chương 3 thống kê

Chương III
THỐNG KÊ

§1. CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU

1.1. Khái niệm cơ bản
 Tổng thể: là tập hợp có các phần tử là đối tượng ta nghiên cứu.
 Mẫu: là tập hợp gồm n phần tử được chọn từ tổng thể để nghiên cứu vấn
đề của tổng thể, n được gọi là kích thước mẫu.
 Bảng số liệu
Khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu của mẫu cỡ n: (X
1
, X
2
,…, X
n
) và
thường lập bảng số liệu theo các dạng sau:
Dạng 1: Liệt kê dưới dạng: (x
1
, x
2
,…, x
n
)
trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều lần.
Dạng 2: Lập bảng có dạng:

x
i

x
1
x
2
… x
k

n
i
n
1
n
2
… n
k


trong đó x
1
< x
2
< < x
k
và mỗi số liệu x
i
xuất hiện n
i
lần.
Dạng 3: Lập bảng có dạng:

x
i
x
1
– x
2
x
2
– x
3
… x
k
– x
k+1
n
i
n
1
n
2
… n
k


trong đó x
1
< x
2
< < x
k

< x
k+1
và mỗi nửa khoảng [x
i
; x
i+1
) (trừ cái cuối
cùng là đoạn [x
k
; x
k+1
]) chứa n
i
số liệu.
Khi xử lý số liệu ta sẽ đưa số liệu về Dạng 2.
Có thể đưa Dạng 1 về Dạng 2 bằng cách thống kê lại.
Dạng 3 được đưa về Dạng 2 bằng cách thay các khoảng x
i
-x
i+1
bằng giá
trị trung bình của hai đầu mút
1
2
ii
i
xx
x





1.2. Các tham số đặc trưng của mẫu
a. Tỷ lệ mẫu
Định nghĩa. Cho mẫu có kích thước n, trong đó có m phần tử có tính chất A, khi
đó tỷ lệ mẫu là một số được ký hiệu và xác định như sau:
m
f
n



b. Trung bình mẫu - Phương sai mẫu

Định nghĩa. Trung bình mẫu của mẫu (X
1
, X
2
,…, X
n
) là một số được xác định
như sau
1 1 2 2 kk
x n x n x n
x
n
  


Phương sai mẫu là một số không âm được xác định như sau:

2 2 2
ˆ
s x x

Trong đó
2 2 2
2
1 1 2 2 kk
x n x n x n
x
n



Với phương sai mẫu, ta còn có các số đặc trưng liên quan như phương sai mẫu
hiệu chỉnh kí hiệu là
2
s
, độ lệch mẫu được kí hiệu là
ˆ
s
, độ lệch mẫu hiệu chỉnh kí
hiệu là
s
và được xác định như sau:
22
ˆ
1
n
ss

n



2
ˆˆ
ss

2
ss


Ví dụ. Điều tra về năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng, ta
thu được bảng số liệu sau:

Năng suất
(tạ/hecta)

41

44 45 46 48 52 54
Số ha

10 20 30 15 10 10 5

a) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh.
b) Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ trở lên là những thửa ruộng có năng
suất cao. Tính tỷ lệ thửa ruộng có năng suất cao.
c) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh của những thửa ruộng có năng
suất cao.

§2. ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ

2.1. Bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể

Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p. Xét một mẫu có kích
thước n và tính được tỷ lệ mẫu là f. Hãy tìm khoảng ước lượng của tỷ lệ tổng thể p
với độ tin cậy
1


cho trước?

Cách giải
Gọi p là tỷ lệ tổng thể, từ mẫu đã cho ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy
1


.
Bước 1. Với độ tin cậy
1


, ta tìm số
t

từ công thức:
1 2 ( )t





Tra bảng phụ lục số 2, ta được giá trị
t

cần tìm.
Bước 2. Tính độ chính xác

của ước lượng theo công thức:
(1 )ff
t
n





Bước 3. Kết luận: Khoảng ước lượng của p có dạng:

f p f

   

Ví dụ 1. Để điều tra nhu cầu tiêu dùng sản phẩm A của một khu dân cư, người ta
theo dõi 100 hộ gia đình của khu dân cư này thì thấy có 60 hộ có nhu cầu. Với độ
tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu về sản phẩm A ở khu dân
cư này?
Giải
Goi p là tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu về sản phẩm A ở khu dân cư, ta sẽ ước lượng
p với độ tin cậy 95%

Ta có
60
0,6
100
m
f
n
  

Từ độ tin cậy
1 0,95 1,96t


   

Độ chính xác của ước lượng
(1 ) 0,6(1 0,6)
1,96
100
ff
t
n





Vậy tỉ lệ hộ gia đình có nhu cầu sử dụng sản phẩm A ở khu dân cư này nằm trong
khoảng 50,4% đến 69,6% với độ tin cậy 95%.

