Toán nâng cao 4 bồi dưỡng học sinh khá giỏi theo chuyên đề, đầy đủ các bài tập lời giải chi tiết dễ hiểu

NGUYỄN HÀ ANH

Toán nâng cao 4
Bồi dƣỡng và nâng cao kiến thức ngồi chƣơng trình trên lớp
cho học sinh khá, giỏi

NHÀ XUẤT BẢN ...
1


LỜI NĨI ĐẦU
Trong chương trình Tốn tiểu học, Tốn lớp 4 chính là cột mốc quan trọng trong việc định
hình năng lực cho trẻ sau này. Không thể phủ nhận độ khó và tầm quan trọng của năm học lớp 4.
Nếu như kiến thức mơn Tốn ở lớp 1; 2; 3 chỉ dừng lại ở các phép tính cộng – trừ – nhân – chia
cịn khá đơn giản thì mơn Toán lớp 4 yêu cầu học sinh tư duy ở mức cao hơn với những phép
tính và một loạt các bài tập, dạng bài mới nâng cao và mang tính vận dụng thực tế; đồng thời
cũng yêu cầu cao hơn trong việc trình bày lời giải một cách rõ ràng và mạch lạc và cẩn thận.
Thực tế giảng dạy cho thấy, khơng ít trẻ khơng theo kịp kiến thức mới trên lớp, dẫn đến tâm lý
sợ học, chán nản, dẫn đến sợ mơn Tốn và ―mất gốc‖. Lượng kiến thức của toán lớp 4 liên quan
trực tiếp đến toán lớp 5. Kiến thức Tốn Lớp 4 chính là tiền đề để trẻ học tốt Toán lớp 5 và
chuẩn bị cho kì tuyển sinh vào lớp 6 cấp THCS. Nếu khơng học chắc kiến thức lớp 4, rất khó để
trẻ theo được kiến thức lớp 5.
Toán nâng cao 4 được tác giả biên soạn gồm 4 chương, trình bày các chuyên đề Tốn nâng
cao của lớp 4.
Mỗi chun đề được trình bày theo cấu trúc gồm:
A. Tóm tắt lý thuyết: Hệ thống lý thuyết từ cơ bản đến nâng cao.
B. Bài tập – các dạng toán: Các bài tập và dạng tốn phong phú, có lời giải hoặc hướng dẫn
giải chi tiết và đầy đủ.
C. Bài tập trắc nghiệm khách quan có đáp án: Một số dạng tốn tác giả có trình bày thêm
phần bài tập trắc nghiệm cho học sinh tự luyện thêm.
Cuốn sách được xuất bản chắc chắn sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích, chi tiết và đầy

đủ cho quý thầy cô giáo, phụ huynh học sinh và các em học sinh khá, giỏi có niềm u thích với
mơn Tốn. Mặc dù tác giả đã rất cố gắng và cẩn trọng trong quá trình biên soạn song nội dung
cuốn sách khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm,
những ý kiến góp ý quý báu để nội dung cuốn sách được hoàn thiện hơn trong những lần tái bản
sau.
Trân trọng cảm ơn.
2


MỤC LỤC
Chƣơng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN VÀ CÁC PHÉP TÍNH VỚI SỐ TỰ
NHIÊN
I.

II.

III.

Số tự nhiên – Bốn phép tính với số tự nhiên
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập
C. Đáp án – hướng dẫn giải
Dãy số
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập
C. Đáp án – hướng dẫn giải
Dấu hiệu chia hết
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập
C. Đáp án – hướng dẫn giải

Chƣơng 2: PHÂN SỐ VÀ CÁC PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ
A. Tóm tắt lí thuyết
1. Phân số
2. Tính chất cơ bản của phân số
3. Rút gọn phân số
4. Quy đồng mẫu số các phân số
5. So sánh các phân số
6. Sự thay đổi các thành phần của phép tính
7. Bốn phép tính về phân số
8. Tìm phân số của một số
B. Bài tập
C. Đáp án – hướng dẫn giải
Chƣơng 3: HÌNH HỌC
A. Tóm tắt lí thuyết
1. Góc nhọn – góc tù – góc bẹt
2. Hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc
3. Hình chữ nhật – hình vng. Mở rộng về hình chữ nhật – hình vng
4. Giới thiệu hình bình hành, hình thoi
B. Bài tập – các dạng tốn
C. Đáp án – hướng dẫn giải

