Không gian afin và liên hệ với vị trí tương đối trong phổ thông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (520.82 KB, 22 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
BÀI TIỂU LUẬN
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
AFIN VÀ LIÊN HỆ VỚI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG ĐÃ HỌC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG
Giảng viên hướng dẫn:
Nguyễn Thị Tuyết Mai
Sinh viên thực hiện:
Hà Thị Thúy Hường
Nguyễn Thị Hồng Ngọc
Trần Thị Bích Ngọc
Phạm Trung Kiên
Nguyễn Thị Cẩm Ly
Hoàng Thanh Ngân
Củng Thị Trà My
Thái Nguyên 2023
1
LỜI NĨI ĐẦU
Tốn học là một mơn khoa học chiếm một vị trí hết sức quan trọng.Tốn
học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác.Trong q trình
học tập trong mơn hình học tuyến tính, một bộ phận quan trọng được xây dựng
trên nền “Đại số tuyến tính”, trình bày một cách có hệ thống các kiến thức về
hình học afin. Ngồi ra nó cịn là một trong những mơn học vừa có nhiệm vụ
trang bị kiến thức cơ bản về toán học cho sinh viên, vừa có tác dụng soi sáng
kiến thức tốn hình phổ thơng. Tuy nhiên, hình học là một vấn đề tương đối
khó trong chương trình tốn phổ thơng.
Với mong muốn hiểu rõ hơn về vị trí của phẳng trong khơng gian afin và
các mối liên hệ giữa chúng ở phổ thơng nên nhóm chúng em đã làm về “Vị trí
tương đối giữa các phẳng trong không gian afin và và liên hệ với vị trí
tương đối giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt
phẳng đã học trong chương trình phổ thơng” nhằm mục đích giúp mỗi
chúng ta có cái nhìn sâu sắc hơn.
Trong bài tiểu luận dưới đây, nhóm chúng em đã trình bày thành các
chương với nội dung như sau:
Chương 1: Định nghĩa m- phẳng và sự xác định m- phẳng
Trong phần này đưa ra một số kiến thức quan trọng giúp người đọc dễ
quan sát các nội dung tiếp theo.
Chương 2: Liên hệ với vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, đường thẳng
và mặt phẳng, hai mặt phẳng đã học trong chương trình phổ thơng.
Trong phần này trình bày về mối liên hệ giữa vị trí tương đối của các
phẳng trong khơng gian afin với các vị trí chương trình phổ thơng. Và từ đó rút
ra những nhận xét quan trọng.
Chương 3: Bài tập vận dụng
Trong phần này trình bày một số dạng bài tập giúp người đọc củng cố và
vận dụng được lý thuyết vào trong thực hành.
2
MỤC LỤC
LỜI NĨI ĐẦU......................................................................................................2
Chương 1. Vị trí tương đối của các phẳng trong không gian afin..................4
1.1. m- phẳng....................................................................................................4
1.1.1. Định nghĩa m – phẳng.....................................................................4
1.1.2. Sự xác định m-phẳng......................................................................4
1.2. Vị trí tương đối giữa các phẳng..............................................................5
Chương 2: Liên hệ giữa vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, đường thẳng
và mặt phẳng, hai mặt phẳng đã học trong chương trình phổ thơng.............9
2.1. Liên hệ 2 phẳng cắt nhau với vị trí tương đối đã học trong chương
trình phổ thơng....................................................................................................9
2.2. Liên hệ 2 phẳng song song với vị trí tương đối đã học trong chương
trình phổ thơng..................................................................................................10
2.3. Liên hệ 2 phẳng chéo nhau và vị trí tương đối đã học trong chương
trình phổ thông..................................................................................................13
2.4. Rút ra nhận xét về mối liên hệ với vị trí tương đối giữa hai đường
thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng đã học trong chương
trình phổ thông..................................................................................................14
Bài tập vận dụng................................................................................................14
KẾT LUẬN........................................................................................................18
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................19
Phân công nhiệm vụ thành viên nhóm 3:........................................................20
3
Chương 1. Vị trí tương đối của các phẳng trong không gian afin
1.1. m- phẳng
1.1.1. Định nghĩa m – phẳng
Định nghĩa 1.1.1. Cho A là không gian afin liên kết với không gian véc
tơ A , I là một điểm thuộc A và là không gian véc tơ con của A . Khi đó tập
M A | IM
được gọi là cái phẳng đi qua I và có phương là . Kí
hợp
hiệu là .
Không gian véc tơ được gọi là không gian véc tơ chỉ phương của phẳng
.