Ví dụ 2. Điều tra về tỉ lệ phế phẩm của một kho hàng, người ta kiểm tra ngẫu
nhiên 100 sản phẩm của kho hàng đó thì thấy có 20 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%,
hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm của kho hàng đó?
HD (tương tự bài trên)

Ví dụ 3. Điều tra về số cá trong hồ, người ta bắt từ hồ lên 300 con đánh dấu rồi thả
lại vào hồ. Sau đó người ta bắt lên 500 con thì thấy có 80 con bị đánh dấu. Với độ
tin cậy 90%, hãy ước lượng số cá có trong hồ?
Giải
Gọi n là số các trong hồ và p là tỉ lệ các bị đánh dấu trong hồ thì
300
p
N

.
Ta sẽ tìm khoảng ước lượng p với độ tin cậy 90%
Với độ tin cậy đã cho ta có:
( ) 0,45 1,65tt


  

Theo giả thiết của bài toán ta có một mẫu với
500n 
và
0,16f 
nên độ chính
xác của ước lượng là
0,16.0,84
1,65 0,0271

500



Suy ra
0,16 0,0271 0,1329; 0,16 0,0271 0,1871ff

       

Do đó
300 300 300
0,1329 0,1871
0,1329 0,1871
pN
N
     

Vậy với độ tin cậy 90%, ta có thể dự đoán số cá trong hồ từ 1600 đến 2257 con.

2.2. Bài toán ước lượng trung bình tổng thể

Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể

. Xét một mẫu có
kích thước n và tính được trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là
,xs
. Hãy tìm
khoảng ước lượng của trung bình tổng thể

với độ tin cậy

1


cho trước?
Cách giải
Bước 1. Với độ tin cậy
1


, ta tìm số
t

theo một trong hai trường hợp sau:
TH1. Nếu
30n 
thì
t

được xác định theo công thức:
1 2 ( )t




Tra bảng phụ lục số 2, ta được giá trị
t

cần tìm.

TH2. Nếu

30n 
thì
t

được xác định theo công thức:
()t t k



Trong đó k = n – 1 và

được suy ra từ độ tin cậy
1


. Tra bảng phụ lục 5 ta
được
t

cần tìm.

Bước 2. Tính độ chính xác

của ước lượng theo công thức:
s
t
n




Bước 3. Kết luận: Khoảng ước lượng của

có dạng:

xx
  
   

Ví dụ 1. Cân thử 100 sản phẩm của một nhà máy, ta có trọng lượng trung bình là
500g, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là s = 150g. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình
của một sản phẩm của nhà máy đó với độ tin cậy 95%

Giải
Gọi

là trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy, ta sẽ ước lượng

với độ tin cậy 95%.
Ta có
500x 
,
150s 
,
100 30n 

Từ độ tin cậy
1 0,95 1,96t



   

Độ chính xác của ước lượng là
150
1,96
100
s
t
n




Vậy trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy nằm trong khoảng
(497,06g; 502,94g) với độ tin cậy 95%.

