chương 2 phép tính vi phân hàm một biến thực

Trang 1
Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC

Trong chương này ta nghiên cứu đạo hàm, vi phân của hàm một biến cùng với các
ứng dụng của nó.
2.4.1. Đạo hàm của hàm số
2.1.1. Khái niệm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b),
0
(,)
x
ab

. Cho
0
x
một số gia
x

đủ bé
sao cho. Gọi
y
 là số gia tương ứng của hàm số ứng với
x

:
00
()()
y
fx x fx  

0
(,)
x
xxab
a. Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn
0
lim
x
y
x



thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm
của hàm số y = f(x) tại điểm
0
x
, ký hiệu:
f ’(x
o
) =
00
( ) () () ()
lim lim lim
o
oo o
xx xx
o
f
x x fx fx fx

y
xx xx
  

 


 

b. Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = x
2
tại x = 2.
Ta có:
22
222
() (2) 2 ( 2)( 2)
(2) lim lim lim 4
22 2
xxx
fx f x x x
f
xx x



 
 
.
2.1.2. Đạo hàm một phía
Trong định nghĩa đạo hàm, nếu ta xét giới hạn một phía thì các đạo hàm đó được

gọi là đạo hàm một phía.
Định nghĩa. Các giới hạn sau đây được gọi là đạo hàm trái, đạo hàm phải tương
ứng của hàm số y = f(x).

o
o
xx
o
xx
xfxf
xf
o






)()(
lim)(
'
;
o
o
xx
o
xx
xfxf
xf
o







)()(
lim)(
'

Mệnh đề. Hàm số f(x) có đạo hàm tại
0
x
khi và chỉ khi f(x) có các đạo hàm một
phía tại
0
x
và chúng bằng nhau.
Ví dụ. Hàm số
yx không có đạo hàm tại x = 0.
Vì
00 00
lim ( ) lim 1 lim ( ) lim 1
xx xx
xx
fx fx
xx
 
 
 

Mệnh đề. Nếu f(x) có đạo hàm tại
0
x
, thì liên tục tại
0
x
.
Nhận xét. Điều ngược lại của mệnh đề trên không đúng.
Ví dụ. Hàm số
yx
liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này.

Trang 2
2.1.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm y = f(x) tại x
o
bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong
y = f(x) tại điểm M
o
(x
o
,f(x
o
))
2.1.4. Các quy tắc tính đạo hàm
1) ( u  v ) ’ = u’  v’
( uv)’ = u’v + u v’

2
'

''
)(
v
uvvu
v
u 


2)
Hàm hợp : y = y[u(x)] .
x
ux
y
yu




3) Hàm

ngược : y =f(x)  x = f
-1
(y)  x’
y
=
'
1
x
y

4) Đạo hàm theo tham số
Cho x=f(t) và y=g(t) , khả vi t  ( ,). Nếu hàm số ngược t =
-1
(x) tồn
tại thì
y’
x
=
t
t
x
y
'
'

2.1.5. Bảng đạo hàm của một số hàm số
Hàm số Hàm số hợp Hàm số Hàm số hợp
( C)’ = 0 ( sin x)’ = cosx ( sin u)’ = u’cosu
(x

)’ = x
-1
(u

)’ = u
-1
u’
( cosx)’ = -sinx ( cosu)’ = -u’sinu
(a
x

)’ = a
x
lna (a
u
)’ = u’a
u
lna
(tgx)’ =
x
2
cos
1
(tgu)’ =
u
u
2
cos
'

(e
x
)’ = e
x
(e
u
)’ =u’ e
u

(cotgx)’ =
x

2
sin
1

(cotgu)’ =
u
u
2
sin
'


( log
a
x)’ =
axln
1

( log
a
u)’ =
au
u
ln
'
( arcsinx)’ =
2
1
1
x

( arcsinu)’ =
2
1
'
u
u

( lnx)’ =
x
1
(lnu)’ =
u
u'
(arctgx)’ =
2
1
1
x

(arctgu)’ =
2
1
'
u
u



2.2. Vi phân hàm số
2.2.1. Định nghĩa. Cho hàm số

()yfx

xác định trên (,)ab chứa
0
x
. Nếu số gia
của hàm tại
0
x
có dạng: .()
y
Ax x   (trong đó A không phụ thuộc vào
x

) thì ta

Trang 3
nói ()
f
x khả vi tại
0
x
và biểu thức
.
A
x

được gọi là vi phân của hàm số ()
f
x tại

0
x
.
Ta kí hiệu vi phân là dy hoặc df.
 Đặc biệt ,nếu xét hàm số y = x thì dy = dx = y’.

