Giáo trình tcc2 (1)

Chương 2. HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ
Ở những chương trước, chúng ta đã nghiên cứu hàm y = f(x) với x là
biến số và gọi là hàm một biến. Tuy nhiên trong thực tế, ta thường gặp một
đại lượng biến thiên không chỉ phụ thuộc vào một mà vào hai hay nhiều đại
lượng biến thiên khác. Từ yêu cầu đó, địi hỏi chúng ta phải nghiên cứu hàm
nhiều biến số.
Nói chung việc nghiên cứu hàm nhiều biến khá phức tạp, nên ở chương
này chỉ dừng lại nghiên cứu hàm hai biến, song từ việc nghiên cứu hàm hai
biến ta có thể mở rộng cho hàm nhiều biến.
Đan xen với các nội dung tốn học, chúng tơi đưa ra một số mơ hình
đơn giản sử dụng tốn học trong kinh tế, với mục đích giúp sinh viên làm
quen với việc sử dụng cơng cụ tốn học trong phân tích kinh tế
6.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
6.1.1. Định nghĩa
Cho D là một tập con của mặt phẳng xOy.
Một qui tắc đặt tương ứng mỗi điểm M(x, y) D với một và chỉ một số thực
z=f(x,y)
f: D  R
(x,y)  z = f ( x, y )
được gọi là một hàm số hai biến số xác định trên D.
Trong đó: + D gọi là miền xác định của hàm số z = f ( x, y )
+ x, y là các biến độc lập
+ z = f ( x, y ) hay z = f (M ) được gọi là giá trị của hàm số tại điểm
M(x,y)
Ví dụ :
1. z = 1 − x 2 − y 2
2. z = arcsin( x − y + 1)
là các hàm số hai biến x và y
6.1.2. Miền xác định của hàm số hai biến số

287

a. Tập hợp trong không gian R2
Định nghĩa: Trong không gian vectơ 2 chiều
R 2 =  M ( x, y ) x, y  R



Khoảng cách giữa hai điểm M(x1,y1) và N(x2,y2), ký hiệu là d(M,N), được xác
định theo công thức:
d ( M , N ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

•

Hình cầu tâm Mo, bán kính r ( r > 0) trong R2, kí hiệu là S(M0,r):



S (M 0 , r ) = M  R 2 d (M , M 0 )  r



S(M0, r) còn được gọi là r lân cận của điểm Mo
• Mọi tập con của R2 chứa một r - lân cận của điểm M0 được gọi là một
lân cận của điểm M là điểm trong của D nếu tồn tại một r lân cận nào đó của
M nằm hồn tồn trong D
• D là tập mở nếu mọi điểm của D đều là điểm trong của D
• M là điểm biên của D nếu mọi r lân cận của M vừa chứa điểm thuộc D
vừa chứa điểm không thuộc D. Tập tất cả các điểm biên của D gọi là
biên của D.

• Tập D được gọi là đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó.
Ví dụ :



+ D = M  R 2 d (M , M 0 )  r

 là tập mở và được gọi là hình cầu mở tâm

M0 bán kính r

+ L = M  R 2 d ( M , M 0 )  r là tập đóng và được gọi là hình cầu đóng tâm M0
bán kính r
b. Miền xác định của hàm số hai biến số
Cho hàm số z = f ( x, y ) . Miền xác định của z là tập hợp tất cả các cặp

( x, y )  R 2 làm cho biểu thức f ( x, y) có nghĩa và được ký hiệu là Df

288


Quy ước: Nếu hàm số được cho bởi biểu thức z = f ( x, y) = f ( M ) mà
khơng nói gì thêm về miền xác định của hàm số thì ta hiểu miền xác định của
z là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa, hay
Df = { M(x, y)  R2| biểu thức z = f ( x, y ) có nghĩa}
Ví dụ 1: Hàm số z = x 2 + y 2 được xác định với ( x, y )  R 2
Ví dụ 2: Hàm số z = y − x được xác định trong miền



 



D = ( x, y )  R 2 y − x  0 = ( x, y )  R 2 y  x

là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng y = x , kể cả đường thẳng này (Hình 6.1)
Ví dụ 3: Hàm số z = R 2 − x 2 − y 2 được xác định trong miền



 

D = ( x, y )  R 2 R 2 − x 2 − y 2  0 = ( x , y )  R 2 x 2 + y 2  R 2

là hình cầu đóng tâm O, bán kính R (Hình 6.2)

