ôn thi vao 10 theo chuyên đề(dầy đủ)

ng Vn Ngoan
ôn thi vào lớp 10
Chuyên đề i: căn thức bậc hai - bậc ba
Các phép biến đổi căn thức bậc hai- bậc ba
A. Những công thức biến đổi căn thức:
1)
AA
=
2
2)
BAAB .=
( với A

0 và B

0 )
3)
B
A
B
A
=
( với A

0 và B > 0 )
4)
BABA =
2
(với B

0 )

5)
BABA
2
=
( với A

0 và B

0 )

BABA
2
=
( với A < 0 và B

0 )
6)
B
AB
B
A
=
( với AB

0 và B

0 )
7)
B
BA

B
A
=
( với B > 0 )
8)
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


( Với A

0 và A

B
2
)
9)
BA
BAC
BA
C

=

)(
( với A

0, B

0 và A

B
B. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a)
32
+
x
b)
12
3
+
x
c)
1
2

x
d)
2
2
1
x
HD: a)

2
3

x
b)
2
1
<
x
c)





1
0
x
x
d)
0

x
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x

0 )
a)
8632
+++
b) x

2
- 5 c) x - 4 d)
1

xx
HD: a)
( )( )
1232 ++
b)
( )( )
55 + xx
c)
( )( )
22 + xx
d)
( )( )
11 ++ xxx
Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.
a)
223 +
b)
83

c)
549
+
d)
7823

HD: a)

( )
2
12
+
b)
( )
2
12

c)
( )
2
25
+
d)
( )
2
74

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( )
2
174

b)
2832
146
+
+

c)
5
5
2
+

x
x
(với x

5) d)
1
1


x
xx
( với
1,0

xx
)
1
ng Vn Ngoan
HD: a)
417

b)
2
2

c)
5

x
d)
1
++
xx
Bài 5: Tìm giá trị của x

Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
a)
2
3
+
x
( với x

0) b)
1
5
+
+
x
x
( với x

0) c)
2
2

+
x
x
( với x

0 và x

4)
HD: a)
{ }
1=x
b)
{ }
9;1;0=x
c)
{ }
36;16;9;1;0=x
Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)
35
=
x
b)
523

x
c)
2
3

3
=

+
x
x
d)
1
1
3
>

x
HD: a) x = 14 b)
2
3
1

x
c) x = 81 d)
161
<<
x

C. Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thức: A =
1
1
1
1

+



+
x
x
x
xx
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
4
9
. c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
Bài 2: Cho biểu thức: B =
4
52
2
2
2
1

+

+
+

+
x
x

x
x
x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B. B,Tìm x để B = 2.
Bài 3: Cho biểu thức: C =









+


+









1
2

2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C. b)Tìm giá trị a để C dơng.
2
Đặng Văn Ngoan
Bµi 4: Cho biĨu thøc D =
x
x
x
x
x
x
4
4
.
22
−









+
+
−
a)T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc D. b)TÝnh gi¸ trÞ cđa D khi x =
526
−
.
Bµi 5: Cho biĨu thøc E =
1
3
11
−
−
+
−
−
+
x
x
x
x
x
x
a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc E. b) T×m x ®Ĩ E = -1
Bµi 6: Cho biĨu thøc: F =
8

44
.
2
2
2
2
++








+
−
−
xx
xx
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức F. b) Tính giá trò của biểu thức F khi x=3 +
8
;
c) Tìm giá trò nguyên của x để biểu thức F có giá trò nguyên ?
Bµi7: Cho biĨu thøc :
+
−+
−
+
+

=
6
5
3
2
aaa
a
P
a
−
2
1
a) T×n §KX§ vµ rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi: a =
347
−
. C)T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ P < 1.
Bµi8 : Cho biĨu thøc: Q=








−
+
−
−

+








−
− 1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a. Rót gän Q. b. T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ Q d¬ng.
Bµi9: Cho biĨu thøc: A =
x
x
x
x
xx

x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc A.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > 1. c, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x
∈
Z ®Ĩ A
∈
Z.
Bµi10 : Cho biĨu thøc: C =
1
2
1
3
1
1
+−
+

+
−
+
xxxxx
a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc C. b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ C = 1.
Bµi11: Cho biĨu thøc: M =
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
2
−
⋅








++
+
−
−
−
a) Rót gän M. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ M d¬ng. c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M.