x =

x
==>

x = dx
Vậy y’ =
dxydy
dx
dy
'
 Tổng quát : y =f(u) với u=g(x)
f khả vi đối với u, g khả vi đối với x thì f(g(x)) khả ví đối với x
dy = f’
x
.dx
Mệnh đề.
()
f
x khả vi tại
0
x
khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại
0

x
và
0
()dy f x dx


.
2.2.2. Ứng dụng của vi phân
Ta có
 y = f ’(x
o
).  x +

.

x
==>
 y  f ’(x
o
).  x khi

x càng bé
hay f(x
o
+  x ) – f(x
o
)

f ’(x
o

).

x
f(x
o
+  x )  f(x
o
) + f ’(x
o
).

x
Phương pháp gần đúng giá trị hàm số đã cho
- Từ giá trị f(

) cần tính rút ra dạng f(x)
- Phân tích giá trị

thành x
o
+

x sao cho f(x
o
) tính được và  x càng nhỏ.
- Tính f(x
o
) và f’(x
o
)

Ví Dụ. Tính gần đúng ln1.01 bằng vi phân.
Chọn hàm số
() ln(1 )
f
xx,
0
0x

và 0.01x

 . Ta có:
1
()
1
fx
x



, suy ra
1
(1)
2
f


. Do đó
1.01
ln1.01 ln1 0.005
2

 
2.2.3. Các quy tắc tính vi phân
Tương tự như đạo hàm ta có các quy tắc tính vi phân sau.
Nếu u, v khả vi thì tổng, hiệu, tích, thương(
0v

) của chúng cũng khả vi và:
1)
()du v du dv


2)
()d uv vdu udv
3)
2
()
u vdu udv
d
vv




Trang 4
2.2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao
Giả sử
()
f
x
có đạo hàm tại

(,)
x
ab


. Khi đó
()
f
x

là một hàm số xác định trên
(,)
x
ab nên ta có thể tính đạo hàm của hàm số ()
f
x

. Một cách quy nạp, ta định
nghĩa:
Đạo hàm cấp 2:
() ( ())
f
xfx




Đạo hàm cấp 3:
() ( ())
f

xfx

  


Đạo hàm cấp n:
1
() ( ())
nn
f
xfx



2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân
2.3.1. Các định lý giá trị trung bình
1. Cực trị địa phương
Cho hàm số
()
f
x xác định trên (,)ab. Ta nói điểm
0
(,)
x
ab

là điểm cực đại
(tương ứng cực tiểu) địa phương của hàm số
()
f

x nếu tồn tại lân cận
00
(,)(,)
x
xab


 sao cho:
00 0 0
( , ), ( ) ( ), (t.u ( ) ( ))
x
x x fx fx fx fx



   
2. Định Lý Fermat
Cho f(x) xác định trong lân cận của x
o
và đạt cực trị tại x
o.
Nếu

f(x) có đạo hàm
tại x
o
thì f ’(x
o
) = 0
3. Định Lý Rolle

Cho f(x) thỏa điều kiện: liên tục trên đoạn [a,b], khả vi trên khoảng (a,b) và f(a)
=f(b). Khi đó , tồn tại c  (a,b). sao cho f ’(c) = 0.
4. Định Lý Lagrange
Cho f(x) thỏa điều kiện : liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Khi đó :
 c (a,b) : f ’(c) =
ab
afbf


)()(

 Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange

( C ) là đồ thị của hàm số y = f(x) và A (a,f(a)) , B(b, f(b))  ( C ). Cát tuyến
AB có hệ số góc k =
ab
afbf


)()(

Công thức Lagrange chứng tỏ  M (c,f(c ))  ( C ) sao cho tiếp tuyến tại đó
song song với cát tuyến AB.
Ví Dụ. Tìm trên đường cong y = lnx một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với
cát tuyến AB, biết rằng A(1,0),B(e,1).
2.3.2. Công thức Taylor

Trang 5
1. Định Lý. Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b], khả vi đến cấp n+1 trong khoảng
(a,b) và x

o
 (a,b ). Khi đó x  [a,b] , tồn tại c ở giữa x
o
và x sao cho hàm f(x) được
khai triển dưới dạng :
f(x) = f(x
o
)+
1
1
2
)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(''
)(
!1
)('





n
o

n
n
o
o
n
o
o
o
o
xx
n
Cf
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf

Công thức trên gọi là công thức Taylor

2. Công thức MacLaurin
Nếu x
o
= 0 thì công thức Taylor trở thành công thức MacLaurin sau đây :

1
21
'(0) ''(0) (0) ( )

( ) (0)
1! 2! ! ( 1)!
nn
nn
ff f fc
f
xf x x x x
nn


   


