơ đại diện của điểm M khi
đó toạ độ của điểm M đối với mục tiêu {A i; E} là toạ độ của
x đối với cơ sở

{e i } .

2.8 Phơng trình tổng quát của m-phẳng :
Phơng trình tổng quát của m-phẳng trong Pn cã d¹ng :
m

 bij x j 0

(i= 0,1, 2, . . . , n-m )

j 0

trong ®ã (b ij ) là ma trận có hạng bằng n-m ,(i = 0,1, 2, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ), n-m;j =0,1, 2, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ), n )
2.8 Tû sè kÐp :
2.8.1 Tû sè kÐp cña 4 điểm thẳng hàng :
Trong Pn cho bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng thẳng sao cho A
khác B ; C và D không trùng với A hoặc B. Giả sử với mục tiêu cho trớc trong Pn
cho các điểm A, B, C, D có ma trận toạ ®é lµ [A], [B], [C], [D] .
Ta cã :
[C] = 1[A] + 1[B]
[D]= 2[A] + 2[B]
Tû sè kÐp cña bèn ®iĨm A, B, C, D theo thø tù ký hiƯu là [A,B,C,D] đợc
xác định bởi [A, B, C, D]

1  2
:
.
1  2

2.8.2 Mét sè tÝnh chÊt :

TÝnh chÊt 1: Khi hoán vị hai điểm đầu với nhau hoặc hai điểm cuối với nhau
thì tỷ số kép trở thành nghịch đảo tức là :
8


1
[B, A, C, D] [A, B, D, C] 
[A, B, C, D]

Hệ quả : Khi hoán vị hai điểm đầu với nhau hoặc hai điểm cuối với nhau thì
tỷ số kép không thay đổi tức là: [A, B, C, D] = [B, A, D, C].
TÝnh chÊt 2 :
NÕu A, B, C, D, E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt th× :
[A, B, C, D].[A, B, D, E] = [A, B, C, E].
2.9 Định nghĩa :
Nếu tỷ số kép [A, B, C, D] = -1 thì ta nói rằng cặp điểm C, D chia điều hoà
cặp điểm A, B hay nói cách khác cặp điểm A, B và cặp điểm C, D liên hợp điều hoà
hay còn nói hàng điểm A, B, C, D là một hàng điểm điều hoà.
2.10 Định nghĩa :
Trong không gian xạ ảnh Pn tập các siêu phẳng cùng đi qua một n-2 phẳng đợc gọi là chùm siêu phẳng với giá là n-2 phẳng đó .
2.11 Định nghĩa :
Bốn siêu phẳng U, V, W, Z của một chùm đợc gọi là chùm bốn siêu phẳng
điều hoà
nếu tỷ số kép của 4 siêu phẳng bằng -1. Khi đó ta nói cặp siêu phẳng U,V chia điều
hoà cặp siêu phẳng W, Z và ký hiệu là : [U, V, W, Z] = -1.
2.12 Định lý :
Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm, trong đó U, V, W đôi một
phân biệt. Nếu đờng thẳng d cắt bốn siêu phẳng đó lần lợt tại các điểm A, B, C, D
(không cắt giá của chùm) thì tỷ số kép của 4 điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của
đờng thẳng d.

Chứng minh : xem [2].
Chú ý : Từ định lý trên ta suy ra tỷ số kép của bốn siêu phẳng có tính chất tơng tự nh tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng.
2.13 Định lý về hình bốn đỉnh toàn phần :
Trong một hình bốn đỉnh toàn phần hai điểm chéo nằm trên một đờng chéo
chia điều hoà cặp giao điểm của đờng chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo thứ ba
.
Chứng minh : xem [2].
2.14 Định lý hình bốn cạnh toàn phần :

