Chuyên đề đầy đủ - mặt phẳng - đường thẳng - mặt cầu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.4 MB, 88 trang )
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)
7ƭQKJLD. 22.03.2011
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
2
CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. Kiến thức chung
1. Phương trình mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt
- PTTQ (phương trình tổng quát) mặt phẳng
P qua
0 0 0 0
( , , )M x y z và có vtpt (vectơ pháp tuyến)
( , , )n A B C
là:
0 0 0
( ) : ( ) ( ) ( ) 0P A x x B y y C z z
Hay ( ) : 0P Ax By Cz D với
0 0 0
( )D Ax By Cz
- PTMP (phương trình mặt phẳng)
P
qua ( ,0,0) ; (0, ,0) ; (0,0, )A a Ox B b Oy C c Oz có phương trình
là: ( ) : 1
x y z
P
a b c
(Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn)
- Đặc biệt:
+
2 2
0
( ) / / 0
0
A
P Ox D
B C
+
2 2
0
( ) / / 0
0
B
P Oy D
A C
+
2 2
0
( ) / / 0
0
C
P Oz D
A B
- Phương trình mặt phẳng (Oxy) là
0z
, (Oyz) là
0x
và (Oxz) là
0y
2. Vị trí tương đối của mặt thẳng và mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng
1 1 1 1 1
( ) : 0A x B y C z D
và
2 2 2 2 2
( ) : 0A x B y C z D
TH 1:
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
( ) / /( )
A B C D
A B C D
TH 2:
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
A B C D
A B C D
TH 3:
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0A A B B C C
3: Phương trình chùm mặt phẳng:
Tập hợp các mặt phẳng ( )
chứa đường thẳng ( ) ( )
được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi
mặt phẳng
( )
và mặt phẳng
( )
Nếu
1 1 1 1
( ) : 0A x B y C z D
và
2 2 2 2
( ) : 0A x B y C z D
thì phương trình mặt phẳng ( )
là:
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D
(*) với
2 2
0m n
phương trình (*) có thể viết lại: ( ) ( ) 0m n
4. Góc và khoảng cách
- Góc của 2 mặt phẳng:
1 1 1 1 1
( ) : 0A x B y C z D
và
2 2 2 2 2
( ) : 0A x B y C z D
là:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
A A B B C C
cos
A B C A B C
- Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
3
.
sin( ,( ))
.
u n
d P
u n
- Khoảng cách từ một điểm
0 0 0 0
; ;M x y z
đến mặt phẳng
: 0P Ax By Cz D
0 0 0
0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M P
A B C
B. Một số dạng bài tập
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
o
(x
o
;y
o
;z
o
) và thoả mãn điều kiện
Loại 1 : Có một vectơ pháp tuyến
Phương pháp:
- Xác định
0 0 0 0
( , , )M x y z của mặt phẳng
P
- Xác định vtpt ( ; ; )n A B C
+ Nếu
/ /
P Q
P Q n n
+ Nếu
P d
P d n u
- Áp dụng công thức:
0 0 0
( ) : ( ) ( ) ( ) 0P A x x B y y C z z
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK 12 – Ban Cơ Bản T89) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng
(P):
a. Đi qua điểm
1; 2;4M
và nhận vectơ
2;3;5n
làm vectơ pháp tuyến
b. Đi qua điểm
2; 1;2M
và song song với mặt phẳng
: 2 – 3 4 0Q x y z
Giải:
a. Cách 1:
Mặt phẳng
P
đi qua điểm
1; 2;4M
và có vectơ pháp tuyến
2;3;5n
có phương trình là :
2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4 ) = 0 hay
: 2 3 5 –16 0P x y z
Cách 2:
Mặt phẳng (P) có vtpt
2;3;5n
luôn có dạng 2 3 5 ’ 0x y z D vì mặt phẳng (P) đi qua
điểm
1; 2;4 2.1 3. 2 5.4 ’ 0 ’ 16M D D .Vậy mặt phẳng
: 2 3 5 –16 0P x y z
b. Cách 1:
Mặt phẳng
P
đi qua điểm
2; 1;2M
song song với mặt phẳng
Q
nên mặt phẳng
P
đi qua điểm
2; 1;2M
và có vtpt
2; 1;3
P Q
n n
nên mặt phẳng
P
có phương trình:
2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = 0 hay
: 2 – 3 –11 0P x y z
Cách 2 :
Mặt phẳng (P) có vtpt
2; 1;3
P
n
luôn có dạng 2 – 3 ’ 0x y z D vì mặt phẳng
P đi qua điểm
2; 1;2M ' 1D hay
: 2 – 3 –11 0P x y z
Hoặc có thể lí luận vì
P song song với
Q nên
P luôn có dạng 2 – 3 ’ 0x y z D
vì
P qua M
: 2 – 3 –11 0P x y z
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
4
Bài 2: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng
có phương
trình: 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình
12 4
: 9 3
1
x t
d y t
z t
a. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng
b. Viết phương trình mặt phẳng
chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d
Giải:
a. Toạ độ điểm
M d
là nghiệm của phương trình
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0
t =
3
.Vậy
0;0; 2M
b. Cách 1 :
Mặt phẳng
đi qua điểm
0;0; 2M vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng
đi qua điểm
0;0; 2M và có vtpt
n
=
d
u
= (4;3;1) nên mặt phẳng
có phương trình là:
4(x – 0) + 3(y – 0) + 1(z +2) = 0 hay
: 4 3 2 0x y z
Cách 2:
Mặt phẳng
có vtpt
n
= (4;3;1) luôn có dạng 4x + 3y + z + D’ = 0 vì mặt phẳng
đi qua điểm
0;0; 2M
D’ = 2 hay
: 4 3 2 0x y z
Chú ý:
Có thể phát biểu bài toán dưới dạng như, cho biết tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC thì khi đó
P
n BC
Nhận xét :
- Mặt phẳng
có vtpt
; ;n a b c
thì
luôn có dạng ax + by + cz + D’ = 0
- Nếu cho
có dạng Ax + By + Cz + D = 0 thì
mà song song với
luôn có dạng
Ax + By + Cz + D’ = 0 với
'
0D
- Hai mặt phẳng song song với nhau thì hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau, mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng thì vtpt và vtcp cũng song song (cùng phương) với nhau . Điều này lý giải
tại sao trong bài 1 câu b lại chọn
P
n
=
Q
n
,thật vậy vì mặt phẳng
P song song với mặt phẳng (Q)
nên hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau hay
P
n
= k.