Bµi12: Cho biĨu thøc: P =








−
+
+








−
−
−
1
2
1
1
:
1
1

x
xxxx
x
a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P > 0
c) T×m x ®Ĩ P = 6.
C¸c bµi tËp lun:
Bµi 6: Cho A =
( )
2
:
− +
 
−
−
+
 ÷
 ÷
−
− +
 
x y xy
x x y y
x y
y x
x y x y
víi x
≥
0 , y
≥

0,
x y≠
a)Rót gän A. b)CMR : A
≥
0
HD:
) =
− +
xy
a A
x xy y

2
) 0
3
2 4
Víi x,y 0= = ≥ ≥
− +
 
− +
 ÷
 ÷
 
xy xy
b A
x xy y
y
y
x
3

Đặng Văn Ngoan
Bµi 7: Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Víi x > 0 , x
≠
1.
a) Rót gän A. b)T×m x ®Ó A = 6 HD:a) A =
( )
2 1x x
x
+ +
b)
Bµi 8: Cho A =
4 3 2
:

2 2 2
   
− +
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − −
   
x x x
x x x x x
víi x > 0 , x
≠
4.
a)Rót gän A b)TÝnh A víi x =
6 2 5
−
HD:a)A =
1 x−
) b)
Bµi 9: Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
víi x > 0 , x
≠

1.
a)Rót gän A b)TÝnh A víi x =
6 2 5−
HD: A =
3
2 x
b)
Bµi 10: Cho A=
2 1 1 4
: 1
1 1 1
+ +
   
− −
 ÷  ÷
− − + +
   
x x
x x x x x
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a)Rót gän A. b)T×m
x Z∈
®Ó
A Z
∈
HD:a)A =

3
x
x −
) b)
Bµi 11: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
 
−
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ − + − −
 
 
víi x
≥
0 , x
≠
1
a)Rót gän A. b)T×m x ®Ó
A Z∈

c)T×m x ®Ó A ®¹t GTNN .
HD:a)A =
1
1
x
x
−
+
{ } { } { }
1 2 2 2 2
1 0 0 2 1 2 1 0 1 0
1 1 1 1
) . A nguyªn nguyªn nªn ®Æt: ; ; ;
− −
= = − ⇔ = ∈ ⇔ = ≥ ⇔ < ≤ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇔ ∈
+ + + +
x n
b A n Z x n n x x
n
x x x x
c)Xong: x = 0, Amin = -1.
Bµi 12: Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x
   

+ −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
víi x
≥
0 , x
≠
9
a)Rót gän A. b)T×m x ®Ó A < -
1
2
HD: a)A =
3
3a
−
+
b)
Bµi 13: Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   

+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a)Rót gän A b)TÝnh A víi x =
6 2 5−
c)CMR : A
1≤
HD: a)A =
4
4
x
x
+
b) c)XÐt
hiÖu A – 1.
4
ng Vn Ngoan
Bài 14: Cho A =
1 1 1
:
1 2 1

x
x x x x x
+

+
ữ
+

với x > 0 , x

1.
a)Rút gọn A b)So sánh A với 1 HD:a)A =
1x
x

b).
Bài 15: Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

Với
1
0,
9
x x
a)Rút gọn A. b)Tìm x để A =
6
5
c)Tìm x để A < 1. HD: a)A =
3 1
x x
x
+

b,c)
Bài 16: Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x

+ +

ữ

ữ

+ +

với x

0 , x

1.
a)Rút gọn A. b)CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0 c)Tính A khi x =3+2
2
d)Tìm GTLN
của A
HD:a) A =
(1 )x x
b,c,d(Quá cơ bản)
D. Bài tập luyện tập:
Bài1: Cho biểu thức :

+
+

+
+
=
6
5
3
2
aaa

a
P
a

2
1
c) Tìn ĐKXĐ và rút gọn P.
d) Tính giá trị của P khi: a =
347

.
e) Tìm giá trị của a để P < 1.
Bài2 : Cho biểu thức: Q=









+


+

1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a. Rút gọn Q. b. Tìm giá trị của a để Q dơng.
Bài3: Cho biểu thức: A =
x
x
x
x
xx
x

+

+

+

3
12
2
3
65
92
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b, Tìm các giá trị của x để A > 1. c, Tìm các giá trị của x

Z để A

Z.
Bài4 : Cho biểu thức: C =
1
2
1
3
1
1
+
+
+

+
xxxxx
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C. b, Tìm các giá trị của x để C = 1.

