bài tập toán kinh tế phần đối ngẫu

Câu 1: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính (N) sau đây: f(X) = x
1
+ 5x
2
- x
3
+ 2x
4
- 4x
5
-
x
6
-> min
Câu 2: Xét bài toán quy hoạch tuyến tính (G) sau đây: f(X) = 4x
1
-
3x
2
- x
3
-> min
Viết bài toán đối ngẫu (G*) của (G).Chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu
Kiểm tra xem phương án X0 = (-1, 1, 1) có là phương án, phương án tối ưu của bài toán
(G) không? Tại sao?
Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây
F(x)= 4x
1
+6x
2
+ 2x

3
 min

2x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 24 viết bài toán đối ngẫu
2x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 18 biết bài toán có pán t/ưu là X
*
=(0, 0, 18). Tìm tập pán của
btoán đối ngẫu
x
1
+ x
2
+ x
3
≥ 18 x
1
.x
2 .

x
3
≥0
F(x)= x
1
+6x
2
+ 4x
3
 max

-x
1
+ x
2
- x
3
≤ 7
-x
1
+2x
2
+ x
3
= 4
x
1
+ 2x
2
+ 2x

3
≥ 12
x
1
.x
2 .
x
3
≥0 cho bài toán sau có phương án tối ưu là X
O
=

( 0, 14, 0, 0)
F(x)= 5x
1
+3x
2
- x
3
+

4x
4
 min

x
1
+x
2
- 2x

3
+

x
4
≥ 10
-x
1
+ x
3
≤ 25
2x
2
- 3x
3
+

x
4
= 28
x
1
.x
2 .
x
3,
x
4
≥0 viết bài toán đối ngẫu và tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối
ngẫu và bt gốc

Bài 7. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)sau:
= − − +
+ + ≤


+ + ≥


+ + =


≥ =

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
j
min f(x) 2x x x
3x 6x x 4
5x 2x 4x 8
5x 3x 2x 5
x 0, j 1,3

Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 8. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P).
= + +

− + + ≥


+ − ≥


≥ =

1 2 3
1 2 3
1 2 3
j
min f(x) 2x 9x 3x
2x 2x x 1
x 4x 3x 1
x 0; j 1,3
a)Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P) và giải nó bằng phương pháp hình học.
b)Sử dụng định lý độ lệch bù để tìm nghiệm tối ưu của bài toán (P).
Bài 9.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính(P) sau:(P)
= + +
+ + ≤


− + − ≤


+ − ≥


∈ ∈ ≤

1 2 3

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
max f(x) 27x 50x 18x
x 2x x 2
2x x x 4
x 2x x 1
x R; x R; x 0
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài 10. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau: (P)
= + +
+ + ≥


+ + ≥


+ ≥


+ ≥

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
1 2

minf(x) 28x 24x 12x
2x x x 12
x 3x x 15
x x 6
3x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài 11.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau (P)
= + +
+ + ≥


+ + ≥


+ + ≥


+ + ≥

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
min f(x) 12x 16x 16x
2x x 2x 6
2x 3 x x 8
3x 2x 2x 9

x 2x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài12.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau: (P)
= − + −
− + ≥


+ + ≥


− − ≥


+ + ≥

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
ma x f(x) 2x x 3x
x 2x 2x 4
x x x 5
2x x 3x 6
3x 4x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).

Bài 13.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):
= + + −
+ − =


− + =


+ − ≤


+ + ≤

≥ =


1 2 3 4
1 3 4
1 2 4
2 3 4
1 2 3
j
min f(x) 2x x x 5x
x x x 10
2x x x 16
2x x x 30
x x x 18
x 0, j 1,4
a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.