Q
n
, vì k 0 nên chọn k = 1 để
P
n
=
Q
n
. Tương tự như thế trong bài 2b ta chọn k = 1 để
n
=
d
u
, từ đó ta có nhận xét
+ Hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng vtpt
+ Nếu mặt phẳng
P chứa hai điểm A và B thì AB
là một vtcp của mặt phẳng
P
+ Nếu mặt phẳng
P vuông góc với mặt phẳng (Q) thì vtpt của mặt phẳng
P là vtcp của mặt
phẳng (Q) và ngược lại
+ Nếu mặt phẳng
P
vuông góc với vecto AB
thì vecto AB
là một vtpt của mặt phẳng
P
- Vectơ pháp tuyến cũng có thể cho ở hình thức là vuông góc với giá của vectơ
a
nào đó, khi đó ta
phải hiểu đây a
là vectơ chỉ phương
Bài 3: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz cho điểm vectơ
6; 2; 3a
và
1;2; 3A
. Viết phương trình mặt phẳng
chứa điểm A và vuông góc với giá của vectơ a
Hướng dẫn:
Làm tương tự như bài 2b ta được
: 6 – 2 – 3 2 0x y z
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
5
Bài 4: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi
qua điểm
2;6; 3M
và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ
Giải:
Nhận xét :
- Các mặt phẳng toạ độ ở đây là Oxy; Oyz; Oxz . Thoạt đầu ta thấy các mặt phẳng này không thấy vtpt ,
nhưng thực ra chúng có vtpt, các vtpt này được xây dựng nên từ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz
lần lượt là
i
= (1;0;0) ;
j
= (0;1;0) ;
k
= (0;0;1), các vectơ này được coi là các vtcp
- Bây giờ ta sẽ viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua M và song song với mặt phẳng 0xy còn các mặt
phẳng khác làm tương tự
Cách 1:
Mặt phẳng
P
đi qua
2;6; 3M
và song song với mặt phẳng Oxy
mặt phẳng
P
đi qua M và
vuông góc Oz nên mặt phẳng (P) đi qua M nhận vectơ
P
n
= k
làm vtpt có phương trình là :
0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0 hay
: 3 0P z
Cách 2:
Mặt phẳng
P song song với mặt phẳng 0xy mặt phẳng
P song song với hai trục Ox và Oy
P
n
i
và
P
n
j
P
n
= [i
, j
] = (0;0;1) là vtpt nên
: 3 0P z
Tương tự (P) // Oyz và đi qua điểm M nên
: 2 0P x
(P) // Oxz và đi qua điểm M nên
: 6 0P y
Cách 3:
Mặt phẳng
P
song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng
P
luôn có dạng Cx + D = 0 vì mặt
phẳng
P
đi qua M
C. 3 D 0
vì C 0 nên chọn C = 1
D =
3
.
Vậy mặt phẳng
P
có phương trình là
: 3 0P z
Chú ý:
Bài toán có thể phát biểu là viết phương trình (P) đi qua M // với Ox và Oy
P
đi qua M // với mặt
phẳng 0xy
Loại 2: Có một cặp vectơ chỉ phương
,a b
(với
, 0a b
có giá song song hoặc nằm trên mp ( )P )
- Tìm vtpt
,n a b
-
P
là mp qua
0 0 0 0
( , , )M x y z và có VTPT
n
- Quay lại loại 1
Bài tập giải mẫu:
Bài 5: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
0; 1;2A
và song song với giá của mỗi vectơ
u
= (3;2;1) và
v
=
3;0;1
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng
P
đi qua
0; 1;2A
và song song với giá của hai vectơ
u
= (3;2;1) ;
3;0;1v
mặt phẳng
P
đi qua A và c
ó
P
n
u
;
P
n
v
(với
u
và
v
không cùng phương)
mặt phẳng
P
đi qua A và có vtpt
, 2; 6;6 2 1; 3;3
P
n u v
mặt phẳng
P
có phương trình là :
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
6
1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = 0 hay
: – 3 3 – 9 0P x y z
Cách 2 : Làm tương tự như bài 1b khi biết
2; 6;6
P
n
và
0; 1;2A
Bài 6: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
2; 1;2M
, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng
: 2 – 3 4 0x y z
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng
đi qua điểm
2; 1;2M song song với trục 0y và vuông góc với mặt phẳng
mặt phẳng
đi qua M và có
n
j
;
n
n
(với j
và
n
không cùng phương)
mặt phẳng
đi qua M và có vtpt
n
= [ j
,
n
] = (3;0;-2)
mặt phẳng
có phương trình là :
3(x – 2) + 0(y + 1) – 2(z – 2) = 0 hay
: 3 – 2 – 2 0x z
Cách 2: Làm tương tự như bài 1b khi biết
3;0; 2n
và
2; 1;2M
Cách 3: Giả sử mặt phẳng
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
có vtpt
; ;n A B C
- Mặt phẳng
đi qua điểm
2; 1;2M
.2 .( 1) .2 0 1A B C D
- Mặt phẳng
song song với trục Oy
. 0 .0 .1 .0 0 2n j A B C
- Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
. 0 .2 . 1 .3 0 3n n A B C
Giải hệ (1), (2) và (3)
3, 0, 2, 2.A B C D
Vậy mặt phẳng
có phương trình là : 3 – 2 – 2 0x z
Bài 7: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
3; 1; 5M
đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
: 3 – 2 2 7 0x y z
và
: 5 – 4 3 1 0x y z
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng
đi qua điểm
3; 1; 5M
đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
và
mặt
phẳng
đi qua điểm M và có
n
n
;
n
n
(với
n
và
n
không cùng phương)
mặt phẳng
đi qua điểm M và có vtpt
n
= [
n
,
n
] = (2;1;-2)
mặt phẳng (
) có phương trình là :
2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay
: 2 – 2 –15 0x y z
Cách 2: Làm tượng tự như bài 1b khi biết
n
=
2;1; 2 và
3; 1; 5M
Cách 3: Giả sử mặt phẳng
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
có vtpt
; ;n A B C
- Mặt phẳng
đi qua điểm
3; 1; 5M
.3 .( 1) . 5 0 1A B C D
- Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
. 0 .3 . 2 .2 0 2n n A B C
- Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
. 0 .5 . 4 .3 0 3n n A B C
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:
DĐ: 01694 013 498
7
Từ (1) và (2) ta được
3 21
, 6
2 2
C B A D B A
thế vào (3) ta được
2
A B
chọn
1, 2 2, 15
B A C D
Vậy phương trình mặt phẳng
là
2 – 2 –15 0
x y z
Bài 8: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng
1
1 1
: , ' : 1 2
2 1 1
2
x t
x y z
d d y t
z t
Viết phương trình mặt phẳng
đi qua A đồng thời song song với d và d’
Giải:
Cách 1:
Vì
1 2
0;1; 1 ; 1; 1;2
B d C d
và
1 2
, , / /B C d d
Vecto chỉ phương của
1 2
d và d
lần lượt là
1 2
2;1; 1 1; 2;1
u và u
vecto pháp tuyến của
là
1 2
, 1; 3; 5
n u u
Vì
đi qua
0;1;2 : 3 5 13 0
A x y z
Đs:
: 3 5 13 0
x y z
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng
có dạng :
2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
có vtpt
; ;
n A B C
- Mặt phẳng
đi qua điểm M
.0 .1 .2 0 1
A B C D
- Mặt phẳng
song song với đường thẳng d
. 0 .2 .1 . 1 0 2
d
n u A B C
- Mặt phẳng
song song với đường thẳng d
’
'
. 0 .1 . 2 .1 0 3
d
n u A B C
Từ (1) và (2) ta được
2 , 4 3
C A B D A B
thế vào (3) ta được
3
A B
chọn
1, 3 5, 13
A B C D
Vậy phương trình mặt phẳng
là
3 5 13 0
x y z
Nhận xét:
Nếu điểm
A d
(hoặc
'
A d
) thì bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng
chứa
d
(hoặc
'
d
)
và song song với
'
d
(hoặc
d
)
Bài tập tự giải:
Bài 1:
a. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm
3;4;1 , 2;3;4 , 1;0;2 .
