Hình học afin và hình học ơclít những ví dụ và bài tập phần 2

PHAN THU HAI

HINH HOC OCLIT

199


§1. KHƠNG GIAN VEC TO OCLIT
1. Tích vơ hướng và không gian véc tơ Oclit
Định nghĩa. Cho không gian véc to thực V và một ánh xạ
n:VxV

®

mà

ta kí hiệu n(X,

ÿ) =

šÿ

hoặc

Ä.ÿ. Nếu

ánh xạ này thoả mãn bốn điểu kiện sau thì ta gọi n là một

hàm tích vơ hướng hay một tích vơ hướng trên Vv.

=H;

@

RY

Gi)

(%,+ 8)

+ RV
= FF

ECVit V)= RVi+ X Ia
Gii)
(iv)

(kx) Ơ = k( )= X&);

*

Đ =
=0
##>0v ##thỡ

(vi mọi 8, #¡„,#¿, ÿ, Ÿ„; ÿ;e V và mọik e R).

Số thực &.ÿ gọi là tích vơ hướng của hai véc tơ %, ÿ. Cặp
E = (Œ, n) gọi là một không gian véc tơ Gclit. Ba điều kiện @),

(i), (ii) néi lên rằng n là một dạng song tuyến tính đối xứng

trên V. Điều kiện (v) nói lên rằng n là dạng song tuyến tính
xác định dương. Dưới đây ta xét các véc tơ trong E.

Tích vơ hướng š.š được kí hiệu là š°và gọi là bình

phương hướng của: #. Số thực V§? được kí hiệu là |

và

gọi là médun (hay độ dài) của š. Như thế |
Jx| ==1 thì š gọi là véc to don vi.

301


Nếu x y¥ =0 ta ndi X true giuo với ý và viết x L ý. Một hệ
véc tơ {ä,,... ả,} mà

ä,L

a, (@ # j) được gọi là hệ trực giao,

Một hệ trực giao mà mọi véc tơ của hệ đều là véc tơ đơn vị
được gọi là bệ (rực chuẩn.

Nếu dùng kí hiệu Kronecker:
3

= đ

9

VỚI 1 # ]

1

với i=j

thi dé thấy rằng hệ véc tơ {ä,,...., ä,} là trực chuẩn khi và chỉ

khi ä,ä, =ð, @j=1,..,.

Nếu E có số chiều n ta sẽ kí hiệu E` thay cho E (với n là
một số tự nhiên).

Tính chất. ø) Ư L š với mọi § e E
b) Nếu

{ã,,.... ä,} là một hệ trực giao và mọi ä, đều khác

Ư thì hệ đó độc lập tuyến tính.
c) Néu

{¥,,..., 9,} là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính thì

cóthể dựng được một hệ véc tơ trực giao {ã,,... ä,} khác Ö
sao cho 4, € (¥,,.., ¥,) Œ = 1,... r) bởi cơng thức quy nạp
như sau:

(k>1)

(Hệ véc to {a,, ..., ä,} gọi là hệ trực giao hố Gram-Schmidi
cua hé {¥,,..., ¥,}).


_đ) Trong

E” có ít nhất một cơ sở trực chuẩn. (Đây là hệ

quả của tính chat c).

2. Sự trực giao của những không gian con

Định nghĩa. Hai không gian con W và Z của E gọi là

trực giao và kí hiệu W 1 Z nếu với mọi še W, với mọi ÿe Z
ta đều có X.L ÿ.

Cho khơng gian con W của E thì tập hợp
W!={ÿ eE|ÿ 1 š, với mọi še W} gọi là phần bù trực
giao của W.
Tinh chất. a) Nếu W 1 Z thì W ¬ Z= {Ư}.

b) Với mọi khơng gian con W của E thì W° là một không

gian con của E.

c) Nếu W là một khơng gian con của E` thì E` =W@W*

và do đó (W')'= W.