( c nằm giữa 0 và x )
Ghi chú. Đặt R
n
(x) =
1
1
)(
)!1(
)(




n
o
n
xx

n
cf
thì R
n
(x) gọi là phần dư bậc n trong công
thức Taylor.
Trong công thức MacLaurin : R
n
(x) =
1
)1(
)!1(
)(



n
n
x
n
xf

( 0 <  < 1 )

3. Biểu diễn một số hàm sơ cấp theo công thức MacLaurin

21
() 1
1! 2! ! ( 1)!
nn

x
x
xx x x
f
xe e
nn




 , với 01







35 21
1
() sinx (1) (),
3! 5! (2 1)!
k
k
xx x
f
xx Rx
k



 




với
21
() (1) os ,0 1
(2 1)!
k
k
x
Rx c x
k


  




23 1
1
1
(1)
() ln(1 ) (1) ,
23 1(1 )
nn n
n
n

xx xx
fx x x
nn x





 


với 1x 
Áp dụng. Tính gần đúng số e
Ta khai triển hàm
x
e , lấy 1
x
 ta được:
11 1
1
1! 2! ! ( 1)!
e
e
nn

    

 , với 01

.

Trang 6
Công thức này cho phép tính
11 1
1
1! 2! !
e
n

  .
Với n = 6, ta có
1 1 1 1 1 517
22.
2! 3! 4! 5! 6! 7! 720 7!
ee
e


       
Vì
01


nên
13
7! 7! 7!
e

. Từ đó:
517 1 517 3

22
720 7! 720 7!
e

 .
Vậy:
2.718e 

2.4. Một số ứng dụng của vi phân hàm 1 biến
2.4.1. Qui tắc L’hospital
Giả sử các hàm số f(x), g(x) khả vi tại lân cận của x
o
, )(lim xf
o
xx
=






0
)(lim
xg
o
xx
và
g’(x)  0 với mọi x  V (x
o

). Khi đó :
Nếu
0
'( )
lim
'( )
xx
fx
A
gx


thì A
xg
xf
o
xx


)(
)(
lim


Ví dụ Tính các giới hạn
a.
32
0000
366
lim lim lim lim 6

sinx 1 osx sin x osx
xxxx
xxx
xc c




.
b.
2
2
22
00 0 0
1
1
1 cos 1 cos
cos
lim lim lim lim 2
sinx 1 osx (1 cos ) os x os x
xx x x
tgx x x x
x
xc xcc
  




 

2.4.2. Khảo sát hàm số
1. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ Descartes
Sơ đồ khảo sát hàm số

1 Miền xác định
2 Đạo hàm :
 Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực tr
 Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn
3 Giới hạn – Tiệm cận
4 Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt
5 Vẽ đồ thị :

Trang 7
Ví Dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y =
2
44
2


x
x

Ghi chú : Điểm uốn ( -3 , -
9
26
) cực tiểu ( -2,-3)
Cắt trục hoành : x = 1
3

 Đường cong cho dưới dạng tham số :





)(
)(
ty
tx



Ví Dụ 2
: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : t
y
tx







2
1
2

Ví Dụ
3:






tRy
tRx
sin
cos






tby
tax
sin
cos

Ví Dụ 4
: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xx 4
2


2. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực
 Hệ tọa độ cực
Trong mặt phẳng, chọn 1 điểm O cố định, gọi là cực và một véctơ đơn vị
PO


, tia mang vectơ
PO

gọi là trục cực. Hệ tọa độ xác định bới cực và trục cực được gọi
là hệ tọa độ cực.
Điểm M trong mặt phẳng được xác định bới véctơ
MO

nghĩa là góc
),( MOPO




và mođun r = MO


 : góc cực, r : bán kính cực. Cặp số (r,  ) vớ r  0 và 0   < 2

được
gọi là Tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng.
Liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes :









sin
cos
Ry
Rx
( 0   < 2

, r 0 )
 r =
22
yx  , tg  =
x
y
(chọn  sao cho sin  cùng dấu với y )
Ví Dụ 1 Biểu diển các điểm sau đây qua hệ tọa độ cực :

Trang 8
a) M (
2
3
,
2
1
) b) M (
)1,3

Ví Dụ 2 a) M ( r =
4
5
,2




) b) N( r=5,
3
5



)
Sơ đồ khảo sát đường cong trong hệ tọa độ cực : r=f()
1- Miền xác định của f()
2- Xét sự tuần hoàn của r theo  ( nếu có). Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T,
ta chỉ khảo sát đường cong trong góc -
22
TT


sau đó quay những góc
bằng T quanh O
3- Xét sự đối xứng ( nếu có ) :
 f(-) = f() : đối xứng qua trục cực.
 f(-) = - f() : đối xứng qua đường vuông góc với trục cực.
4 - Tính đạo hàm r’ = f() : xét tăng giảm
5 – Tìm tg  =
'r
r
Chứng Minh  = ),( OMMO