M N E Viết phương trình
mặt phẳng
đi qua điểm E và vuông góc với MN.
(Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)
b. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
1; 2;1
K
và vuông góc với đường
thẳng
1
: 1 2
1 3
x t
d y t
z t
.
(Đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007)
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
8
Đs: a.
: 3 5 0x y z
b.
: 2 3 8 0x y z
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm
1; 1;0M và mặt phẳng
P có phương trình:
2 4 0.x y z Viết phương trình mặt phẳng
đi qua M và song song với
P
Đs:
: 2 2 0x y z
(Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
2;3;1M
và vuông góc với hai mặt phẳng
: 2 2 5 0 và : 3 2 3 0P x y z Q x y z
(Sách bài tập nâng cao hình học 12)
Đs:
: 3 4 19 0x y z
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
2;1; 1M và qua giao tuyến của hai mặt phẳng:
4 0 và 3 1 0.x y z x y z
(Sách bài tập nâng cao hình học 12)
Đs:
:15 7 7 16 0x y z
Dạng 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
1
(x
1
;y
1
;z
1
) và M
2
(x
2
;y
2
;z
2
) đồng thời thoả mãn
điều kiện
a. Vuông góc với mặt phẳng
b. Song song với đường thẳng d (hoặc trục Ox, Oy, Oz)
c. Có khoảng cách từ điểm M tới là h
d. Tạo với một góc
Q một góc
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm
1;0;1 , 5;2;3M N
và vuông góc với mặt phẳng
: 2 – – 7 0x y z
Giải:
Cách 1 :
Mặt phẳng
đi qua hai điểm M(1;0;1); N(5;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (
)
mặt phẳng
đi qua điểm M và
n
MN ;
n
n
(với MN và
n
không cùng phương)
mặt phẳng
đi qua điểm M và có vtpt
n
= [
MN
,
n
] =
4;0; 8
= 4
1;0; 2
mặt phẳng
có phương trình là :
1(x – 1) + 0(y – 0) – 2(z – 1) = 0 hay
: x – 2z + 1 = 0
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
có vtpt
; ;n A B C
- Mặt phẳng
đi qua
1;0;1M
.1 .0 .1 0 1A B C D
- Mặt phẳng
đi qua
5; 2;3N
.5 .2 .3 0 2A B C D
- Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
. 0 .2 . 1 .1 0 3n n A B C
Từ (1) và (2) ta được – 2 – ,C A B D A B thể vào (3) ta được –2 0B chọn
1, 0 2, 1A B C D
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
9
Vậy phương trình mặt phẳng
là – 2 1 0x z
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
4; 1;1M
;
3;1; 1N
và cùng phương (song song) với trục Ox
Giải:
Cách 1 :
Mặt phẳng (P) đi qua điểm
4; 1;1M ;
3;1; 1N và cùng phương với trục Ox mặt phẳng (P) đi qua
điểm M và
P
n MN
;
P
n
i
(với và
i
không cùng phương)
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận vtpt
P
n
= [ , i
] =
0; 2; 2
=
2 0;1;1
mặt phẳng (P) có phương trình là :
0(x – 4) + 1( y + 1) + 1(z – 1) = 0 hay (P): y + z = 0
Cách 2: Làm tương tự bài 1 (cách 2) điều kiện ở đây là
P
n
i
Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong mặt phẳng Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai
điểm
3;0;0 , 0;0;1A C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc = 60
o
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 60
o
nên mặt phẳng (Q) cắt mặt phẳng
Oxy tại điểm B(0;b;0) Oy khác gốc toạ độ O
b 0
mặt phẳng (Q) là mặt phẳng theo đoạn chắn có phương trinh là :
1
13
z
b
yx
hay (Q): bx + 3y + 3bz – 3b = 0
mặt phẳng (Q) có vtpt
Q
n
= (b;3;3b)
Mặt phẳng 0xy có vtpt
k
= (0;0;1) .Theo giả thiết ,ta có
|cos (
Q
n
,
k
)| = cos60
o
2
1
99
3
2
bb
b
26
3
26
9
996
22
bbbbb
Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là :
(Q
1
) : x – 26 y + 3z – 3 = 0
(Q
2
) : x +
26
y + 3z – 3 = 0
Cách 2: vì A Ox và C Oz
Gọi AB là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng 0xy .Từ O hạ OI AB .
Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB CI
0
60OIC
Trong
vuông OIC ta có OI = OC.tan
OIC = 1.tan60
o
=
3
3
Trong vuông OAB ta có
222
111
OBOAOI
232
1
3
1
3
3
1
OB
OB =
26
3
B
1
(0; 26 ;0) Oy hoặc B
2
(0; 26 ;0) Oy .Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn là
1
13
26
3
zyx
hay (Q) : x
26
y + 3z – 3 = 0
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
10
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm
2;1;3 , 1; 2;1M N
và song song với đường thẳng d có phương trình là:
1
: 2
3 2
x t
d y t
z t
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng
đi qua hai điểm
2;1;3 , 1; 2;1M N
và song song với đường thẳng d
mặt phẳng
đi qua điểm M và
n MN
;
n
d
u
(với MN
và
d
u
không cùng phương)
mặt phẳng
đi qua điểm M và có vtpt
n
= [ MN
,
d
u
] =
10; 4;1
mặt phẳng
có phương trình là :
10(x – 2) – 4(y – 1) + 1(z – 3) = 0 hay
: 10 4 19 0x y z
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
có vtpt
; ;n A B C
- Mặt phẳng
đi qua
2;1;3M
.2 .1 .3 0 1A B C D
- Mặt phẳng
đi qua
1; 2;1N
.1 . 2 .1 0 2A B C D
- Mặt phẳng
song song với đường thẳng d
. 0 .1 .2 . 2 0 3
d
n u A B C
Từ (1) và (2) ta được
1 3 1 7
,
2 2 2 2
C A B D A B thế vào (3) ta được 2 5A B chọn
1 19
5, 2 ,
2 2
A B C D
Vậy phương trình mặt phẳng
là
1 19
5 2 0 10 4 19 0
2 2
x y z x y z
Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết
phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng
3 .