3. Bất đẳng thức Cauchy và góc giữa hai véc tơ
Tinh chat

Với hai véc tơo bất kì š, ÿ e E` ta đều có

I# #I< [I-lli
và dấu

“bằng”

xảy ra khi và chỉ khi

x

và

ÿ

phụ thuộc

tuyến tính.
(Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Cauchy hay bất
đẳng thức Sehwarz).
208


Định

nghĩa. Cho hai véc tơ x,

ÿ e E

mà

x # Ö, ý #Ú.Tì

bất đẳng thức Cauchy ta có

fe

<1.

belly

Do đó có giá trị 9 e [0, x] để cho

Giá trị 9 gọi là góc giữa š ÿ. Kí hiệu 0 = (§ÿ).

Rõ ràng6 = 5 khi và chỉ khi § L ÿ.
4. Toạ độ trực chuẩn
Định nghĩa và tính chất. Trong E cho cơ sở trực
chuẩn {ẻ,,..., 6,}. Toạ độ của một véc tơ theo cơ sở đó được
gọi là (og độ trực chuẩn.

Giả sử hai véc tơ š, ÿ e E” có toạ độ trực chuẩn là

Ä =É, ... X;), ÿ =Ốu, ... y„) thi
XY =X

và nếu

x #0,
so’

cos(X,

t+

Xn

y#0-thi
ÿ)

=

x

VX)

te

+i.

+X

+X

Ey


n

Đổi toạ độ trực chuẩn. Trong E” cho hai cơ sở trực chuẩ

e= {6,05 6} } va e = {é},..., 6}. Gia stt

Nếu véc tơ š e E” có toạ độ trực chuẩn theo cơ sở e là
š =Œị, ... X,) và theo cơ sở £' là # = (Xi, ... x;) thì

h
,
X= - Cy ¥y tee nềnCạnX

Đây là cơng thức đổi toạ độ giữa hai tơ sở đã cho. Dưới

dạng ma trận, công thức này trở thành

x = Cx’
Chú ý rằng CC

Xị

(x=|:|,

Xị

x=|:|)

= 1( là ma trận đơn vi). Ma trận Ccó

ra
tính chất này gọi là một mơ trộn trực giao. Từ C'C =I suy

=- 1
(detC)? = 1 hay detC = + 1. Tuy theo detC = 1 hay detC
mà ta gọi C 1a ma tran truc giao logi 1 hay loại 2.

5. Dinh thức Gram

Định nghĩa. Cho m véc tơ bất kì ä,, ... ä„, của E. Ma trận

bọ
S
a

đối xứng


M:

ai

địa;

aya,

a,.d,

al

a,.a,,

a,.a,

a,.a,

a,

gọi là ma trén Gram
Gr(d,,

cua bé véc to (a,, ..., ä„) và kí hiệu là

.., 4,,).

Tính chất. a) Gr(ä,,....

ä„) > 0 và do đó định thức

Gram khơng phụ thuộc thứ tự các véc tơ trong bộ.

b) Gr(ä,, .... ä„) = 0 khi và chỉ khi hệ {ä,, ..., ä„ } phụ

thuộc tuyến tính. (Suy ra Gr(ä,,.... ä„) > 0 khi và chỉ khi hệ
{a,,..., ä„ } độc lập tuyến tính).

6. Ví dụ
Ví dụ 1. Trong R? cho dạng song tuyến tính Q : R? x R?

— R xác định bởi quy tắc:

1

1

O(Œ), x;), (Vị, Yo) = XY + sa; + get

1

tee:

a) Chứng minh rằng © là một tích vơ hướng trên R°.

b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của R” đối với tích vơ hướng ©.

Giải
`

1

a) Vì O(G¿, x;), (Vị, Y;)) = M1 + Met

1

=yiXịi† gum

1.

+ s%

= O(G\, y;), Œị, X;))
206

V1

+ gk

1
pe

1
+ Xe


xứng.
nên dạng s0ng tuyến tính © có tính đối
Ta chứng minh Q xác định dương.

1,

;

Ta có Q(G¿, X;), (Xi, X;)) = XỸ † Xi; + 3 x;
x,+
=((x

1y

1,

,)?+ —x
—x
12,*?