3


Chƣơng 4: BÀI TỐN CĨ LỜI VĂN - MỘT SỐ DẠNG TỐN ĐẶC BIỆT
1. Dạng tốn về tìm số trung bình cộng
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng toán
C. Đáp án - Hướng dẫn giải

2. Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng toán
C. Đáp án - Hướng dẫn giải
3. Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng tốn
C. Đáp án - Hướng dẫn giải
4. Dạng tốn tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng toán
C. Đáp án - Hướng dẫn giải
5. Dạng tốn trồng cây
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng toán
C. Đáp án - Hướng dẫn giải
6. Dạng tốn cơng việc chung
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng toán
C. Đáp án - Hướng dẫn giải
7. Dạng toán giải bài toán bằng phƣơng pháp Khử
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng toán
C. Đáp án - Hướng dẫn giải
8. Dạng toán giải bài tốn bằng phƣơng pháp Giả thiết tạm
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng tốn
C. Đáp án - Hướng dẫn giải
9. Giải tốn có lời văn bằng phƣơng pháp ứng dụng nguyên tắc Đirichlê
A. Tóm tắt lí thuyết

B. Bài tập – các dạng tốn
C. Đáp án - Hướng dẫn giải
10. Bảng đơn vị đo lƣờng. Đơn vị đo thời gian. Bài toán về cân - đong – đo
A. Tóm tắt lí thuyết
B. Bài tập – các dạng toán
C. Đáp án - Hướng dẫn giải

4


Chƣơng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN
VÀ CÁC PHÉP TÍNH VỚI SỐ TỰ NHIÊN

I. SỐ TỰ NHIÊN – BỐN PHÉP TÍNH VỚI SỐ TỰ NHIÊN
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Số tự nhiên
Các số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8; 9; 10; ...; 100; ... ; 1000; ... được gọi là các số tự
nhiên.
Các số tự nhiên sắp xếp theo thứ tự bé đến lớn tạo thành dãy số tự nhiên:
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...
Có thể biểu diễn các số tự nhiên trên tia số:
Mỗi số tự nhiên ứng với một điểm trên tia số.

Số 0 ứng với điểm gốc của tia số.
Trong dãy số tự nhiên:
-

Số 0 là số tự nhiên bé nhất; Khơng có số tự nhiên lớn nhất.

-

Trong dãy số tự nhiên, hai số liên tiếp thì hơn hoặc kém nhau 1 đơn vị.

-

Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 gọi là số chẵn. Hai số chẵn liên tiếp hơn
(kém) nhau 2 đơn vị.

-

Các số có chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 gọi là số lẻ. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém)
nhau 2 đơn vị.

5


Bốn phép tính với số tự nhiên
Phép cộng
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
0+a=a+0=a
Ghi nhớ:
- Tổng của các số chẵn là một số chẵn.
- Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.
- Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
Phép trừ
a – (b + c) = (a – c) – b = (a – b) – c
Ghi nhớ:
- Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng khơng đổi.
- Nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng thêm một số

đúng bằng (n – 1) lần số bị trừ (n > 1).
- Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n – 1) lần số trừ.
(n > 1).
- Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị.
- Nếu số bị trừ giảm đi n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.
Phép nhân
a×b=b×a
a × (b × c) = (a × b) × c
6


a×0=0×a=0
a×1=1×a=a
a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b – c) = a × b – a × c
Ghi nhớ:
- Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị
giảm đi n lần thì tích khơng thay đổi.
- Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ ngun thì
tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần,
các thừa số còn lại giữ ngun thì tích cũng bị giảm đi n lần (n > 0).
- Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên
m lần thì tích được gấp lên (m × n) lần. Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm
đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m × n) lần (m và n khác 0).
- Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số cịn lại giữ
ngun thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số cịn lại.
- Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn.
- Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số trịn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận
cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
- Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có

tận cùng là 5.
Phép chia
a : (b × c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
0 : a = 0 (a > 0)
a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0)
a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
7