289




c. Miền giá trị và đồ thị của hàm số hai biến số
+ Miền giá trị của hàm số z = f ( x, y ) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số
khi M ( x, y) thay đổi trong miền xác định, ký hiệu Df , và
D f =  z = f ( x, y ) ( x, y )  D

Ví dụ 1: Cho hàm số z = x 2 + y 2 . Giá trị của hàm số tại các điểm M0(0;0);
M1(4;3) là: z0 = f (0, 0) = 02 + 02 = 0 ; z1 = f (4,3) = 16 + 9 = 5
Ví dụ 2: Hàm số z = x 2 + y 2 có miền giá trị là: D f = 0; + )

Ví dụ 3: Hàm số z = sin( x2 + y 2 ) có miền giá trị là D f =  −1;1
+ Đồ thị của hàm hai biến
Trên hệ trục tọa độ Oxyz, tập hợp tất cả các điểm có tọa độ ( x, y, z ) với
(x, y)  D

và z  D f gọi là đồ thị của hàm hai biến z = f ( x, y )

Nói chung đồ thị của hàm số z = f ( x, y ) tạo thành một mặt S nào đó trong
khơng gian ba chiều Oxyz.
Ví dụ 4: Đồ thị của hàm số: z = R 2 − x 2 − y 2 là nửa mặt cầu nằm phía trên mặt
phẳng xOy (Hình 6.3)

d. Đường mức
Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định trên miền D và z0 là một giá trị cố định
cho trước của hàm số.

290


Định nghĩa 6.2. Đường mức của hàm số z = f ( x, y ) là tập hợp tất cả các điểm
M ( x, y)

thỏa mãn điều kiện f(x, y) = z0

Ví dụ 1: Cho hàm số z = 3x + 2 y
Các đường mức của hàm số ứng với các giá trị z0 = −2 ; z0 = 0 ; z0 = 2 lần lượt
là

3x + 2 y = −2; 3x + 2 y = 0; 3x + 2 y = 2

(Hình 6.4)

Ví dụ 2: Hãy viết phương trình đường mức đi qua điểm A(0,1) của hàm số
z=

x2 + y 2
2x + 6 y

Giá trị của hàm số tại điểm A(0,1) là: z0 = f (0,1) =

02 + 12
1
=
2.0 + 6.1 6

Phương trình đường mức của hàm số tại giá trị z0 =

1
là:
6

x2 + y 2 1
1
1
10
=  6 x 2 + 6 y 2 − 2 x − 6 y = 0  ( x − ) 2 + (y− ) 2 =
2x + 6 y 6
6
2
36

1
6

1 1
6 2

Vậy đường mức của hàm số tại giá trị z0 = là đường tròn tâm I ( ; ) và bán
kính R =

6.2.

10
6

GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ

6.2.1. Giới hạn của hàm hai biến số

291


a. Giới hạn của dãy điểm trong mặt phẳng:
Cho dãy điểm {Mn(xn,yn)}  D ( với D  R 2 ). Ta nói dãy điểm {Mn} hội tụ
tới M0 khi n →  nếu lim
d (M n , M 0 ) = 0
n →
Kí hiệu: lim
M n = M 0 hay M n → M 0 khi n → 
n →

 x → x0
Nhận xét: M n → M 0  d ( M n , M 0 ) = ( xn − x0 )2 + ( ym − y0 )2 → 0   n
 yn → y0
Như vậy, sự hội tụ của dãy điểm trong không gian R2 chính là sự hội tụ
theo tọa độ.
1 n 
Ví dụ 1: Cho dãy điểm M n ( ;
)  . Tìm lim M n
n →


n n +1 

1
n

Ta có: lim
xn = lim = 0 và lim yn = lim
n →
n →
n →
n →
Vậy

dãy

n
=1
n +1

M n  hội tụ về điểm

điểm

M (0,1)

khi

n→

hay

1 n
lim M n ( ;
) = M (0,1)
n →
n n +1

3 2n − 1 
Ví dụ 2: Cho dãy điểm M n ( ;
)  .Tìm lim M n
n →


n n +1 

3
n

Ta có: lim

xn = lim = 0 và lim yn = lim
n →
n →
n →
n →

2n − 1
=2
n +1

Vậy dãy điểm M n  hội tụ về điểm M (0, 2)
b. Giới hạn của hàm số hai biến số.
Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D  R 2 , M0 R 2 , M n ( xn , yn ) là
một dãy điểm trong miền D. Theo quy luật của hàm số z = f (x,y), ứng với
mỗi dãy điểm
M1 ( x1 , y1 ) ; M 2 ( x2 , y2 ) ;…; M n ( xn , yn ) ;… (1)

cho tương ứng với một dãy số
z1 = f (M1 ) ; z2 = f (M 2 ) ; …; zn = f (M n ) ;… (2)

Khi đó, dãy số (2) được gọi là dãy các giá trị của hàm z tương tứng với
dãy điểm (1) lấy từ miền xác định D.