A
Nếu là không gian véc tơ con m chiều của thì gọi là cái phẳng m
chiều hay gọi là
m – phẳng và cũng kí hiệu dim m .
n
Đặc biệt: Trong khơng gian afin A :
+) 0 – phẳng là tập hợp chỉ gồm một điểm.
+) 1 – phẳng được gọi là một đường thẳng.
+) 2 – phẳng được gọi là một mặt phẳng.
+) Nếu dim A n thì n 1 – phẳng được gọi là một siêu phẳng.
n
+) n – phẳng chính là A .
Chú ý 1.1.1. Trong định nghĩa m – phẳng, điểm I khơng đóng vai trị đặc
biệt gì của phẳng, nghĩa là nếu là cái phẳng đi qua I và có phương thì
J , M theo định nghĩa
IJ
,
IM
IM IJ JM .
m – phẳng
M A | JM
, với mỗi J .
Vì vậy ta cũng có
1.1.2. Sự xác định m-phẳng
Định lí 1.1.2. Có một và chỉ một m-phẳng 0 m n đi qua m 1 điểm
n
độc lập của không gian afin A .
Chứng minh.
Giả sử A là không gian afin n chiều liên kết với không gian véc tơ
và A0 , A1 ,..., Am là một hệ m 1 điểm độc lập trong A .
Do hệ điểm
tính.
Đặt
m
Ai i 0
A
A A , A A ,..., A A
độc lập nên hệ véc tơ
độc lập tuyến
A0 A1 , A0 A2 ,..., A0 Am
0
1
0
2
0
m
, là không gian véc tơ con m chiều của A .
4
A0 ; ,
A
0
Đặt
là m-phẳng đi qua
có phương .
Theo định nghĩa của phẳng A0 . Mặt khác, do A0 Ai nên theo định
m 1
Ai , i 1, m
nghĩa của phẳng
. Vậy
đi qua hệ
A0 , A1 ,..., Am .
điểm độc lập
m
A A
(!) Vì với mỗi hệ điểm độc lập Ai i 0 , hệ véc tơ 0 i i 1 độc lập tuyến tính
m
là duy nhất nên tồn tại duy nhất hông gian véc tơ con m chiều sinh bởi
m
A0 Ai
i 1 . Do đó tồn tại duy nhất đi qua A0 có phương .
n
Hệ quả 1.1.2. Trong không gian afin A , một hệ m 1 điểm là độc lập
khi và chỉ khi các điểm trong hệ đó khơng cùng nằm trên một m 1 -phẳng
0 m n .
Chứng minh:
Giả sử A0 , A1 ,..., Am là một hệ m 1 điểm độc lập trong không gian afin n
chiều A 0 m n .
Giả sử ngược lại hệ m 1 điểm A0 , A1 ,..., Am cùng nằm trên một m 1 -
A
A
,
A
A
,...,
A0 Am
0
1
0
2
phẳng có phương khi đó
. Vì là khơng gian véc tơ
A0 A1 , A0 A2 ,..., A0 Am
m 1
chiều nên hệ m véc tơ
phụ thuộc tuyến tính. Do đó, hệ
m 1 điểm A0 , A1 ,..., Am không độc lập. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Do đó
hệ quả được chứng minh.
1.2. Vị trí tương đối giữa các phẳng
n
Định nghĩa 1.2.1. Trong không gian afin A cho p – phẳng và q –
phẳng , (0 p q n) lần lượt có không gian chỉ phương là , .
+) Hai phẳng và phẳng gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung.
+) Phẳng gọi là song song với phẳng nếu là không gian véc tơ con
của .
+) Hai phẳng và phẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau
và cũng không song song.
+) Giao hiểu theo nghĩa thông thường của lý thuyết tập hợp và gọi
là giao của hai cái phẳng và .
+) Tổng là giao của tất cả các phẳng chứa và và gọi là tổng của
hai cái phẳng và .
Định lí 1.2.1. Trong khơng gian afin A, giao của hai cái phẳng và
5
hoặc là tập rỗng, hoặc là một cái phẳng có phương .
Chứng minh:
Ta chỉ cần xét trường hợp . Khi đó, tồn tại điểm I .
Vì là một không gian véc tơ con của A , tồn tại cái phẳng
I ;
. Khi đó
. Thật vậy,
Với bất kỳ
IM
M
M
IM M
M
IM
Vậy
là cái phẳng có phương .
n
Hệ quả 1.2.1. Trong không gian afin A cho p - phẳng và q – phẳng ,
, . Nếu phẳng
song song với phẳng thì hoặc , khơng có điểm chung hoặc .