Giải:
Giả sử mặt phẳng
P
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
P có vtpt
; ;
P
n A B C
- Mặt phẳng
P đi qua
1;1;0A
. 1 .1 .0 0 1A B C D
- Mặt phẳng
P đi qua
0;0; 2B
.0 .0 . 2 0 2A B C D
Từ (1) và (2) ta được
1
,
2
C A B D A B
Nên mặt phẳng
P có phương trình là
1
0
2
Ax By A B z A B
Theo giả thiết
2 2
2
2 2
1
7
2
; 3 3 5 2 7 0 1
5
1
2
A B A B A B
A A
d I P A AB B
B B
A B A B
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
11
Với
1
A
B
chọn
1, 1 1, 2 : 2 0A B C D P x y z
Với
7
5
A
B
chọn
7, 5 1, 2 : 7 5 2 0A B C D P x y z
Nhận xét:
Gọi
Ocban );;(
là véctơ pháp tuyến của (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt
: 1 1 0P a x b y cz
Mà (P) qua B(0;0;-2)
2 0 2a b c b a c
Ta có PT
: 2 2 0P ax a c y cz c
2 2
2 2 2
2
; 3 3 2 16 14 0
7
( 2 )
a c
a c
d C P a ac c
a c
a a c c
TH 1: ca ta chọn 1 ca Pt của
: 2 0P x y z
TH 2:
ca 7
ta chọn a = 7; c = 1 Pt của
: 7 5 2 0P x y z
Bài 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2) và mặt phẳng
: 2 3 3 0Q x y z . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
HD:
Ta có
(1;1;1), (1;2;3), ; (1; 2;1)
Q Q
AB n AB n
Vì
; 0
Q
AB n
nên mặt phẳng (P) nhận
;
Q
AB n
làm véc tơ pháp tuyến
Vậy (P) có phương trình x – 2y + z – 2 =0
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0). Viết phương trình mặt phẳng qua
I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng
0
30
Giải:
Giả sử mặt phẳng cần có dạng : ( ) : 1 ( , , 0)
x y z
a b c
a b c
( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 1
3 1
x y z
Do I c v do K a
b
0
0
0
0
.
1 1 3 2
( ; ;1) (0;0;1) cos30
3 2
.
x y
x y
x y
n n
n và n k b
b
n n
( ) : 1
3 1
3 2
2
x y z
Bài 9: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh
1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1A B C và
0;3;1D . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P)
Giải:
Cách 1:
Giả sử mặt phẳng
P có dạng :
2 2 2
0 0ax by cz d a b c
mặt phẳng
P
có vtpt
; ;
P
n A B C
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
12
- Mặt phẳng
P đi qua
1;2;1A
.1 .2 .1 0 1a b c d
- Mặt phẳng
P đi qua
2;1;3B
. 2 .1 .3 0 2a b c d
Từ (1) và (2) ta được
3 1 5
,
2 2 2
c a b d a b
Nên mặt phẳng
P
có phương trình là
3 1 5
0
2 2 2
ax by a b z a b
Theo giả thiết
, ,d C P d D P
2 2
2 2 2 2
3 1 5 5 3 1 5 5
.2 . 1 .1 .0 .3 .1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 3 1
2 2 2 2
2 4
3
2 0
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b
a b a b
b
Với
2 4a b
chọn
1
4, 2 7, 15 : 4 2 7 15 0a b c d P x y z
Với
2 0b
chọn
2 2
3 5 3 5
0, 1 , : 0 : 2 3 5 0
2 2 2 2
b a c d P x z P x z
Cách 2: Xét hai trường hợp
TH1 : (P) // CD. Ta có :
AB ( 3; 1;2),CD ( 2;4;0)
(P)cóPVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
TH2 : (P) qua I(1;1;1) là trung điểm CD
Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
Đáp số:
1
: 4 2 7 15 0P x y z
và
2
: 2 3 5 0P x z
Bài tập tự giải:
Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm
1;0;1 , 2;1;2A B
và mặt phẳng
: 2 3 3 0Q x y z
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
Đs:
: 2 2 0P x y z
Bài 2: Lập phương trình mp(P) đi qua
0;3;0 , 1; 1;1M N
và tạo với mặt phẳng
: 5 0Q x y z
một góc
với
1
cos
3
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua
1; 1;3 , 1;0;4M N
và tạo với mặt phẳng
: 2 5 0Q x y z
một góc nhỏ nhất .
Đs:
: 4 0P y z
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm
1;2;3 , 2; 2;4M N
và song song với Oy.
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
13
Đs:
: 2 0x z
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng
: 2 3 7 0P x y z . Viết phương trình
mặt phẳng (
) đi qua
1;1;0 , 1;2;7A B và vuông góc với (P).
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Đs:
:11 8 2 19 0x y z
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M
o
(x
o
;y
o
;z
o
) M
1
(x
1
;y
1
;z
1
) và M
3
(x
3
;y
3
;z
3
)
không thẳng hàng cho trước
Phương pháp:
Cách 1:
- Tìm hai vecto
0 1 0 2
,M M M M
- Tìm vtpt
0 1 0 2
,n M M M M
-
P
là mặt phẳng qua
0
M
và có VTPT
n
Cách 2:
- Giả sử phương trình mặt phẳng
P là
0 1Ax By Cz D
2 2 2
( 0)A B C
- Vì
P đi qua ba điểm
0 1
,M M và
2
M thay tọa độ vào phương trình (1) được hệ 3 ẩn, 3 phương trình
theo ,A B và
C
. Giải hệ này ta được ,A B và
C
- Thay vào phương trình (1) ta được phương trình mặt phẳng
P
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm M
3;0;0 ;
0; 2;0N và
0;0; 1P
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng
đi qua ba điểm
3;0;0M
;
0; 2;0N
và
0;0; 1P
mặt phẳng
đi qua điểm M
và
n
MN
;
n
MP
(với
MN
và MP
không cùng phương)
mặt phẳng
đi qua điểm M và nhận vtpt
n
= [
MN
, MP
] = (2;3;6)
mặt phẳng
có phương trình là :
2(x + 3) + 3(y – 0 ) + 6(z – 0) = 0 hay
: 2x + 3y + 6z + 6 = 0
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng
có dạng
2 2 2
0 ( 0)Ax By Cz D A B C
- Mặt phẳng
đi qua M
3;0;0
. 1 .0 .0 0 1A B C D
- Mặt phẳng
đi qua
0; 2;0N
.0 . 2 .0 0 2A B C D
- Mặt phẳng
đi qua
0;0; 1P
.0 .0 . 1 0 3A B C D
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A = 2, B = 3, C = 6 và D = 6 .