292


Định nghĩa 6.4. Nếu với mọi dãy điểm (1) lấy từ miền xác định D M 0 ( x0 , y0 )
của hàm số z = f ( x, y ) và hội tụ tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) , mà dãy số (2) tương ứng
luôn ln có giới hạn L thì số L được gọi là giới hạn của hàm số đã cho khi
M → M 0 hay ( x, y) → ( x0 , y0 ) và ký hiệu:

lim f ( x, y ) = L hay lim f (M ) = L
M →M 0

x → x0
y → y0

Cũng như khi xét giới hạn của hàm số một biến, có thể chứng minh rằng
định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau:
Định nghĩa 6.5. Hằng số L được gọi là giới hạn của hàm số z = f ( x, y ) khi
(x, y) → (x 0 , y0 ) nếu với mọi   0 bé tùy ý cho trước, đều tồn tại số   0 sao

cho 0  x − x0   và 0  y − y0   thì f ( x, y) − L  
Chú ý:
- Khái niệm giới hạn vô hạn cho hàm hai biến cũng được định nghĩa tương tự
như đối với hàm một biến.
- Việc chứng minh các định lý sau về giới hạn của tổng, tích, thương đối với
các hàm số hai biến cũng tương tự như khi chứng minh cho hàm một biến
f ( x, y ) = m và lim g (x, y) = n thì:
Định lý 1: Nếu lim
x→a
x→a
y →b

y →b

+ lim  f ( x, y )  g (x, y) = lim f ( x, y )  lim g (x, y) = m  n
x →a
x→a
x →a
y →b

y →b

y →b

+ lim  f ( x, y ).g (x, y) = lim f ( x, y ).lim g (x, y) = m.n
x→a
x →a
x →a
y →b

y →b

y →b

lim f ( x, y )

+ lim
x →a
y →b

a
f ( x, y ) xy→
m
→b
=
=
g (x, y) lim g (x, y) n

với (n  0)

x →a
y →b

Định lý 6.2. (Nguyên lý kẹp) Giả sử g ( x, y)  f ( x, y)  h( x, y) với ( x, y) thuộc
lân cận của điểm M(x0,y0) và

lim g (x, y) = lim h( x, y ) = L .

x → x0
y → y0

lim f ( x, y ) = L

x → x0
y → y0

293

x → x0
y → y0

Khi đó:


lim( x 2 − 2 x + y 2 − 6 y + 4)

Ví dụ 1: Tìm giới hạn

x →1

y →3

Giải:
+ Tập xác định của hàm số f ( x, y) = ( x2 − 2 x + y 2 − 6 y + 4) là R2
+ Với mọi dãy điểm M n ( xn , yn ) hội tụ đến điểm M 0 (1,3) , ta ln có:
d = d (M n , M 0 ) = ( xn − 1)2 + ( yn − 3)2 → 0 khi n → 

+ Do đó:
lim f ( M n ) = lim( xn 2 − 2 xn + yn 2 − 6 yn + 4)
x →1
y →3

x →1
y →3

= lim ( xn − 1) 2 + ( yn − 3) 2 − 6  = lim(d 2 − 6) = −6
x →1
y →3

d →0

Vậy theo định nghĩa 6.4 ta có lim( x 2 − 2 x + y 2 − 6 y + 4) = - 6
x →1
y →3

Ví dụ 2: Tìm giới hạn lim
x →0
y →0

x2 + y 2

x2 + y 2 + 1 −1

Giải.
+ Hàm số f ( x, y) =

x2 + y 2
x2 + y 2 + 1 −1

không xác định tại điểm O(0, 0)

+ Với mọi dãy điểm M n ( xn , yn ) hội tụ đến điểm M 0 (0,0) , ta ln có:
d = d (M n , M 0 ) = ( xn − 0)2 + ( yn − 0)2 = xn 2 + yn 2 → 0 khi n → 

+ Do đó:
xn 2 + yn 2

d ( d 2 + 1 + 1)
lim f ( M n ) = lim
= lim
= lim
= lim( d 2 + 1 + 1) = 2
2
2
2
2
x →0
x →0
d →0
d →0
d →0

(d + 1) − 1
xn + yn + 1 − 1
d +1 −1
y →0
y →0

Vậy lim
x →0
y →0

x2 + y 2
x2 + y 2 + 1 − 1

Ví dụ 3: Giới hạn lim
x →0
y →0

d2

=2

2 xy
có tồn tại hay khơng?
x + y2
2

Giải.