0 p q n lần lượt có khơng gian véc tơ chỉ phương là
Chứng minh:
Thật vậy, nếu song song với thì theo định nghĩa .
Nếu thì , khơng có điểm chung.
Nếu thì theo định lí 2.1, là cái phẳng có phương
. Từ đó suy ra hay .
n
Hệ quả 1.2.2. Trong không gian afin A cho trước một điểm I và một m phẳng , có duy nhất một m – phẳng qua I và song song .
Chứng minh:
+) Sự tồn tại.
Gọi là không gian véc tơ chỉ phương của m – phẳng là không
n
gian véc tơ m chiều. Gọi là cái phẳng trong A qua điểm I và có phương
, tức là I ; . Khi đó là m – phẳng song song với .
+) Tính duy nhất
Nếu có một m – phẳng nào đó cũng đi qua I và song song với thì dễ
dàng suy ra song song với , hơn nữa chúng có điểm chung I nên . Vậy
là duy nhất.
n
Định lí 1.2.2. Trong không gian A , hai cái phẳng và cắt nhau khi và
J
IJ
.
I
chỉ khi với mỗi
, với mỗi
, ta có
Chứng minh.
6
Giả sử hai cái phẳng và
cắt nhau. Theo định nghĩa
M
M
M .
nên tồn tại ít nhất một điểm
Khi đó theo định nghĩa của phẳng
I , M IM ; J , M MJ
IM MJ IJ
Nếu I , J ta có IJ Theo định nghĩa của tổng hai
không gian véc tơ con, véc tơ IJ có thể biểu diễn dưới dạng IJ u v với
u , v .
Vì phẳng là không gian afin liên kết với không gian véc tơ , nên theo
tiên đề A1 ta có:
Với I , u , tồn tại điểm duy nhất M sao cho IM u
J
,
v
, tồn tại điểm duy nhất N sao cho JN v
Với
IJ u v IM JN IM IJ JN IN
A2
Ta có
(theo tiên đề
)
Do đó, theo tiên đề A1 M N . Vậy nên theo định nghĩa , cắt
nhau.
Mệnh đề phủ định:
n
Trong không gian afin A , hai cái phẳng và không cắt nhau khi và
J
IJ
.
I
chỉ khi
,
sao cho
n
Định lí 1.2.3. Trong khơng gian afin A cho hai cái phẳng và lần
lượt có khơng gian chỉ phương là , . Khi đó:
Nếu thì dim dim dim dim .
dim dim dim dim 1
Nếu
thì
.
Chứng minh:
I ;
I
+) Nếu
thì tồn tại
. Đặt
, là cái phẳng
đi qua I có khơng gian véc tơ chỉ phương là . Khi đó, theo định nghĩa tổng
của hai không gian véc tơ, chứa cả và .
I
M
IM và vì
Mặt khác vì
nên theo định nghĩa phẳng
nên IM M do đó . Lập luận tương tự ta có .
'
'
Hơn nữa, nếu có cái phẳng chứa cả và thì I và
7
' , ' ' . Do đó, chứa trong mọi cái phẳng chứa và
nên là giao của tất cả cái phẳng chứa và . Theo định nghĩa
Vì nên theo định nghĩa và cắt nhau. Theo định lí 1.2.3,
là cái phẳng có phương là . Theo định nghĩa số chiều của phẳng
dim dim
.
Theo định lí về số chiều của tổng 2 khơng gian véc tơ con
dim dim dim dim
Nên dim dim dim dim
+) Nếu , theo định nghĩa và không cắt nhau. Theo định lí
I
,
J
IJ
, và vì I , J là hai điểm phân biệt nên
2.2 tồn tại
sao cho
IJ 0
E;
IJ
Đặt
. Với điểm E , đặt
, là cái phẳng đi
qua E có khơng gian véc tơ chỉ phương là
. Khi đó, theo định nghĩa
của tổng hai khơng gian véc tơ, chứa cả , và .
Vì E và nên lập luận tương tự như trên ta có .
IJ
I
Lại vì I và
nên
. Mặt khác
nên , do đó J .
J
Do đó
và nên ta cũng có .
Vì I , J nên chứa đường thẳng đi qua I , J .
'
'
Nếu có cái phẳng chứa cả và thì phải đi qua E và phương của
'
'
'
'
,
nó
và
do đó .