Vậy mặt phẳng
có phương trình là 2 3 6 6 0x y z
Cách 3:
Nhận thấy M
3;0;0
Ox ; N
0; 2;0
Oy và P
0;0; 1
Oz nên phương trình mặt phẳng
là
mặt phẳng theo đoạn chắn có dạng :
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
14
1
123
zyx
hay
: 2 3 6 6 0x y z
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN, biết M và N có toạ độ cho trước
Phương pháp:
- Tính tọa độ trung điểm I của MN và tính
MN
- Mặt phẳng trung trục của đoạn MN là mặt phẳng đi qua I và có vtpt
P
n MN
- Biết một điểm và một vtpt ta được phương trình mặt phẳng cần tìm
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình trung trực
của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3)
Giải:
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB I(3;2;5) .Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi trung điểm
I của A,B và vuông góc với đoạn thẳng AB mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua I và nhận
vectơ AB
=
2; 2; 4 = 2
1; 1; 2 làm vtpt
mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là:
1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – 5 ) = 0 hay
: – – 2 9 0 P x y z
Cách 2: (Phương pháp quĩ tích )
Mọi điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB
MA = MB
2 2 2 2 2 2
2 2
– 2 – 3 – 7 – 4 – 1 – 3MA MB x y z x y z
– – 2 9 0 x y z
Cách 3:
Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB
làm vtpt luôn có dạng x – y – 2z + D’ = 0 ,vì I mặt phẳng trung
trực 3 – 2 – 2.5 + D’ D’ = 9 mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là : x – y – 2z + 9 = 0
Cách 4:
Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB
làm vtpt luôn có dạng x – y + 2z + D’ = 0 vì mặt phẳng (P) cách đều
, , ,A B d A P d B P
411
'7.232
D
=
411
'3.214
D
9'13' DD D’ = 9
Vậy mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là: – – 2 9 0 x y z
Nhận xét :
- Bài toán này thực chất là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc giá của
một vectơ (thuộc dạng 1)
- Vectơ đi qua hai điểm cho trước được coi là một vtcp của đường thẳng
Bài tập tự giải:
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm
1; 4;5 , 3;2;7E F . Viết phương trình mặt
phẳng (
) là trung trực của đoạn thẳng EF.
(Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban lần 2 năm 2007)
Đs:
: 3 5 0x y z
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
15
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai hai đường thẳng (
1
) và (
2
)
cho trước
Phương pháp:
- Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng
1 2
àv nên có vtpt
1 2
;
P
n u u
- mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng
1 2
àv nên (P) đi qua trung điểm của I của MN với
1 2
àM v N Quay về dạng 4
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐHSP HN 2 – 98) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình là
d :
tz
ty
tx
2
1
2
và d’ :
03
022
y
zx
a. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách đều d và d’
Giải:
a. Chọn điểm M(2;1;0) d và d có vtcp
1; 1;2
d
u
,chọn điểm N(0;3;1) d’ và d’ có vtcp
'
2;0;1
d
u
.Tính
n
= [
d
u
,
'd
u
] =
1; 5; 2
(với
d
u
và
'd
u
không cùng phương) và
2;2;1MN
. Xét
. 1. 2 – 5.2 – 2.1 10 0n MN
d và d’ chéo nhau
b. Gọi I
2
1
;2;1
là trung điểm của M và N .Mặt phẳng (P) song song và cách đều d và d’
mặt phẳng (P) đi qua I và có vtpt
P
n
=
n
mặt phẳng (P) có phương trình là :
– 1(x – 1) – 5(y – 2) – 2
2
1
z = 0 hay (P) : x + 5y + 2x – 12 = 0
Nhận xét :
- Mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách đều d và d’ thực chất là mặt phẳng trung trực của đoạn M và
N nên có thể áp dụng các cách ở bài (dạng 4 )
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d
1
và d
2
biết:
1
2
: 2
3
x t
d y t
z t
và
2
1 2 1
:
2 1 5
x y z
d
Giải:
Đường thẳng d
2
có phương trình tham số là:
1 2 '
2 '
1 5 '
x t
y t
z t
vectơ chỉ phương của d
1
và d
2
là:
1 2
(1;1; 1), (2;1;5)u u
VTPT của mp(
) là
1 2
. (6; 7; 1)
d d
n u u
pt mp(
) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
Đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
( ,( )) ( ,( )) |12 14 3 | | 6 14 1 |
| 5 | | 9 | 7
d M d N D D
D D D
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
16
Vậy PT mp(
) là: 3x – y – 4z +
7 0
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng (Q
1
) và Q
2
(với Q
1
và
Q
2
song song với nhau)
Chú ý:
- Sử dụng công thức khoảng cách
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này tới
mặt phẳng kia
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là
(P) : 3x – y + 4z + 2 = 0 và (Q) : 3x – y + 4z + 8 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (
) song song và cách đều (P), (Q)
Giải:
Vì
P
n
=
Q
n
= (3;-1;4) và 2 8 nên (P) // (Q), chọn điểm M(0;2;0)(P) và điểm N(0;8;0)(Q)
Mặt phẳng
song song với (P) và (Q) luôn có dạng 3x – y + 4z + D’ = 0, vì
cách đều (P) và (Q)
nên
, ,d M d N
1619
'0.420.3
D
=
1619
'0.480.3
D
8'2' DD
D’ = 4
Vậy mặt phẳng (
) có phương trình là :3x – y + 4z + 4 = 0
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với một mặt cầu (S) và thỏa mãn một điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) và vtpt hoặc vtcp
- Bước 2: Từ điều kiện cho trước xác định vtpt
P
n
, giả sử
; ;
P
n a b c
khi đó mặt phẳng
P
có dạng
'
ax 0by cz D
với
'
0D
(1)
- Bước 3: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
,d I P R , từ đây được phương trình theo D,
giải phương trình (tại tuyệt đối) được D’ thay vào (1) ta được phương trình mặt phẳng
P cần tìm
- Bước 4: Kết luận (thường có hai mặt phẳng thỏa mãn)
Chú ý: Điều kiện cho trước là
- Song song với mặt phẳng
Q cho trước
P Q
n n
- Vuông góc với đường thẳng d cho trước
P d
n u
- Song song với hai đường thẳng d
1
và d
2
cho trước
1 2
,
P
n u u
- Vuông góc với hai mặt phẳng
Q
và
R
cho trước
1 2
,
P
n n n
- Song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
Q
cho trước ,
P d Q
n u n
Chú ý :
Nếu mặt phẳng
P
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại
M S
thì mặt phẳng
P
đi qua điểm M và có VTPT
là MI
Bài tập giải mẫu:
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
17
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T93) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2
: –10 2 26 170 0S x y z x y z
và song song với hai đường thẳng
5 2
: 1 3
13 2
x t
d y t
z t
7 3 '
’: 1 2 '
8
x t
d y t
z
Giải :
Ta có
2; 3;2
d
u
và
'
3; 2;0
d
u
.
