CHUYÊN ĐỀ 3:Đa thức và những vấn đề liên quan. pptx

CHUYÊN ĐỀ 3: Đa thức và những vấn đề liên quan.

Bài 1:Cho
1
2
2
&
2
3
5
23
2









x
x
b
x
a
Q
x
x
x
P . Với những giá trị nào của a,b thì

P=Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng.
Giải:
Điều kiện: .1,2


x
Ta có: P=Q 1,2
2
3
2)2(
2
3
5
)1,2(
3
2
3
2








 x
x
x
baxbaax

x
x
x
x















2
1
52
02
1
b
a
ba
ba
a

Bài 2:Cho số nguyên n, A= n
5
- n.
a-Phân tích A thành nhân tử.
b-Tìm n để A=0.
c-CMR: A chia hết cho 30.
Giải:
a) A= n
5
- n = n.(n
4
-1) = n.(n-1).(n+1).(n
2
+ 1)
b) A=0

n = 0,1,-1.
c) Theo Định Lý Fecma: 55)5(mod
55
 Annnn  (1).
Lại có: 22)1(  Ann  (2) và: 33)1.().1(  Annn  (3).
Vì 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên từ (1),(2)&(3) suy ra )5.3.2(A (đpcm).

Bài 3: CMR: Nếu x,y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
chia hết cho
3 thì cả x và y đều chia hết cho 3.
Giải:

Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1.
Vì vậy từ giả thiết x
2
+ y
2
chia hết cho 3 .3, yx

Bài 4:Tìm giá trị của p,q để đa thức (x
4
+ 1) chia hết cho đa thức x
2
+ px + q.
Giải:
Giả sử (x
4
+ 1) = (x
2
+ px + q).( x
2
+ mx + n)
Khai triển và đồng nhất hệ số ta được hệ:






















q
qp
qn
pm
qn
qpmn
pm
1
1
1
0
0
2

Vậy có thể thấy các giá trị của p,q cần tìm là:








q
qp
q
1
0

Bài 5:Cho đa thức: 1201547114)(
234
 xxxxxA
Zx

.
a)Phân tích A(x) thành nhân tử.
b)Chứng minh đa thức A(x) chia hết 24.
Giải:
a).Ta có: 1201547114)(
234
 xxxxxA
3 2 2
( 2).( 12 47 60) ( 2).( 3).( 9 20)
x x x x x x x x         
b).Ta có:A(x)=
  
  
24
2

)(
12014472)14).(1).(1(  xxxxxx
xB

-Nếu x chia hết cho 4,x-14 chia hết cho 2

B(x) chia hết cho 8.
-Nếu x chia cho 4 dư 1 thì x-1 chia hết cho 4,x+1 chia hết cho 2

B(x) chia hết
cho 8.
-Nếu x chia cho 4 dư 2 thì x-14 chia hết cho 4,x chia hết cho 2

B(x) chia hết cho
8.
-Nếu x chia cho 4 dư 3 thì x + 1 chia hết cho 4,x-1 chia hết cho 2

B(x) chia hết
cho 8.
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có B(x) chia hết cho 8 (1).
Mà tích của ba số nguyên liên tiếp thì chi hết cho 3 nên (x-1).x.(x+1) chia hết cho
3

B(x) chia hết cho 3 (2).
Mà (3,8)=1 nên từ (1) và (2) suy ra B(x) chia hết cho 24.
Vậy ta có đpcm.

Bài 6:Tìm tất cả các số nguyên x để: x
2
+ 7 chia hết cho x-2.

Giải:
Ta có: x
2
+ 7 = (x-2).(x + 2) +11 chia hết cho x-2 khi và chỉ khi 11 chia hết cho x-
2.

x-2=-1,-11,1,11.
Từ đó ta dễ dàng tìm ra các giá trị x thỏa mãn bài ra.
Bài 7: Một đa thức chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7.Tính phần dư của
phép chia đa thức đó cho (x-2).(x-3).
Giải:
Gọi đa thức đã cho là F(x).Theo bài ra ta giả sử đa thức dư cần tìm là ax+b.
Ta có:
F(x) = (x-2).(x-3).A(x) + ax + b. (trong đó A(x) là đa thức thương trong phép chia)
Theo giả thiết và theo định lý Bơdu ta có:
F(2)=2a +b=5 và F(3)=3a+b=7.
Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được a = 2, b = 1.
Vậy đa thức dư là 2x+1.
Bài 8: Cho biết tổng các số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, a
n
chia hết cho 3.Chứng minh rằng:
A(x) =
33
2

3
1

n
aaa  cũng chia hết cho 3.
Giải:
Theo định lý fecma ta có: Znnn  )3(mod
3
.
Áp dụng ta có: )3(mod
1
3
1
aa  , )3(mod
2
3
2
aa  , , )3(mod
3
nn
aa  .
Suy ra:
33
2
3
1

n
aaa  )3(mod0)3(mod
21


n
aaa
Ta có đpcm.

Bài 9:Chứng minh rằng (7.5
n2
+12.6
n
) luôn chia hết cho 19, với mọi số n tự nhiên.
Giải:
Ta có:
A = 7.5
2n
+ 12.6
n
= 7.25
n
+ 12.6
n
.
Ta có: )19(mod625)19(mod625
nn
 .Suy ra:
)19(mod0)19(mod6.196.126.7 
nnn
A .
Ta có đpcm.

Bài 10: Phân tích thành nhân tử x

10
+ x
5
+ 1.
Giải:
Ta có: x
10
+ x
5
+ 1 = (x
2
+ x + 1).(x
8
-x
7
+ x
5
-x
4
+ x
3
-x + 1).