Vậy chứa trong mọi cái phẳng chứa và nên là giao của tất cả
các phẳng chứa và . Theo định nghĩa . Vậy
dim dim dim dim
dim dim dim 1
dim dim dim 1
.
n
Định lí 1.2.4. Trong khơng gian afin A cho một siêu phẳng và một m
– phẳng . Khi đó, hoặc song song với , hoặc cắt theo một (m-1) –
phẳng 1 m n 1 .
Chứng minh:
8
Giả sử , lần lượt là không gian véc tơ chỉ phương của , .
i) Nếu thì có thể xảy ra hai trường hợp:
+) Trường hợp 1:
mọi điểm thuộc đều thuộc , khi đó .
Theo định nghĩa song song với .
+) Trường hợp 2: M , M . Vì
I I , I . Theo định nghĩa của phẳng, vì M và
n
I IM ; M , I IM A . Theo định lí về số
chiều của tổng và giao của hai không gian véc tơ con ta có:
dim dim dim dim
n n 1 m dim
dim m 1
Mặt khác, vì nên theo định lí 2.1 là một cái phẳng có
phương là , do đó dim m 1 . Vậy cắt theo một (m-1) –
phẳng.
n
ii) Nếu Cái phẳng nhỏ nhất chứa cả và là A
An nên ta có
dim dim dim dim 1
dim An n 1 m dim 1
n n 1 m dim 1
dim m dim
Suy ra , theo định nghĩa song song với .
Chương 2: Liên hệ với vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, đường thẳng
và mặt phẳng, hai mặt phẳng đã học trong chương trình phổ thơng
2.1. Liên hệ 2 phẳng cắt nhau với vị trí tương đối đã học trong chương trình
phổ thơng
a. Trong khơng gian 2 chiều: Hai đường thẳng cắt nhau ở phổ thơng
chính là hai 1-phẳng cắt nhau
Định nghĩa: Nếu hai đường thẳng chỉ có một điểm chung, ta nói rằng hai
đường thẳng đó cắt nhau. Điểm chung được gọi là giao điểm của hai đường
thẳng.
9
Thật vậy, dễ dàng nhận thấy dim(a b) 2 . Áp dụng cơng thức số chiều,
ta có: dim(a b) dim a dim b dim( a b) 2 1 1 dim(a b) dim(a b) 0
Suy ra, là một điểm.
Tính chất 2.1.1: Trong khơng gian cho hai đường
thẳng:
d1 đi qua điểm M 1 và có vector chỉ phương u1
d 2 đi qua điểm M 2 và có vector chỉ phương u2
Khi đó d1 cắt d 2 tương đương với các mệnh đề sau:
i ) d1 cắt d 2 tại duy nhất một điểm.
ii ) Hệ phương trình lập nên từ phương trình của d1 và d 2 có một nghiệm
duy nhất.
iii ) M 1M 2 , u1 , u2 đồng phẳng, tương đương tích hỗn tạp bằng 0 và u1 , u2
không cùng phương, nghĩa là tọa độ không tỷ lệ.
b. Trong không gian 3 chiều: Đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau ở phổ thơng
chính là 1-phẳng và 2-phẳng cắt nhau
Giả sử d và cắt nhau tại M ,kí hiệu M d
c. Trong không gian 4 chiều: Hai mặt phẳng cắt nhau ở phổ thơng chính là hai
2-phẳng cắt nhau
Mặt phẳng ( ) và mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là một đường
thẳng. Khi đó, hai mặt phẳng có vơ số điểm chung.
10
2.2. Liên hệ 2 phẳng song song với vị trí tương đối đã học trong chương
trình phổ thơng
a. Trong khơng gian 2 chiều: Hai đường thẳng song song chính là hai 1phẳng song song.
Thật vậy, nếu a song song với b trong khơng gian 2 chiều thì a b
hoặc a b .
Khi a b , áp dụng cơng thức về số chiều, ta có:
dim(a b) dim a dim b dim(a b) 1 2 1 1 dim( a b ) 1
dim(a b ) 1 dim b b a
Khi a b , áp dụng công thức về số chiều, ta có:
dim(a b) dim a dim b dim(a b) 1 1 1 dim( a b )
dim(a b ) 1 dim b b a
Vì dim(a b) 1 nên a b .
Tính chất 2.2.1 Cho trước một điểm I và 1-phẳng a , có duy nhất 1-phẳng
qua I và song song với a .