Mặt cầu (S) (x – 5)
2
+ (y + 1)
2
+ (z + 13)
2
= 25
mặt cầu (S) có tâm
5; 1; 13I và bán kính R = 5
Mặt phẳng
song song với d và d’
mặt phẳng
có
n
d
u
;
n
'd
u
(với
d
u
và
'd
u
không cùng phương )
mặt phẳng
có vtpt
n
= [
d
u
,
'd
u
] = (4;6;5)
mặt phẳng
luôn có dạng 4x + 6y + 5z + D’ = 0
Mặt phẳng (
) tiếp xúc với mặt cầu (S)
d(I,(
)) = R
5
253616
')13.(5)1.(65.4
D
77552' D D’ = 52 5 77
Vậy có hai mặt phẳng (
) thỏa mãn đề bài là :
1
: 4x + 6y + 5z + 51 + 5
77
= 0
2
: 4x + 6y + 5z + 51 – 5 77 = 0
Bài 2: (SBT – Ban Nâng Cao T138) Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc
với mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình lần lượt là :
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và
5 1 13
:
2 3 2
x y z
d
Giải:
Đường thẳng d có vtcp
2; 3;2
d
u
.
Mặt cầu (S) (x – 5)
2
+ (y + 1)
2
+ (z + 13)
2
= 308
mặt cầu (S) có tâm
5; 1; 13I
và bán kính
308R
Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên có vtpt
2; 3;2
P d
n u
mặt phẳng (P) luôn có dạng 2x – 3y + 2z + D’ = 0
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
,d I P R
2.( 5) 3.( 1) 2.( 13) '
308 ' 13 5236 ' 13 5236
4 9 4
D
D D
Vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn đầu bài là :
(P
1
): 2x – 3y + 2z + 13 + 5236 = 0
(P
2
): 2x – 3y + 2z + 13 – 5236 = 0
Bài 3: (SGK – Ban Nâng Cao T90 – ĐHGTVT – 1998 ) Trong không gian Oxyz. Viết phương trình
mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là :
: 4 3 –12 1 0Q x y z
và
2 2 2
: – 2 – 4 – 6 – 2 0S x y z x y z
Giải:
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
18
Mặt phẳng (Q) có vtpt
4;3; 12
Q
n
.
Mặt cầu (S)
(x – 1)
2
+ (y – 2)
2
+ (z – 3)
2
= 16
mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kinh R = 4
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)
mặt phẳng (P) luôn có dạng 4x + 3y – 12z + D’ = 0
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
,d I P R
4.1 3.2 12.3 '
' 26
4 ' 26 52
' 78
16 9 144
D
D
D
D
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đầu bài là :
(P
1
): 4x + 3y – 12z + 78 = 0
(P
2
): 4x + 3y – 12z – 26 = 0
Bài 4: (Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình
mặt phẳng (
) song song với trục Oz, vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt
cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Giải:
Mặt phẳng (P) có vtpt
P
n
= (1;1;1) .
Mặt cầu (S) (x – 1)
2
+ (y + 1)
2
+ (z – 2)
2
= 9
mặt cầu (S) có tâm
1; 1; 2I và có bán kính R = 3
Mặt phẳng (
) song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (P)
mặt phẳng (
) có
n
k
;
n
P
n
(với k
và
P
n
không cùng phương )
mặt phẳng (
) có vtpt
n
= [ k
,
P
n
] =
1; 1;0
mặt phẳng (
) luôn có dạng x – y + D’ = 0
Mặt phẳng (
) tiếp xúc với mặt cầu (S)
,d I P R
1.1 1.( 1) '
3 ' 2 3 2 2 3 2
1 1
D
D D
Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn đầu bài là:
1
: x – y – 2 + 3
2
= 0
2
: x – y – 2 – 3
2
= 0
Bài 5: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong không gian với hệ toạ độ O xyz cho mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M(4;3;0) .Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với
mặt cầu (S) và đi qua điểm M
Giải:
Vì M(4;3;0) (S) nên mặt phẳng (P) đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu (S) là mặt phẳng đi qua M và
nhận
1;2;2IM
làm vtpt với
3;1; 2I
là tâm của mặt cầu (S)
mặt phẳng (P) có phương trình là:
1(x – 4) + 2(y – 3) + 2(z – 0 ) = 0 hay (P): x + 2y + 2z – 10 = 0
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 6 4 2 0S x y z x y z . Viết
phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ
(1;6;2)v
, vuông góc với mặt phẳng
( ) : 4 11 0x y z
và tiếp xúc với (S).
Giải:
Ta có mặt cầu (S) có tâm
1; 3;2I và bán kính
4R
Véc tơ pháp tuyến của ( )
là
(1;4;1)n
Vì ( ) ( )P
và song song với giá của v
nên nhận véc tơ
(2; 1;2)
p
n n v
làm vtpt.
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
19
Do đó
: 2 2 0P x y z m
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên
21
( ,( )) 4 ( ,( )) 4
3
m
d I P d I P
m
Vậy có hai mặt phẳng:
1
: 2 2 21 0P x y z và
2
: 2 2 3 0P x y z
Bài tập tự giải:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
: 2 1 1 9S x y z và vuông góc với đường thẳng
1
: 1 2
1 3
x t
d y t
z t
Đs:
2 3 7 3 14 0x y z
và
2 3 7 3 14 0x y z
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
: 4 2 4 7 0S x y z x y z
và hai đường thẳng
4 0
:
3 1 0
x y z
d
x y z
và
1 2
’ :
1 2 2
x y z
d
. Viết phương trình mặt phẳng
là tiếp diện của (S) đồng thời song song với d và d’.