5 x¿)

20

1
1
và O((, X2), Œ¡; x¿)) =(ị¡+ 5 x;”+ pe

=0

= 0% = 0}
@ (£m)+
©

{x, = 0, x, = 0}

©

(x, X) = (0, 0). Vay 2 xac định dương.

Do đó © là một tích vô hướng trên R”. ˆ
một

b) Lấy

RỶ, chẳng hạn

cơ sở của

cơ sở tự nhiên

(ẽ, = Œ, 0, ẽ, = (0, Ð)}. Truc giao hoa Gram Schmidt (é,, 6,)

ä,), trong đó
theo tích vơ hướng © ta được cơ sở trực giao (8,,

+
1.
2
=.
OG, 4%) 6+
+&,
,
-=é
6,=
Š2)
a, =4,, g,=- 2Gu &) a,+ s,=— ĐỀU
€,)
22

4,

3

+ OG, 8)

1
ả
sore
(vì O(&,, ẻ;)= ~3}

seat

Lại có O(8,,
(8,

6)-

#\=

QE,,

1
a 2
Vậy ä, -Í$ 1).

ze

1.

ể,=)1, Q(B, By) = TC

4

-ễu): Do đó cơ sở

tơ
12 &,) là trực chuẩn theo O. Nói cách khác, cặp véc

¡a, 0, 8,

X12)} là một cơ sở trực chuẩn của R” theo ©.
207


Ví dụ 2.

Xét tập hợp F các hàm

số thực liên tục trên

đoạn [0, 2n]. Với phép cộng hàm số và phép nhân số thực với
ham số thì F trở thành một không gian véc ts thuc. Lap anh
xạ Q: Fx F > R the
quyo
tac:

với f,g e F thì QŒ, g)= [”f()ø@)dx.
Chứng minh rằng © là một tích vơ hướng trên F và hệ

véc tơ

2

| —,

.

.

:

cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosmx, sinmx

1a mét hé truc giao déi v6i Q. Ching minh rang cac véc tơ

trong hệ đó đều có mơđun bằng 4%.

Giải

'

Theo tính chất tích phân
fee

dx = fet dx,

Jaf +bg).h dx =a [fh dx +b [gh dx @beR; £g,heF)
suy ra © là một dạng song tuyến tính đối xứng trên F.
Ta chứng minh O xác định dương:

ta có QŒ, 9 = [”f*(x) dx > 0. Nếu OŒ,

= 0, tức là

Í”f?@) dx = 0 thì f'Q) là đạo hàm của một hàm liên tục (x)
nào đó trên [0, 2n]. Hàm ọ(x) đơn điệu vì có đạo hàm khơng
âm. Vì o(2z) = 0(0) nên ọ() là hàm hằng trên [0, 2n]. Do đó
@%) = Œ) = 0. Suy ra f(%) = 0 với mọi x € [0, 2m], tức là f = 0.
208

|

chứng mình

hệ

Ta có:

B2

As,
= v2

2k

, COSX, SIDX, ..., COSHIX, sinms | true giao.

j

coskx) =[
[eo

= Y2 sinkx
a2,

2

on

JQ

Pos

kx dx

kx dkx
2x

Ù

B
=-

trên †. Với tích vơ hướng © ta

tích vơ hướng

Vậy © là một

=0;

sinkx)

=

on

2 soskx

0

F'Êm

dx

2

=0.

Với p # q, 1
O(cospx, sinqx)

= Ÿ cos px.sin qx dx

1

= 5 f
Q(cospx, cosqx)

[sin(p+q)

L

.

- sin@-q@]dx

px

_

f [cos(p+q)x + cos(p—q)x]dx = 0;

= ữ sin px.sin qx dx

= 5 fF [eostp - a)x —cos(p +a)x]dx

We HHAVHHO

=0;

px.cos qx dx

= [eo

=5
Q(sinpx, singx)

pry.

=0.

209


Do đó hệ {2
{

3

.

COSX, SỈNX, .... COSIX, sn

Cuối cùng ta tính bình phương

-

truc giao theo Q,

vơ hướng

của các vée tơ

trong hệ:
XA

SF

=

| Plas
gk re

Q(coskx, coskx) =

[eo

= f

2kx dx

+ Cos2kx 4

=n.