294

Giới hạn này khơng tồn tại vì xét hai dãy điểm cùng hội tụ đến O(0, 0)

( xn , yn ) = (

1 1 
; )  → (0, 0) khi n → 
 n n 

( x 'n , y 'n ) = (

1 1 
; 2 )  → (0, 0) khi n → 
 n n 

nhưng các dãy giá trị tương ứng của hàm số lại hội tụ đến hai giá trị khác
nhau
1 1
1
2. .
2. 2
f ( xn , yn ) = n n = n → 1 khi n → 
1 1
1
+ 2 2. 2
2
n n
n
1 1
2

2. . 2
3
f ( x 'n , y 'n ) = n n = n
→ 0 khi n → 
1 1
1 1
+
+
n2 n4 n2 n4

Ví dụ 4: Tìm giới hạn lim
x →0
y →0

x3 + 2 y 3
x2 + y 2

Giải.
+Hàm số f ( x, y ) =
+ Ta có:

0

x3 + 2 y 3
không xác định tại điểm O(0, 0) .
x2 + y 2

x3 + 2 y 3
x3
2 y3


+
 x + 2 y ; x  0, y  0.
x2 + y 2
x2 + y 2 x2 + y 2

x3 + 2 y 3
+ Vì lim( x + 2 y ) = 0 nên theo định lí 6.2 (nguyên lý kẹp) ta có lim 2 2 = 0
x →0
x →0 x + y
y →0
y →0

Vậy lim
x →0
y →0

x3 + 2 y 3
=0
x2 + y 2

c. Các giới hạn lặp
Giới hạn theo định nghĩa trên được gọi là giới hạn bội hoặc giới hạn kép
(các quá trình x → x0 và y → y0 diễn ra đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau).
Ngồi giới hạn kép, ta có thể xét các giới hạn lặp theo cách thức sau:

295


+ Với y  y0 cố định y, ta tính trước giới hạn lim f ( x, y) =  ( y) , sau đó tính

x→ x
0

giới hạn lim  ( y) = E
y → y0

Trong trường hợp này, ta viết: lim lim f ( x, y) = E
y → y0 x → x0

Tương tự, ký hiệu lim lim f ( x, y) = F
x → x0 y → y0

Có nghĩa: lim f ( x, y) =  ( x) và lim  ( x) = F
y → y0

x → x0

Nói chung, giới hạn kép L và các giới hạn lặp E, F là các giới hạn có giá trị
khác nhau, thậm chí các giới hạn lặp E và F cũng có thể khác nhau.
Ví dụ: Cho hàm số f ( x, y) =

x− y
x+ y

+ Khi ( x, y) → (0, 0) hàm số trên khơng có giới hạn kép
Thật vậy: Xét hai dãy điểm ( xn , yn ) = ( ; )  và ( x 'n , y 'n ) = ( ; ) 
1 1
 n n 

2 1

 n n 

đều hội tụ đến điểm O(0, 0) khi n →  , trong khi đó các dãy giá trị tương ứng
của hàm số lại hội tụ tới những giới hạn khác nhau
1 1
−
f ( xn , yn ) = n n → 0 khi n →  và f ( x 'n , y 'n ) =
1 1
+
n n

2 1 1
−
n n = n → 1 khi n → 
2 1 3
3
+
n n n

f ( x, y ) khơng tồn tại
Do đó: lim
x →0
y →0

+ Các giới hạn lặp tồn tại nhưng có giá trị khác nhau
E = lim(lim f ( x, y)) = lim(lim
y →0 x →0

y →0 x →0

x− y
−y
) = lim
= −1
y →0 y
x+ y

F = lim (lim f ( x, y )) = lim (lim
x →0 y →0

x →0 y →0

x− y
x
) = lim = 1
x
→
0
x+ y
x

6.2.2. Tính liên tục của hàm hai biến số
a. Các định nghĩa về tính liên tục
Định nghĩa 6.4. Hàm số z = f ( x, y ) được gọi là liên tục điểm (x 0 , y0 )  D nếu:
lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )

x → x0
y → y0

296

và điểm (x 0 , y0 ) gọi là điểm liên tục của hàm số
Ví dụ: Hàm số z = 3x2 + 2 xy + y 2 liên tục tại M (1,1) vì
lim(3x 2 + 2 xy + y 2 ) = 6 = f (1,1)
x →1
y →1