9


Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đờng chéo đi qua một điểm chéo nào đó
chia điều hoà đờng thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đờng chéo thứ
ba .
Chứng minh : xem [2]
2.15 Định lý :
Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai
(S) trong không gian xạ ảnh Pn khi đó :
Nếu đờng thẳng < Y, Z > cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N thì
[Y, Z, M, N] =-1
Nếu đờng thẳng < Y, Z > cắt (S) tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là
Y hoặc Z .
Chứng minh : xem [2].
2.16 Định lý Paxcan :
Nếu một hình sáu đỉnh có sáu đỉnh nằm trên một đờng ôvan (còn gọi là hình
sáu đỉnh nội tiếp đờng ôvan đó ) thì giao điểm của các cặp đối diện nằm trên một đờng thẳng
Chứng minh: xem [2].
2.17 Các trờng hợp đặc biệt của định lý Paxcan :
a) Nếu năm đỉnh A1, A2, A3, A4, A5 nội tiếp đờng ôvan (S) thì ba giao điểm

của cạnh A1A2 với cạnh A4A5 ; cạnh A2A3 víi tiÕp tun cđa (S) t¹i A 5 cđa cạnh
A3A4 với cạnh A5A1 thẳng hàng.
b) Nếu hình bốn đỉnh A, B, C, D nội tiếp một đờng ôvan thì giao điểm của
các cặp cạnh đối diện và giao điểm của các tiếp tuyến tai các cặp đỉnh đối
diện là bốn điểm thẳng hàng .
c) Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đờng ôvan thì giao điểm của một cạnh
với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng .
2.18 Định lý Briăngsông :
Nếu một hình sáu cạnh có sáu cạnh phân biệt cùng tiếp xúc với một đờng
ôvan (còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp ôvan đó ) thì các đờng thẳng nối các đỉnh
đối diện đồng quy.
2.19 Các trờng hợp đặc biệt của định lý Briăngsông :
a) Nếu một hình bốn cạnh ngoại tiếp một đờng ôvan thì các đờng thẳng nối
một đỉnh với tiếp tuyến trên cạnh đối diện là bốn đờng thẳng đồng quy .
b)Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một đờng ôvan thì các đờng thẳng nối
một đỉnh với tiếp tuyến trên cạnh đối diện là ba đờng thẳng đồng quy.

10


Đ3

Mô hình afin của không gian xạ ảnh

3.1 Xây dựng mô hình :
Giả sử V n 1 là không gian véc tơ n+1 chiều trên trờng số thực.
cho

A n ( A , V n ,  )

V n  V n 1

Vn

là không gian afin liên kết với không gian véc tơ

và

bởi ánh xạ

liên kết trên trờng số thực R .




Trong A n ta lÊy mơc tiªu  {O; , , . . .
e1 e 2
P A n  [V n ]

Với

và xét ánh xạ :


: [V n 1 ]  P



 x
 V n 1




 x ( x 0 , x 1 ,..., x n )



e n}

(*)

vµ ta đặt

đợc xác định nh sau :








đối với cơ sở e 0 , e1 ,..., e n  th× ta

x V n 1
x 0

xét các trờng hợp sau :
Nếu x0 0 ta đặt (<









x

x

x

x

>) = N A n mµ N ( 1 , 2 ,..., n ) ®èi víi mơc
x0 x0
x0




tiªu O; e 1 ,..., e n .
Nếu x0 = 0 ta đặt (<

một chiều của

Vn

và



x

>) = <



v

> với véc tơ <




v



> là không gian con


 x1, x 2 ,..., x n  ®èi víi c¬ së e1 , e 2 ,..., e n  .
v

Với cách xác định nh trên ta dể dàng chứng minh đợc là một song
ánh .Theo định nghĩa của không gian xạ ảnh thì P là một không gian xạ ảnh liên kết
với không gian véc tơ

V n 1

chiều trên trờng số thực bởi ánh xạ .Ta gọi P là mô

hình afin của không gian xạ ảnh ký hiệu là

P

3.2 Mục tiêu xạ ảnh toạ độ xạ ảnh trong toạ độ xạ ảnh trong
Từ cách xây dựng mô hình ta đặt :
11

n
A

hay viết tắt là

P

n

P

n

.