Ghi nhớ:
- Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ
nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần.
- Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên
thì thương giảm đi n lần và ngược lại.
- Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì
thương khơng thay đổi.
- Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm) n lần (n > 0)
thì số dư cũng được gấp (giảm) n lần.
TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
1. Để tính giá trị biểu thức khơng có dấu ngoặc đơn và chỉ có phép cộng và phép trừ
(hoặc chỉ có phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái
sang phải.
2. Để tính giá trị biểu thức khơng có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân,
chia thì ta thực hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ
sau.
THÀNH LẬP SỐ TỰ NHIÊN
Có mười chữ số tự nhiên là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Khi viết một số tự nhiên ta sử
dụng mười chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên có hai chữ số
trở lên phải khác 0.
Cấu tạo thập phân của số tự nhiên

…
8


Quy tắc so sánh hai số tự nhiên:
 Trong hai số tự nhiên, số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn.
 Nếu hai số có cùng số lượng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang
phải lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu chữ số đầu tiên giống nhau thì ta xét tiếp đến chữ số
thứ 2, thứ 3…
 Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1 đơn vị
là hai số tự nhiên liên tiếp.
 Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau 2 đơn
vị được gọi là hai số chẵn liên tiếp.
 Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị
được gọi là hai số lẻ liên tiếp.
 Một số dấu hiệu chia hết cơ bản:
Số chia hết cho 2 là các số chẵn (hay có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8)
Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Số chia hết cho 5 là những số có tận cùng bằng 0; 5.
Số vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 có tận cùng bằng 0.

9


B. BÀI TẬP – CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1. Tìm thành phần chƣa biết của phép tính
Cơng thức trong các phép tính, học sinh cần ghi nhớ:

Phép cộng:
số hạng + số hạng = tổng
Muốn tìm số hạng chưa biết, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết
Phép trừ:
số bị trừ - số trừ = hiệu
Muốn tìm số bị trừ, ta lấy hiệu cộng với số trừ.
Muốn tìm số trừ, ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu.
Phép chia:
số bị chia : số chia = thƣơng
Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia
Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương.
Phép nhân:
thừa số × thừa số = tích
Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết

Bài 1: Tìm x.
a) x + 674 = 2913
b) x – 568 = 4768
c) x × 23 = 3082
d) x : 425 = 2550.

10


Bài 2: Tìm x.
a) x + 5 734 = 3 468 + 5 282
b) x – 3 254 = 237 × 145
c) x × 24 = 3 027 + 2 589
d) x : 54 = 246 × 185

e) 2 024 + x = 4 735 – 379
g) 164 – x = 92700 : 75
h) 50 × x = 24 324 – 8 274
i) 134 260 : x = 13 230 : 54

Bài 3: Tìm x.
a) (x + 128) × 137 = 48 498
b) (x – 2023) : 165 = 2 431

c) (x + 327) : 285 = 338
d) (4 063 – x) × 84 = 132 552

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức
Thứ tự thực hiện các phép tính trong một biểu thức

Quy tắc thực hiện phép tính:
+ Đối với biểu thức không chứa dấu ngoặc đơn: Thực hiện phép nhân, chia trước, phép
cộng, trừ sau. Đối với biểu thức chỉ có phép nhân và phép chia thì thực hiện theo thứ tự
từ trái qua phải.
+ Đối với biểu thức có chứa dấu ngoặc thì thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước,
sau đó biểu thức được đưa về dạng biểu thức khơng có dấu ngoặc.
Bài 4: Tính giá trị biểu thức:

11

a) 334 576 + 578 957 + 470 768

b) 4 674 : 82 × 28

c) 51 235 + 24 756 – 55 968

d) 1 075 – 38 850 : 42

e) 28 178 + 2 357 × 45

f) 238 415 – 238 415 : 5

g) 12 348 : 36 + 5 643

h) (69 320 – 38 578) – 17 123


i) 49 048 – 48 048 : 12 – 25 × 57

j) 209 798 – 9 894 : 34 × 23 – 23

k) 17 538 – 17 538 : 74 – 74 × 106

l) 168 028 – (168028 : 68 – 68 × 23)

Bài 5: Cho biểu thức P = 21 315 : (283 - x) + 267.
Tính P khi x = 178.
Bài 6: Cho biểu thức P = 21 300 : (283 - x ) - 267
Tìm x để P = 17.

Dạng 3: Vận dụng tính chất của các phép tính để tính nhanh, tính thuận tiện
Bài 7: Tính nhanh:
a) 4567 + 6785 + 5433 + 3215

d) 7865 + 56 + 44 – 865

b) 25 + 25 + 25 + 25 + 15 + 15
c) 135 + 135 + 135 – 35 – 35 – 35

e) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
g) 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10.