Bài5: Cho biểu thức: M =
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
2










++
+



a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị của x để M dơng. c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
5
ng Vn Ngoan
Bài6: Cho biểu thức: P =

+
+











1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x

d) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
e) Tìm các giá trị của x để P > 0
f) Tìm x để P = 6.
Các bài tập luyện:
Bài 6: Cho A =
( )
2
:
+



+
ữ
ữ

+

x y xy
x x y y
x y
y x
x y x y
với x

0 , y

0,
x y

a)Rút gọn A. b)CMR : A

0
HD:
) =
+
xy
a A
x xy y

2
) 0
3
2 4
Với x,y 0= =
+

+
ữ
ữ

xy xy
b A
x xy y
y
y
x
Bài 7: Cho A =
1 1 1 1 1
.

1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x

+ +

+ +
ữ
ữ
ữ
+ +


Với x > 0 , x

1.
a) Rút gọn A. b)Tìm x để A = 6 HD:a) A =
( )
2 1x x
x
+ +
b)
Bài 8: Cho A =
4 3 2
:
2 2 2

+
+

ữ ữ
ữ ữ


x x x
x x x x x
với x > 0 , x

4.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5

HD:a)A =
1 x
) b)
Bài 9: Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x

+ +
ữ ữ
+ +

với x > 0 , x

1.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5
HD: A =

3
2 x
b)
Bài 10: Cho A=
2 1 1 4
: 1
1 1 1
+ +


ữ ữ
+ +

x x
x x x x x
với x

0 , x

1.
a)Rút gọn A. b)Tìm
x Z
để
A Z

HD:a)A =
3
x
x
) b)

Bài 11: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x




ữ
ữ
ữ

+ +


với x

0 , x

1
a)Rút gọn A. b)Tìm x để
A Z
c)Tìm x để A đạt GTNN .
HD:a)A =
1
1

x
x

+
{ } { } { }
1 2 2 2 2
1 0 0 2 1 2 1 0 1 0
1 1 1 1
) . A nguyên nguyên nên đặt: ; ; ;

= = = = <
+ + + +
x n
b A n Z x n n x x
n
x x x x
6
ng Vn Ngoan
c)Xong: x = 0, Amin = -1.
Bài 12: Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x

+
+

ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x

9
a)Rút gọn A. b)Tìm x để A < -
1
2
HD: a)A =
3
3a

+
b)
Bài 13: Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x

+

ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x

1.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5

c)CMR : A
1
HD: a)A =
4
4
x
x
+
b) c)Xét
hiệu A 1.
Bài 14: Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+

+
ữ
+

với x > 0 , x

1.
a)Rút gọn A b)So sánh A với 1 HD:a)A =
1x
x

b).
Bài 15: Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

Với

1
0,
9
x x
a)Rút gọn A. b)Tìm x để A =
6
5
c)Tìm x để A < 1. HD: a)A =
3 1
x x
x
+

b,c)
Bài 16: Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x

+ +

ữ
ữ

+ +

với x

0 , x

1.
a)Rút gọn A. b)CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0 c)Tính A khi x =3+2
2
d)Tìm GTLN
của A
HD:a) A =
(1 )x x
b,c,d(Quá cơ bản)
Chuyên đề II
PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH
(Bc nht)
A.KIN THC C BN
1.Phng trỡnh bc nht mt n
-Quy ng kh mu.
-a v dng ax + b = 0 (a 0)
7
Đặng Văn Ngoan
-Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.