Ví dụ 2. Để xác định trọng lượng trung bình của các bao bột mì bán ở một cửa
hàng. Cân thử 25 bao bột mì của cửa hàng đó ta được trọng lượng trung bình là
49,2kg, độ lệch hiệu chỉnh của các bao bột mì là 0,5kg. Hãy ước lượng trọng
lượng trung bình của các bao bột mì của cửa hàng đó với độ tin cậy 95%

Giải
Gọi

là trọng lượng trung bình của một bao bột mì của cửa hàng, ta sẽ ước lượng

với độ tin cậy 95%.
Ta có
49,2x 
,

0,5s 
,
25 30n 

Từ độ tin cậy
0,05
1 0,95 ( ) (24) 2,0639t t k t


     

Độ chính xác của ước lượng là
0,5
2,0639
25
s
t
n




Vậy trọng lượng trung bình của một bao bột mì của cửa hàng nằm trong khoảng
(48,9361kg; 49,4036kg) với độ tin cậy 95%

Ví dụ 3. Điều tra về năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng,
ta thu được bảng số liệu sau:

Năng suất
(tạ/hecta)

41

44 45 46 48 52 54
Số ha

10 20 30 15 10 10 5

a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng trên với độ tin cậy 99%?
b) Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ trở lên là những thửa ruộng có năng
suất cao. Với độ tin cậy 96%, hãy ước lượng tỷ lệ thửa ruộng có năng suất cao?
c) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của những thửa ruộng có năng suất cao
với độ tin cậy 97%?

Ví dụ 4. Nghiên cứu về khối lượng mũ cao su thu được mỗi ngày trong năm đầu
khai thác, người ta theo dõi trên một số cây và có kết quả trong bảng sau

Khối lượng
mũ (g)

205

215 225 235 245 255 265
Số cây

2 8 14 30 25 12 9

a) Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu được mỗi ngày với độ
tin cậy 99%.
b) Người ta gọi những cây cao su có khối lượng mũ thu được mỗi ngày dưới

235g là cây loại II. Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu
được mỗi ngày của những cây loại II với độ tin cậy 98%.

2.3 Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng tỷ lệ

Bài toán. Cho mẫu có kích thước n và tỷ lệ mẫu f. Hãy tìm độ tin cậy của phép
ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ chính xác

cho trước.
Cách giải
Ta có
(1 )
(1 )
f f n
tt
n f f



  

.
Với độ chính xác

và mẫu đã cho, ta tính được
t

. Tra bảng phụ lục 2 ta tìm
được
()t



. Từ đó ta suy ra độ tin cậy cuả ước lượng bằng công thức
1 2 ( )t



.

2.4 Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng trung bình

Bài toán. Cho mẫu có kích thước n và độ lệch mẫu hiệu chinh s. Hãy tìm độ
tin cậy của phép ước lượng trung bình tổng thể

với độ chính xác

cho
trước.
Cách giải
Ta có
sn
tt
s
n


  
.
Với độ chính xác


và mẫu đã cho, ta tính được
t

. Từ đó ta tìm được độ tin
cậy của phép ước lượng

theo một trong hai trường hợp sau
1. Nếu
30n 
thì độ tin cậy của ước lượng được tính bằng công thức:
1 2 ( )t



.
2. Nếu
30n 
thì độ tin cậy của ước lượng được tính bằng công thức:
( 1)t t n


. Tra bảng phụ lục 5 ta được

từ đó suy ra
1


cần tìm.

Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng tỷ lệ

Bài toán. Cho mẫu có tỷ lệ mẫu f. Hãy tìm kích thước mẫu (ở đây kích thước
mẫu khá lớn) để có phép ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy
1


và độ
chính xác

cho trước.
Cách giải
Nếu gọi N là kich thước mẫu để có phép ước lượng p với độ tin cậy
1


và độ
chính xác

.
Khi đó N được tính theo công thức:
2
2
(1 )
1
ff
Nt









Trong đó
t

được suy từ độ tin cậy
1


bằng công thức:
1 2 ( )t



.

Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng trung bình

Bài toán. Cho mẫu có phương sai mẫu hiệu chỉnh là s
2
. Hãy tìm kích thước
mẫu (ở đây kích thước mẫu khá lớn) để có phép ước lượng trung bình tổng thể

với độ tin cậy
1


và độ chính xác


cho trước.
Cách giải
Nếu gọi N là kich thước mẫu để có phép ước lượng

với độ tin cậy
1


và
độ chính xác

. Khi đó N được tính theo công thức:
2
2
2
1
s
Nt







Trong đó
t

được suy từ độ tin cậy

1


bằng công thức:
1 2 ( )t



.

§3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ

3.1. Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể

Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p.
0
:;H p p

0
:H p p

Xét một mẫu có kích thước n và tính được tỷ lệ mẫu là f. Hãy kiểm định giả thiết
H với mức ý nghĩa

cho trước?