Nhận xét: Cũng như đối với hàm một biến, để xét tính liên tục của hàm số hai
biến tại M (x 0 , y0 ) , chúng ta phải kiểm tra ba điều kiện sau:
• Hàm số xác định tại (x 0 , y0 )
• Tồn tại giới hạn xlim
f ( x, y ) = b
→x
0

y → y0

• b = f (x 0 , y0 )
Định nghĩa 6.5. Hàm số z = f ( x, y ) được gọi là liên tục trên miền D nếu nó
liên tục tại mọi điểm (x 0 , y0 )  D
Định nghĩa 6.6. Nếu tại điểm (x 0 , y0 ) hàm số z = f ( x, y ) khơng liên tục thì
hàm f ( x, y) gọi là gián đoạn tại (x 0 , y0 ) và điểm (x 0 , y0 ) gọi là điểm gián đoạn
của hàm số
b. Các phép tính về hàm liên tục
Nếu các hàm f ( x, y) và g ( x, y) liên tục tại điểm (x 0 , y0 ) thì:
•

f ( x, y)  g (x, y)

•

f ( x, y ).g (x, y)

•

liên tục tại (x 0 , y0 )

liên tục tại (x 0 , y0 )

f ( x, y )
liên tục tại (x 0 , y0 ) (với g ( x0 , y0 )  0 )
g (x, y)

 xy 
Ví dụ: Khảo sát tính liên tục của hàm số f ( x, y ) =  x 2 + y 2

0

khi ( x, y )  (0, 0)
khi ( x, y ) = (0, 0)

trong đó α là một hằng số dương.
Giải:
Hàm f ( x, y) liên tục tại mọi điểm ( x, y )  (0, 0) vì là thương của hai hàm
liên tục mà mẫu khác 0

297

Xét tại điểm O (0, 0)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
xy 

1 2
1
( x + y 2 ) → f ( x, y )   ( x 2 + y 2 ) −1
2
2

Do đó:
• Nếu   1 thì

lim

( x , y )→(0,0)

f ( x, y) = 0 , vậy f ( x, y) liên tục tại O (0, 0)

• Nếu   1, ta có: f ( x, x) =

x 2
1
= 2(1− ) không dần tới 0 khi x → 0 , suy ra
2
2x
2x

hàm f ( x, y) không liên tục tại O (0, 0)
6.3. Đạo hàm và vi phân

6.3.1. Đạo hàm riêng
a. Định nghĩa.
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong một miền D, M0 (x0, y0) là một điểm
của D
+Cố định y = y0 và cho x một số gia ∆x thì số gia theo biến x của hàm số
tương ứng là:
∆xz = f (x0 + ∆x, y0 ) – f(x0,y0)

f (x 0 + x, y0 ) − f (x 0 , y0 )
xz
= lim
tồn tại giới hạn thì giới hạn
x
x →0 x
x →0
đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số z theo biến x tại điểm M0 (x0, y0)
Nếu lim

và kí hiệu là: f 'x (x 0 , y0 ) ,

f
z
(x 0 , y0 ) ,
(x 0 , y0 ) hay z'x (x 0 , y0 )
x
x

+ Tương tự, đạo hàm riêng của hàm số z = f(x,y) theo biến y tại điểm M0 (x0,
y0)
là giới hạn (nếu có) của tỷ số lim

y →0

và kí hiệu là: f ' y (x 0 , y0 ) ,

 yz
y

= lim

y →0

f (y0, y0 + y) − f (x 0 , y0 )
y

f
z
(x 0 , y0 ) ,
(x 0 , y0 ) hay z 'y (x 0 , y0 )
y
y

b. Cách tính đạo hàm riêng

298


• Để tìm đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến x tại điểm M0 (x0,
y0) , ta coi y như hằng số và lấy đạo hàm như hàm số một biến đối với
biến x.