Đs:
4 7 12 2 0x y z
và
4 7 12 2 0x y z
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng
/ / : 2 2 4 0P x y z
và tiếp xúc với mặt cầu (S) có
phương trình:
2 2 2
2 2 4 3 0x y z x y z
Đs: 2 2 17 0 x y z và 2 2 1 0x y z
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng
/ / : 2 2 1 0P x y z
và tiếp xúc với mặt cầu (S)
có phương trình:
2 2 2
2 1 2 4.x y z
Đs: 2 2 6 0x y z và 2 2 6 0x y z
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
: 2 2 4 3 0S x y z x y z và vuông góc với đường thẳng
1 2
:
1 2 2
x y z
d
Đs: 2 2 6 0 x y z và 2 2 12 0 x y z
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng
song song với
2 1
:
1 3 1
x y z
d
, vuông góc với
: 2 1 0 P x y z
và tiếp xúc với mặt cầu
2 2
2
: 2 1 9S x y z
Đs:
4 3 5 11 15 2 0x y z
và
4 3 5 11 15 2 0x y z
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
: 2 2 4 3 0S x y z x y z
và hai đường thẳng
2 2 0
:
2 0
x y
d
x z
và
'
1
:
1 1 1
x y z
d
. Viết phương trình mặt phẳng
là tiếp
diện của (S) đồng thời song song với d và d’.
Đs:
3 3 2 0y z
và
3 3 2 0y z
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm
0; 1;2 ,A
1;0;3B
và tiếp xúc với mặt cầu
S
có phương trình:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2x y z
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
20
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng
chứa một đường thẳng cho trước và thoả mãn điều kiện
Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
1. Tìm VTPT của
là n
và VTCP của là
u
2. VTPT của mặt phẳng
là: n n u
3. Lấy một điểm M trên
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt
phẳng
Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng và song song với ’ ( , ’ chéo nhau)
Phương pháp:
1. Tìm VTCP của và ’ là
u
và
'
u
2. VTPT của mặt phẳng
là:
'
n u u
3. Lấy một điểm M trên
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với một
đường thẳng
Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng và 1 điểm M
Phương pháp:
1. Tìm VTCP của là
u
, lấy 1 điể m N trên . Tính tọa độ MN
2. VTPT của mặt phẳng
là:
n u MN
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước
Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng
(hoặc đường
thẳng
d
) một góc
Loại 5: Viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng và cách một điểm M không thuộc
một khoảng h
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng
P
a. Đi qua điểm
2;1; 1
o
M và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
Q và
R có phương trình lần lượt là:
– – 4 0x y z và 3 – –1 0x y z
b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 3 – – 2 0x y z
và
: 4 – 5 0x y
đồng thời vuông góc
với mặt phẳng
: 2 – 7 0x z
Giải:
a. Cách 1:
Gọi là giao tuyến của (Q) và (R) có phương trình
:
013
04
zyx
zyx
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
21
chọn hai điểm
3 11
; ;0
2 2
M
và
3 11
;0;
2 2
N
Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q) và (P) mặt phẳng (P) chứa giao tuyến
mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M
o
; M và N
(P) đi qua điểm M
o
và có vtpt
P
n
= [
0
M M
,
0
M N
] =
7;7;15
4
11
4
77
;
4
77
;
4
165
(với
0
M M
và
0
M N
không cùng phương )
mặt phẳng (P) có phương trình là :
15(x – 2) – 7(y – 1) + 7(z + 1) = 0 hay
: 15 – 7 7 –16 0P x y z
Cách 2:
Gọi
là giao tuyến của
Q và
R
có phương trình
– – 4 0
:
3 – –1 0
x y z
x y z
Chọn hai điểm
3 11
; ;0
2 2
M
và
3 11
;0;
2 2
N
Giả sử mặt phẳng
P
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
P có vtpt
; ;
P
n A B C
- Mặt phẳng
P đi qua
3 11
; ;0
2 2
M
3 11
. . .0 0 1
2 2
A B C D
- Mặt phẳng
P
đi qua
3 11
;0;
2 2
N
3 11
. .0 . 0 2
2 2
A B C D
- Mặt phẳng
P đi qua
2;1; 1
o
M
.2 .1 . 1 0 3A B C D
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được
15, 7, 7, 16 : 15 – 7 7 – 16 0A B C D P x y z
Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)
Nhận xét: Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi
qua ba điểm (trong đó hai điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng)
b. Cách 1:
Gọi là giao tuyến của
và (
) có phương trình
:
054
023
yx
zyx
Chọn hai điểm
M 5;0; 13 và N(1;1;0)
Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (
),
và vuông góc với mặt phẳng
mặt phẳng (P) chứa giao tuyến và vuông góc với mặt phẳng
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
P
n
= [ MN
,
n
] =
1;22; 2
mặt phẳng (P) có phương trình là :
– 1(x – 5) + 22(y – 0 ) – 2(z + 13) = 0 hay (P) : x – 22y + 2z + 21 = 0
Hoặc có thể tính ,
P
n u n
Nhận xét:
Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai
điểm và vuông góc với một mặt phẳng (trong đó hai điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng)
Cách 2:
. Gọi là giao tuyến của
và
có phương trình
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
22
:
054
023
yx
zyx
Chọn hai điểm
5;0; 13M và
1;1;0N
Giả sử mặt phẳng
P
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
P
có vtpt
; ;
P
n A B C
- Mặt phẳng
P
đi qua
5;0; 13M
.5 .0 . 13 0 1A B C D
- Mặt phẳng
P
đi qua
1;1;0N
.1 .1 .0 0 2A B C D
Từ (1) và (2) ta được
4
13
A B
C
và D A B
Nên mặt phẳng
P có vtpt
4
; ;
13
P
A B
n A B
Mặt phẳng
có vtpt
2;0; 1n
, mặt phẳng
P
vuông góc với
4
. .2 .0 . 1 0 22
13
P
A B
n n A B A B
chọn 1, 22 2, 21A B C D
Vậy mặt phẳng
P
có phương trình là
– 22 2 21 0x y z
Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)
Bài 2: (ĐH – A 2002) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng
1
2 4 0
:
2 2 4 0
x y z
x y z
2
1
: 2
1 2
x t
y t
z t
Viết phương trình mặt phẳng
P
chứa đường thẳng
1
và song song với đường thẳng
2
Giải:
Cách 1:
Chọn
M 0; 2;0
1
và
1
có vtcp
1
u
= (2;3;4),
2
có vtcp
2
u
= (1;1;2)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
1
và song song với đường thẳng
2
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
P
n
= [
1
u
,
2
u
] = (2;0;-1)
mặt phẳng (P) có phương trình là :
2(x – 0 ) + 0(y + 2) – 1(z – 0 ) = 0 hay
2 0x z