Cách giải
Bước 1. Tính tiêu chuẩn t bằng công thức:
0
00

(1 )
n
t f p
pp



Bước 2. Với mức ý nghĩa

cho trước, ta tính được giá trị tới hạn
t

từ công thức:
1 2 ( )t




Bước 3. Quy tắc quyết định:
1. Nếu
tt


thì ta đưa ra quyết định: Chấp nhận H.
2. Nếu
tt


thì ta đưa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận
H

.
Chú ý. Nếu giả thiết đối của H là
0
:H p p
hay
0
:H p p
thì giá trị tới hạn của
kiểm định là
2
t



Ví dụ. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5%. Năm nay nhà máy áp
dụng một số biện pháp kĩ thuật mới nhằm làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy.
Để đánh giá hiệu quả của biện pháp kĩ thuật mới, người ta kiểm tra ngẫu nhiên
1000 sản phẩm thì thấy có 30 phế phẩm.
a) Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết các biện pháp kĩ thuật mới có thực sự làm
giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy hay không?
b) Nếu nhà máy cho rằng tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng các biện
pháp kĩ thuật mới là 2% thì có thể chấp nhận hay không? Biết rằng mức ý nghĩa
của kiểm định này là 2%?
Giải
Gọi p là tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng các biện pháp kĩ thuật mới.
Để có thể kết luận các biện pháp kĩ thuật mới có thực sự làm giảm tỉ lệ phế phẩm
cho nhà máy hay không ta đặt giả thiết cho p là:
: 0,05Hp
;
: 0,05Hp

Ta có mẫu với kích thước n = 1000 và tỉ lệ mẫu
30
0,03
1000
f 
, nên tiêu chuẩn
kiểm định t là:
1000
0,03 0,05 2,9
0,05(1 0,05)
t   

.
Với mức ý nghĩa
0,05


nên ta có giá trị tới hạn
2
t

là:
2 2 2
2 ( ) 1 0,1 ( ) 0,45 1,65t t t
  

     
.
Do

2
tt


nên ta đưa ra quyết định: Bác bỏ giả thiết H, chấp nhận
H
.
Kết luận. Có cơ sở để nói rằng các biện pháp kĩ thuật mới đã thực sự làm giảm tỉ
lệ phế phẩm cho nhà máy.

b) Để trả lời câu hỏi có thể chấp nhận tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng
các biện pháp kĩ thuật mới là 2% hay không ta đặt giả thiết cho p là:
: 0,02Hp
;
: 0,02Hp

Với mẫu đã cho ta tính được tiêu chuẩn kiểm định t là:
1000
0,03 0,02 2,26
0,02(1 0,02)
t   


Với mức ý nghĩa
0,05


ta có giá trị tới hạn
t


là:
2 ( ) 1 0,02 ( ) 0,49 2,33t t t
  

     

Do
tt


nên ta đưa ra quyết định: Chấp nhận giả thiết H.
Kết luận. Phát biểu của nhà máy cho rằng tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp
dụng các biện pháp kĩ thuật mới là 2% có thể chấp nhận được.

2.2. Bài toán kiểm định giả thiết về trung bình tổng thể

Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể

.
0
:;H



0
:H



Xét một mẫu có kích thước n và tính được trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu

chỉnh là
,xs
. Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa

cho trước?

Cách giải
Bước 1. Tính tiêu chuẩn t bằng công thức:
0
n
tx
s



Bước 2. Với mức ý nghĩa

cho trước, ta tính được giá trị tới hạn
t

theo một
trong hai trường hợp sau:
TH1. Nếu
30n 
thì
t

được xác định theo công thức:
1 2 ( )t





TH2. Nếu
30n 
thì
t

được xác định theo công thức:
()t t k



Trong đó k = n – 1
Bước 3. Quy tắc quyết định:
1. Nếu
tt


thì ta đưa ra quyết định: Chấp nhận H.
2. Nếu
tt


thì ta đưa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận
H
.
Chú ý. Nếu giả thiết đối của H là
0
:H