• Để tìm đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến y tại điểm M0 (x0,
y0) , ta coi x như hằng số và lấy đạo hàm như hàm số một biến đối với
biến y.
Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng của hàm số z = 5x2 + 2xy2 - 7y2 + 1
Ta có

z’x = 10x + 2y2
z’y = 4xy – 14y2

Ví dụ 2: Tính z’x và z’y tại điểm M(1, 2) của hàm số z = 3 x2y3 + x+ y
z’x = 6 xy3 +1  z’x(1, 2) = 6.1.8 + 1 = 49

Ta có

z’y = 9 xy2 + 1 

z’y(1, 2) = 9.1.4 + 1 = 37

Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng của hàm số z = xy (x > 0)
Ta có :

z’x = y. x y −1
zy’ = xy.ln x

c. Đạo hàm riêng của hàm số hợp
Qui tắc 1:
Cho hàm số z =f (u, v) là hàm hai biến khả vi,với u= u(x), v = v(x) là các
hàm khả vi. Khi đó:

z f f u f v

=
= . + . = f u' (u, v).u 'x (x) + f v' (u, x).v'x (x)
x x u x v x
z f
=
= f x' (x, y) + f y' (x, y).y'x
Đặc biệt nếu z =f (x, y) và y = (y) thì x x
Qui tắc 2:
Cho hàm số z =f (u, v) trong đó u, v lại là các hàm số của hai biến x và y :
u = u(x, y), v = v(x, y). Khi đó:

299


z f f u f v
=
= . + . = f u' (u, v).u 'x (x, y) + f v' (u, x).v 'x (x, y)
x x u x v x
z f f u f v
=
= . + . = f u' (u, v).u 'y (x, y) + f v' (u, v).v 'y (x, y)
y y u y v y

Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số hợp sau
f(u, v) = ln(u2 + v2), u = x+y, v = xy
Giải. Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có
f f u f v
2u
2v
=

. + . = 2
.1 + 2
.y
2
x u x v x u + v
u + v2

=

2( x + y )
2( xy)
2( x + y + xy 2 )
+
.
y
=
( x + y ) 2 + ( xy) 2 ( x + y ) 2 + ( xy) 2
( x + y ) 2 + ( xy) 2

Tương tự, ta có
f f u f v
2u
2v
=
.
+ . = 2
.1 + 2
.x
2
y u y v y u + v

u + v2

=

2( x + y )
2( xy)
2( x + y + x 2 y )
+
.
x
=
( x + y ) 2 + ( xy) 2 ( x + y ) 2 + ( xy) 2
( x + y ) 2 + ( xy) 2

6.3.2. Vi phân toàn phần
Nếu hàm số z = f( x,y ) xác định trong miền D.
Lấy các điểm: M0( x0, y0); M(x 0 + x; y0 + y) thuộc miền D.
Biểu thức z = f (x 0 + x; y0 + y) − f (x 0 , y0 ) được gọi là số gia toàn phần
của hàm số z = f( x,y ).
Định nghĩa 6.6. Nếu số gia z biểu diễn dưới dạng:

z = A.x + B.y + x + y
trong đó A, B chỉ phụ thuộc vào điểm M0( x0, y0) còn ,  là các số vô cùng bé
khi M → M0 , tức là x → 0, y → 0 thì ta nói hàm số z khả vi tại M0( x0, y0)
và biểu thức:

300


dz = df = A.x + B.y

được gọi là vi phân toàn phần của hàm số z = f( x,y ) tại điểm M0
Định nghĩa 6.7. Hàm số z = f( x,y ) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó
khả vi tại mọi điểm của miền D
Định lý 6.3. Nếu tại điểm M( x ,y ) hàm z = f( x,y ) có các đạo hàm riêng liên
tục thì ta nói rằng hàm z = f( x,y ) khả vi tại M( x, y ) và biểu thức
dz = f x' (x, y).x + f y' (x, y).y = f x' (x, y).dx+f y' (x,y).dy

được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại ( x,y )
Ví dụ: Tính vi phân tồn phần của hàm số z = ln(x + y2 )
Ta có: z'x =
Vậy dz =

1
x+y
1

x+y

; z'y =
2

dx +
2

2y
x+y

2

2y

x + y2
dy

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy hàm hai biến số z = f( x,y ) có các đạo hàm
riêng tại một điểm thì chưa chắc khả vi tại điểm đó, mà chỉ khi có đạo hàm
riêng liên tục thì hàm số mới khả vi. Ngược lại, một hàm 2 biến số khả vi tại
một điểm thì có các đạo hàm riêng tại điểm đó. Vì vậy, đối với hàm 2 biến,
khái niệm hàm số khả vi và hàm số có đạo hàm riêng là không tương đương.
Đây là điểm khác nhau căn bản của hàm số hai biến số so với hàm một biến
số.
6.3.3. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao.
a. Đạo hàm riêng cấp cao
Cho hàm số z =f( x, y), các đạo hàm riêng z’x, z’y được gọi là các đạo hàm
riêng cấp một của hàm số z =f( x, y).
Nói chung các đạo hàm riêng( nếu tồn tại) này lại là các hàm số của hai biến
số x và y. Nếu các hàm số này có đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đó
được gọi các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z.