-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =


=

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
−
=
.
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức:
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương
trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6

+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
8
Đặng Văn Ngoan
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy
phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9

+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42
⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7

x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)

2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
9
Đặng Văn Ngoan
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −

⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a
⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0
b a
⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1

ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0
a 1
⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nếu a + 1 = 0
a 1
⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5

x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −

 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +

Giải
( )
x 7 5y

x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y
≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y

= =
+ −
10
Đặng Văn Ngoan
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
8
8


=
+ =
=



  

⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   

− = + − + = + = =
   
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = +
( ) ( ) ( )
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)

3 6 2 4
− − + =
+ − − +
+ + < − + − > −
2.Giải và biện luận các phương trình sau
x a x b
a) b a
a b
− −
+ = +

( )
2
b) a x 1 3a x− − =

2
2
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
+ +
− =
− −

a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− +
+ = +
− + − +

3.Giải các hệ phương trình sau
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =

+ =



+ − = − = + + =

  
   
− + = + + =
+ =
+ =



 



+ + =

4.Cho hệ phương trình
( )
m 1 x y 3
mx y m
 + − =

+ =

a) Giải hệ với m = -
2
11
ng Vn Ngoan
b) Tỡm m h cú nghim duy nht sao cho x + y dng.
Chuyên đề iii
Hàm số và đồ thị
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
-
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta
luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng
của x và x đợc gọi là biến số
-
Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ

thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
-
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
-
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho
trớc và a

0
b. Tính chất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
-
Đồng biến trên R khi a > 0
-
Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng
-
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
-Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b

0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a

0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
+
'

// '
'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a
=
+
'
'
'
a a
d d
b b
=



=

+
' . ' 1d d a a

=
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a

0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
12
ng Vn Ngoan
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó
A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y =
ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
-
Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax
+b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
-
Đờng thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x x
0
) + y
0
-
Đờng thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y

0
) với x
0
.y
0


0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
g. Cách tìm điểm cố định của hàm số
Để tìm điểm cố định của hàm số y= ax +b ta làm nh sau
B1:Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cố định của hàm số
B2: Thay (x
0
;y
0
) vào hàm số đa hàm số về dạng phơng trình bậc nhất với ẩn là
tham số
B3: Lý luận cho pt ẩn là tham số cố nghiệm với mọi giá trị của tahm số ta sẽ tìm đ-
ợc điểm cố định
VD Tìm điểm cố định của hàm số sau(hay chứng minh rằng hàm đồ thị hàm số sau
luôn đI qua điểm cố định với mọi giá trị của m)

y= (m-1)x+ m luôn đi qua một điểm cố định
GiảI :Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cố định của hàm số
Ta có y
0
=mx
0
- x
0
+m suy ra phơng trình (x
0
+1)m=y
0
+x
0
nghiệm đúng với mọi m suy ra
x
0
+1= 0 và y
0
+x
0
= 0 vậy x
0
=-1,y
0
=1

1.2Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a

0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a

0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối
xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
-
Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= +
-
Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
13
ng Vn Ngoan
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax
2

(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
-
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

=

= +

-
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax
2
= mx + n (*)
-
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của
hàm số với giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d
2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.

d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x
2
và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m
2
-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
Bi 5: Cho hm s:
2
1

2
y = x

cú th (P).
a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng 1 v 2.
b) Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip
im.
Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x
2
cú th (P).
14
Đặng Văn Ngoan
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = – 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x
2
.
Bài 8:
8.1) Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x
2

.
8.2) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax
2
và hai đường thẳng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x= −
(d
2
): 4x + 5y – 11 = 0
a) Tìm a biết (P), (d
1
), (d
2
) đồng quy.
b) Vẽ (P), (d
1
), (d
2
) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được.
c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d
2
).
d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d
1

).
Bài 10: Cho Parabol (P):
2
1
2
y x=
và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng – 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
≠ x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 1 1
2x x
+ =
Bài 11: Cho hàm số: y = ax
2
có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
15
Đặng Văn Ngoan
Chuyªn ®Ò iv: ph¬ng tr×nh bËc hai
PHẦN I KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