Bài 8: Tính nhanh:
a) 267 × 422 + 267 × 364 + 267 × 214
b) 618 × 445 + 618 × 554 + 618

d) 1325 × 1553 - 1325 × 345 - 1325 × 208
e) 175 × 1274 - 175 × 273 – 175

c) 2 × 8 × 50 × 25 × 125

g) 25 × 20 × 125 × 8 – 2 × 4 × 20 × 5 × 125

Bài 9: Tính nhanh:
a) 6 × 426 × 3 + 9 × 574 × 2

d) 6 × 1675 × 20 – 12 × 675 × 10

b) (145 × 99 + 145 ) – ( 143 × 102 – 143 )

e) 54 × 47 – 47 × 53 – 20 – 27

c) 10000 – 47 × 72 – 47 × 28

g) 3457 – 27 × 48 – 48 × 73 + 6543

Bài 10: Tính nhanh:

12

a)

337  35  65  337
2022 1991  19911685

b)

1996 1995  996
1000  1996 1994


Bài 11: Cho A = 2 022 × 425 và B = 325 × 2 022.
Khơng tính A và B, em hãy tính nhanh kết quả của A – B?
Bài 12: Tính tổng sau bằng cách thuận tiện nhất:
5 + 10 + 15 + …+ 305 + 310.

Dạng 4. Mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính
Bài 13: Tìm số, biết rằng:
a) nếu cộng số đó với 1 467 thì được tổng là 9 864.
b) nếu lấy 2 638 cộng với số đó thì được tổng là 9 321.
c) nếu trừ số đó cho 2 978 thì được 4 991.
d) nếu lấy 6 754 trừ đi số đó thì được 3 421.
e) nếu nhân số đó với 2 thì được 2 022.
g) Tìm một số biết rằng nếu chia số đó cho 87 thì được 634..
Bài 14a:

a) Hai số có hiệu là 4 091. Nếu bớt số bị trừ 91 đơn vị thì hiệu mới bằng bao nhiêu?
b) Hai số có hiệu là 4 091. Nếu thêm vào số bị trừ 1 012 đơn vị và bớt ở số trừ 2 148 đơn
vị thì được hiệu mới bằng bao nhiêu?
c) Hai số có hiệu là 2 022. Nếu thêm vào số trừ 161 đơn vị thì hiệu mới bằng bao nhiêu?
d) Hai số có hiệu là 2 022. Nếu bớt ở số trừ 161 đơn vị thì hiệu mới bằng bao nhiêu?
Bài 14b:
a) Cho một phép trừ. Nếu thêm vào số bị trừ 3 107 đơn vị và bớt ở số trừ 1 738 đơn vị
thì được hiệu mới là 7248. Tìm hiệu ban đầu của phép trừ.
b) Cho một phép trừ. Nếu thêm vào số trừ 2 653 đơn vị và bớt ở số bị trừ 2 635 đơn vị
thì được hiệu mới là 9 032. Tìm hiệu ban đầu của phép trừ.

13


Bài 15: Điền đáp số đúng vào ô trống.
STT

Đề bài

1

Tổng của hai số là 102. Nếu gấp số hạng thứ nhất lên 2 lần thì
được tổng mới là 188. Tìm hai số đó.
……………….

2

Tổng của hai số là 236. Nếu gấp số hạng thứ hai lên 6 lần thì
được tổng mới là 456. Tìm hai số đó.

…………….

3

Hiệu của hai số là 236. Nếu gấp số bị trừ lên 4 lần thì được hiệu
……………….
mới là 1 061. Tìm hai số đó.

4

Hiệu của hai số là 456. Nếu gấp số trừ lên 4 lần thì được hiệu
mới là 123. Tìm hai số đó.
……………….

5

Hiệu của hai số là 37. Nếu viết thêm chữ số 0 vào tận bên phải
số bị trừ thì được hiệu mới là 973. Tìm số bị trừ và số trừ.

14

Đáp số

……………….

6

Hiệu của hai số là 245. Nếu viết thêm một chữ số vào tận bên
phải số bị trừ thì được hiệu mới là 2 645. Tìm số bị trừ , số trừ và ……………….
chữ số viết thêm.