 ( e i >) =Ei

(i=1,2, ..n )



 ( e 0 >) = E0





 ( e >) = E






e

víi


n



 ei
i 0

Gi¶ sư  e 0 , e 1 ,..., e n là một cơ sở trong






A



P

n

trong đó e1 , e 2 ,..., e n 






n vµ < e 0 >  [ V n 1 ] khi ®ã hƯ ®iÓm  E1 , E 2 ,..., E n   [ V n ] vµ E0 A n ; E

 A n .Tõ ®ã ta suy ra hƯ ®iĨm cã kĨ ®Õn thø tù  E 0 , E1 , E 2 ,..., E n ; E lµ mét mục
tiêu trong không gian xạ ảnh

P

n









và hệ véc tơ e 0 , e1 ,..., e n đợc gọi là cơ sở đại

diện của mục tiêu xạ ảnh E 0 , E1 , E 2 ,..., E n ; E (**).
Theo cách xây dựng mô hình

P

n

thì với M A n và M có toạ độ afin đối

với mục tiêu (*) là M x1 , x 2 ,..., x n thì véc tơ đại diện của M là



x

1, x1 , x 2 ,..., x n

vì vậy toạ độ xạ ảnh của điểm M là M x 0 , x1 , x 2 ,..., x n , (x0 = 1) đối với mục tiêu
(**)
Nếu M  [ V n ] vµ M  x1 , x 2 ,..., x n đối với mục tiêu (*) thì véc tơ đại diện
của nó là



x

0, x1 , x 2 ,..., x n do đó toạ độ xạ ảnh của M đối với mục tiêu (**) lµ M

 0, x1 , x 2 ,..., x n .
3.3 Các phẳng trong

P

n

Trong A n với mục tiêu đà chọn (*) ta giả sử ( ) là một m toạ độ xạ ảnh trong phẳng có
n

phơng trình :

a ijX j a in

0

(i = 1,2,...,n toạ độ xạ ảnh trong m)

3.1

ij1

Trong đó

a ij

là ma trận n toạ độ xạ ảnh trong m hàng , n cột có hạng bằng n-m. Với mỗi

X ( ) và X x1 , x 2 ,..., x n  b»ng c¸ch chun từ roạ độ afin sang toạ độ xạ ảnh

12


ứng với mục tiêu (**) thì X x 0 , x1 , x 2 ,..., x n  ;(x0 = 1) thì (3.1) viết dới dạng
n

a ijX j 0 ,(X0 = 1),

(i = 0,1,2,...,n toạ độ xạ ¶nh trong m)

3.2

ij 0

Víi X 

n



[]  [ V n ] th× X  0, x1 , x 2 ,..., x n đối với (**)



2

xi

0

và

i 1

n

a ij X j 0 cũng thỏa mÃn phơng trình (3.2), (X0 = 0)

ij0

vì vậy cứ mỗi m toạ độ xạ ảnh trong phẳng trong A n sẽ sinh ra trong
ảnh



thuộc

và mỗi điểm của
P


[]



n
P một m toạ độ xạ ảnh trong phẳng xạ

là điểm của hoặc điểm của
P

[] , Mỗi điểm

gọi là điểm vô tận, tập tất cả các [ V n ] đợc gọi là siêu phẳng vô tận

của A n và mỗi m-phẳng trên [ V n ] gọi là m- phẳng vô tận .
Với hai phẳng và trong A n thì chúng xảy ra các khả năng cắt nhau,
chéo nhau, song song, trùng nhau .Vì vậy tơng ứng với các vị trí trong A n thì ta xét
vị trí tơng đối giữa các phẳng

P và P trong P

Giả sử số chiều của và
3.3.1Mệnh đề 1
Nếu //

.

lần lợt là p và q (p q)



P

thì

n

P

là một p-1 phẳng trên [ V n ]

Chứng minh

P





P

=(

= (





[] )  (   [] )
)







 ( []  [] )



=[] .
V×  //



VËy











[]  [] = [] [] .