1. Công thức nghiệm:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a
≠
0) có
∆
= b
2
- 4ac
+Nếu
∆
< 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu
∆
= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
2
−
+Nếu
∆
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=

a
b
2
∆+−
; x
2
=
a
b
2
∆−−
2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a
≠
0) có
∆
’
=b
’ 2
- ac ( b =2b
’
)
+Nếu
∆
’
< 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu
∆

’
= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
−
+Nếu
∆
’
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
'
∆+−
; x
2
=
a
b
'
∆−−
3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x

1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
thì : S = x
1
+x
2
=
a
b
−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
b) Ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a
≠
0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x

1
= 1; x
2
=
a
c
16
Đặng Văn Ngoan
+Hệ quả 2:
Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a
≠
0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c
−
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2

= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
-
S x+P = 0
(x
1
; x
2
tồn tại khi S
2
– 4P
≥
0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là
∆
≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
Bài 1: Giải phương trình

a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
a) Giải phương trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;
∆
= 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1
−=

−−−
=
x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=
x
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :




=
−=
⇒



−=−==
+−==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1

50
=
−
−
b) Giải phương trình (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
17
Đặng Văn Ngoan
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = – 2 –
3
)
∆ = (2
3
)
2
- 4(2-
3

)(– 2 –
3
) = 16;
∆
= 4
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
)32(2
432
1
=
−
+−
=
x
;
)347(
)32(2
432
2
+−=
−
−−
=
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3
; b

’
=
3
; c = – 2 –
3
)
∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4;
∆
= 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
32
23
1
=
−
+−

=x
;
)347(
32
23
2
+−=
−
−−
=x
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+−=
−
−−

−
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x
2
– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2
3
x – 3 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0
6.
3
x

2
– (1-
3
)x – 1 = 0
7.(2+
3
)x
2
- 2
3
x – 2 +
3
= 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆
’
= (- 21)
2
- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21

*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m
2
18
Đặng Văn Ngoan
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x
4

+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x
2
- 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x

+
2
)(x

-
2
)(x + 3) = 0
⇔ x = -
2
; x =
2

; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =
2
; x = - 3
b) Giải phương trình
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2
– 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x
1
= -1(không thoả mãn
ĐK) ; x

2
= 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
(3)
Ta có: (3) ⇔ 5x
4
– 3x
2
– 26 = 0
Đặt x
2
= t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t
2
– 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)
2
– 4.5.(-26) = 529. ⇒
∆
= 23
Nên: t
1
=
5
13

5.2
23)3(
=
+−−
(thoả mãn t ≥ 0) ;
t
2
=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
Với t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5
13
±
Vậy phương trình (3) có nghiệm x
1
=
5

13
−
; x
2
=
5
13
d) Giải phương trình 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t
2
– 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1
= 1; t
2
=
3
1
−
t
1
= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x

2
+ x – 1 = 0
∆
1
= 1
2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
19
Đặng Văn Ngoan
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2
+x =
3
1
−

⇔ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)
∆
2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51
−−
; x
2
=
2
51
+−
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)
2

= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
– 5x
2
+ 4 = 0
4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1
=
+

−
+
x
x
x
x
7. (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+






+−







+
x
x
x
x
9.
xx
x
−
=+
−
+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phương trình x
2
+
3
x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2

.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x
1

và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3
−
; x
1
.x
2
=
5
−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−

−
=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2
+=−−−
C =
)523(

5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
+=
−
+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x

1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +−=−−+−
* Bài tương tự:
Cho phương trình x
2
+ 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2

2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2

2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a
≠
0) có:
20
Đặng Văn Ngoan
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)
⇔

∆

≥

0
2. Vô nghiệm
⇔

∆
< 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)
⇔

∆
= 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)
⇔

∆
> 0
5. Hai nghiệm cùng dấu
⇔

∆≥
0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu
⇔

∆
> 0 và P < 0
⇔
a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)
⇔

∆≥
0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)
⇔

∆≥
0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau
⇔

∆≥
0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau
⇔

∆≥
0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

⇔
a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x
1
+ x
2
=

a
b
−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động
khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆
’
= (-1)
2
- 1.k = 1 – k
Nếu ∆
’
< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x
1
= x

2
=1
Nếu ∆
’
> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= 1-
k
−
1
; x
2
= 1+
k
−
1
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x
1
= 1-
k
−
1
; x
2
= 1+
k