hay
0
:H


thì giá trị tới hạn của
kiểm định là
2
t



Ví dụ 1. Một công ty cho rằng sản phẩm A của họ chiếm được 50% thị phần sử
dụng sản phẩm A tại địa phương B. Một cuộc điều tra ngẫu nhiên trên 500 người
tại địa phương B cho thấy có 225 người sử dụng sản phẩm A. Hãy cho nhận xét về
nhận định của công ty đó với mức ý nghĩa 5%?
Ví dụ 2. Trọng lượng của sản phẩm A theo quy định là 6kg. Sau khi sản xuất,
người ta cân thử 121 sản phẩm trong số sản phẩm sản xuất thì thấy trọng lượng
trung bình là 5,975kg và độ lệch chuẩn là 0,5kg. Với mức ý nghĩa 5% thì tình hình
sản xuất sản phẩm A có bình thường không?

Ví dụ 3 (CHKT2000). Trong kho để rất nhiều sản phẩm của xí nghiệp A. Lấy
ngẫu nhiên 100 sản phẩm đem cân được kết quả sau:

Trọng lượng (g)
Số SP
800 – 850
5

850 – 900
10
900 – 950
20
950 – 1000
30
1000 – 1050
15
1050 – 1100
10
1100 – 1150
10

a) Giả sử sau đợt kiểm tra, người ta áp dụng một cải tiến làm cho trọng lượng
trung bình của sản phẩm là 1000g. Cho kết luận về hiệu quả cải tiến với mức ý
nghĩa 6%.
b) Các sản phẩm có trọng lượng trên 1050g là sản phẩm loại một. Hãy ước lượng
trọng lượng trung bình của sản phẩm loại một với độ tin cậy 98%.
c) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại một với độ tin cậy 80% và độ chính
xác 3% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nửa ?
d) Giả sử trong kho có để lẩn 1000 sản phẩm của xí nghiệp B và trong 100 sản
phẩm lấy ra từ kho có 29 sản phẩm của xí nghiệp B. Hãy ước lượng số sản
phẩm của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy 82%.
Giải
a) Gọi

là trọng lượng trung bình của sản phẩm trước khi cải tiến.
: 1000H



;
: 1000H



Ta có: n = 100,
980x 
, s = 79,3g,
0,06


nên ta tính được
2
2,56 1,56tt

  
, suy ra bác bỏ H.
Kết luận: Cải tiến có tác dụng làm tăng trọng lượng của sản phẩm.
b) Gọi
1

là trọng lượng trung bình của sản phẩm loại một.
Ta có: n
1
= 20,
1
1100x 
, s
1
= 25,6495,

1
1 0,98


nên
1
14,5622



Suy ra:
1
(1085,4378;1114,5622)



c)
0,2f 
,
2
1 0,80


,
2
0,03


suy ra n
2

= 292.
KL: Cần điều tra thêm 192 sản phẩm nữa.
d) Gọi N là số sản phẩm có trong kho và p là tỷ lệ sản phẩm của xí nghiệp B trong
kho thì
1000
p
N

. Ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy
1 0,82


.
Ta có: n = 100, f = 0,29, suy ra
0,0608



Do đó:
1000
0,2292 0,3508 2851 4364pN
N
     
.
KL: Số sản phẩm của xí nghiệp A trong kho trong khoảng từ 1851 đến 3364 sản
phẩm.

Vi dụ. (ĐHKT2005) Khảo sát về thu nhập (triệu đồng/năm) của một số người ở
một công ty, người ta thu được bảng số liệu sau:

Thu nhập
8-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-24
24-30
Số người
8
12
20
25
20
10
5

a) Những người có mức thu nhập trên 20 triệu đồng/năm là những người có
thu nhập cao. Hãy ước lượng số người có thu nhập cao ở công ty này với độ
tin cậy 98% biết tổng số người làm việc ở công ty là 2000 người.
b) Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân của một người là 1,3 triệu
đồng/tháng thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa 3%.
c) Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng thu nhập trung bình của một người
ở công ty với độ chính xác 600.000 đồng/năm thì độ tin cậy của ước lượng
này là bao nhiêu ?
Giải
a) Gọi M là số người có thu nhập cao ở công ty này và p là tỷ lệ người có thu
nhập cao ở công ty thì
2000
M

p 
. Ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 98%.
Ta có mẫu với n = 100, f = 0,15 nên độ chính xác của ước lượng là
0,0832