P

P



= [] .là một p-1 phẳng trên [ V n ]
13


3.3.2 Mệnh đề 2
Nếu và

chéo nhau thì



P và

cắt nhau theo một cái phẳng

P

P

là cái phẳng trên [ V n ]
Chứng minh
Vì và

chéo nhau nên



=





và











ta đặt

=

P  P = ( 

khi ®ã :

= ( 
=





 [] )  (   [] )
)







 ( []  [] )

[]





= []




Nếu [] = [0]
Nếu



P



[]

một cái phẳng

P

[0] P

P





P

=









P và

P

cắt nhau theo

là cái phẳng trên [ V n ] .

3.3.3 Mệnh đề 3
Nếu và
một m-phẳng

cắt nhau theo một m-phẳng thì

P



P

Chứng minh Vì 


P vµ 

P





P





=  vµ [] 

=(  

= ( 





[]



[]



)  (   []


)  ( [] 

14



= []



[] )

c¾t nhau theo


=

P

=
vậy

P và

P



[]
.

cắt nhau theo một m-phẳng

3.4. Tỷ số đơn trong

P

n

P

.

.

Trong A n với mục tiêu (*) đà chon cho ba điểm A, B, C thẳng hàng có tỷ số
đơn là k=(A, B, C) ta giả sử A a 1 , a 2 ,..., a n  ; B  b1 , b 2 ,..., b n  ;C  c1 , c 2 ,..., c n 
Khi chuyển từ mục tiêu afin sang mục tiêu xạ ảnh thì toạ độ xạ ảnh của các
điểm A, B, C lần lợt tơng ứng là : A 1, a 1 , a 2 ,..., a n  ; B 1, b1 , b 2 ,..., b n  ;
C 1, c1 , c 2 ,..., c n 
Gäi D lµ điểm vô tận của đờng thẳng AB khi đó phơng của điểm D là D
[ V n ] chính là phơng của đờng thẳng AB trong

P

n

nên toạ độ ®iĨm D lµ:

D  0, b1  a 1 , b 2  a 2 ,..., b n  a n . Do C và D cùng thuộc đờng thẳng AB nên :
(C) 1 ( A ) 1 ( B)

( D )  2 ( A )   2 ( B)




1


1
 1


 2
0
 2

1a i

1b i
c i
a i

c j
k ( b i



( 1 0)
(  2 0)

c

i

)

v×

AC k BC



1

 k  

1

  2  1

 2



VËy trong

[A, B, C, D] = k = (A, B, C) .

P

n

ta có thể xem tỷ số đơn của ba điểm A, B, C là tỷ số kép của

ba điểm đó với điểm thứ t D là điểm vô tận của đờng thẳng đi qua chúng .
hợp đặc biệt nếu k =-1 thì C là trung điểm của AB .Vì vậy trong

n

P , C là liên

hợp với B và điểm vô tận D của đơng thẳng AB

Đ4

mô hình xạ ảnh cđa kh«ng gian afin
15

Trêng


4.1 Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin
Nh ở Đ3 ta đà xây dựng mô hình afin của không gian xạ ảnh đó là ta lấy
một không gian afin A n rồi bổ sung thêm một phần tử của tập hợp [V n] để lập nên
đợc tập hợp

n

PA

= An

[Vn] và xây dựng

n

PA

thành không gian xạ ảnh . Vậy để

xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin ta làm thế nào ?
Để xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin ta diễn tả quá trình ngợc lại
tức là từ không gian xạ ảnh

P

n

ta bớt đi một siêu phẳng W nào đó và xây dựng

phần còn lại thành một không gian afin n - chiều ký hiệu là A n .Quan hệ thẳng
hàng trong không gian xạ ảnh sẽ cảm sinh ra quan hệ thẳng hàng trong không gian
afin . Một mô hình của không gian xạ ảnh đem bớt đi một siêu phẳng sẽ cho ta một
mô hình của không gian afin .
Ta giả sử P n ( n 1 ) là không gian xạ ảnh liên kết với không gian véc tơ thực
Vn+1 và W là một siêu phẳng của Pn.
Ta đặt An = Pn \ W ,trong Pn ta chän môc tiªu {A0, A1, . . . , An; E }sao cho
A1, A2, . . . , An thuéc W khi đó W có phơng trình : x0 = 0 .
Nếu ®iĨm X thc An cã to¹ ®é  x 0 , x1 , x 2 ,..., x n  th× x 0 0 .
Xi 

Ta ký hiÖu

xi
;
x0

(i=1,2,…, n-m;j =0,1, 2, …, n ), n) ;

Xi  R .