7

Tổng của hai số là 99. Nếu tăng số thứ nhất lên 3 lần và tăng số
thứ hai lên 5 lần thì được tổng mới là 459. Tìm hai số đó.
……………….

8

Tổng của hai số là 370. Nếu tăng số thứ nhất lên 3 lần và tăng số
thứ hai lên 6 lần thì tổng mới tăng thêm 971 đơn vị. Tìm hai số ……………...
đó.

9

Tích của hai số là 2 635. Nếu thêm vào thừa số thứ nhất 5 đơn vị
……………….
thì được tích mới là 2 580. Tìm hai số đó.

10

Tích của hai số là 1 692. Nếu bớt ở thừa số thứ hai 17 đơn vị thì ……………….
được tích mới là 893. Tìm hai số đó.


Bài 16 : Điền đáp số đúng vào ô trống.
STT

Đề bài

Đáp số

1

Tìm một số biết nếu chia số đó cho 53 thì được thương là 452 và số dư
là 28.
………….

2

Trong một phép chia có số chia bằng 39, thương bằng 35 và số dư là
số lớn nhất có thể có. Tìm số bị chia.

3

Tìm một số biết rằng nếu đem số đó chia cho 84 thì được thương là
267 và số dư là số dư lớn nhất có thể.

………….

………….

4

Cho phép chia biết thương gấp 12 lần số chia và có số dư lớn nhất là
78. Tìm số bị chia?
………….

5

Một phép chia có thương bằng 223 và số dư lớn nhất có thể có là 46.
Tìm số bị chia?
………….

6

Tìm một số biết rằng nếu đem số đó chia cho 68 thì được thương bằng
số dư và số dư là là số dư lớn nhất có thể có.
………….

7

Tìm số bị chia và số chia bé nhất để có thương bằng 161 và số dư bằng
23.
………….

8

Một số tự nhiên chia cho 46 được thương là 76 và dư 32. Nếu lấy số
đó chia cho 53 thì được thương bằng bao nhiêu? Và số dư bằng bao ………….
nhiêu?

Bài 17: Khi cộng một số tự nhiên với 108, một bạn học sinh đã chép nhầm 108 thành
1008 nên được kết quả là 2985. Tìm tổng đúng của phép cộng.
Bài 18: Khi cộng 2022 với một số tự nhiên, một bạn học sinh đã chép nhầm 2022 thành
2202 nên được kết quả là 3368. Tìm số tự nhiên đó?

15

Bài 19. Khi thực hiện đặt phép tính trừ một số có ba chữ số cho một số có một chữ số
theo hàng dọc, do nhầm lẫn, một bạn học sinh đã đặt số trừ thẳng với chữ số hàng trăm
nên đã được kết quả là 458 mà lẽ ra kết quả đúng phải là 755. Tìm số bị trừ và số trừ?
Bài 20: Khi cộng 56 789 với một số có 4 chữ số, bạn An đã đặt lệch số có 4 chữ số sang
bên trái một hàng và thẳng cột với 56 789 nên kết quả tăng thêm 34 002 đơn vị. Tìm số tự
nhiên có 4 chữ số đó và kết quả của phép tính đó?
Bài 21: Khi cộng một số có 5 chữ số với 3 456. Bạn My đã đặt các chữ số của 3 456 lệch
sang trái 1 hàng. Hỏi kết quả sẽ tăng thêm bao nhiêu đơn vị so với kết quả đúng?
Bài 22: Khi trừ một số có 5 chữ số với 3 456. Bạn My đã đặt các chữ số của 3 456 lệch
sang trái 1 hàng. Hỏi kết quả sẽ giảm đi bao nhiêu đơn vị so với kết quả đúng?
Bài 23: Khi nhân 34 567 với 8, một bạn đã viết nhầm chữ số 5 của 34 567 thành 9. Hỏi
kết quả sẽ tăng thêm bao nhiêu so với kết quả đúng?
Bài 24: Khi chia 34 967 cho 4, một bạn đã viết nhầm chữ số 9 của 34 967 thành 5. Hỏi
kết quả sẽ giảm bao nhiêu so với kết quả đúng?
Bài 25: Một phép nhân có thừa số thứ nhất gấp đôi thừa số thứ hai. Nếu tăng thừa số thứ
hai lên 4 đơn vị thì tích sẽ bằng 160, nếu giảm thừa số thứ nhất đi một nửa thì tích sẽ
bằng 64. Tìm phép nhân đó?
Bài 26: Khi thực hiện phép chia một số có 5 chữ số cho 6, một bạn đã viết nhầm chữ số 3
ở hàng nghìn thành chữ số 6 nên nhận được kết quả là 4 459. Tìm số có 5 chữ số đó?
Bài 27: Khi thực hiện phép chia một số có 5 chữ số cho 8, một bạn đã viết nhầm chữ số 3
ở hàng nghìn thành chữ số 7 nên nhận được kết quả là 3 419. Tìm số có 5 chữ số đó?
Bài 28: Từ 0 đến 1 000 000 có bao nhiêu số lẻ? Bao nhiêu số chẵn?
Bài 29: Bạn Mai muốn đánh số trang một quyển vở có 180 trang thì cần dùng bao nhiêu
chữ số?
Bài 30: Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 999 999 cần viết bao nhiêu chữ số?