Bài 14.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):
= − − + +
− + ≥


+ + − + =


+ − + ≥


≥ =

1 2 3 4 5
1 4 5
1 2 3 4 5
1 2 4 5
j
min f(x) 4x 4x 2x 3x x
x 2x 3x 6
2x 4x x x 2x 25
3x 2x x x 8
x 0, j 1,5
a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 15.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):
= + + +
+ + ≤



+ + − ≥


− + + + ≥


≥ =

1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) 3x 4x 3x 5x
2x x 3x 3
x 2x 3x x 24
x x 2x 2x 6
x 0, j 1,4

a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 16. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= + + +
− + ≥


− + − ≤


− + + − ≥



≥ =

1 2 3 4
1 2 4
2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) x 3x 4x x
x 2x 2x 8
3x x 4x 18
3x x 2x x 20
x 0, j 1,4
a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 17. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= − + + −
− + − + =


+ − + ≤


+ + ≥


≥ =

1 2 3 4

1 2 3 4 5
1 2 4 5
1 4 5
j
min f(x) 3x x 2x x
x x x x x 6
2x x 2x x 8
x 2x 3x 9
x 0, j 1,5
a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 18. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= − − + −
+ − + ≥


+ + ≤


− − + − ≥ −


≥ =

1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) 2x 3x 2x 4x

3x x 2x 5x 17
2x x 2x 6
4x 2x x 2x 10
x 0, j 1,4
a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù
Bài 1 Cho bài toán gốc: f(X) = x1 + 3x2 + 2x3 -> min
2x1 + x2 + x3 + x4 ≥2
x1 – 2x2 – x3 + 3x4 ≥ 5
–x1 – x2 + x3 + x4 ≥ 1
xj ≥ 0 với j=1->4 1) Viết bài toán đối ngẫu.
Bài 2 Xét bài toán QHTT sau: f(X) = x1 + 3x2 + 2x3 + x4  min
2x1 + x2 + x3 ≥ 2
x1 + x2 + 2x3 ≥ 5
2x1 + 2x2 + 3x3 ≥1 Xj ≥ 0
Hãy chứng tỏ rằng nếu X* là phương án tối ưu thì thành phần thứ 2 và thành phần thứ 4
phải bằng 0.
Bài 1 Cho bài toán QHTT: f(X) = x1 + 3x2 + 2x3 + x4  max
2x1 + x2 + x3 – x4 ≤ 2
x1 + x2 – 2x3 + 2x4 ≤5
2x1 – 2x2 + 3x3 ≤1 xj ≥ 0
Cho biết một pán tối ưu của bài toán trên là X* = (0, 3, 7/3, 10/3). Hãy viết bài toán đối
ngẫu và lờigiải
Bài 2 Cho bài toán QHTT: f(X) = x2 – 3x3 + x4 + 2x5  min
x1 + x2 + x3 + x4 = 6
–2x1 – x2 + 2x3 + x5 = 4
2x1 + x2 + x3 ≤ 2 Xj ≥ 0
1) Giải bài toán trên. Phương án tối ưu, nếu có, có duy nhất không?
2viết btoán đối ngẫu và lời giải của bài đối ngẫu. Pán tối ưu của bài đối ngẫu, nếu có,có duy
nhất không?

Bài 3 Cho bài toán QHTT: f(X) = –x2 – x3 + 2x4  max
x1 – x2 + 2x3 + x4 = 1
–3x1 + x2 – 3x3 ≤ 2
2x1 – 2x2 + x3 ≤ 4 xj ≥ 0
1) Giải bài toán trên. 2.viết bài toán đối ngẫu và cho biết lời giải của bài đối ngẫu.
4- Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
F(x)=2x1+4x2 +x3 +x4  max
x1 +3x2 +x4 ≤1
−5x2 −2x4 ≤3
4x2+4x3 +x4 ≤3 xj≥0(j=1→4)
1- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho.
2- Giải bài toán đã cho rồi suy ra kết quả của bài toán đối ngẫu.
Bài tập
Cho các bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau, viết các bài toán đối ngẫu (D) tương ứng và
xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
Bài 1
= − −
+ − ≥


− − = −


+ + ≤


≥ −

∈ ∈ ≥



1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1 2 3
minf(x) 5x x 7x
7x 4x 11x 12
x 3x 9x 5
6x 5x 2x 10
x 2
x R;x R;x 0
Bài 2
= + − +
− + + + + ≥


− + − + =


+ − + + ≤


≥ ≤ ≤ ∈ ∈

1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5

1 2 3 4 5
max f(x) 2x 3x 2x 4x
2x x x x 3x 7
4x x 2x 3x x 3
x 2x 3x x x 10
x 0; x 0; x 0; x R; x R
Bài 3
= + + +
− + + − =