301


Khi đó ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z và được kí hiệu như là:
 z  2 z
 z
2 z
 z
2z
''
''
( ) = 2 = zx ;

( )=
= z xy ;
( )=
= zyx'' ;
x x x
y x xy
x y yx
2

 z
2 z
( ) = 2 = z y''
y y y

2

Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = x2y + y2
Các đạo hàm riêng cấp một của hàm số z là:

z 'x =

z
z
= 2 xy ; z ' y = = x 2 + 2 y
x
y

Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z là:
2 z
z ''x = 2 = 2 y ;

x
2

2 z
2 z
2 z
z ''xy =
= 2 x; z '' yx =
= 2 x ; z '' y = 2 = 2
xy
y
xy
2

x
2 z 2 z
Ví dụ 2: Cho hàm số z = arctan y chứng minh rằng: x 2 + y 2 = 0
Các đạo hàm riêng cấp một của hàm số z là:

z 'x =

z
y
z
−x
= 2
z 'y = = 2
2 ;
x x + y
y x + y 2

Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z là:

2 z
−2 xy
=
x 2 x 2 + y 2

;

2 z
2 xy
=
y 2 x 2 + y 2

2 z 2 z
Vậy x 2 + y 2 = 0
Tương tự như trên ta có: đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai được
gọi là các đạo hàm riêng cấp 3, đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp (n-1)
được gọi là đạo hàm riêng cấp n của hàm số z = f(x,y).
Định lí 6.4.(Schwarz). Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0,y0)
hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng f’’xy, f’’yx và nếu các đạo hàm ấy liên
tục tại M0 thì f’’xy = f’’yx tại M0

302


Trong giáo trình này chúng ta chỉ dừng lại nghiên cứu các hàm số thỏa mãn
định lí trên.
b. Vi phân cấp cao.

Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi tại điểm (x, y) thì
dz = z’xdx + z’ydy
được gọi là vi phân toàn phần cấp một của hàm số z. Vi phân toàn phần của vi
phân toàn phần cấp một dz nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai
của z, kí hiệu là d2z và được tính theo cơng thức:

d 2 z = d (dz ) = d ( f 'x dx + f ' y dy) = f''x dx 2 + 2f''xydxdy+ f''y d y 2
2

2

Tổng quát, ta định nghĩa được vi phân toàn phần cấp n (n ≥ 2) của hàm số
z = f(x,y) như sau: dnz= d(dn-1z)
Ví dụ: Tính vi phân cấp hai d2z của hàm số z = exsiny
Các đạo hàm riêng cấp một của hàm số z là:

z 'x =e x sin y ;

z ' y = e x cosy

Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z là:
z ''x = e x sin y ; z ''xy = e x cosy ; z '' y = −e x sin y
2

2

Vậy vi phân toàn phần cấp hai của hàm số là:

d 2 z = e x sin ydx 2 + 2e xcosydxdy - e x sin ydy 2
= e x (sin ydx 2 + 2cosydxdy-sin ydy 2 )

6.4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ
6.4.1. Định nghĩa
Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D, M0(x0,y0) thuộc D
+ Hàm số z = f ( x, y ) gọi là đạt cực đại tại điểm M0(x0,y0) nếu với mọi điểm
M ( x, y ) thuộc lân cận của điểm M0(x0,y0), ta có:
f

( x , y )  f ( x, y )
0

0

303


+ Hàm số z = f ( x, y ) gọi là đạt cực tiểu tại điểm M0(x0,y0) nếu với mọi điểm
M ( x, y ) thuộc lân cận của điểm M0(x0,y0), ta có:
f

( x , y )  f ( x, y )
0

0

Giá trị cực đại, cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số. Điểm M mà tại
đó hàm số đạt cực trị được gọi là điểm cực trị.
6.4.2. Điều kiện cần của cực trị
Định lý 6.10. Nếu hàm số z = f ( x, y ) đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0) mà tại đó
các đạo hàm riêng cấp một

f f
; tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng
x y

không
 f
 x ( x0 , y0 ) = 0

 f ( x0 , y0 ) = 0
 y

(6.1)

Điểm M0 thỏa mãn điều kiện (6.1) được gọi là điểm dừng của hàm số
z = f ( x, y ) .