2

Q(sinkx, sinkx) = f “sin ?kx dx
-

a

=n.

2

Do đó mơđun của các véc tơ `.

coskx, sinkx

(k= 1,..., m)

theo nghĩa © đều bằng va.

Vi du 3. Trong khéng gian véc to Oclit E cho hé véc ta
độc lập tuyến tính {é,,..., ẻ, } và hai hệ véc tơ trực giao khác 0

là {{ã,, ... ä,) và {P.. " b,} thoa man:

véi méi k = 1, .., r thi a, b, €(é,,...,,). Chting minh
rang b,

210

=), a, véi 2, la sé thuc nao dé khac 0 (k= 1, ..., r).


Giải
Vì

hệ

trực

giao

0

khác

là hệ

„} là một cơ sd cua đu,

wey aAy)

p #q.

Xét hai chi sé p, q € {1,..., r} ma

b, €

b,

(a,

we a,)

suy

có

ra

=

thể

nên

tính

(Cys vesé,),

tuong

= (6.8).

(b,, -b,)

b,}1a mét cơ sé của

tu {by

tuyến

lập

độc

Gia sl p
biểu

thị

TY

tính

tuyến

=A,a,+... + 4,a,. Nhan v6 huéng hai vé đẳng thức này

với ä, và sử dụng tính chất trực giao của hệ {ä,,...

ä,}ta

được B„.ä, = 0. Tương tự, nếu p > q ta cũng được b,.ẩ,„ = 0.
b,

Vậy với mọi p # q ta đều có

4, =0.

Bây giờ khai triển b, = A;ẩ, + ... +A„ẩ„ và nhân vô hướng
hai vế với ä,@ = 1, ... k — 1) ta được 0 = b,.ä, = ^,ä?. Vì
`

ä? #0 nên 2; = Ú.

Vậy B„ =A„ã, vàAy#0 (do b, # 6).
Gọi P[x] là tập hợp các đa thức một biến x,
bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với các hệ số thực. Với phép cộng
Ví dụ 4.

đa thức và phép

nhân

số thực

với đa thức

thì P[x]

trở

thành một không gian véc tơ thực.

a) Chứng minh rằng hệ véc to {1, x, x’, ..., x"} của P[x] là
ˆ một cơ sở của P[x].

b) Lập ánh xạ O : P[x] x PIx] + R theo quy tắc:

với Í, ø e P[x] thì 9Œ, g) = [j f(+)ø() đx.
211


Chứng

mình

rằng © là một

tích vơ hướng trên khơng gian

vếc tơ thực P|x] và do đó (P|x], O) là một khơng gian véc tơ Ơclít

(n + 1) - chiều.

c*) Xét các đa thức pu(%), p,Œ), ..., p,Œ) sau đây (gọi là các

đa thức Legendre)

wie

bị)
... p6)
° = 1, ap6) =2 dx~ GẺ = 1), een
A =

OTcử 2ax fet]

(k= 1,..., n).

Chứng minh rằng các đa thức p,(x), ..., p,(x) 1A mot hệ

trực giao của khơng

gian véc tơ Ởclit nói trên, và do đó hệ

này là một cơ sở của (P[x], ©).

d*) Tính mơđun |[p¿@)|| (k =0,

..., n).

e) Giả sử sau khi trực giao hoá Gyam-—Schmidt co sé
{1, x, x’, ..., x"} ta được cơ sở trực giao tt, f,.... f.}. Chứng

minh rằng Í, = A¿p, và chỉ rõ giá trị A„ (A„ e R; k=0,... n).
Giải

a) Giả sử cho tổ hợp tuyến tính ao + a¡x + a,X? +... + a,x" = 0

(a, € R). Với
thành x(a, +
đa thức 0 nên
Lam tiếp tục

x = 0 ta
a,x +...
a; + a,x
như thé

được ao = 0
+ a,x"') =
+ a,x"! = 0.
ta duge a,

và đông nhất thức trên trở
0. Vì đa thức x khơng là
Lại cho x = 0 suy ra a, =0.
= a, = ... = a, = 0. Vay hé

véc td {1, x, ..., x"} déc lap tuyén tinh. Cho bat kif e P[x] thì

f c6 dang f(x) = a, + a,x +... + a,x?