Hoặc Có thể tính vtpt là
2
,
P
n MN u
với
1
,M N
Cách 2:
Chọn hai điểm
4 8
;0;
3 3
M
và
0; 2;0N
1
Giả sử mặt phẳng
P có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
P có vtpt
; ;
P
n A B C
- Mặt phẳng
P đi qua
4 8
;0;
3 3
M
4 8
. .0 . 0 1
3 3
A B C D
- Mặt phẳng
P
đi qua
0; 2;0N
.0 . 2 .0 0 2A B C D
Từ (1) và (2) ta được
1 3
2 4
C A B và
2D B
Nên mặt phẳng
P có vtpt
1 3
; ;
2 4
P
n A B A B
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
23
Đường thẳng
2
có vtcp
2
1;1;2u
, mặt phẳng
P
song song với đường thẳng
2
2
1 3
. .1 .1 .2 0 5 0
2 4
P
n u A B A B B
chọn
1
1, 0 , 0
2
A B C D
Vậy mặt phẳng
P
có phương trình là
1
– 0 2 0
2
x z x z
Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua giao tuyến của hai
mặt phẳng
: – – 3 0x y z
và
: 3 5 –1 0x y z
đồng thời song song với mặt
phẳng
: 2 – 3 0x y z
Giải:
Cách 1:
Gọi
là giao tuyến của (
) và (
)
có phương trình
:
0153
03
zyx
zyx
Chọn M
3
4
;
3
4
;3
Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (
) và (
) đồng thời song song với mặt phẳng (
)
mặt phẳng (P) chứa giao tuyến và song song với mặt phẳng (
)
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và luôn có dạng: x + y + 2z + D’ = 0
P
đi qua điểm M nên 3 +
3
4
+ 2
3
4
+ D’ = 0
D’ = 1
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình x + y + 2z + 1 = 0
Hoặc: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
,
P
n u n
Hoặc: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
,
P
n MN n
với
,M N
Cách 2:
Gọi
là giao tuyến của
và
có phương trình
3 0
:
3 5 1 0
x y z
x y z
Giả sử mặt phẳng
P
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
P
có vtpt
; ;
P
n A B C
Chọn hai điểm
1
7;0; 4M
và
2
1; 2;0M
- Mặt phẳng
P
đi qua
1
7;0; 4M
.7 .0 . 4 0 1A B C D
- Mặt phẳng
P
đi qua
2
1; 2;0M
.1 . 2 .0 0 2A B C D
Từ (1) và (2) ta được
3
2
B A
C
và 2 –D B A
Nên mặt phẳng
P
có vtpt
3
; ;
2
P
B A
n A B
Mặt phẳng
có vtpt
1;1;2n
, mặt phẳng
P song song với
P
n
và
n
cùng phương
2.2
3
11
ABBA
chọn 1, 1 2, 1A B C D
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
24
Vậy mặt phẳng
P có phương trình là 2 1 0x y z
Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)
Nhận xét :
Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua một
điểm và song song một mặt phẳng (trong đó một điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng)
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho hai điểm
1;3; 2 , 3;7; 18A B và mặt phẳng
: 2 1 0P x y z . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
Giải:
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm
Ta có
( 2,4, 16)AB
cùng phương với
( 1, 2, 8)a
Mặt phẳng (P) có vtpt
1
(2; 1;1)n
Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có
vtpt
, 6;15;3 3 2;5;1
Q
n n a
Chọn vtpt của mặt phẳng (Q) là
2
(2,5,1)n
Mp(Q) chứa AB và vuông góc với (P) đi qua A nhận
2
(2,5,1)n
là vtpt có phương trình là:
2(x + 1) + 5(y 3) + 1(z + 2) = 0 2x + 5y + z 11 = 0
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d
’
lần lượt có phương trình là:
d : z
y
x
1
2
và d’ :
1
5
3
2
2
z
y
x
.
Viết phương trình mặt phẳng )(
đi qua d và tạo với d
’
một góc
0
30
Giải:
- Đường thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vtcp
(1; 1;1)u
- Đường thẳng d
’
đi qua điểm )5;3;2(' M và có vtcp
'(2;1; 1)u
Giả sử mặt phẳng )(
có vtpt
( ; ; )n A B C
Mặt phẳng )(
phải đi qua điểm M và có vtpt n
vuông góc với và u
Đồng thời tạo với đường thẳng d
’
một góc
0
30 tức là
2
1
60cos)';cos(
0
un
Ta có hệ
2
1
6
2
0
222
CBA
CBA
CBA
02
)(632
22
222
CACA
CAB
CCAAA
CAB
Giải phương trình
2 2
2 0 ( )(2 ) 0
2
A C
A AC C A C A C
A C
.
- Nếu CA , chọn 1A C , khi đó
2B
, tức là (1;2;1)n
và mặt phẳng ( )
có phương trình là
0)2(2 zyx hay 2 4 0x y z
- Nếu CA 2 , chọn 2,1 CA , khi đó 1B , tức là
(1; 1; 2)n
và mặt phẳng ( )
có phương trình
là 02)2( zyx hay 2 2 0x y z
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
và
2
2 1
:
1 1 1
x y z
d
. Viết phương trình mặt phẳng chứa
1
d và hợp với
2
d một góc 30
0
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
25
Giải:
Giả sử mặt phẳng
P
có dạng :
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C
mặt phẳng
P có vtpt
; ;
P
n A B C
Trên đường thẳng
1
d lấy 2 điểm
1;0; 1 , 1;1;0M N
Do
P qua ,M N nên:
0 2
0
A C D C A B
A B D D A B
Nên ( ) : (2 ) 0P Ax By A B z A B .
Theo giả thiết ta có
0
2 2 2 2 2 2
1. 1. 1.(2 )
1
sin 30
2
1 ( 1) 1 . (2 )
A B A B
A B A B
2 2 2 2
2 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0A B A AB B A AB B
Dễ thấy 0B nên chọn 1B , suy ra:
18 114
21
A
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn:
18 114 15 2 114 3 114
0
21 21 21
x y z
.
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:
1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
: :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d và d
x y z x y z
Lập phương trình mặt phẳng đi qua
1
d
và song song với
2
d
.
Giải:
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm
Đường thẳng
1
d và
2
d có vtcp lần lượt là
1 2
(1; 1; 1); (1; 2;2)u u
Mặt phẳng (Q) đi qua
1
d và song song với
2
d nên có vtpt là
1 2
, ( 4; 3; 1) 1(4;3;1)
Q
n u u
Chọn (4;3;1)
Q
n
và
1
(2; 1;0)I d
Mặt khác:
2
(0; 25;11)J d ta thấy
(0; 25;11)J Q
Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình là
( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0Q x y z hay Q x y z
Bài 9: Cho đường thẳng
2 0
:
1 0
y
d
z
. Viết phương trình mặt phẳng
P đi qua d và tạo với mặt phẳng
Oxy một góc
0
45
Đs: Mặt phẳng
: 2 1 0P y z
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng
2 0
:
1 0
x y z
d
x y
và cách điểm
0;0;2M
một khoảng
1
2
h
Đs: Có hai mặt phẳng thỏa mãn là 1 0, 5 4 3 1 0x y x y z
Bài tập tự giải:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm
1;3; 2 , 3;7; 18A B và mặt phẳng
: 2 1 0P x y z
. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
GV : Mai Tiến Linh - Trường THPT Tĩnh Gia 4