Dạng 5: Bài toán thành lập số tự nhiên và quy tắc đếm
Bài 31. Lập số tự nhiên bé nhất có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số cho trước sau:
0; 3; 5; 7; 8; 9.
16

Bài 32. Từ các chữ số 9; 6; 2; 3; 0, lập số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số khác nhau.
Bài 33. Tìm số theo yêu cầu.
Yêu cầu

STT
1

Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số?

2

Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số khác nhau?

3

Tìm số tự nhiên bé nhất có ba chữ số?

4

Tìm số tự nhiên bé nhất có ba chữ số khác nhau?

5

Tìm số tự nhiên chẵn lớn nhất có 5 chữ số? ?

6

Tìm số tự nhiên chẵn lớn nhất có 5 chữ số khác nhau?

7

Tìm số tự nhiên lẻ nhỏ nhất có 5 chữ số?

8

Tìm số tự nhiên lẻ nhỏ nhất có 5 chữ số khác nhau?

9

Tìm số tự nhiên lớn nhất có 6 chữ số khác nhau?

10

Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số được lập từ các số: 8; 6; 7; 9; 0; 1?

Lưu ý: Học sinh đọc kĩ đề bài, xác định giới hạn yêu cầu của đề bài, các số cần tìm phải
được lập từ những số như thế nào? Có thể giống nhau khơng hay phải thỏa mãn điều kiện
khác nhau? Là số chẵn? hay số lẻ?
(Phụ huynh học sinh có thể tự ra thêm các đề với những yêu cầu khác cho các con tự
luyện tập thêm)
Bài 34. Em hãy hãy lập tất cả các số có hai chữ số khác nhau từ 3 chữ số 9; 4; 5. Em lập
được tất cả bao nhiêu số như vậy?
Bài 35. Cho 3 chữ số 7; 8; 9.
a) Hãy lập các số có 3 chữ số từ những chữ số đã cho.
b) Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những số đã cho.
Ghi nhớ: Với những bài tốn khơng u cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm ra số lượng
các số và:
Trƣờng hợp 1: Ta thấy tất cả các chữ số đã cho khác 0 thì:

 Nếu trong mỗi số được lập các chữ số không cần khác nhau ta có cách tính số
lượng số cần lập được tính như sau:
+ Có n chữ số sẽ có n cách chọn hàng cao nhất.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có n cách chọn hàng cao thứ hai.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao thứ hai thì có n cách chọn hàng cao thứ ba.
17


+ Tương tự ta có n cách chọn cho hàng tiếp theo.
Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn ở từng bước trên.
 Nếu trong mỗi số được lập các chữ số phải khác nhau (các chữ số khơng lặp lại) ta
có cách tính số lượng số cần lập được tính như sau:
+ Có n chữ số sẽ có n cách chọn hàng cao nhất.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có n - 1 cách chọn hàng cao thứ hai.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao thứ hai thì có n - 2 cách chọn hàng cao thứ ba
+ Cứ tiếp tục như thế cho đến khi lập được số thỏa mãn yêu cầu.
Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn.
Trƣờng hợp 2: Ta thấy trong tất cả các chữ số đã cho, có chữ số 0 thì:
 Nếu trong mỗi số được lập các chữ số không cần khác nhau ta có cách tính số
lượng số cần lập được tính như sau:
+ Có n chữ số sẽ có n - 1 cách chọn hàng cao nhất (chữ số hàng cao nhất phải khác 0)
+ Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có n cách chọn hàng cao thứ hai.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao thứ hai thì có n cách chọn hàng cao thứ ba.
+ Tương tự ta có n cách chọn cho hàng tiếp theo.
Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn ở từng bước trên.
 Nếu trong mỗi số được lập các chữ số phải khác nhau (các chữ số khơng lặp lại) ta
có cách tính số lượng số cần lập được tính như sau:
+ Có n chữ số sẽ có n - 1 cách chọn hàng cao nhất (chữ số hàng cao nhất phải khác 0)
+ Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có n - 1 cách chọn hàng cao thứ hai.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao thứ hai thì có n - 2 cách chọn hàng cao thứ ba