+ + ≥


+ ≥


+ ≤

≥ =


1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 4
2 3
j
minf(x) 2x 3x 2x 3x
x x 2x x 24

x x 2x 22
x x 8
x x 20
x 0, j 1,4
Bài 4
= + + +
+ − ≥


− + − + ≥


− + ≥


+ + − ≥

≥ =


1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 3
1 2 3 4
j
m inf(x) 5x 2x 3x 4x
2x x 4x 14
x 2x 6x x 13
x 2x 0

x x x 3x 10
x 0, j 1,4
Bài 5
= + +
+ + =


+ + ≤


+ + ≥


≤ ≥ ∈

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
minf(x) x x x
4x x 2x 1
5x 2x 3x 2
4x 3x 2x 1
x 0; x 0; x R
Bài 6
= − − + − − −
− + + =



− + + − =


− + + = −


≥

1 2 3 4 5 6
1 2 3 5
1 3 4 5
1 3 5 6
1 3 5
max f(x) 4x 4x 2x 3x 2x 2x
3x 2x x 2x 8
x 5x 3x x 3
5x 4x 3x x 5
x ;x ;x 0
Bài 7. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)sau:
= − − +
+ + ≤


+ + ≥


+ + =


≥ =


1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
j
min f(x) 2x x x
3x 6x x 4
5x 2x 4x 8
5x 3x 2x 5
x 0, j 1,3

a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 8. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P).
= + +

− + + ≥

+ − ≥


≥ =

1 2 3
1 2 3
1 2 3
j
min f(x) 2x 9x 3x
2x 2x x 1

x 4x 3x 1
x 0; j 1, 3
a)Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P) và giải nó bằng phương pháp hình học.
b)Sử dụng định lý độ lệch bù để tìm nghiệm tối ưu của bài toán (P).
Bài 9.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính(P) sau:
(P)
= + +
+ + ≤


− + − ≤


+ − ≥


∈ ∈ ≤

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
max f(x) 2 7x 50x 18x
x 2x x 2
2x x x 4
x 2x x 1
x R; x R; x 0
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài

toán gốc (P).
Bài 10. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau:
(P)
= + +
+ + ≥


+ + ≥


+ ≥


+ ≥

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
1 2
minf(x) 28x 24x 12x
2x x x 12
x 3x x 15
x x 6
3x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài 11.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau:
(P)

= + +
+ + ≥


+ + ≥


+ + ≥


+ + ≥

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
min f(x) 12x 16x 16x
2x x 2x 6
2x 3 x x 8
3x 2x 2x 9
x 2x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài12.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau:
(P)
= − + −
− + ≥



+ + ≥


− − ≥


+ + ≥

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
ma x f(x) 2x x 3x
x 2x 2x 4
x x x 5
2x x 3x 6
3x 4x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài 13.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):
= + + −
+ − =


− + =



+ − ≤


+ + ≤

≥ =


1 2 3 4
1 3 4
1 2 4
2 3 4
1 2 3
j
m in f(x) 2x x x 5x
x x x 10
2x x x 16
2x x x 30
x x x 18
x 0, j 1,4

c) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
d) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 14.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):
= − − + +
− + ≥


+ + − + =



+ − + ≥


≥ =

1 2 3 4 5
1 4 5
1 2 3 4 5
1 2 4 5
j
min f(x) 4x 4x 2x 3x x
x 2x 3x 6
2x 4x x x 2x 25
3x 2x x x 8
x 0, j 1,5

c) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
d) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 15.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):
= + + +
+ + ≤


+ + − ≥


− + + + ≥



≥ =

1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) 3x 4x 3x 5x
2x x 3x 3
x 2x 3x x 24
x x 2x 2x 6
x 0, j 1,4

c) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
d) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 16. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= + + +
− + ≥


− + − ≤


− + + − ≥


≥ =

1 2 3 4
1 2 4

2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) x 3x 4x x
x 2x 2x 8
3x x 4x 18
3x x 2x x 20
x 0, j 1,4
c) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
d) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 17. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= − + + −
− + − + =


+ − + ≤


+ + ≥


≥ =

1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 4 5
1 4 5
j
min f(x) 3x x 2x x
x x x x x 6