11
Thật vậy, gọi a là không gian véc tơ chỉ phương của 1-phẳng a
a là không gian véc tơ 1 chiều. Gọi b là cái phẳng đi qua I và có
b I , a
b
a
phương
, tức là
. Khi đó b là 1-phẳng song song với a
c
a
c
I
Nếu tồn tại 1-phẳng cũng đi qua và song song với thì ta thấy b
mà c và b có điểm chung, nên c b .
Tính chất 2.2.2 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Vì a song song với b nên a b . Áp dụng công thức về tổng số chiều,
ta có:
dim(a b) dim a dim b dim(a b ) 1 2 1 1 dim( a b ) 1
dim( a b ) 1 dim b
Suy ra b a , theo định nghĩa b song song với a .
Tương tự, vì b song song với c nên b c . Áp dụng công thức về số
chiều, ta cũng có c b
Theo tính chất bắc cầu, ta có a c thì c a . Suy ra, a song song với
b. Trong không gian 3 chiều: Đường thẳng song song với mặt phẳng ở
phổ thơng chính là 1-phẳng song song 2-phẳng
Nếu đường thẳng d và mặt phẳng ( ) khơng có điểm chung hoặc có từ
hai điểm chung trở lên. Khi đó ta nói d song song với ( ) , kí hiệu d / /(a) , hoặc
( ) / /d .
12
c. Trong không gian 4 chiều: Hai mặt phẳng song song ở phổ thơng
chính là hai 2-phẳng song song
Định nghĩa: Hai mặt phẳng ( ) , được gọi là song song với nhau nếu
chúng khơng có điểm chung. Ta kí hiệu ( ) / / hay / / ( ) .
- Định lý 2.2.1. Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và
a, b cùng song song với mặt phẳng thì ( ) song song với .
a
b
- Định lý 2.2.2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có
một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
13
- Định lý 2.2.3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt
mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
2.3. Liên hệ 2 phẳng chéo nhau và vị trí tương đối đã học trong chương
trình phổ thơng
+ Trong khơng gian 3 chiều thông thường: Hai đường thẳng chéo nhau ở
phổ thơng chính là hai 1-phẳng chéo nhau
14
2.4. Rút ra nhận xét về mối liên hệ với vị trí tương đối giữa hai đường
thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng đã học trong chương
trình phổ thơng
Trong khơng gian afin, về vị trí tương đối của các phẳng có ba vị trí gồm
cắt nhau, song song và chéo nhau. Tuy nhiên, trong phổ thơng có trường hợp
trùng nhau giữa hai đường thẳng, mặt phẳng trùng nhau,... xảy ra khi:
+ Hai phẳng cắt nhau tại nhiều hơn một điểm chung
+ Hai phẳng song song và có điểm chung
Ngoài ra, hai phẳng được gọi chéo nhau ở phổ thông chỉ xảy ra đối với hai
đường thẳng chéo nhau trong khơng gian ba chiều.
Từ đó ta thấy rằng, các phẳng có vị trí mối liên hệ chặt chẽ với nhau, nó
giao nhau, chứa trong nhau như trùng nhau là trường hợp đặc biệt của phẳng cắt
nhau và song song với nhau.
Bài tập vận dụng
n
Bài 1. Cho và là hai cái phẳng trong không gian afin A . Chứng minh
rằng:
Q
PQ
, hoặc khi và
P
a)
khi và chỉ khi với
, mọi
có
Q
PQ
P
chỉ khi có
có
để
b)
Nếu lấy P và Q và gọi là không gian véc tơ con một chiều gây
bởi véc tơ PQ , thì
khi và chỉ khi
khi và chỉ khi
Giải:
n
a)
Trong không gian afin A cho hai cái phẳng và cắt nhau khi và chỉ
I
,
J
IJ
khi
ta có
n
Mệnh đề phủ định của định lí: Trong khơng gian afin A cho hai
cái phẳng và
không cắt nhau khi và chỉ khi I , J sao cho IJ
ý a được chứng minh
b)
Giả sử , đều là không gian véc tơ chỉ phương của ,
P có Q , gọi là không gian véc tơ con một chiều sinh bởi véc tơ
Lấy
PQ
Ta ln có
15
, *
Chứng minh (1)
Nếu theo định
lí 1.2.4,
hai cái phẳng và cắt nhau khi và chỉ khi
P , Q ta có PQ
Q
P
,
Q
PQ (theo định nghĩa phẳng)
P
Mặt khác vì ,
**
*
**
Từ
và
Chứng minh (2)
Q
Theo ý a
khi và chỉ khi có P có
để PQ
Gọi là không gian véc tơ con một chiều sinh bởi véc tơ PQ , theo chứng minh
***
*
PQ
trên
kết hợp với
ta được
Mặt khác, vì theo định lí về tổng số chiều của hai cái phẳng ta có
dim dim dim dim 1
dim dim dim dim 1
(****)
***
****
Từ
và
Bài 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 : 7 x 2 y 1 0 và
x 4 t
2 :
y 1 5t
Giải:
n1 7, 2
:
7
x
2
y
1
0
1
Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
là
x
4
t
2 :
n2 5,1
y 1 5t
Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
là
7 2
5 1
n1.n2 0
Ta có
Vậy 1 và 2 cắt nhau.