Khi ®ã bé sè  x 1 , x 2 ,..., x n gọi là toạ độ không thuần nhất của điểm X vµ viÕt
lµ X=  x 1 , x 2 ,..., x n  hay X  x 1 , x 2 ,..., x n
Gọi Vn là không gian véc tơ n-chiều trên trờng số thực R và xét ¸nh x¹
 : A n xA n  V n
(x, y)

 (xy)  xy  v ( y1  x 1 , y 2  x 2 ,..., y n x n )

Khi đó thỏa mÃn các tiên ®Ị cđa kh«ng gian afin .
ThËt vËy :
i)

Víi

X  A n ,X=  x 1 , x 2 ,..., x n 

vµ



 V ( v1 , v 2 ,..., v n )  V n

 !Y ( y1 , y 2 ,..., y n ) víi yi = xi+ vi sao cho

ii) Víi

X, Y, Z  A n ;



( xy) V

X  x 1 , x 2 ,..., x n  ; Y( y1 , y 2 ,..., y n ) ; Z z1 , z 2 ,..., z n 

(X, Z) XZ ( z1  x 1 , z 2  x 2 ,..., z n  x n )

16




( z1  y1  y1  x1 , z 2  y 2  y 2  x 2 ,..., z n  y n  y n  x n )
( z1  y1 , z 2  y 2 ,..., z n  y n )  ( y1  x1 , y 2  x 2 ,..., y n  x n )
YZ  XY
XY  YZ
( X, Y )  ( Y, Z)

VËy  tháa mÃn hai tiên đề của không gian afin .
Kết luận
An là không gian afin n-chiều liên kết với không gian véc tơ V n bởi ánh xạ
liên kết .Ta gọi An là mô hình xạ ảnh của không gian afin ký hiệu A n
4.2 Mục tiêu và toạ độ afin trong An
Xét mục tiêu xạ ảnh Pn nh trên .Gọi Ei là giao điểm của đờng thẳng AiA0 với
siêu phẳng P i đi qua tất cả các đỉnh của mục tiêu trừ các điểm A i và A0; (i= 1,2,
, n-m;j =0,1, 2, , n ),n) khi đó toạ độ không thuần nhất của các điểm Ei và A0 lµ :
A0 = (0, 0, 0, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ), 0)
E1 = (1, 0, 0, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ), 0)
E2 = (0, 1, 0, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ), 0)

…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n ).
Ei = (0, …, n-m;j =0,1, 2, …, n )0, 1, 0, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ), 0)
…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n )…, n-m;j =0,1, 2, …, n ).
En = (0, 0, 0, …, n-m;j =0,1, 2, …, n )., 0, 1)
Nếu đặt


A 0 E i ei

;(i=1,2,, n-m;j =0,1, 2, …, n ),n) th× {A0,E1,E2,…, n-m;j =0,1, 2, , n ),En) là một mục tiêu trong An

và đợc gọi là mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ¶nh {A0,A1,A2,…, n-m;j =0,1, 2, …, n ),An;E}
NÕu víi X  A n ;X=  x 1 , x 2 ,..., x n  th×




AX  x 1e1  x 2 e 2  ...  x n e n .