2x x 2x x 8
x 2x 3x 9
x 0, j 1,5
c) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
d) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 18. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= − − + −
+ − + ≥


+ + ≤


− − + − ≥ −


≥ =

1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) 2x 3x 2x 4x
3x x 2x 5x 17
2x x 2x 6
4x 2x x 2x 10
x 0, j 1,4
a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù

Câu 1: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính (N) sau đây: f(X) = x
1
+ 5x
2
- x
3
+ 2x
4
- 4x
5
-
x
6
-> min
Câu 2: Xét bài toán quy hoạch tuyến tính (G) sau đây: f(X) = 4x
1
- 3x
2
- x
3
-> min
Viết bài toán đối ngẫu (G*) của (G).Chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu
Kiểm tra xem phương án X0 = (-1, 1, 1) có là phương án, phương án tối ưu của bài toán
(G) không? Tại sao?
Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây
F(x)= 4x
1
+6x
2
+ 2x

3
 min

2x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 24
2x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 18
x
1
+ x
2
+ x
3
≥ 18
x
1
.x
2 .
x
3

≥0
viết bài toán đối ngẫu
biết bài toán có pán t/ưu là X
*
=(0, 0, 18). Tìm tập pán của btoán đối ngẫu
F(x)= x
1
+6x
2
+ 4x
3
 max

-x
1
+ x
2
- x
3
≤ 7
-x
1
+2x
2
+ x
3
= 4
x
1
+ 2x

2
+ 2x
3
≥ 12
x
1
.x
2 .
x
3
≥0
cho bài toán sau có phương án tối ưu là X
O
=

( 0, 14, 0, 0) tìm phương án tối ưu của bài
toán đối ngẫu
F(x)= 5x
1
+3x
2
- x
3
+

4x
4
 min

x

1
+x
2
- 2x
3
+

x
4
≥ 10
-x
1
+ x
3
≤ 25
2x
2
- 3x
3
+

x
4
= 28
x
1
.x
2 .
x
3,

x
4
≥0 viết bài toán đối ngẫu và tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối
ngẫu và bt gốc
Bài 7. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)sau:
= − − +
+ + ≤


+ + ≥


+ + =


≥ =

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
j
min f(x) 2x x x
3x 6x x 4
5x 2x 4x 8
5x 3x 2x 5
x 0, j 1,3

Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.

Bài 8. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P).
= + +

− + + ≥

+ − ≥


≥ =

1 2 3
1 2 3
1 2 3
j
min f(x) 2x 9x 3x
2x 2x x 1
x 4x 3x 1
x 0; j 1, 3
a)Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P) và giải nó bằng phương pháp hình học.
b)Sử dụng định lý độ lệch bù để tìm nghiệm tối ưu của bài toán (P).
Bài 9.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính(P) sau:(P)
= + +
+ + ≤


− + − ≤


+ − ≥



∈ ∈ ≤

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
max f(x) 27x 50x 18x
x 2x x 2
2x x x 4
x 2x x 1
x R; x R; x 0
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài 10. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau: (P)
= + +
+ + ≥


+ + ≥


+ ≥


+ ≥

1 2 3

1 2 3
1 2 3
1 3
1 2
minf(x) 28x 24x 12x
2x x x 12
x 3x x 15
x x 6
3x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài 11.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau (P)
= + +
+ + ≥


+ + ≥


+ + ≥


+ + ≥

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3

min f(x) 12x 16x 16x
2x x 2x 6
2x 3 x x 8
3x 2x 2x 9
x 2x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài12.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau: (P)
= − + −
− + ≥


+ + ≥


− − ≥


+ + ≥

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
ma x f(x) 2x x 3x
x 2x 2x 4
x x x 5
2x x 3x 6

3x 4x 2x 9
a) Viết bài toán đối ngẫu (D) của (P). Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Giải bài toán(D) bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài
toán gốc (P).
Bài 13.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):
= + + −
+ − =


− + =


+ − ≤


+ + ≤

≥ =


1 2 3 4
1 3 4
1 2 4
2 3 4
1 2 3
j
min f(x) 2x x x 5x
x x x 10
2x x x 16
2x x x 30

x x x 18
x 0, j 1,4
e) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
f) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 14.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):
= − − + +
− + ≥