−
1
Bài 3: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
21
Đặng Văn Ngoan
(1) có nghiệm ⇔ ∆
’
= 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
3
2
thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =

2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆
’
= 3m-2 = 0 ⇔ m =
3
2
(thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó x =
3
1
3
2
1
1
1
=
−
−=
−
−
m
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
3
với m =

3
2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
3
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1
−
≠ 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
612
4
1
3
1
3

2
=⇒=
−
−
=
−
−
x
m
Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên
phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x
2
-2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x

2
của phương trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2

≥
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2
Giải
a) Ta có: ∆
’
= (m-1)
2
– (– 3 – m ) =
4
15
2
1
2

+






−m
Do
0
2
1
2
≥






−
m
với mọi m;
0
4
15
>
⇒ ∆ > 0 với mọi m
⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
22

Đặng Văn Ngoan
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0

3
3
1
0)3(
0)1(2
−<⇔



−<
<
⇔




>+−
<−
⇔ m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)

2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
– 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m
2
– 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0





≤
≥
⇔















≤
≤





≥
≥
⇔










≤−
≤




≥−
≥
⇔
0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy m ≥
2
3
hoặc m ≤ 0

e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:



−−=
−=+
⇔



+−=
−=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21
21
21
21
mxx
mxx
mxx
mxx
⇒ x
1
+ x
2

+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 ⇔ x
1
(1+2x
2

) = - ( 8 +x
2
) ⇔
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
Vậy
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
(
2
1
2

−≠
x
)
Bài 5: Cho phương trình: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2
11
1
x
xy +=
;
1
22
1
x
xy +=
với x
1

; x
2
là nghiệm của
phương trình ở trên
Giải
a) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
23
Đặng Văn Ngoan
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2
2
2
11
02
1
0
'
=⇔



=
≤
⇔




=−
≥−
⇔



=
≥∆
⇔ m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2
b) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x

2
= m – 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 2
2 2 2 4 5 5
3 2 1 3 2 1 2 7
x x x x x x
x x x x x x x
+ = − + = − = =
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = + = − = −
   
   
   
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x

2
= m – 1 (2)
Khi đó:
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2
1 1
x x m
y y x x x x
x x x x m m
+ −
+ = + + + = + + = − + =
− −
(m≠1)

2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1
( )( ) 2 1 2
1 1
m
y y x x x x m
x x x x m m
= + + = + + = − + + =
− −
(m≠1)
⇒ y

1
; y
2
là nghiệm của phương trình: y
2
-
m
m
−
1
2
.y +
1
2
−
m
m
= 0 (m≠1)
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác
nhiều cách giải khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x

2
+ 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x
2
– 4x + m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
3) Cho phương trình: x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0
a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x

1
< x
2
<6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
24
Đặng Văn Ngoan
b) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) – 5x
1
x
2
*) CMR: A = 8m
2
– 18m + 9
**) Tìm m sao cho A =27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x

2

-2(m + 4)x + m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm
x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x
2
– 4x – (m
2
+ 3m) = 0
a) C/m phương trình luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1
và y
2

thoả mãn:
y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
và
3
11
1
2
2
1
=
−
+
−
y
y
y
y
7) Cho phương trình : x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2

thoả
mãn :
2
1
2
2
2
1








+








x
x
x
x
> 7

8) Cho phương trình : (m – 1)x
2
– 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
≥−
xx
Dạng 5: Tìm m để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn đẳng thức
cho trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình :
.0m3mx)1m(2x
22

=−+−−
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình :
.03m4x)1m2(x
2
=−−−−
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Bài 3: Tìm m để phương trình :
.02m5x)4m(2x)1m2(
2

=+++−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả
mãn
.16xx2xx
21
2
2
2
1
+=+
Bài 4: Tìm m để phương trình:
.01mmx2x)1m(
2
=++−−
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
.0
2
5
x
x
x
x

1
2
2
1
=++
Bài 5: Tìm m để phương trình:
.0m2x)4m(mx
2
=+−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.0xx5)xx(2
21
2
2
2
1
=−+
25