Khi ®ã ta nãi  x 1 , x 2 ,..., x n là toạ độ afin của X đối với mục tiêu afin sinh bởi
mục tiêu xạ ảnh {Ai; E}; (i=1,2,…, n-m;j =0,1, 2, …, n ),n)
4.3 C¸c phẳng trong An
4.3.1 Mệnh đề 4:
Giả sử là r toạ độ xạ ảnh trong phẳng xạ ảnh và không nằm trên siêu phẳng




khi đó = \

là một r toạ độ xạ ảnh trong phẳng trong không gian A n .
Chøng minh :
ThËt vËy víi mơc tiªu xạ ảnh nh trên, ta giả sử r toạ độ xạ ảnh trong phẳng có phơng
n

trình :

a ij x j 0

j o

(i= 1,2, . . . ,n- r)

(4.1)

trong đó ( a ij ) là ma trận có n-r hàng và n+1 cột do vậy có hạng bằng n toạ độ xạ ảnh trong r .
17


Vì không nằm trên



nên khi ta thêm vào hệ phơng trình (4.1) một phơng

trình thứ n toạ độ xạ ảnh trong r+1 là x o 0 thì ta đợc hệ n-r+1 phơng trình độc lập
n

a ij x j 0

(i= 0,1,2, . . . ,n- r)

j o

lóc nµy ( a ij ) lµ ma trËn cã n-r+1 hµng vµ n+1 cột nên ( a ij ) có hạng bằng n-r+1
Do vËy ( a ij )n-r x n  ( a ij ) n-r+1 x n lóc ®ã ma trËn ( a ij ); (i = 1, 2, . . . , n- r);
(j = 1, 2, . . . , n) có hạng chính bằng số hàng và bằng n-r .
Với mỗi điểm X thuộc có toạ độ X  x 0 , x 1 , x 2 ,..., x n thì x o 0 và toạ ®é
cña X  x 0 , x1 , x 2 ,..., x n là nghiệm của phơng trình (4.1) . Vì vậy toạ độ không thuần
nhất của X X1 , X 2 ,..., X n  = (

x1 x 2
x
,
,..., n ) thoả mÃn phơng trình
x0 x0
x0

n

a ij x j  a i0 0

(i= 1,2, . . . ,n- r)

j 1

Tõ (4.2) chøng tá r»ng  = \

(4.2)

là một r-phẳng afin trong A n

ở Đ3 ta đà biết vị trí tơng đối giữa hai phẳng phân biệt và



n

trong P A

thì chúng cắt nhau hoặc chéo nhau . Giờ ta xét vị trí tơng đối của các phẳng và
trong A n .
Giả sử là m-phẳng ; là r-phẳng trong không gian xạ ảnh không nằm
trên siêu phẳng w với m r n khi đó w có số chiều là m-1 vµ   w cã sè
chiỊu lµ r-1 .
4.3.2 MƯnh ®Ò 5 : NÕu (   w )  ( w ) thì m-phẳng afin =  \ w
song song víi r-ph¼ng  ’ = \ w .
Chứng minh.


n

Giả sử m-phẳng có phơng tr×nh  a ij x j 0 ;(i= 0,1, 2, . . . , n- m) khi ®ã
j o

 ’ = w có phơng trình :

n

a ij x
 j o
x
 0 0

j

0

(i = 1, 2, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ) , n-m)

V×  không nằm trên w nên ma trận ( a ij )n-m x n có hạng bằng n-m .
n

Hoàn toàn tơng tự
thì phơng trình của





=

có phơng trình : b ij x j 0 ; (i = 0, 1, 2, . . . , n- r)
j o



 w lµ :
18

 n
  b ij x
 j o
x
 0 0

j

0

(i = 1, 2, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ) , n-r)

trong đó b ij có hạng bằng n-r .
Theo giả thiết của mệnh đề ( w ) ( w ) thì hệ phơng trình của
w là hệ quả của phơng trình  w .
V× vËy







’   ’ hay  ’ song song với



.

4.3.3 Mệnh đề 6
Nếu là một k-phẳng ( k < m) không nằm trên w thì các phẳng
và sẽ cắt nhau theo mét k-ph¼ng  ’ .
Chøng minh :
Ta cã
   =  (    )\w= \w
 (  \ w )  (   w) =  \ w
  ’   ’ = .
Tóm lại :
Nếu hai phẳng phân biệt cắt nhau trong

n

PA

không nằm trên w thì sau khi

bỏ đi những điểm thuộc w ta sẽ thu đợc các phẳng afin tơng ứng song song hoặc
chéo nhau, hoặc cắt nhau .
4.4 Tỷ số kép trong An :
Xét mô hình A n =

P

n

\ w cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thẳng hàng

đối với mục tiêu xạ ảnh (**) .