6 – Bảng biến thiên
7 – Vẽ đồ thị
Ví Dụ : Khảo sát đường cong r = 2 + cos  trong tọa độ cực

BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Tính đạo hàm của các hàm số
2.1 a) y = x +
3
xx  b) y =
3
111
xx
x

c) y =
2
1 x
d) y =
1
2
 xx

2.2 a) y = shx + chx b) y = ln(arcsin5x)
c) y = log
3
(x
2
-sinx) d) y =e
x
ln(sinx)

2.3 a) y = sin
3
(4x+3) b) y =ln
2
(cosx)
c) y = cos(cos(cosx)) d) =
2
arctg
x
e
2.4 a)
ln
2
x
y
tg b)
2
4
2
arcsin
1
x
y
x




Trang 9
c)

2
12
arc
21
x
ytg
x


d)
2
ln( 1 )
y
xx

2.4 a) y =
tgx
x)(sin

b) =
x
x
2cos

c)
2
21
(cos )
x
yx



d) y =
4
x
x

2.5 a)





tby
tax
sin
cos
b)





2
1
arcsin
ty
tx

c)

2
ar
ln(1 )
x
ctgt
y
t





d)
3
3
3
t
t
x
y







2.6 Tính
a)
369

3
(2 )
()
d
x
xx
dx
 b)
2
sinx
()
d
dx x




c)
(sinx)
(cos )
d
dx
d)
2
(2 )
(2 )
x
x
d
d



2.7 Tính vi phân cấp một của các hàm số sau
a)
2
os3
x
y
xe c x b)
2
ln
y
xxa


2.8 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số
a)
2
x
ye


b)
22
ln
y
xax
2.9 Chứng minh rằng hàm số
(os(ln ) sin(ln ))
n

y
xc n nthỏa mãn phương trình

22
(1 2 ) (1 ) 0xy nxy n y
 
  
2.10 Chứng minh rằng hàm số
cos
x
y
ex

 thỏa mãn phương trình

(4)
40yy
2.11 Chứng minh rằng nếu y = e
x
sinx thì y’’ – 2y’ + 2y = 0 .
2.12 Chứng minh rằng nếu y = acos(lnx) + bsin(lnx) thì

x
2
y’’ + xy’ + y = 0 .
2.13 Chứng minh rằng arcsinx + arccosx =
2

.
2.14 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y =

2
132 xx 
tại giao điểm
của đường cong với trục tung .
2.15 Tìm điểm M
o
trên cung AB của đường cong y = 2x-x
2
mà tại đó tiếp tuyến song
song với dây cung AB với A(1,1) , B(3,-3).

Trang 10
2.16 Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f(x) =
32
8 xx 
trên đoạn [0,8]
2.17 Hàm số f(x) =
2
3
(8)x 
có thỏa điều kiện định lý Rolle trên đoạn [0,16] hay
không ?
2.18 Chứng minh rằng đạo hàm f’(x) của đa thức f(x) = x
3
-x
2
-x+1 có nghiệm thực
trong khoảng (-1,1).
2.19 Áp dụng định lý Lagrange để chứng minh các bất đẳng thức
a)  sinx-siny   x-y, x,y  R

b) ln(1+x) < x , x > 0
c)
b
ba
b
a
a
ba 


ln
nếu 0<b<a
2.20 Giả sử f(x) xác định, liên tục, dương trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Chứng minh
rằng
x (a,b) :
)(
)('
)(
)(
)(
cf
cf
ab
e
af
bf



(Hướng dẫn : y=F(x) = ln(f(x)) – Dùng định lý Lagrange )

2.21 Dùng vi phân để tính gần đúng
a) (1,003)
50
b)
5
001,1
c) e
1,003
d) ln(1.05)
2.22 Tìm các giới hạn
a)
)
ln
1
(lim
2
2
1
x
x
x


b)
)
sin
2cos
(lim
2
0

x
x
xe
x
x



c)
x
x
x
2
2
0
sin
)1ln(
lim


d)
x
x
x
xe
1
0
)(lim 


e)
0
2
lim
sinx
xx
x
ee x
x




f) lim , , 0
mm
nn
xa
xa
mna
xa





g)
0
lim
tgx x
x

ee
tgx x



h)
1
1
lim
1sin x
2
x
x





2.23 Tìm khoảng tăng ,giảm và cực trị của các hàm số :
a) y = (1-x)(x+2)
2
b) y = -x
3
+ 3x
2
- 5x + 2
c) y =
x
x
ln

d) y = )1ln(
2
x
2.24 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số

Trang 11
a) y =
2
1
x
x

b) y =
4
3
x
x

c) y =
2
4 x
d) y =
x
x
ln