(a; € R). Vay f 1a một

tổ hợp tuyến tính của các véc tở 1, x, ..., x".

Do đó hệ {1, x,.... x"} là một cơ sở cha P[x].
b) Chứng

212

minh hoàn tồn giống như ở ví dụ 2.


e) Cần chứng mình rằng với k # m thì

240. POD)= FP. GOP) dx =

Muốn

vậy ta dat u,,(x) = (x? — 1)". Co thể giả sử k < m,

và dễ dàng nhận thấy rằng đạo hàm

cấp k của u„(x) có

k

đó
dang Stig (8) = (x? - 1)g(œ) với g(x) là một đa thức nào

x

(0<

k
a*

hà

wo) =0, age

n). Do đó gar

với k< m ta được:

aD

=0. Suy ra
>

m

d u„() dx
——=
[xa

au

(x
"
= x* z —U,,

Vexou

dx

(kx

=—k fix" u,@) dx.
Vì

k-1
nên ápdụng

san

na.

kết quả vừa thu được lại suy ra
m-2

¬ u,,08) dx.
» fix? A

Cứ tiếp tục q trình đó sau k bước ta ave
m-k

m

fx" mẽ 0„@) dx =C pret [ =

u,,(x) dx
que

= (-1)*k! làn.)

m-k-1

=(CD*k!

dx

m-k-1

u„(x}

1

= 0.

213


Vi u(x) = &” - 1) 1a da thie bae 2k cla x nén dao ham
k

S16)
Xx

là đa thức bậc k của x. Do đó nó có dạng:
k

Ta 7 u(x)= Ayxt + Ay xk +... +A,

(với A,e R),

Suy ra
_

1

1

a‘

a™

2.09, Pa) = [oemGyr 4,00. ow Un GX
=

nhai fiat
k

++

an
Ao) Frm Un

dx

a"

mm TờA fxsau=ua09dx =0.
=0

4) lÌp,&)l|?=

vey dx
đề

" oan Í (= : v09 06,69].
Để tính tích phânở vế cuối ta tính trước các đại lượng sau:
(x)

du
ai 09)
d®

=m

_

ak

—

[œ?-

1|

[O?)*— CLG)? + CRF

= „. + (=1*]

d 2k

= a

œ3

= (2k)!

ia

Với 1< j, k, theo câu c) ta có T0)

it

= ou)

=0.


Do do:

Với ¡ và j bất kì ta có

,
0=(x- Dix +1) | = [[œ-Ð'%+ÐU]ax
4

1

Jdx
= Ï [i&-Df'œ+1' + j&-1)'@œ+1)”
Do đó [œ-Ð'œ+1'4x = =;Đ@=Ð"œ+ le

Bây giờ ta tính được

|p.C©Ï?= -

1

k0?

a"
p(d*
=f, [s55]


= crete[@œ-Ð*œ+1)*4x
-“ GnnarnLŒ~Ð
-(U*@k)!k

ka

(x+1)*"

— (-1)?(-1)*(2k)!k(k
- 1)

~

dx

k-2

ko

Fk) 2k + Dk +2) [,œ-Ð*?&+Ð*?

=

~ SCI

Vậy

ket

(-1)**(2k)!k!

+1)(k +2). ap hi

Ll

(«+i

1

2°**

(2k+1)

4

|lp.@|| =

+

2k

d

dx

2

g2k

2*Qk+ D-

2k+1°

V2k+1°
k

e) Theo

dinh

nghia

thức bậc k nén p,(x)€
hoá Gram-Schmiadt
hệ vée to {py

p„}

p,(x) =

Sx?

— 1)* thi p,(x) 1a da

(1, x, .... x"). Theo céng thtic true giao

ta cing c6 f, € (1, x, ..., x*). Mat khae cac
và

(,

... Í,¡ là những hệ trực giao nên


(theo vi du 3) {=
nhu

Ap,

(k = 0. .., u) véi Awe

R. Ta tinh A,

sau:

“Theo cơng thức (rực giao hố Gram-Sehmidt

_ 9đ; xy

OG, f)

@&>1)

=

Ea

thì f,=1,.