+ + − + =


+ − + ≥


≥ =

1 2 3 4 5
1 4 5
1 2 3 4 5
1 2 4 5
j
min f(x) 4x 4x 2x 3x x
x 2x 3x 6
2x 4x x x 2x 25
3x 2x x x 8
x 0, j 1,5
e) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
f) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 15.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):

= + + +
+ + ≤


+ + − ≥


− + + + ≥


≥ =

1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) 3x 4x 3x 5x
2x x 3x 3
x 2x 3x x 24
x x 2x 2x 6
x 0, j 1,4

e) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
f) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 16. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= + + +
− + ≥



− + − ≤


− + + − ≥


≥ =

1 2 3 4
1 2 4
2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) x 3x 4x x
x 2x 2x 8
3x x 4x 18
3x x 2x x 20
x 0, j 1,4
e) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
f) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 17. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= − + + −
− + − + =


+ − + ≤


+ + ≥



≥ =

1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 4 5
1 4 5
j
min f(x) 3x x 2x x
x x x x x 6
2x x 2x x 8
x 2x 3x 9
x 0, j 1,5
e) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
f) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù.
Bài 18. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)
= − − + −
+ − + ≥


+ + ≤


− − + − ≥ −


≥ =

1 2 3 4
1 2 3 4

2 3 4
1 2 3 4
j
min f(x) 2x 3x 2x 4x
3x x 2x 5x 17
2x x 2x 6
4x 2x x 2x 10
x 0, j 1,4
a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình.
b) Lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm nghiệm của (D) bằng định lý độ lệch bù
Bài 1 Cho bài toán gốc: f(X) = x1 + 3x2 + 2x3 -> min
2x1 + x2 + x3 + x4 ≥2
x1 – 2x2 – x3 + 3x4 ≥ 5
–x1 – x2 + x3 + x4 ≥ 1
xj ≥ 0 với j=1->4
1) Viết bài toán đối ngẫu.
Bài 2 Xét bài toán QHTT sau: f(X) = x1 + 3x2 + 2x3 + x4  min
2x1 + x2 + x3 ≥ 2
x1 + x2 + 2x3 ≥ 5
2x1 + 2x2 + 3x3 ≥1
Xj ≥ 0
Hãy chứng tỏ rằng nếu X* là phương án tối ưu thì thành phần thứ 2 và thành phần thứ 4
phải bằng 0.
Bài 1 Cho bài toán QHTT: f(X) = x1 + 3x2 + 2x3 + x4  max
2x1 + x2 + x3 – x4 ≤ 2
x1 + x2 – 2x3 + 2x4 ≤5
2x1 – 2x2 + 3x3 ≤1
xj ≥ 0
Cho biết một pán tối ưu của bài toán trên là X* = (0, 3, 7/3, 10/3). Hãy viết bài toán đối
ngẫu và lờigiải

Bài 2 Cho bài toán QHTT: f(X) = x2 – 3x3 + x4 + 2x5  min
x1 + x2 + x3 + x4 = 6
–2x1 – x2 + 2x3 + x5 = 4
2x1 + x2 + x3 ≤ 2
Xj ≥ 0
1) Giải bài toán trên. Phương án tối ưu, nếu có, có duy nhất không?
2viết btoán đối ngẫu và lời giải của bài đối ngẫu. Pán tối ưu của bài đối ngẫu, nếu có,có duy
nhất không?
Bài 3 Cho bài toán QHTT: f(X) = –x2 – x3 + 2x4  max
x1 – x2 + 2x3 + x4 = 1
–3x1 + x2 – 3x3 ≤ 2
2x1 – 2x2 + x3 ≤ 4
xj ≥ 0
1) Giải bài toán trên. 2.viết bài toán đối ngẫu và cho biết lời giải của bài đối ngẫu.
4- Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
F(x)=2x1+4x2 +x3 +x4  max
x1 +3x2 +x4 ≤1
−5x2 −2x4 ≤3
4x2+4x3 +x4 ≤3 xj≥0(j=1→4)
1- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho.
2- Giải bài toán đã cho rồi suy ra kết quả của bài toán đối ngẫu.