Biểu thức (6.1) là điều kiện cần của cực trị, nó cho phép chúng ta thu hẹp
việc tìm cực trị tại những điểm dừng hoặc những điểm ở đó các đạo hàm
riêng bậc nhất của hàm số không tồn tại.Tuy nhiên, đây là điều kiện cần, chưa
phải là điều kiện đủ. Điều kiện đủ nêu dưới đây cho phép ta kiểm tra tại điểm
dừng hàm số có thật sự đạt cực trị hay khơng.
6.4.3. Điều kiện đủ của cực trị.
Định lý 6.11. Giả sử điểm M0(x0,y0) là điểm dừng của hàm số z = f ( x, y ) , các
đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm M0 , kí hiệu là:
A=

2 z
2 z
2 z
(

x
,
y
);
B
=
(
x
,
y
);
C
=
( x0 , y0 )
0
0
0
0
x 2
xy
y 2

khi đó:
+ Nếu AC – B2 > 0 thì hàm số đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0)
• M0(x0,y0) là điểm cực đại nếu A < 0

304


• M0(x0,y0) là điểm cực tiểu nếu A > 0

+ Nếu AC – B2 < 0 thì hàm số khơng đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0)
+ Nếu AC – B2 = 0 thì chưa thể kết luận được tại điểm M0(x0,y0) hàm số có
đạt cực trị hay khơng. (Trong trường hợp này ta phải dùng trực tiếp định
nghĩa để kiểm tra).
Từ định lí trên, ta có qui tắc tìm cực trị của hàm số z = f ( x, y ) như sau:
Bước 1: Tìm miền xác định và tọa độ các điểm dừng của hàm số z = f ( x, y )
Bước 2: Tính giá trị các đạo hàm riêng cấp 2 tại các điểm dừng và biểu thức
AC –B2
Bước 3:
 AC − B 2  0
thì hàm số đạt cực đại tại điểm dừng
 A0

• Nếu 

 AC − B 2  0
• Nếu 
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm dừn
 A0

• Nếu AC − B 2  0 thì hàm số khơng đạt cực trị tại điểm dừng
• Nếu AC − B 2 = 0 thì chưa kết luận được về tính cực trị (trong trường hợp
này thường dùng trực tiếp định nghĩa để kiểm tra).
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 − 9 xy
Giải: Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình
 f
 x = 0
3x 2 − 9 y = 0
 2
 f

3 y − 9 x = 0
 =0
 y

Giải hệ phương trình, ta tìm được tọa độ của 2 điểm dừng M1 ( 3;3) ; M 2 ( 0;0 )
Các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số
+ Xét tại điểm M1 ( 3;3) ta có: A =

2 z
2 z
2 z
=
6
x;
=
−
9;
= 6y
x 2
xy
y 2

2 z
2 z
2 z
(3,3) = 18; B =
(3,3) = −9; C = 2 (3,3) = 18
x 2
xy
y

305


 AC − B 2 = 18.18 − 81 = 243  0

 A = 18  0

Vậy điểm M1 ( 3;3) là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu của hàm số là: zmin = −27
2 z
2 z
2 z
(0, 0) = −9; C = 2 (0, 0) = 0
+ Xét tại điểm M 2 ( 0;0 ) ta có: A = 2 (0, 0) = 0; B =
x
xy
y
 AC − B 2 = 0 − 81 = −81  0

Vậy tại điểm M 2 ( 0;0 ) hàm số khơng đạt cực trị.
Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số z = y + 2ex − e y − e2 x
Giải. Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình
 f
=0
1


2e − 2e2 x = 0
 x
x =



2
 f
y
 1− e = 0
 =0
 y = 0

 y

Giải hệ phương trình, ta tìm được tọa độ của 1 điểm dừng là M  ;0 
2
1



Các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số là:



2 z
2 z
2 z
2 z
2x
=
−
4
e

;
=
=
0;
= −e y
2
2
x
xy yx
y

Tại điểm M  ;0  ta có:
2
1



A=



 AC − B 2 = 4e  0
2 z 1
2 z 1
2 z 1

(
,
0)
=

−
4
e
;
B
=
(
,
0)
=
0;
C
=
(
,
0)
=
−
1

x 2 2
xy 2
y 2 2
 A = −4e  0

Suy ra điểm M  ;0  là điểm cực đại của hàm số và zmax = −1
2 
1

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số z = x 4 + y 4 − 2 x 2 + 4 xy − 2 y 2

Giải: Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình
 f
=0
3

 x3 − x + y = 0
 4 x3 − 4 x + 4 y = 0
 x
 x = x − y (1)
=


 f
 3
 3
 3


 y + ( x − y ) = 0 ( 2)
 = 0 4 y + 4 x − 4 y = 0
y + x − y = 0

y



Thay (1) vào (2) ta được

306