Bài 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:
x 1 2t
d1 : y 2 3t
z 1 t
và
Hướng dẫn:
16
x 2 3t
d 2 : y 1 t
z 2 t
d
(2;3;1)
d
1
Gọi
và 2 (3;1; 1) lần lượt là các không gian véc tơ chỉ phương của
d1 và d 2
d
Khi đó, 1 d 2 ( 4;5; 7) 0
M
(1;
2;1)
d
M
(
2;1;
2)
d
1 và
2
2 . Khi đó, M 1 M 2 ( 3;3; 3)
Điểm 1
(
d
Từ đó, 1 d 2 ).M 1M 2 48 0
Vậy hai đường thẳng d1 và d 2 là chéo nhau
Bài 4. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:
3
9
'
x 2 9t
x 3 2 t
1 :
2 :
y 1 4 t
y 1 8t '
3 và
3
Hướng dẫn:
3 4
( ; )
2 3 là không gian véc tơ chỉ phương của 1
Gọi
Gọi (9;8) là không gian véc tơ chỉ phương của 2
9 1
3 4
M 2 ( ; ) 2
M 1M 2 ( ; )
2 3
2 3
Giả sử M 1 (3; 1) 1 ,
. Khi đó,
Giao của khơng gian a 0 và M 1M 2 (8; 9) 0
Suy ra, 1 / / 2
Bài 5. Chứng minh rằng nếu các phẳng và đều song song với cái phẳng
thì giao (nếu có) là hai cái phẳng song song với
Hướng dẫn:
Giả sử , , lần lượt có khơng gian véc tơ chỉ phương là , ,
Theo định nghĩa hai cái phẳng song song ta có
Phẳng gọi là song song với phẳng
Phẳng
gọi là song song với phẳng
17
/ /
18
KẾT LUẬN
Trong thời gian cùng nhau tìm hiểu, thảo luận, chọn lọc và mong muốn
có một bài tiểu luận tốt nhất về: “Vị trí tương đối giữa các phẳng trong khơng
gian afin và và liên hệ với vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, đường thẳng
và mặt phẳng, hai mặt phẳng đã học trong chương trình phổ thơng”, chúng em
đã trình bày được những kết quả sau:
- Trình bày định nghĩa m-phẳng và sự xác định m-phẳng.
- Trong phần này trình bày về vị trí tương đối của các phẳng trong khơng
gian afin cùng với đó là mối liên hệ với chương trình phổ thơng.
- Bài tập củng cố về vị trí tương đối của các phẳng trong khơng gian.
Do những hiểu biết và trình độ cịn hạn chế nên những kết quả mà chúng
em đạt được còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của quý
thầy cô và các bạn để bài tiểu luận của nhóm chúng em được hồn thiện và đạt
kết quả tốt nhất.
Chúng em xin chân thành cảm ơn!
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Mộng Hy. Hình học cao cấp. Nhà xuất bản Giáo dục – 1999.
[2] Lê Tuấn Hoa. Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập. Nhà xuất bản đại
học quốc gia Hà Nội – 2005.
[3] Nguyễn Cảnh Tồn. Hình học cao cấp. Hà Nội – 1979.
[4] Đồn Quỳnh, Nguyễn Dỗn Tuấn, Khu Quốc Anh, Nguyến Anh Kiệt. Giáo
trình đại số tuyến tính và Hình học giải tích. Đại học Quốc gia – Đại học đại
cương – 1996.
[5] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Hoàng Xn Sính. Đại số tuyến tính và Hình
học. Đại học sư phạm – 1987.
[6] Lê Khắc Bảo. Hình học giải tích. NXB Giáo dục – 1977.
[7] M. Postnikov. Lectures in Geometry – Semester 1 Analytic Geometry. The
book was translated from Russian by by Vladimir Shokurov – 1982.
[8] P.S Alexandrov, “science” Moscou. Lecons de geometrie analytique.
20