.
Suy ra:
0,0668 0,2332 133,6 466,4
2000
M
pM     
.
b) Gọi

là thu nhập bình quân của một người ở công ty. Đặt giả thiết:
: 15,6H


;
: 15,6H



Với mẫu đã cho ta có n = 100;
16,96x 
; s = 3,8845 nên
3,5 2,17tt

  

, suy ra: Bác bỏ H.
Kết luận: Mức thu nhập bình quân của một người ở công ty theo báo cáo là
không chấp nhận được.
c) Ta có bài toán ước lượng

với
0,6


nên
2,17t


.
Suy ra
1 0,8764


. Vậy độ tin cậy của ước lượng cần tím là 88%.

BÀI TẬP

3.1 Trái cây sau khi thu hoạch xong được đóng thành từng sọt, mỗi sọt 100 trái.
Kiểm tra 50 sọt thì thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn.
a) Hãy ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%.
b) Nếu phép ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn có độ chính xác 0,5% thì độ
tin cậy của ước lượng đó là bao nhiêu ?
c) Nếu phép ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn có độ chính xác 1% và độ tin
cậy 99% thì phải kiểm tra thêm bao nhiêu sọt nửa ?
Đáp số

a) n = 5000, f = 0,09,
1,96 0,0079t


  
.
b) n = 5000, f = 0,09,
0,005 1 0,785

   
.
c) N = 5452

3.2 Một kho hàng có 10000 sản phẩm của hai xí nghiệp A và B. Lấy ngẫu nhiên từ
kho hàng ra 100 sản phẩm thì thấy có 60 sản phẩm của xí nghiệp A. Hãy ước
lượng số sản phẩm của xí nghiệp B trong kho hàng với độ tin cậy 95%.
Đáp số
(3040; 4960)

3.3 Một lô hàng có 5000 sản phẩm, trong đó có một số phế phẩm. Kiểm tra ngẫu
nhiên 400 sản phẩm của lô hàng thì thấy có 40 phế phẩm.
a) Hãy ước lượng số phế phẩm trong lô hàng với độ tin cậy 96%.
b) Nếu phép ước lượng số phế phẩm trong lô hàng có độ chính xác tới 150 sản
phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm nữa ?
Đáp số
a) (345; 655)
b) 666

3.4 Để khảo sát trọng lượng X của một loại vật nuôi trong nông trại, người ta quan
sát một mẫu và có kết quả sau

X(kg)
36
42
48
54
60
66
72
Số con
15
12
25
18
10
10
10

a) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại vật nuôi trên với độ tin cậy 96%.
b) Với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa của loại vật nuôi trên là
bao nhiêu ? Tối thiểu là bao nhiêu ?
c) Những con vật có trọng lượng từ 60kg trở lên được gọi là những con “đạt
tiêu chuẩn”. Hãy ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%.
d) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ
chính xác 10% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu con vật nửa ?
e) Với độ tin cậy 90%, tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn tối đa của loại vật nuôi trên là
bao nhiêu ? Tối thiểu là bao nhiêu ?
Đáp số
a)
(49,68;54,24)

b)
(50,1350;537850)

c)
(0,2102;0,3898)

d) 40
e)
(0,2413;0,3587)


3.5 Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng, người ta quan sát một
mẫu và có kết quả sau
X(cm)
95-105
105-115
115-125
125-135
135-145
145-155
155-165
Số cây
10
10
15
30
10
10
15
a) Ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy

96%
b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ
tin cậy 99% và độ chính xác 4 cm thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây
nửa ?
c) Nếu ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ chính
xác 4,58cm thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu ?
d) Những cây tròng có chiều cao từ 135cm trở lên được gọi là những cây “loại
I”. Hãy ước lượng tỉ lệ những cây loại I với độ tin cậy 95%.
e) Nếu ước lượng tỉ lệ những cây loại I với độ chính xác 10% thì sẽ đạt được
độ tin cậy là bao nhiêu ?
f) Nếu ước lượng tỉ lệ những cây loại I với độ tin cậy 95% và độ chính xác
11% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nửa ?
g) Ước lượng chiều cao trung bình của cây loại I với độ tin cậy 94%.
Đáp số
a)
(127,2447;134,7553)

b) 39
c) 98,82%
d) (0,2565;0,4435)
e) 96,42%
f) 0
g) (148,74;154,11)