+ Cứ tiếp tục như thế cho đến khi lập được số thỏa mãn yêu cầu.
Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn.
Xét bài toán sau:
Bài 36. Cho 6 chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, em có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 4 chữ số.
b) Có 4 chữ số, yêu cầu các chữ số phải khác nhau.
Bài 37. Cho 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5, em có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 4 chữ số.
b) Có 4 chữ số, yêu cầu các chữ số phải khác nhau.
18


Nhận xét: Bài toán này tương tự bài 36, nhưng do trong những chữ số cho trước,
có chữ số 0, ta cần lưu ý khi đếm số cách chọn số.
Bài 38:
a) Có bao nhiêu số trịn chục nghìn có 6 chữ số?
b) Có bao nhiêu số trịn nghìn có 7 chữ số?
c) Có bao nhiêu số trịn trăm nghìn có 8 chữ số?
d) Có bao nhiêu số trịn trăm triệu có 9 chữ số?
Dạng 6: Bài tốn “tích riêng thẳng cột”
Kiến thức cần ghi nhớ:
- Cần nắm kiến thức thế nào là tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ hai … trong đặt tính
nhân theo hàng dọc.
- Khi đặt các tích riêng sai vị trí thì mỗi tích riêng bị lệch 1; 2; 3;… hàng so với tích đúng
về bên nào và thay đổi ra sao:
- Lệch sai 1; 2; 3; … hàng về bên trái thì tích riêng gấp 10; 100; 1 000;… lần
- Lệch sai 1; 2; 3; … hàng về bên phải thì tích riêng giảm 10; 100; 1 000;… lần.
Sau đó dựa vào kết quả để tính tốn.
Bài 39:
Khi nhân một số tự nhiên với 67, một bạn học sinh đã sơ ý đặt hai tích riêng thẳng cột với

nhau. Vì vậy tìm được kết quả là 6 812. Tìm phép tính đúng.
Bài 40.
Khi nhân 1581 với một số có bốn chữ số giống nhau, bạn Nam đã đặt các tích riêng
thẳng cột như trong phép cộng nên được kết quả là 12 648. Tìm tích đúng.
Bài 41: Khi nhân 268 với một số có hai chữ số giống nhau, bạn An đã đặt tất cả các tích
riêng thẳng cột như trong phép cộng nên đã được kết quả kém tích đúng là 21 708. Em
hãy giúp bạn tìm tích đúng của phép nhân đó.
Bài 42: Khi nhân một số tự nhiên với 567, bạn An đã nhầm lẫn và đặt tất cả các tích
riêng thẳng cột như trong phép cộng nên đã được kết quả sai là 4 734. Em hãy giúp bạn
An tìm tích đúng của phép nhân đó.

19


Ghi nhớ:
Khi nhân một số tự nhiên với một số tự nhiên abc, nếu để các tích riêng thẳng cột
thì tích sai sẽ bằng số đó nhân với a + b + c.
Bài 43: Khi nhân một số tự nhiên với 265 do sơ ý, bạn An đã đặt tích riêng thứ hai và thứ
ba thẳng cột như trong phép cộng nên đã được kết quả là 29 495. Em hãy tìm tích đúng
giúp bạn An
Bài 44: Khi nhân một số tự nhiên với 109, bạn An đã viết thiếu chữ số 0 nên đã làm cho
kết quả giảm so với tích đúng là 37 170 đơn vị. Em hãy giúp bạn An tìm tích đúng của
phép nhân đó.
Bài 45: Khi nhân một số tự nhiên với 1 009, bạn An đã viết thiếu hai chữ số 0 của 1 009
nên tích bị giảm đi 554 400 đơn vị. Hãy tìm tích đúng?

20