8) xkl g xk

OL Fea)

Vậy f, là đa thức bậc k mà hệ số bậc k (k > 0) là 1.
Theo định nghĩa, pạ(x) = 1,

1_

Đu@Œ) = aul

at

dak & ~

id

= si1 deat [x*— Cx? -2 + Cx

—

+ (-)*]

“gim| 2kGk~ 1) ..Œ+1)x*— 2k -2)@k -3)... &-)Cix**4...]
(véi k = 1). Vay p, (vdi k > 1) là đa thức bậc k mà hệ số bậc k là

2kŒ2k~1).. +1) _ (@k)!
2*k!

2*(k!??

còn pọ là đa thức bậc 0 với hệ số là 1, trong đó có thể viết

— 2.0)! _ (2k)!
2509?
FAH

(với k = 0).

Vi f(x) = ^,p,Œœ) đúng với mọi x nên ^¿ là tỉ số giữa hai hệ
số bậc k của f, và của py, tức là

(2k)!

(k = 0. 1, ..., n).


Ví

dụ

ð. Trong

khơng

gian véc tơ Ởclit

E

cho

một

hệ

véc tơ trực chuẩn {ể,,..., „}. Với véc tơ bất kì š e B đặt
x, = ¥ @,. Ching minh rang

và

dấu

bằng

đạt

được

khi

và

chỉ

khi

š

e

,,

5 6,).

(Bất đẳng thức nói trên gọi là bất đẳng thức Bessel]).
Giải

Do

tính

m

xác

(@— S)x;ẽ,)?>

Vậy

định

0 và

dương

dấu

của

bằng

đạt

°?+ (3 x,;ẽ,)”- 2š
i=

isl

tích
được

vơ
khi

hướng
và

x/ẽ,> 0 hay +

ta có
chỉ khi

xi?
isl

2° x,(#6,)2 0, hay ¥’— )’xi?> 0 (vì hệ {ể,, ... ể„} trực
il

i

chuan va x,= 3Ÿ 8,).

Nghĩa là š? > Šˆx?. Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi
id

š

c

(,,...e€„).

Ngược

lại

nếu

X= kiể,+...+ kuếu„, do đó xị= X ể, =due

tức là x =>'x,6)).
it

Ẩ

e oe

sánh

k„ể„)€;=


Ví

dụ

6. Trong

khơng

gian

véc

tơ Ơclit

Ẹ cho cơ sở trực

chuẩn (6,,.... é„) và véc tơ đơn vị ä. Gọi œ là góc giữa d va ẻ,.

Chứng

minh

rằng

ä = (cosơ,)ẻ,

+...

+ (cosơ,)€, và suy ra

cosœ; +... + cosơ, = 1.
Giải

Giả sử đã biểu thị á =a,ẻ,+...+ a,6„ thì cosœ, =

= äẽ,= (auẽ, + ... + ayẽ,)ẽ, = a,(vì {ế,, .. ế„} là hệ trực

. 4 =
viét laidude
Vậyẩn)
chu
1 = a?=a/+...+a,?nén

(cosa,)é,+

..

+

(cosa,)é,.

Vì

1 =cos’a,+ ... + cos’a, «

Vi du 7. Trong không gian véc tơ Gclit E” cho một không

gian con W mà #e W khi và chỉ khi ẩ có'toạ độ trực chuẩn
(x¡, ..., x„) thoả mãn hệ phương trình tuyến tinh

aX,

Đặt

ä¿,....

+...

+ a,x,

= 0

ä„ là những véc tơ có toạ độ trực chuẩn

(theo

cơ sở trực chuẩn đang xét) như sau: ã; = (8, .... Am) , -.2
A= (Amis ‹-› Amn)‹

Chứng minh rằng W= <ä;,..., ä „>:
Giải

Hệ phương trình đã cho có thể viết dưới dạng {ä¡X = 0,
wy A,X =O}.

Vậy W=tš e E [š Lấy... X1 ẩm,