3.6 (CHKT2003) Giám đốc trại gà A xem lại hồ sơ cũ của một đợt khảo sát về
trọng lượng của gà xuất chuồng ở trại gà thì thấy số liệu được ghi như sau

TL (kg)
2,3–2,7
2,7–2,9

2,9 - 3,1
3,1 -3,3
3,3–3,5
3,5–3,7
3,7–3,9
Số con
5
30

25
10
5
5

a) Giá trị bỏ trống trong dòng thứ ba do quá trình bảo quản tài liệu không
tốt nên bị hoen ố mất đi. Nhưng khi xem lại bảng tính cũ thì thấy giá trị
trung bình mẫu được tính là 3,075. Hãy tìm và điền lại giá trị bị mất này
vào bảng trên và ước lượng tổng trọng lượng trung bình khi xuất chuồng
của trại với độ tin cậy 96%. Biết rằng trại có 30.000 con gà.
b) Hãy ước lượng số con gà đạt tiêu chuẩn loại I với độ tin cậy 98%, biết rằng
gà loại I là gà có trọng lượng trên 3,3kg.
c) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một con gà
loại I khi xuất chuồng.
d) Ban giám đốc trại chăn nuôi cho biết tỷ lệ gà loại I là 35%, với mức ý nghĩa
2% hãy kiểm tra xem nguồn tin này có đàng tin cậy hay không ?
Đáp số
a) 20; (90336 kg; 94164kg)
b) (3204 con; 8796 con)
c) (3,4704kg; 3,6296 kg)
d) Không đáng tin cậy

3.7 (CHKT2004) Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức độ tiêu thụ
sản phẩm này trong khu vực K. Công ty tiến hành điều tra 500 hộ gia đình và
kết quả cho ở bảng sau:



Nhu cầu
(kg/tháng)
0,5–1
1–1,5
1,5- 2
2 -2,5
2,5–3
3–3,5
3,5–4
Số hộ
21
147
192
78
34
16
12
Giả sử khu vực K có 5000 hộ gia đình.

a) Hãy ước lượng nhu cầu bột giặc trung bình của toàn khu vực K trong một
năm với độ tin cậy 95%.
b) Những hộ có nhu cầu trên 2 kg trong một tháng được gọi là những hộ có
nhu cầu cao. Ước lượng tỷ lệ những hộ có nhu cầu cao với độ tin cậy 95%.

c) Để ước lượng nhu cầu bột giặc trung bình của một hộ trong một tháng với
độ chính xác 0,05 kg và độ tin cậy 95% thì cần điều tra thêm bao nhiêu hộ
gia đình nữa.
Đáp số
a) (104,904 tấn; 111,456 tấn)
b) (24,06%; 31,94%)
c) 597

3.8 (CHKT 2005) Công ty M là một công ty lớn trong lĩnh vực công nghệ
thông tin. T là một công ty tư vấn và giới thiệu việc làm. Công ty T muốn thăm
dò thu nhập của những người làm việc ở công ty M và có số liệu thống kê như
sau:
Thu nhập
(trđ/tháng)
3.8 - 4,2
4,2 - 4,6
4,6-5
5 - 5,4
5,4 - 5,8
Số người
15
20
192
78
34

a) Ước lượng thu nhập trung bình của một người làm việc ở công ty M với độ
tin cậy 96%.
b) Với độ tin cậy đã cho, khi ước lượng thu nhập trung bình của một người
làm việc ở công ty M, nếu muốn độ tin cậy là 98% thì độ chính xác là bao

nhiêu ?
c) Người làm việc ở công ty M có thu nhập trên 5 triệu đồng/tháng được gọi là
người có thu nhập cao. Khi ước lượng tỷ lệ những người có thu nhập cao
(trong những người làm việc ở công ty M), nếu muốn độ chính xác là 9%
và độ tin cậy 98% thì cần khảo sát thêm bao nhiêu người nữa ?
Đáp số
a) (4,7256 triệu đồng; 4,9104 triệu đồng)
b) 0,1045 triệu đồng
c) 53 người