Giả sử tọa độ xạ ảnh của các điểm A, B, C, D lần lợt là :
A (1, a 1 , a 2 ,..., a n ) ; B (1, b1 , b 2 ,..., b n ) ; C (c 0 , c1 , c 2 ,..., c n ) ; D (d 0 , d1 , d 2 ,..., d n ) .
đó toạ độ của điểm C và D tháa m·n:
c i k 1a i  l1 b i
d

1 k 2 a i  l 2 a

c 0 k 1  l1

d 0 k 2  l 2

i



C ( k 1  l1 , k 1a 1  l1 b1 ,..., , k 1a n  l1 b n )

D ( k 2  l 2 , k 2 a 1  l 2 b1 ,..., , k 2 a n l 2 b n )

theo định nghĩa tỷ số kép trong không gian xạ ảnh

A, B, C, D l1

k1

:

P

n

ta có:

l2
k2

và toạ độ afin của A (a 1 , a 2 ,..., a n ) ;

B (b1 , b 2 ,..., b n ) ;

D (d1 , d 2 ,..., d n ) tháa m·n

19

C (c1 , c 2 ,..., c n ) ;

Khi


k 1a i  l1b1

c i  k  l

1
1
(i 1,2,..., n )

d  k 2 a i  l 2 b1
i


k 2  l2


do ®ã

l1

CA  k  l BA

1
1

k1
CB 
BA

k 1  l1


T¬ng tù ta cã  A, D, B  

l1 (a i  b i )

a i  c i 
k 1  l1


b  c   k 1 ( a i  b i )
i

 i
k 1  l1






l
CA  1 CB
k1

l2
v× vËy
k2

hay

 A, B, C  

l1
k1

 A, B, C, D   A, B, C   l1 : l 2
 A, B, D  k 1 k 2

VËy trong A n ta cã thĨ xem tû sè kÐp cđa bèn ®iĨm thẳng hàng A,B,C,D là
tỷ số của hai tỷ số đơn (A,B,C) và (A,B,D) .
4.5 Siêu mặt bậc hai trong A n .
Giả sử (S) là siêu mặt bậc hai trong

n

PA

có phơng trình đối với mục tiêu

n

a ij x i x j 0 .

(**) đà chọn là :

ijo

Ta đặt S = S \ W (W là siêu phẳng ) lúc này điểm của (S) sẽ có toạ độ afin
thỏa mÃn phơng trình
:
n

n

ij1

i 1

a ij x i x j 2 a i0 x i  a 00 0 .

451 Mệnh đề 7
Nếu a ij không đồng thời bằng không (i, j =1,2 ,n) thì (S) là một siêu mặt,n) thì (S) là một siêu mặt) là một siêu mặt

bậc hai trong A n . Khi đó ta nói siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh ra siêu mặt bậc
hai (S) là một siêu mặt) .Ngợc lại mổi siêu mặt bậc hai afin (S') trong A n đều sinh ra bởi một siêu
mặt bậc hai xạ ảnh duy nhất .
Chứng minh
Thật vậy trong mục tiêu A2 đà chon ta già sử siêu mặt bậc hai (S') có
n

n

ij1

i 1

phơng tr×nh  a ij x i x j  2 a i0 x i  a 00

0 khi

®ã ta thay X i

xi
ta đợc phơnh trình
x0

n

a ij x i x j 0 là phơng trình của siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) đối với mục tiêu xạ ảnh

ijo

afin đà chọn

4.5.2 Mệnh đề 8:
Nếu S W không rỗng và (S) không suy biến thì (S) có phơng tiệm cận
và đờng tiệm cận .
Chứng minh
20